CC BY
8
УДК 537.871.51 ББК 22.336 Ж 86
Жукова Ирина Николаевна
Доцент, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теоретической физики инженерно-физического факультета Адыгейского государственного университета, Майкоп, тел. (8772) 593908, e-mail:[email protected]
Анализ линейной поляризации излучения заряда в приближении слабой волны
(Рецензирована)
Аннотация. Получено разложение средней по времени степени линейной поляризации глобального излучения заряда в поле электромагнитной волны эллиптической поляризации по малому параметру у, связанному с интенсивностью волны. Исследовано влияние выбора вектора поляризации на поведение средней по времени степени линейной поляризации вблизи предельных значений.
Ключевые слова: линейная поляризация излучения, степень линейной поляризации, вектор поляризации, мощность а и я компонент излучения, мощность глобального излучения.
Zhukova Irina Nikolaevna
Associate Professor, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of Theoretical Physics Department of Engineering-Physics Faculty, Adyghe State University, Maikop, ph. (8772) 593908, e-mail: [email protected]
Analysis of linear polarization of charge radiation in approach of a weak wave
Abstract. We have obtained decomposition of average in time degree of linear polarization of charge global radiation in the field of an electromagnetic wave of elliptic polarization in small parameter y, connected with wave intensity. A study was made on influence of the choice ofpolarization vector on behavior of average in time extent of linear polarization near extreme values.
Keywords: linear polarization of radiation, degree of linear polarization, polarization vector, power of а and я radiation components, power of global radiation.
Задача о линейной поляризации излучения произвольно движущегося заряда была решена в работе [1], где для произвольного направления вектора поляризации j было получено выражение для мгновенной мощности а -компоненты глобального излучения W2:
f 7w2 + 4(wfi} + 8(wj\TjМ_ 2(Wp) _ w2 _ (1 )2 (1 )3 q{1 )2 q(1 )2
(1+5p2 )j у+4 (wj fe и _ {1+3i2 у _
q (1 _p2 )2 q\1 _> ) q 2(1 _>) q3
12c3
(1)
где q = 1 -
{ßjУ, ß = ^^, v{%) - скорость заряженной частицы, W(¿) - ее ускорение. с
Глобальная мгновенная мощность излучения от ориентации вектора ] не зависит:
^ = £ ». (2)
3с (1 -р2 ))
В работах [2-3] рассмотрено излучение заряда в поле плоской электромагнитной волны эллиптической поляризации для случая, когда вектор поляризации направлен вдоль направления распространения волны, то есть j = (0,0,1); в работах [4, 5] вектор поляризации был
направлен по скорости заряда j = Р / Р и по напряженности внешнего поля j = Е/Е .
В данной работе для произвольного вектора j = (8т#со8^>,8т#8т^>,со8#) рассмотрим линейную поляризацию излучения заряда в поле слабой электромагнитной волны эллипти-
ческой поляризации (0 <щ < ж/2) с интенсивностью, характеризуемой параметром
eE о E
у =-, где E0 - амплитуда напряженности электрического поля, c0 - частота волны.
со cm
Волна распространяется вдоль оси z лабораторной системы координат со скоростью с. Средняя по времени степень линейной поляризации (далее СЛП):
2W
Р = ^-1. (3)
W
Усреднение мощности излучения по времени проводится согласно схеме:
__2ж
W = Ж+Т! {W'(+ У2) У2kC0S 2C)d) (4)
где к = cos(2^) .
Среднюю глобальную мощность W получаем интегрированием выражения (2):
W^f + Г-'ff (5)
После разложения мгновенной мощности а -компоненты глобального излучения W2 (1) и мгновенной мощности глобального излучения W (2) в ряд по малому параметру у, усреднения согласно (4) и подстановки полученных выражений в (3) находим среднюю СЛП:
Р = Ро + pi. (6)
Нулевой член разложения в ряд согласуется с [1]:
1 3
p0 = 2 - 4 • sin2((1 + к cos(2^)), (7)
первый член разложения в ряд имеет вид:
p1 = у2 { - — sin4( • (1 + к cos(2^))-—к • sin2(^ [(cos(2^) • (к2 - 9) - 12к)]+ (-11к )1 . (8) [ 32 16 8 J
Выясним, при какой ориентации j СЛП максимальна. Решения уравнений
—p0 = —pL = о в виде j = (sin(0 cos^0,sin(0 sin^0,cos(0) и экстремальные значения средней
—в дф
СЛП глобального излучения p0 приведены в таблице 1.
Таблица 1
Экстремальные значения средней СЛП глобального излучения p0
sin(0 = 0 =(Ж) • j = (0,0,±1) Р| II 2
cos(0 = 0, sin2^0 = 0 ^ в0 = ж/2, ф = n е[0,3], П G Z в0 = ж/2, Ф0 =(Ж) j = (± 1,0,0) Р 1 3cos(2^) Р0 =4 4 , Г Р0 W = 0) = -1, ] 1 p {*=ж )=21
в0 = ж/2, (ж/2 ^ ф0 =[ 3ж/2 J j = (0,±1,0) Р0 < 1 3cos(2^ = 4 4 p0 (¥ = 0) = 2 Р0 l^ = f J-1 0 >
Таким образом, при ориентации вектора у по направлению (против направления) распространения внешней волны, то есть при ] = (0,0,±1), средняя СЛП глобального излу-
чения равна р = 1/2 и не зависит от поляризации волны у. При в0 = л / 2 средняя СЛП _ ¿р
р зависит от угла р и от поляризации волны у. Из условия —- = 0 следует, что если
ду
вектор поляризации у направлен вдоль осей х или у, то есть при у = (± 1,0,0) или у =(0,±1,0), максимальные значения р достигаются при поляризации внешней волны
у = 0 и У = Л.
Например, для линейно поляризованной внешней волны с параметром у = 0 при в0 = л / 2 из (7) легко найти значения р, при которых р0 = 0 : 1 3
0 = -4-4С08(2р) ^ р = 54,736°, р2 = 125,265°, р3 = 234,736°, р4 = 305,265°.
Рис. 1. Диаграмма значений нулевого приближения средней СЛП глобального излучения заряда р 0 в поле слабой волны в зависимости от угла р при фиксированных значениях в0 = л / 2 и у = 0
Указанные особенности поведения средней СЛП р удобно проиллюстрировать с помощью аналога полярной диаграммы, в которой значение |р0| равно расстоянию от центра до кривой р0(р). Как видно из рисунка 1, р0 (р =Р1,2,34) = 0. При 00 = л/2 и увеличении р от 0 до р1 (0 <р<р1) значение р0(р) изменилось от -1 до 0. При в0 = л/2 и р0 = 0 излучение полностью поляризовано, причем имеется только л -компонента излучения. При увеличении р от р1 до л/2 значение р0(р) изменяется от 0 до + -2. В этом случае преимущественно излучается а -компонента.
др др
Рассмотрим первый член разложения (8). Из условий —— = 0 и —- = 0 получаем:
др
дв
др1 = 0: 1) sin2p0 = 0; 2) cos(2p0) = 9 - - 5sin2 в
др
др1- = 0: 1) sine0 = 0; 2) cose0 = 0; 3) sin2 в =
5кsin2 в 12к2 + kcos(2p)(9 - к2)
(9)
(10)
дв ..............5(1 + £соБ(2р))2
Решение первого уравнения (10) соответствует ориентации вектора поляризации у вдоль направления распространения внешней волны у = (0,0,±1). В этом случае выражение
- 1 2(111 2^
(8) согласуется с результатами работы [3]: р = — +у---соэ(2у) I.
2 ^48 )
Максимальные значения первая поправка px принимает при у = 0; ^ и у = ~'-
dpi
= 0 ^ pL -0,„
ду V 2 2
1 9у
Р [v = i)
= _= 1 +Г_ V 2 4
(11)
При cos(2y \ ) = ±727 11 получаем р1(у) = 0. При уе[0,у1 [ и у/е]у2,^/2]
функция р стремится к значению 2 снизу, а при у е ]],]2 [ - сверху. Указанные особенности поведения средней СЛП отражены на рисунке 2.
Рис. 2. Влияние на среднюю СЛП р первой поправки в зависимости от поляризации внешней ЭМ волны для случая ] = (0,0,±1)
Решение второго уравнения (10) соответствует ориентации вектора поляризации ^ вдоль осей х или у в зависимости от угла р: ] (0л=(0,0,±1), ] , , = (0,±1,0). В этом
(= и ) р\"я12 )
случае влияние первой поправки на среднюю СЛП р(]) в зависимости от поляризации внешней ЭМ волны отражено в таблице 2.
Таблица 2
Экстремальные значения средней СЛП глобального излучения р1
2 cos6>0 =0, sin2p0 =0 ^ p1 =-^2("24^-13k2 + 6k3)
^0 =^/2, % ={°л ) j = (± 1,0,0) py== 0)=-1+^ p(y=f)=f^f
°0 =^/2, % =^Зл/2 ) j = (0,±1,0) pp(у = 0)= 1 -f; p(y = f) = -1 + ^
Заметим, что при рассматриваемой ориентации вектора поляризации ^ (по х или у) в точках р0 = (0, я) вид экстремума первой поправки рх (р) зависит от поляризации внешней волны. Как следует из второго уравнения (9), при у< 22,7° (0,3965рад) и у> 67,3° (1,1746рад) в этих точках функция рх (р) имеет минимум, а максимум определяется условием
соз(2р0) = 4 . Например, при у = 0 находим для максимумов функция рх (р):
5К
3
соБ(2р0) = 5 ^(=26,57 °, р2 =153,43 °, р3 =206,57 °, р4 = 333,43 °.
8
Описанные особенности поведения функции рх {(( отражены на рисунке 3. Указанные локальные максимумы в поведении общей функции р{(р) уже не проявляются.
Рис. 3. Диаграмма значений функции рх{() в зависимости от угла ( при в0 =ж/2 и у = 0,2
Критерий малости для параметра у можно установить сравнением для конкретных значений (в,р,у,у) результата численного вычисления р0(в,р, у,у) с результатом, полученным по формулам разложения в пределе у ^ 0 . Сам критерий малости определяется требуемой точностью результата (необходимым числом значащих цифр). Например, в работе [3] было показано, что при у = 0,2, ] = {0,0,1) и у = 0, л/2, разность между точным и приближенным значениями р не превышала £ = 0,14%. При у = 0,01 она составила а = 2,0 -10~3% .
Таким образом, первая поправка полученного разложения средней по времени СЛП глобального излучения заряда р{у, у, в, р) по параметру, связанному с интенсивностью волны в случае слабой волны ( у « 1), позволяет проследить влияние параметра у и выбора вектора поляризации ] = {пвсовр, Бтввтр, соБв) на поведение СЛП и ее экстремальные значения.
Примечания:
1. Багров В.Г., Клименко Ю.И. Линейная поляризация излучения произвольно движущегося заряда // Вестник Московского университета. 1969. № 3. C. 104-107.
2. Жукова И.Н. Некоторые особенности линейной поляризации излучения заряда в электромагнитном поле плоской волны // Труды ФОРА. 2005. № 10. С. 36-43. URL: http://fora.adygnet.ru
3. Жукова И.Н. Исследование зависимости линейной поляризации излучения заряда в электромагнитном поле плоской волны от ее интенсивности и поляризации // Вестник Адыгейского государственного университета. Сер. Естественно-математические и технические науки. 2008. Вып. 9 (37). С. 34-45.
4. Жукова И.Н. Линейная поляризация излучения заряда в электромагнитном поле плоской волны в случае, когда вектор поляризации направлен по скорости заряда // Вестник Адыгейского государственного университета. Сер. Естественно-математические и технические науки. Вып. 1 (43). 2009. С. 58-62.
5. Жукова И.Н., Малых В.С. К вопросу о линейной поляризации излучения заряда в поле плоской электромагнитной волны // Вестник Адыгейского государственного университета. Сер. Естественно-математические и технические науки. 2014. Вып. 2 (137). С. 46-49. URL: http://vestnik.adygnet.ru
References:
1. Bagrov V.G., Klimenko Yu.I. Linear polarization of radiation of an arbitrarily moving charge // Bulletin of Moscow University. 1969. No. 3. P. 104-107.
2. Zhukova I.N. Some features of linear polarization of radiation of a charge in a electromagnetic field of the flat wave // Works of Physical Society of Adygheya Republic. 2005. No. 10. P. 36-43. URL: http://fora.adygnet.ru
3. Zhukova I.N. Study on dependence of linear polarization of charge radiation in the electromagnetic fiald of a flat wave upon its intensite and polarization / The Bulletin of the Adyghe State University. Ser. Natural-Mathematical and Technical Sciences. 2008. Iss. 9 (37). P. 34-45. URL: http://vestnik.adygnet.ru
4. Zhukova I.N. Linear polarization of a charge radiation in the flat wave electromagnetic field for the case when the polarization vector is directed along speed of charge movement // The Bulletin of the Adyghe State University. Ser. Natural-Mathematical and Technical Sciences. 2009. Iss. 1 (43). P. 58-62. URL: http ://vestnik.adygnet.ru
5. Zhukova I.N., Malykh V.S. On linear polarization of charge radiation in the field of flat electromagnetic wave // The Bulletin of the Adyghe State University. Ser. Natural-Mathematical and Technical Sciences. 2014. Iss. 2 (137). P. 46-49. URL: http://vestnik.adygnet.ru
