CC BY
25
АНАЛИЗ ПОВЕДЕНИЯ АБСТРАКТНОГО НЕЧЕТКОГО АВТОМАТА И ОСНОВНЫЕ ПРОЦЕДУРЫ РЕШЕНИЯ УСТАНОВОЧНОЙ, КОНТРОЛИРУЮЩЕЙ И ДИАГНОСТИРУЮЩЕЙ ЗАДАЧ
©2°11 Курбанмагомедов К.Д.
Институт (филиал)
ГОУ ВПО «Московский государственный открытый университет»
В работе анализируется поведение нечеткого автомата. Предложены процедуры анализа сложности решения задач проведения установочного, контролирующего и диагностирующего экспериментов над нечетким автоматом.
The author of the article analyzes the behavior of a fuzzy automaton. He offers the analysis procedures of the complexity of solving the problems of installing, controlling and diagnostic experiments on the fuzzy automaton.
Ключевые слова: автомат, схема, эксперимент, нечеткий автомат, состояние, сложность.
Keywords: automation, scheme, experiment, fuzzy automation, condition, complexhity.
Таблица переходов/выходов (ТПВ)
Я нечеткого конечного автомата (НКА) показывает степень возможности перехода между любыми состояниями ^ или смену значений выходов уь у для всех слов входного алфавита. Следовательно,
мощность множеств
R
ТПВ равна
мощности входного алфавита |х|, так
как каждый элемент таблицы соответствует нечеткому множеству состояний переходов ^/ць <\2!^2, ••••, Цп/Цп) и нечеткому множеству ВЫХОДОВ (У1/ць у2/ц2, уп/цп) (рис. 1). Обычно ТПВ задается для всего алфавита одновременно, а порог срабатывания а НКА имеет разные значения для всех слов входной последовательности [1], причем 0<а<1. Порог срабатывания автомата может определяться для входных последовательностей длины,
меньшей или равной И-1, где И -число состояний НКА. При композиции матрицы каждый
элемент в Рп = {Р*Р*......*Р} задает
степень возможности перехода
между состояниями для
эксперимента длины п. Считается,
что при поступлении заданного
входного воздействия возможен
переход из любого состояния в любое другое. Это справедливо для всех К", где п - любое целое число.
а4-
5 = <... »k...
мsnK... И5 * nn
mL- vL-
я = <... a4...
/4... fj.1 * nn
Рис. 1. Матрицы (таблицы)
переходов и выходов НКА (3 -
таблица переходов, А - таблица выходов)
Для анализа
последовательностных логических схем (ЛС) с помощью модели НКА целесообразно определение их отличимости для исправного и неисправного состояний, а также приведения оценок,
свидетельствующих о влиянии неисправности на работу автомата на основе исследования отношения эквивалентности НКА.
В качестве основных
неисправностей рассмотрим
следующие: ложный переход,
ложный выход и срабатывание на ложном входе. Вводу неисправности соответствует изменение числа вершин в ГПВ и мощностей множеств Х,0,У. Данные изменения входного алфавита оказывают влияние на длину эксперимента, а введение нового состояния или выхода - на степень достижимости состояния или сложность проведения эксперимента заданной длины. Возможен переход к обычной таблице переходов и выходов, задающей работу
детерминированного КА, заменой наибольших значений на 1, остальных - на 0, или недетерминированного автомата - с |и<0,5 на 0 и с |-1>0,5 на 1. Для увеличения достоверности анализа переход к детерминированному (недетерминированному) автомату производим, задавая а, где при |и>а элемент таблицы заменяется на 1, а при |и<а, на 0, причем а=[0, 1].
Пусть заданы состояния
...qn, являющиеся соседними
(ими считаются состояния, которые достижимы одно из другого подачей разового входного воздействия х{). При переходе к следующей вершине нечеткого ГПВ получим
г'ч, = шах </.',■1 м', = шах ■ т0 есть
У У
выбирается вершина с наибольшей
функцией принадлежности. Для выбора вершин с уровнем а>ц/ имеем
= max tejm 1 Vjm } ’ ГДе Шт<П~ 1-
j
Аналогично для вершин, из которых достижима вершина qit записывается
А= тах^7^ и r'1(ii=maxWjm/MjJ-j j Автоматы отличимы по разовому входу, если ДЛЯ ВХОДОВ Х-\ и х2
функции принадлежности цч и /и'2 удовлетворяют соотношению max
(шт(1-цх2) цх1),
тт(1-цх1) цх2> 0,5V (1)
для каждого из последующих
переходов.
Автоматы отличимы по уровню а, если для всех последующих
переходов также можно записать max (min( I -цх2) цх1). тт(1-цх1) цх2>ал/. (2)
Состояния сильно отличимы, если удовлетворяется условие (1) для всех вершин, и слабоотличимы хотя бы для одной вершины (состояния).
Следовательно, для отличимости двух состояний автомата необходимо существование входной
последовательности длины, меньшей или равной п-1, хотя бы для одной из которых соблюдается условие (I), для а-отличимости - условие (2).
Из вышеприведенных выражений и из представления операций & и V соответственно через min и max исходит применимость максиминных произведений (минимаксных
произведений) для приоритетного выбора альтернативных вариантов [1, 2]. Кстати, из [3] известна
равносильность результатов
применения операций max и min. В дальнейшем будем использовать max и считать, что анализируется оптимистический автомат [3]. При проведении эксперимента над автоматами и анализе его поведения при подаче Xi и Xj с целью наибольшего различия реакций используется выражение
max (min( I -цХ1) цХ|). min(( I -ц1) цХ1. Переход из qi в q анализируется по формуле
Г1 qi = max qij1 m‘j ■
j
При этом выбирается выход, для которого удовлетворяется заданное предварительно условие ц>а.
Для общего случая выражение с целью вычисления степеней
возможности перехода между состояниями и их сравнения
записывается так: max (lk), где lk -длина k-го эксперимента.
Состояния являются отличимыми, если оценка, вычисленная по данному выражению для всех
экспериментов длины меньше, чем а, будет меньше или равна 0,5. При этом производится сравнение всех вариантов между собой.
Для отличимости состояний qi и q необходимо их отличие хотя бы на одном из всех экспериментов, то есть если Xi^Xj, то max(min((1-^xVxJ), min((1-^xVxJ)>a.
Аналогично вводится понятие отличимости автоматов. Имеет место следующие утверждения.
Утверждение 1. Для отличимости и а-отличимости двух состояний по всем экспериментам необходимо и достаточно наличие двух или более нечетко различающихся строк в матрице переходов с функцией принадлежности, равной,
соответственно, 0,5 или а.
Для анализа отличимости состояний по матрице переходов необходимо сравнить n-1 раз различные строки матрицы переходов между собой. Если оценки для всех сравнений не ниже вышеприведенных для любого из сравнений, то состояния будут считаться отличимыми, в противном случае - неотличимыми. Это соответствует понятиям
эквивалентности и
неэквивалентности у обычных КА, что подтверждается
равносильностью преобразования исходного графа ГПВ обычного КА в нечеткий ГПВ НКА и соответствием структур ГПВ (ТПВ) КА и НКА. Однако во втором случае эксперимент получается менее
грубым при анализе состояний и, соответственно, для реального структурного автомата оценки более адекватным.
Из отличимости НКА вытекает следующее утверждение.
Утверждение 2. Для отличимости автоматов необходимо и достаточно, чтобы в матрице переходов имелись хотя бы две строки, для которых функции принадлежности ц>0,5(а) для любого из i, ji Ф j, i < n, j < n.
Это справедливо и для а-отличимости автоматов. Анализ поведения автомата заключается в анализе различения состояний. Если имеются хотя бы две отличающиеся вершины, то автоматы будут различимы. Для отличимости автоматов можно записать
max max (max(min (чг, x, qt+1),
i, j n
min +1 , x 2 , Чг+2 V- (Я j-1, X n , 4j )}}
для любых пар вершин (состояний)
или
max max
{A, /2,..., ln-1 }, где
запись (qj-1, Xi, qj) означает переход из состояния qj-1 в состояние qj при подаче входного воздействия xi.
Вычисление означает, что
max
i,j
если хотя бы для одной из пар qi,qj
оценка не равна нулю, то о различимости автоматов можно судить по наибольшему значению оценки. Для отличимости автоматов наиболее целесообразным считается эксперимент для той пары состояний, для которой получается наибольшая оценка отличимости при меньшей длине эксперимента. Автоматы являются нечетко отличимыми, если хотя бы одной пары оценка, вычисленная по приведенному выше выражению соответствующих состояний, и хотя бы одного из экспериментов длины, меньше, чем n-1, равна 0,5. Таким образом, можно записать:
V<W1,<W2 (i1 G nl, j1 G ^ i2 G ^ j2 G n2) -
- $e(e < n -1),
тах{тах{тт((«?Д, х,. ),
тт (?( ,+1 , Х1, ^(,+2,2 ). (д{ ,+1 ^^, Ч(1+1,2)-
- тах {тт , Х1, Ч(1+1, )2,...,
Оценку достоверности
эксперимента проводят с использованием понятия шкала значений, на которую проектируются значения /л для каждого из
вариантов сравнения. При проекции на шкалу значений степени перехода для обычных автоматов получаются только два значения - 0 и 1, для НКА
- на шкале получаются значения,
изменяющиеся в пределах [0,1]. Из этого следует, что при проецировании на шкалу НКА в качестве различающихся состояний можно взять состояния, для которых отличие по шкале будет >0,5. Аналогично можно судить и о 01-отличимости по шкале. Вывод о различимости состояний остается справедливым для состояний, у
которых ц,-ц;>0,5/1 независимо от местоположения на шкале. Кроме того, выбирая в указанных пределах любую из пар состояний с отличающимися оценками, можно менять точность и достоверность принятия решения и, соответственно, точность решения задачи.
Задавая длину эксперимента, можно определить и степень достоверности вывода об
отличимости автоматов и наоборот. При длине эксперимента п-1
получаем п-1 шкал. Сравнивая полученные оценки по разным шкалам, выбираем также наиболее достоверный эксперимент в
Примечания
пределах решаемой задачи. Отсюда следует, что в случае нечеткой интерпретации экспериментов над автоматом достоверность результата эксперимента не ниже, чем для эксперимента в обычном понимании. В то же время не столь явная категоричность принятия решения позволяет уменьшить длительность эксперимента без риска потери решения. Возможность
прогнозирования следующих шагов при выполнении текущего шага эксперимента позволяет достичь решения задачи при меньшей длине эксперимента.
Пусть функция - функция
полезности - характеризует степень близости к решению в момент времени I Для обычного автомата при эксперименте длины И получим
ш=ш= =ш и т=^и /»■
Следовательно, если принять во внимание число вершин перебора на каждом шаге эксперимента, то распределение весов равномерно. При эксперименте над НКА, как правило,
И н(Ъ)^ И • -Ф И нО-п)•
Л №=2"=!^ н(Ъ), Лср^"^ н(Ъ)/П.
Возможны ситуации, когда /? ^)<
И срО), но [Л (Ъ)+Л(Ъ+1)]/2»М1).
Принятие во внимание для каждого из состояний значений при обычном эксперименте приводит к нерациональности его проведения и, следовательно, к большему времени поиска решения.
1. Борисов А. Н„ Осис Я. Я. Поиск наибольшей разделимости размытых образов // Кибернетика и диагностика / под ред. Я. Я. Осиса. Рига : Рижский политехнический ин-т, 1969. Вып. 3. С. 79-88. 2. Орловский С. А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информации. М. : Наука, 1981. 208 с. 3. Фалькович М. А., Галин А. Б. О контроле цифровых автоматов методами логического вывода // Вопросы технической диагностики: Тез. докл. научно-техн. конф. Ростов н/Д., 1977. Вып. 17. С. 124-129. 4. Чеканов А. Н„ Курбанмагомедов К. Д. Применение методов теории нечетных множеств в САПР цифровых устройств / Труды МВТУ. М. : МВТУ, 1984. № 415. С. 59-69.
Статья поступила в редакцию 30.01.2011 г.
