CC BY
1УДК 621.311
С. П. Агеев,
кандидат технических наук, доцент
ЗАКОНОМЕРНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДЛИТЕЛЬНОСТИ РАБОЧИХ ЦИКЛОВ ЛЕСОПИЛЬНЫХ РАМ
Введение
Характерной особенностью процессов деревообработки является то, что в них постоянно проявляется воздействие различных случайных факторов [1]. Такие процессы в общем случае не могут быть детерминированными, поэтому для более полного изучения основных закономерностей функционирования производственных процессов на деревообрабатывающих предприятиях необходимо рассматривать их как разновидности случайных.
Одним из наиболее энергоемких деревообрабатывающих производств является лесопильное. При этом лесопильная рама со сравнительно небольшой околостаночной механизацией составляет автономный участок и как наиболее мощный электроприемник в значительной степени определяет характер его электропотребления. Задачей данных исследований ставилось установление закономерности рабочих циклов распиловки древесины на лесопильных рамах, необходимое для решения задач нормирования и планирования электропотребления процессов деревообработки.
Метод проведения исследований
Ранее было показано [1], что для анализа процессов лесопиления лесопильную раму (ЛР) можно представить как систему массового обслуживания (СМО). Первое, что требуется при анализе СМО - это изучение свойств потока входящих требований Пвх (в нашем случае - потока бревен, поступающих на распиловку в ЛР). Этот поток графически можно представить как последовательность точек (событий) 1, 2, 3, 4, ... на временной оси 0t, соответствующих моментам гвх1 , 1ъх2 , t вх3 , гвх4 , ... поступления требований (бревен) (рис. 1).
ч q0 L_q__J L_^_J L_^_J
1 2 3
Ївхі ЇвХ2 Ївхз
Tx0 Трі Tx1 Тр2 Tx2 „ Тр3 . Tx3
ЇвЬІХІ ЇвЬІХ2 ЇвЬІХЗ
Рис. 1. Входящий и выходящий потоки требований
П
вых
0
Очевидно, что этот поток представляет собой случайный процесс, так как трудно заранее точно предсказать момент поступления в ЛР очередного бревна и длительность его распиловки. Этот поток обладает следующими свойствами: ординарность, стационарность, ограниченное последействие [2].
Для математического описания такого потока К. Пальм ввел функцию Фо(0 [3]. Она равна условной вероятности того, что в промежуток времени (?вх , ?вх + q) в СМО не поступит ни одного требования, при условии, что в начальный момент промежутка ївх требование поступило. Для его описания достаточно знать законы распределения f(qı), f(q2), ... случайных величин qb q2, ..., которые представляют собой промежутки времени между (i + 1)-м и i-м событиями в потоке Пвх, т. е.
qi = ^вх i + 1 ^вх i , i = 1, 2, 3, ... . (1)
В теории лесопиления [4] этим величинам соответствуют продолжительности рабочих циклов Тц лесопильной рамы
Т = Т + Т
-*ц -*р“ 1 х->
где Тр - случайная длительность распиловки бревен, с [1]; Тх - случайная длительность холостых ходов, обусловленных межторцевыми разрывами между бревнами, с.
При этом qo = Тх 0,
Чі = Трi + Тхi , i = 1, 2, 3, ... . (2)
Для нахождения плотности потока с ограниченным последействием (Λ, 1/с) опишем законы распределения случайных величин qi в виде функций распределения
F (t) = р (qi < t), i = 1, 2, 3,... . (3)
Для потока Пальма доказана теорема [3], согласно которой функции распределения промежутков между соседними событиями в потоке имеют следующий вид:
Fo(t) = Λ Jqo(u)du , (4)
0
F(t) = 1 - 9o(t), i > 1. (5)
Параметр Λ может быть определен из соотношения (4) через функцию 9o(t). Тогда
Λ = -------------, i > 1. (6)
J (1 - F (t)) dt
o
Было показано [2], что интеграл, стоящий в знаменателе (6), представляет собой математическое ожидание непрерывной случайной величины q с функцией распределения F(t).
Таким образом, имеем
Mq = J (1 - F(t))dt,
o
или с учетом (3) ,
Mq = М(Тр + Тх) = Tp + Τχ= Тц ,
где Tp - средняя длительность распиловки бревен, с; Тх - среднее время на осуществление холостых ходов, с; Тц - средняя продолжительность рабочего цикла лесопильной рамы, с.
Тогда по (6)
Λ = 1 = Q, T
ц
где Qц - среднее значение цикловой производительности лесопильной рамы, 1/с [5].
Результаты исследований
Согласно предложенной модели лесопильной рамы как системы массового обслуживания найден закон распределения /ц(ґ) длительности Тц рабочих циклов лесопильной рамы. Задача сводится к нахождению закона распределения времени q пребывания системы в состояниях Е1, Е2,... , Ек, Е0 при условии, что при t = 0 система находилась в состоянии Е1. Описание состояний дано в [1]. Тогда граф СМО для решения этой задачи будет иметь вид, показанный на рис. 2. Состояние Е11 является поглощающим. Переход в него означает окончание текущего рабочего цикла и начало следующего.
Рис. 2. Размеченный граф состояний
Соответствующая этому графу система дифференциальный уравнений имеет вид
dpj(t)
dt
M(t),
dp2(t) dt
-Xp2(t) + Xpt(t),
dpk (t) dt
■Xpk (t) + Xpk _j(t),
dp0(t) dt
■K po(t)+Vk(t).
Решая эту систему уравнений любым из известных методов, получим
Pi (t)
(λ t) i +1 β-(i -1)!
i = 1, 2,... , к.
Для отыскания вероятности p0(t) составим дифференциальное уравнение
dpo(t)
dt
+ λ0Po(t) =^к (t)·
Решая его, получим
Po(t) = λ*
(к-1)!
λ t
-1gX(X0-λ)
dx.
Функция распределения Fu(t) = р(Тц < t)= p0(q < t) равна вероятности того, что к моменту времени t СМО выйдет из состояния Е0 (закончится холостой ход) и окажется в состоянии Е11 (лесопильная рама приступит к распиловке очередного бревна)· Следовательно, F]1(t)= p11(t), откуда плотность распределения случайной величины Тц
или
/; (t)
ғц (t)
dt
dpıı(t)
dt
λ0 p0(t),
/ц (t) ^
(к -1)!
хк - 1βχ(λ0-λ) dx.
λ t
(7)
Выводы
В результате исследований установлено, что рабочие циклы лесопильных рам подчинены обобщенному закону Эрланга (к + 1)-го порядка, так как случайная величина q является суммой (к + 1) независимых случайных величин, распределенных по показательному закону. У этого закона к параметров равны λ, а один - λ0 .
Показаны события потока требований (доски или брусья), наступающие в моменты tuHxi , 4ых2 , ^ых3 и т. д. (см. рис. 1). Требования этого потока поступают далее на другое оборудование технологической линии. Промежутки времени между событиями потока Пвых также распределены по закону (7).
1. Агеев С. П. Математическое моделирование процессов распиловки древесины // Известия СПб ЛТА. Вып. 179. СПб.: ЛТА, 2007. С. 147-153.
2. Агеев С. П. Анализ электропотребления рамных лесопильных потоков // Совершенствование энергетических систем и технологического оборудования: Сб. науч. тр. / АГТУ. 2002. С. 17-23.
3. Хинчин А. Я. Работы по математической теории массового обслуживания. М.: Физматгиз, 2004. 236 с.
4. Аксенов П. П., Макарова Н. С., Прохоров И. К., Тюкина Ю. П. Технология пиломатериалов. М.: Лесн. пром-сть, 1976. 480 с.
5. Песоцкий А. Н. Лесопильное производство. М.: Лесн. пром-сть, 1970. 432 с.
Предложена математическая модель лесопильной рамы как системы массового обслуживания и установлен закон распределения рабочего цикла распиловки бревен.
* * *
Log frame is examined as system of mass service and there is ascertai^d the law of distribution working cycle sawing.
УДК 674.047
А. Г. Гороховский,
кандидат технических наук, доцент
АНАЛИЗ ПРОЦЕССОВ СУШКИ ДРЕВЕСИНЫ НА ОСНОВЕ УСОВЕРШЕНСТВОВАННОГО МЕТОДА РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ТЕПЛОМАССООБМЕНА
Процесс сушки капиллярно-пористого тела, каким является древесина, описывается системой дифференциальных уравнений (ДУЧП) тепломассообмена [1].
