Анализ динамики гидравлического привода золотник двигатель нагрузка с учетом нелинейностей распределительного органа и взаимовлияния двух рабочих полостей Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И То м VI ' 19 7 5 ' '

№ 4

УДК 621.626 : 629.7.064

АНАЛИЗ ДИНАМИКИ ГИДРАВЛИЧЕСКОГО ПРИВОДА ЗОЛОТНИК - ДВИГАТЕЛЬ - НАГРУЗКА С УЧЕТОМ НЕЛИНЕЙНОСТЕЙ РАСПРЕДЕЛИТЕЛЬНОГО ОРГАНА И ВЗАИМОВЛИЯНИЯ ДВУХ РАБОЧИХ ПОЛОСТЕЙ

А. П. Алексеев, В. А. Челышев

Создана уточненная нелинейная математическая модель двухпо-достного гидравлического привода дроссельного регулирования.

Определено с помощью метода гармонической линеаризации влияние основных нелинейностей на параметры первой гармоники вынужденных колебаний гидропривода.

Разработан алгоритм расчета динамических характеристик гидропривода. Проведена проверка полученных результатов путем интегрирования методом Рунге — Кутта нелинейных дифференциальных уравнений на ЭЦВМ. Приведены результаты экспериментов, которые подтвердили правильность предложенной методики определения динамических характеристик гидроприводов дроссельного регулирования.

В настоящее время существует большое количество работ, посвященных теоретическому и экспериментальному исследованию нелинейных свойств гидравлического привода дроссельного регулирования (см., например, [1, 2]). В указанных работах аналитические зависимости для характеристик гидропривода определяются на базе динамических процессов, происходящих только в одной полости гидродвигателя, соединенной с линией нагнетания (магистралью питания). Поэтому нелинейные математические модели [1, 2] справедливы в том случае, когда расходы жидкости, втекающей в одну рабочую полость и истекающей из другой, равны. Частотные характеристики гидропривода, вычисленные по аналитическим зависимостям [1, 2], совпадают с экспериментальными только в области низких и средних частот <о при ш<|(йгп, где «>гп — собственная частота гидропривода, при малых отклонениях входной координаты От нулевого значения [3]. Однако для определения динамических характеристик в широком диапазоне рабочих частот и исследования устойчивости высокоточных систем в „большом" и „малом* необходима нелинейная математическая модель двухполостного дроссельного гидропривода, которая учитывала бы специфические особенности привода: радиальный зазор между плунжером и втулкой, положительное перекрытие, нелинейность коэффициента расхода жидкости через щель и квадратичный характер изменения расхода жидкости от перепада давления в золотниковом распределителе и нелинейный закон деформации рабочей жидкости, содержащей газовоздушную фазу [3].

При составлении математической модели использовались общепринятые допущения и рассматривалась схема гидропривода, изображенная на фиг. 1 ,а, б. Исходными для такой модели являются уравнения движения рабочей жидкости через золотниковый распределитель в полости гидродвигателя. При смещении

9—Ученые записки № 4

117

плунжера золотника вправо от нейтрального положения открываются две щели 1 & 2 (фиг. \9 а, для *>8). Расходы рабочей жидкости, поступающей в полости гидродвигателя через щели распределителя, можно представить в виде

X

С? 20 = ® ^ Кі Рн — Рсл І X З18п (р„ — рсл) - Ку. 3 (Ро — Ри) ■

(1)

(2)

Здесь х— текущая координата перемещения плунжера золотника; х0—максимальное перемещение плунжера золотника; а = х0 іщіх 1/-^- —максимальная гид* Р

равлическая проводимость щелей распределителя; р. — коэффициент расхода рабочей жидкости золотника; р — плотность рабочей жидкости; Ьш — длина щели;

Х>9

х< -9

Ш<У//л

Л п'

Рсл

Рсл

1 Ъяут X йтЛ. Ґ

-------------------------------------------------------- , X ______________________________________________________________________________£1

19'«Рі\Рм\

Ї221

Ю

б)

Фиг. 1

ро— давление питания рабочей жидкости; рц Рц — давления жидкости в рабочих полостях гидродвигателя; рсл — давление жидкости в линии слива, Ку_ 3 — коэффициент утечек рабочей жидкости через зазоры в распределителе.

При перемещении плунжера золотника влево от нейтрального положения в распределителе также открываются две щели V и 2" (фиг. 1,6, для х<і— В). Расходы рабочей жидкости, протекающей через щели /'и 2' в полости гидродвигателя, равны

п —

.—)}Г

*о/

ІРі-РаіІХ*1&а(Рі-Рся)+Ку,3 (Ро-Р[); О2 л = — аУ\Ро~Рц\X ^(ро-р,,) + Куя (Р„ —Рсл)-

(3)

(4)

Уравнения (1) — (4) справедливы только для определенных положений плунжера и для каждой рабочей полости привода в отдельности.

Получим уравнения расходов рабочей жидкости Qg^ и (±еъ через щели I, /', 2, 2' для любых перемещений плунжера от нейтрального положения (*>5 и .*< — &). Для этого введем нелинейные функции /г(и) и /г(—и) вида (фиг. 2)

Р(и)-

д при и<;в

(«-«)/<+ (^ГЇ

Д при

(и

-г>/ ,+(^П

при и>В,

при и < — В

(5)

(6)

где Д — радиальный зазор между гильзой и плунжером распределителя; 8 — положительное перекрытие золотника; и —лг/лс0, Д = Д/аг0 и 8 = 8/лс0. Тогда

Qg 1 = GF (“) V\Po — Р\ I X sign (p0 —Pi) — GF(—u) V [p, —рсл | X sign (p, — рсл), (7)

Qg2 = GF(u) У 1Рц — Рсл I X sign(Яп — рсл) — GF(—u) V\ Po-PnlX sign (p0— p„). (8)

Функция F(a) определяет площадь проходного сечения рабочей жидкости через щели золотникового усилителя. Открытие щели происходит, когда величина площади щели

Fm = LmF(u) = (и — 8)1/ 1 + —£щ при и > S'.

V («-s)2

В области значений и <8 рабочая жидкость движется по кольцевому зазору, высота которого равна Д, а длина — £щ. Экспериментальные исследований течения жидкости через кольцевые зазоры [2] показывают, что величина расхода мало зависит от протяженности щели. Поэтому величину площади щели для значений а <8 можно считать постоянной /?щ = Д£ш. При определении характеристик гидропривода необходимо пользоваться обеими функциями (5) и (6), так как дросселирование рабочей жидкости происходит одновременно через все щели. Например, при л:>8 (фиг. 1, а) площадь щелей I и 2 равна ,

{ц 8)

Д2

(и- 8)>

л Г и 2' — соответственно Д£щ. Значение ц следующим выражениям находится по формуле

(г1 +г2 ■*) "VI Арщ|

при Jc<8;

const

при *>8,

где и г3 — постоянные коэффициенты, определяемые путем решения уравнений течения жидкости в зазорах [2], Дрщ—перепад давления на щели.

Наличие знаков модуля и sign в первых членах уравнений обусловлено возможностью расходов жидкости из рабочих полостей в магистраль питания при насосном режиме работы двигателя, когда рх ц>ро. и расходов рабочей жидкости из линии слива в полости гидродвигателя при режиме торможения, когда Рсл > Pi п * Утечки, которые учитываются функциями (5) и (6) в распределителе, оказывают существенное влияние на динамические характеристики гидропривода при малых колебаниях плунжера золотника. Если утечки не учитывать, то дроссельный гидропривод описывается интегрирующим и консервативным звеньями, •а это при эксперимтальных исследованиях не подтверждается.

, Вторым исходным уравнением математической модели является уравнение движения вала гидродвигателя. Если в качестве гидродвигателя используется гидромотор, то уравнение его движения имеет вид

d2 a da

7l dt* = 4 _ Рп) ~ р S'gn ~dt ’ (9)> гдвг а — угол поворота вала гидромотора; — момент инерции вращающихся частей (/s = /гм + (/„//2), /гм — момент инерции ротора гидромотора); /н — момент инерции нагрузки; і —передаточное число редуктора; q—удельный объем гидромотора, Мг? — момент сухого трения в гидродвигателе.

Для полной математической модели привода необходимо воспользоваться уравнениями расхода рабочей жидкости через полости гидромотора

da * q dt + сж

dpi

~dt

+ . л (Р\ — Рея) + Кп, д (Р\ — />ц);

(Ю)

da * dpn

qt2 = (? —-/Ссж1 —

*у. д (Ри — Рел) + кп. Д (Рп - Р\)’

(11>

где К*сж = Ксж {рд ПРИ г" = I. II — коэффициент, учитывающий переменность модуля упругости рабочей жидкости (фиг. 3):

к:

Kn(Pi)

' кл

(12)

- уг

где Уг и У0 — объемы жидкости и газа в рабочей полости; [5=1 /£; Е—

• м>

модуль упругости идеальной рабочей жидкости; Ку_ д, Ка, д — коэффициенты утечек и перетечек жидкости в гидродвигателе.

Полученная уточненная по сравнению с [1, 2] математическая модель двуполостного гидравлического привода дроссельного регулирования позволяет проводить практически без упрощений анализ устойчивости привода различными аналитическими методами. Приведенная математическая модель учитывает специфические особенности гидравлического привода: взаимовлияние двух рабочих полостей гидравлической системы золотник — двигатель. Кроме того, эта модель дает возможность определить влияние существенных нелинейностей и основных конструктивных параметров на динамику приводов данного класса: квадратич-

ной зависимости расхода жидкости через щель от перепада давления, наличие нелинейных функций (5) и (6), переменного значения модуля упругости жидкости в рабочих полостях привода, момента сухого трения гидродвигателя, положи-

теяьного перекрытия дросселирующих щелей, радиального зазора и нелинейности коэффициента расхода жидкости через щель распределителя.

Математической модели (7)—(И) соответствует структурная схема двуполостного дроссельного гидропривода, представленная на фиг. 4, где

/і (*) = F(ux0)/t (х) = F (—их0)/2 V\^Pm | X sign Apmf3 =

Vr dpj ~pz~dF ‘

При анализе устойчивости гидропривода необходимо знать изменение параметров первой гармоники выходного сигнала привода в зависимости от амплитуды и частоты внешнего гармонического воздействия. Для решения поставленной задачи имеется целый ряд как точных, так и приближенных методов, которые описаны в известных работах (см., например, [4]).

Будем считать, что в исследуемой системе, в состав которой входит гидравлический привод, выполняется условие ■фильтра [4], т. е. высшие гармоники, имеющиеся в выходном сигнале гидропривода, проходя через обратные связи и управляющие элементы системы, значительно ослабляются. Кроме того, гидравлические приводы используются как правило для управления объектами, обладающими значительной массой или моментом инерции (например, дистанционно-управляемый манипулятор [3]). В этом случае сам объект управления обладает значительными фильтрующими свойствами. Поэтому будем считать, что амплитуда высших гармоник в выходном сигнале незначительна и не оказывает существенного влияния на параметры первой гармоники. Если при синусоидальном колебании плунжера золотника входной сигнал имеет вид

и = их sin о><,

Pj—Pa-Aa sin и—(=p + T)l + 2 sin (nmt'

п=2

/—зона пониженных давлений

Фиг. 5

*п)

(13)

то выходные координаты разомкнутого гидропривода можно представить как

da

dt

d?a

dt 2

= b sin (a>t — <p);

= b cos (o4 — <p),

(14)

где их = -^~, xm — амплитуда входного воздействия; b и <р — параметры, харак-

Хо

теризующие частотные свойства привода; ш — частота вынужденных колебаний вала гидродвигателя, совпадающая с частотой входного воздействия.

Если использовать также свойство симметричности распределителя и полостей двигателя, то получим закон изменения давления жидкости в рабочих полостях (фиг. 5):

Pi = Ра + Л0 cos [ю* — (? + Т)];

Рц=Ра — Ао cos [<йt — (<Р + 7)],

(15)

где /^ — относительное среднее давление жидкости в рабочих полостях гидродвигателя; А0 — амплитуда первой гармоники изменения давления в полостях гидродвигателя; 7 — фазовый сдвиг между входным сигналом и перепадом давлений на гидродвигателе.

На основании сказанного выше и с учетом принятых допущений анализ динамики гидропривода можно провести при помощи разновидности метода гармонической линеаризации нелинейностей [5]. Сущность данного метода заключается в разложении в ряд Фурье каждого нелинейного члена математической модели с использованием для анализа только первой гармоники этого разложе-

ния. В результате нелинейные члены уравнений приближенно можно представить в виде:

1) В уравнениях (7) и (8)

(и) V\Po — Р\ \ X sign (ро - рj) == /01;

<sF (—и) Y\P\ —Рсл \ X sign (Pj - рСЙ) ss <sF(u) V]ри — Рсл I X sign (/>ц — pen) ~ /«,;

оF(—и)V IPo — P\\I X sign (p0—pu)~ /04; fot= — + i sin <ot -f «21 cos <of, i = 1, 2, 3, 4. aoi = Di(G1i — bGoi), au = Di(G2i—bGu), ait = Di(G4,i — bG3i)\

7C — 5 '

Оц— bG0i— J 1^1 — Ai cos (o)< — tf — -f) (sin at — b) d <ot;

8 ' те—5 .

G2i — bGii= J V1 — At cos (u>t— tf — 7) (sin <s>t—8) sin a>tdu> t;

1 . _ . . - ‘ ; .. '

‘ it—s :

G41 — bG3i = j УТ=дГ cos («/—9—7) (sin — 5) cos <0/ d <оЛ

- . ■$* . - ..si

D2 = D3 = ux— VPa-рсл, А*ж’Аз’=рй—р„Л ■

2) Из уравнения (9)

' 4а 4Л4

Л*тр sign — ж — sin К — ?)>

где

dt

М= | AfTp

тогда уравнение (9) примет вид

/6о> - 4Af ■*.

2Л0 cos (й< — у — 7) = —- cos (о>t + sin (“< — 9).

где

Л,-

■М.

1 &ш/ ;------— • " ' - Шя

— — YT+Jp; Н= tg7=r"

"кМ "

3) Из уравнений (10) и (11) dpi

к’ -?±Л-кГ & ■

сжг dt Кл dt +

Л ’

К

dp ^ Vр dpi dp

*Л = ^2'd7~"2_ + arlSln^_'P-T) + araCOs(o>if — <р — 7);

*

dpi f sin(“* — ¥ — f) •

\ 7 3> :---IT sin (<■>;-7).

aJi П + pj cos (<o^ — <p — 7)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

Кн ~

(23)

здесь Ки — коэффициент гармонической линеаризации согласно [4], учитывающий изменение степени сжимаемости жидкости в рабочих полостях гидродвигателя.

При подстановке полученных выражений (16), (20), (21), (23) в соответствующие уравнения (7) — (11) получим линеаризованную модель двуполостного гидравлического привода дроссельного регулирования, которая позволяет определить зависимости амплитуды и фазового сдвига первой гармоники вынужденных колебаний гидропривода от частоты и амплитуды входного воздействия, а также величину среднего давления в полостях гидродвигателя:

В результате линеаризации математическая модель привода сведена к сис' теме алгебраических уравнений, которые связывавают параметры гидропривада с такими величинами, как амплитуда Ь и частота вынужденных колебаний ш,. фазовый сдвиг <р, собственная частота шгп и коэффициент демпфирования £. Поэтому линеаризованная модель может быть использована дЛк решения задач' проектирования при создании систем управления с учетом основных нелинейных, зависимостей [4].

Для определения значений Ь, <р, ра из (24) — (29) разработан специальный алгоритм, так как в указанные выражения входят коэффициенты, являющиеся членами ряда Фурье, величина которых определяется из соотношений (17), (18). Значения интегралов (18) при различных значениях Л/ и <р0 = <рвозможных при работе гидропривода в реальных условиях, были вычислены и аппроксимированы с точностью до 10% функциями вида

(24)

где

«1 =(ви + в1з)=м я \УРо ~Ра — &бц) + Ура -Рсл (Огз - ®013)]; (25)

Я2 = (°21 + агз) = и к 1УР0—Ра (р41— ®^31) + Ура—Рсл (^43—80зз)];

(26)

В1 = 6«+<в»(1+*сж) Н; В2 = &Н-&(1+Ксш)Н+ 1;

] — С1‘2 3%

V = /ЙТ, И" ;

С1\ “Г *1

(27)

аг = °01 — ат = \УРа—Ра (®и — ®^м) Н~ У Ра—Рсл(@13 — ®боз)], (29)

где

Ку = Ку- д “Ь Кл. д.

0,7 =Т — К (Л/) вШ (<р + г). Полученные функции Оу/ приведены ниже.

(30)

2,7 — для с = 0,2;

2,29 — в!п (? + 7) для с = 0,4;

йц= ^ У1—■ Л; С08 (и>( — <р — у) вт а>( с1и>? :

1,89 — 0,8 Л* вт (ср +-у) для с=0,2; 1,79 — 0,8 Лг вш (ер + ч) для с=0,4;

„ V /•--------------------------- Г 1,52 —0,7 Л^!

Оц= ] /1— Лгсов^ — ср — 7) ипз о>^ | 1 48_0 7^.зГ

6 > ■ «

X— О .

б3г = ^ 1—Лг сое (о>£ — ср — -у) соэ ^с1Ы

1,52 — 0,7 Лг вт (ср-)-^) для с=0,2;

Э1П (<р + 7) для с=0,4;

— 0,63 Лг сое (ч> 4- т) Ддя с=0,2;

— 0,43 Л/ сое (ср -(— 7) для с=0,4;

а

4 (

= ]>Г

■ Л( сое (ш£ — ср — -у) з1п Ы сое о>£ (1 а>( :

г-0,;

1-0,:

0,33 Л/ соэ (<р + -у) для с=0,2; 28 Л* соб (? + •() для с=0,4;

с = arg вт 5.

Алгоритм вычисления Ь, у и ра основан на методе последовательных приближений и состоит из следующих этапов:

1) задается частота о> входного гармонического воздействия и ориентировочно выбираются значения параметров Ь, у и ра; вычисления удобнее проводить, задаваясь вначале значениями частот, при которых инерциаль-

7,0

6,0

МПа их=0,8 —- —■ г \1

/7 ЧЧл > г £ Я,

м —— г 11 г" т

ОЛ У X

к

• расчетные ▼ д ш эк с пер а мента льн <ые

1, 2—зоны влияния газовой фазы; 3, 4— по линеаризованной математической модели [1]

Фиг. 6

Ю 50 со,1/с Фиг. 7

яые силы, возникающие от движения объекта, малы. В этом случае величина амплитуды давления определяется только моментом трения и при его отсутствии равна нулю [см. (21)], поэтому ориентировочные значения ра и Ь можно вычислить из уравнений (26) и (24), положив о> = 0 и задаваясь значением аг и а2 (25), (26), соответствующим (<р + 7)=0 и Ло = 0; в качестве ориентировочных значений ра, ср и Ь для последующих частот берутся значения Ь, ер и ра, определенные для предыдущей частоты;

2) вычисляются значения Л0, А1 и Л3, соответствующие выбранным значениям ра и Ь;

3) по функциям, приведенным выше, вычисляются значения а0з. соответствующие значениям Л0, А1 и Л3, определенным в п. 2;

4) в выражение (28) подставляются значения я3, вычисленные в п. 3, и определяется уточненное значение ра\

5) с использованием полученного значения ра и выбранного в п. 1 по функциям (’’О) определяются а, и а2;

6) по уравнениям (24) и (27) вычисляются Ь и у, соответствующие значениям ах и а2, полученным в п. 5, и значению ра, определенному в пункте 6);

7) значения Ь и <р, выбранные в п. 1, сравниваются со значениями Ь и-ер, полученными в п. 6, и если сравниваемые величины Ь и не совпадают с заданной точностью, то с помощью линейной экстраполяции выбираются новые значения;

8) вычисления, указанные в пп. 2—7, повторяются до совпадения с заданной точностью вычисленных значений Ь, <р и ра.

По аналитическим зависимостям (24)—(29) с помощью приведенного алгоритма для реального гидропривода был проведен расчет параметров Ь, <р и ра. Оценка точности результатов расчета проводилась с помощью интегрирования методом Рунге—Кутта на ЭЦВМ системы нелинейных дифференциальных уравнений (7)—(11). Эти расчеты показали, что точность результатов, полученных с помощью предложенной методики, составляет 5—10%. Полученные данные были сравнены с результатами эксперимента на унифицированном двухкаскадном электрогидравлическом усилителе и гидромоторе ГМ-36, нагрузка которого была чисто инерционной. Рабочей жидкостью служило масло АМГ-10.

Для определения экспериментальных значений в у и ра однокаскадного гидравлического привода регистрировались величина перемещения полунжера золотника при помощи индуктивного датчика и величины выходных сигналов гидропривода (а, р{ и рп).

Основные экспериментальные характеристики для одного из моментов инерции представлены на фиг. 6.

Параметры гармоник вынужденного движения гидропривода определялись по осциллограммам графоаналитическим методом, предложенным в работе [6].

Проведенное сравнение результатов расчета и эксперимента подтверждает, что основные нелинейности гидропривода определяют параметры первой гармоники вынужденного движения гидропривода и, следовательно, устойчивость систем. Величина среднего давления ра в рабочих полостях (фиг. 7) гидродвигателя существенно зависит от амплитуды хт и частоты ш входного воздействия, поэтому исследование устойчивости и динамических качеств систем с гидроприводом по известным линеаризованным уравнениям [1, 2] может привести к неверным результатам. Нелинейная зависимость модуля упругости жидкости от давления существенно влияет на динамические характеристики в области частот, при которых ЛАЧХ привода имеют нулевой или положительный наклон {фиг. 6).

Проведенные экспериментальные исследования подтверждают правильность предложенной методики результатов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гидравлический следящий привод. Под редакцией Лещенко В. А., М., „Машиностроение', 1968.

2. Г а м ы н и н Н. С. Гидравлический привод систем управления. М., „Машиностроение8, 1972.

3. Алексеев А. П., Челышев В. А. Анализ динамики гидропривода дроссельного регулирования дистанционно-управляемого манипулятора. Матёриалы V Всесоюзного симпозиума „Теория, принципы устройства и применение роботов и манипуляторов", Л., ЛПИ, 1974.

4. Попов Е. П. Прикладная теория процессов управления в нелинейных системах. М., Физматгиз, 1973.

5. Алексеев А. П., Челышев В. А. Анализ динамики дроссельного гидропривода методом гармонической линеаризации. Материалы XI11 Всесоюзного совещания по гидравлической автоматике, Калуга, 1974.

6. Алексеев А. П., Бор-Раменский А. Е., Крас-сов И. М., Челышев В. А. Экспериментальное определение динамических показателей электрогидравлического привода объемного управления в широком диапазоне рабочих частот. Материалы VII Ленинградской научно-технической конференции по гидроприводу и гидроавтоматике, 1972.

Рукопись поступила 25/IV 1973 г.