Анализ процессов сушки древесины на основе усовершенствованного метода решения системы дифференциальных уравнений в частных производных тепломассообмена Текст научной статьи по специальности «Математика»

 1. Агеев С. П. Математическое моделирование процессов распиловки древесины // Известия СПб ЛТА. Вып. 179. СПб.: ЛТА, 2007. С. 147-153.

2. Агеев С. П. Анализ электропотребления рамных лесопильных потоков // Совершенствование энергетических систем и технологического оборудования: Сб. науч. тр. / АГТУ. 2002. С. 17-23.

3. Хинчин А. Я. Работы по математической теории массового обслуживания. М.: Физматгиз, 2004. 236 с.

4. Аксенов П. П., Макарова Н. С., Прохоров И. К., Тюкина Ю. П. Технология пиломатериалов. М.: Лесн. пром-сть, 1976. 480 с.

5. Песоцкий А. Н. Лесопильное производство. М.: Лесн. пром-сть, 1970. 432 с.

Предложена математическая модель лесопильной рамы как системы массового обслуживания и установлен закон распределения рабочего цикла распиловки бревен.

* * *

Log frame is examined as system of mass service and there is ascertai^d the law of distribution working cycle sawing.

УДК 674.047

А. Г. Гороховский,

кандидат технических наук, доцент

АНАЛИЗ ПРОЦЕССОВ СУШКИ ДРЕВЕСИНЫ НА ОСНОВЕ УСОВЕРШЕНСТВОВАННОГО МЕТОДА РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ТЕПЛОМАССООБМЕНА

Процесс сушки капиллярно-пористого тела, каким является древесина, описывается системой дифференциальных уравнений (ДУЧП) тепломассообмена [1].

Для случая сушки пиломатериала, при котором доска аппроксимируется неограниченной пластиной, в критериальной форме система ДУЧП приобретает вид:

где X = х/R - безразмерная координата; Т - безразмерная температура; U -безразмерное влагосодержание; Fo - критерий Фурье; Lu - критерий взаимосвязи тепло- и массопереноса; Ко - критерий Коссовича; Pn - критерий Поснова.

Система (1) может быть решена при различных начальных условиях: в случае низкотемпературной сушки потенциалы переноса среды постоянны; начальное распределение потенциалов переноса внутри тела постоянное, что по мнению А. В. Лыкова [1; 2] соответствует стадии прогрева влажного тела и постоянной скорости сушки, либо параболическое, что соответствует падающей скорости сушки.

Следует отметить, что случай параболического распределения потенциалов носит более общий характер.

В данном случае система (1) решается при граничных условиях III рода

д 2T (X, Fo) UX2

-ε· Ko · Lu

d2U(X, Fo)

UU

}· (1)

UT (1, Fo)

UX

Bi [1 - T (1, Fo)] + (1 - ε)&> · Lu · Kim = 0,

(2)

UU(1, Fo) + Pn UT(1, Fo) ux + n UX

+ Kim = 0,

(3)

условиях симметрии

UT (0, Fo) = UU (0, Fo) UX ~ UX

(4)

и начальных условиях

T (X ,0) = -(1 -X 2)W, U (X ,0) = -(1 -X 2)V,

(5)

(6)

где Bi - критерий Био; Kim - массообменный критерий Кирпичева; Bim -массообменный критерий Био; un - влагосодержание на поверхности тела; t — t u — ип

W = ———, V =—------—, - симплексы неравномерности начального рас-

t — t

пределения потенциалов тепло- и массопереноса; G, t4, ип, иц - соответственно температура и влагосодержание поверхности и центра сортимента.

Решение системы (1) имеет вид:

■*> 2

T (X, Fo) = 1—ΣΣ Cra.cos(v^nX )οχρ(—μ ПҒо), (7)

U(X, Fo) = 1 + -— ΣΣ^·(1 — v,2)cos(v^nX)exp(—μ2Fo), (8)

ε-Ko ПҐі Γ=ί

где Cn1 = 2

G P 2 + G2 q,

μη ·ψ n

G1 = 1 — ε· Ko · K — 2W

n2 __

Cn2 _

( _i—1 ^ VBi μ n у

GP + G2Qnl. μ η ·Ψη '

+ 2ε · Ko(PnW — V)

(1 + K )Lu

G2 =ε·Ko + 2ε · Ko(PnW — V)

ґ 1 LuΛ

Bim μ2, у

Ψ η ν1 An1Pn2 +ν 2 Bn2Qn1 V 2 An2 Pn1 V1 Bn1Qn2;

A.· =

1 + —+ (1 — v2)K. Bi 1

sin(v^n) + — ν.μn · cos(vμ); Bi

(1 — vf) + ε·Ko ·Ρη

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

Bni= (1 — v,2)sin(v^n) +---^-------------(sin(v^n) + v^ -cos(v,^n)); (14)

Bim

Qni= [1 + (1 — v^K ] cos(Vi μ n) — B-v μ ■ sin(v,^n); (15)

Vjμn · sin(v,^n);

D „ f4 , 4 (1 -vf) + ε·Κο-Pn

Pni= (1 -vf)cos(v j μ n)------------

Bim

1 -ε Bim

K =-----Lu-----.

1 ε Bi

Здесь μη - корни характеристического уравнения

PmQn2 - Pn2Ön1 = 0

(16)

(17)

Некоторые решения (17), полученные графоаналитическим методом, приводятся в [1; 2]. Однако для максимального использования возможностей решения (7)-(17) необходимо хотя бы приближенное аналитическое решение характеристического уравнения (17).

Введем обозначения:

a = Vp b = v2; c = (1 -vf); d = (1 -v f); e =

(1 -vf) + ε·Κο-Pn _ ;

' v 1;

Bim

f =

(1 -vf) + ε·Κο-Pn Bim

vf; g = [1 + (1 - vf) K ] ; h = [1 + (1 -vf) K ] ;

I = -^; к = ^; μ n = x.

Bi Bi

(18)

После разложения тригонометрических функций в ряд Тейлора и пре-

образований получим:

(h - dg )

„ (a + b) f ab

1 -^-----'-· xl +-----;

-(ck - fg )X

bx - -

13a + b

-x3 +

+ x5 j -(eh - dl)

ЪЬ +a ) 3 a3b

x +----x~

6 6

+ (ek - fl)x) x (19)

(

abx2 -

( + cdb) 4 aъЪ

x +-

= 0.

Уравнение (19) представляет собой полином восьмой степени относительно x и имеет вид

a0 + aj x + af x2 + a3 x3 + a4 x4 + a5 x5 + a6 x6 + a7 x7 + a8 x8 = 0 . (20)

После преобразований и подстановки значений из (18) коэффициенты будут следующими:

а0 = (1 -ν2)[і + (1 -ν2)Ki] -(1 -ν2)[і + (1 -ν2)Ki] ,

a2 ={(1 {) [1 + (1 -ν2) K1 ] - (1 -ν 2) [1 + (1 -ν2) K1 ]}}^ -2\ ν2 (1 -ν2) + ε·Ko·Pn г 2ч

-В )· B- ( 2,Bim-------ν 2[1+(1 -ν2 ]ίν 2

ί (1 -ν.2) + ε·Κο ·Ρη Γ 2ч π ,* 2ч ν, ]

1—L-Bim—ν1[1+(1 -ν 2) K1] - (1 -ν2)Βί Ρ

= {(1 -ν2) [1+(1 -ν2) K1 ]-(1 -ν2) [1+(1 -ν2) к ]}}-*■+

^ ν2 [1 +(1 -ν?) K1 ]|| + |

(1 ν2) ν 2 (1 ν 2 ) + ε· Κθ · Ρη (1 V1)Bİ

1 -ν2 ) + ε·Κο ·Ρη

Bim

ν2 [1 + (1 -ν2)K1 ] -(1 -ν2)Β[2 +ν3)

(1 -ν2) + ε·Κο · Ρη (1 -ν2) + ε· Κο ·Ρη

Bi · Bim

Bi · Bim

ν1ν 2 ,

+

а =

„ 2ч ν2 (1 -ν2) + ε·Κο·Ρη г

(1 -ν?)^ ---2-^—------ν2 [1 +(1 -ν22 ·Κ1 ][ν1

Bi

Bim

ί ν. [1+Ί-νΐ-Κ ]-α}ν,ν

(1 -ν2) + ε· Κο· Ρη (1 -ν2) + ε· Κο· Ρη

Bi Bim

Bi Bim

(ν1ν3 +ν3ν2)

О 50 100

Время сушки, ч

w

Кинетика сушки пиломатериалов:

а) изменение влажности древесины во времени: 1 - средняя влажность, 2 - внутренние слои, 3 - наружные слои; б) распределение влажности в пространстве параметров времени и толщины доски; в) распределение влажности по толщине в различные моменты времени

a

(1 -ν,2) + ε·Κο-Pn

----1----------ν,ν

Bi · Bim

(1 -ν2) + ε·Κο-Pn

----2----------ν,ν

Bi · Bim

3

Vi V

3

2

6

Здесь а1, а3, а5, а7 = 0. (21)

В результате решения преобразованного характеристического уравнения мы можем найти восемь первых корней уравнения (17), точнее, их первых приближений.

По мнению А. В. Лыкова и Ю. А. Михайлова, при замене бесконечных сумм в (7) и (8) двумя первыми членами ряда по числу корней характеристического уравнения точность вычислений может составлять 1-2 %, а при количестве членов шесть и более точность может составлять 0,01-0,02 %.

Предлагаемое нами решение дает возможность заменить бесконечную сумму восемью первыми членами, что позволяет говорить о точности вычислений не ниже 0,01-0,02 %.

На основе предложенного метода решения системы ДУЧП тепломассообмена в вычислительной среде Mathcad-12 [3] создана программа для анализа кинетики сушки пиломатериалов. Для нахождения корней полиномов типа (20) в Mathcad есть встроенная функция типа “V-polyroots (V)”.

Пример графической интерпретации результатов решения системы ДУЧП (1) представлен на рисунке (см. с. 213), где: порода - сосна; толщина пиломатериалов - 40 мм; = 60 %; Wx = 12 %; режим - норма-

тивный.

Библиографический список

1. Лыков А.В., Михайлов Ю.А. Теория тепло- и массопереноса. М.: Госэнер-гоиздат, 1963. 535 с.

2. Лыков А.В., Михайлов Ю. А. Теория переноса энергии и вещества. Минск: АН БССР, 1959. 330 с.

3. КирьяновД.В. Mathcad-12. СПб.: БХВ-Петербург, 2005. 576 с.

Разработан аналитический метод решения характеристического уравнения системы дифференциальных уравнений тепломассообмена, позволяющий существенно повысить точность решения. Подготовлена компьютерная программа для оперативного анализа кинетики сушки пиломатериалов, основанная на решении этой системы.

We developed an analytical method to solve a system of particular differential equations of thermo-mass transfer. This method allows us to significantly improve the precision of calculations. We developed a computer program, designed to conduct operational analysis of timber drying kinetics, based on the equation system calculations of thermo-mass transfer.

УДК 674.047

В. Н. Глухих,

кандидат технических наук, доцент

ПРОДОЛЬНОЕ КОРОБЛЕНИЕ КОСОСЛОЙНЫХ ПИЛОМАТЕРИАЛОВ ПРИ СУШКЕ

К продольному короблению пиломатериалов относятся коробление по пласти, коробление по кромке и винтовое (диагональное) коробление.

Причинами продольного коробления пиломатериалов при сушке являются наличие креневой древесины, неодинаковость усушки по толщине и ширине пиломатериалов в продольном направлении, несимметричное расположение сучков, неодинаковое распределение плотности древесины по сечению доски и другие.

При распиловке бревен со спиральным расположением волокон получают пиломатериалы, которые при дальнейшем высушивании коробятся по пласти, по кромке. Практически все доски, полученные из косослойных бревен, имеют в результате сушки диагональное коробление (рис. 1). Таким образом, величина коэффициента усушки древесины в направлении вдоль волокон с использованием известных характеристик

К = K,E,/Ea. (1)

В следующей таблице приведены результаты вычисления коэффициентов усушки в направлении вдоль волокон для некоторых пород древесины.