CC BY
9
Анализ альтернативных схем микроскопа полного внутреннего отражения
Н. В. Гришина 1'а, Ю.А. Еремин2,6, А. Г. Свешников1
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, 1 физический факультет, кафедра математики; 2 факультет вычислительной математики и кибернетики, кафедра математической
физики. Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1. E-mail: а [email protected], ь [email protected]
Статья поступила 05.10.2009, подписана в печать 19.11.2009
Методом дискретных источников проводится численный анализ альтернативных схем микроскопа, основанного на трансформации неизлучающих волн в области полного внутреннего отражения.
Ключевые слова: численный анализ, метод дискретных источников, неизлучающие волны, микроскоп полного внутреннего отражения.
УДК: 535.42, 535.13. PACS: 42.25.-p, 42.25.Fx.
Введение
В последние 15 лет была разработана новая экспериментальная технология, позволяющая определять расстояние между коллоидной частицей, находящейся в растворе, и плоской поверхностью с точностью до 1 нм. Эта технология получила название микроскопия полного внутреннего отражения (МПВО), в английской литературе — total internal reflection microscopy (TIRM) [1]. Метод МПВО позволяет восстанавливать потенциал взаимодействия между частицами и поверхностями и используется для выявления различных сил взаимодействия [2]. Метод МПВО основан на эффекте полного внутреннего отражения, когда частицу помещают на пленку, нанесенную на стеклянную призму, в поле неизлучающей волны и она начинает конвертировать энергию неизлучающей волны в рассеянное поле, собираемое объективом, который располагается над частицей [1, 2]. Для восстановления потенциала взаимодействия до недавнего времени использовалась простейшая модель задачи рассеяния, основанная на предположении, что интенсивность поля, рассеянного частицей, пропорциональна интенсивности неизлучающей волны в области, занятой частицей. Однако в экспериментах обнаружилось различие в поведении потенциала взаимодействия частиц для Р- и S-поляризованного излучения [3]. Было установлено, что это обусловлено переотражением излучения между частицей и поверхностью, которое не учитывалось простейшей моделью. Последнее обстоятельство привело к необходимости использовать строгую математическую модель рассеяния, основанную на методе дискретных источников (МДИ), для восстановления потенциала взаимодействия частицы с поверхностью пленки [4]. Было показано, что строгая модель позволяет в точности восстанавливать потенциал взаимодействия [3, 4].
В последнее время возникла идея альтернативной схемы МПВО, когда рассеянное поле собирается объективом, расположенным не над частицей, а в нижней части стеклянной призмы. В этом случае ось объектива располагается в направлении волны, зеркально отраженной от поверхности стеклянной призмы, а сам объектив непосредственно примыкает к поверхности призмы. Для уменьшения интенсивности отраженной волны предлагается использовать явление плазмонного
резонанса в золотой пленке, нанесенной на поверхность стеклянной призмы, подбирая соответствующим образом толщину пленки, длину волны света и угол падения [5]. В настоящей работе МДИ адаптирован для анализа двух описанных выше схем МПВО для выбора наиболее эффективной из них с точки зрения определения расстояния между частицей и пленкой. Установлена предпочтительность использования схемы МПВО с объективом, расположенным в нижнем полупространстве.
Математическая модель задачи рассеяния
Будем рассматривать конфигурацию, состоящую из призмы (полупространство Д, 2<0), из нанесенной на нее металлической пленки толщины й (область Д, (1>г > 0) и оставшейся области пространства Д, г > й. Будем полагать, что в области Д находится проницаемая осесимметричная частица, внутреннюю область которой будем обозначать как Д. Пусть поверхность частицы обозначена как <9Д. Выберем декартову систему координат с началом на поверхности призмы, а ось 02 направим вдоль оси симметрии частицы. В качестве внешнего возбуждения рассмотрим линейно поляризованную плоскую волну {Е?,Н0}, которая распространяется в призме под углом в\ к оси О!. Тогда математическая постановка задачи рассеяния принимает вид
rot Н^ = jke^E^, rot Е^ = пр х (Ei(p) ^Ео(р)) = 0, прх(Щр)^Н0(р)) = 0, ег х (Еа{р) - Ер{р)) = 0, егх(На(р)^Н8(р)) = 0,
- jkp(H( в Д, С = 0,/,1,г,
ре ад, (1)
Р € Еав,
с условиями излучения (затухания) для рассеянного поля на бесконечности. Здесь {Е^Н^} — полное поле в соответствующей области Д, к = ш/с, пр — внешняя единичная нормаль к поверхности <9Д, ег — единичный вектор декартовой системы координат, направленный вдоль оси а Еа/з — плоскость раздела областей Д и Д, а,/3 = 0,1. Подчеркнем, что в области Д полное поле включает в себя падающую и зеркально отраженную от поверхности призмы
плоские волны, а в области Д — преломленную по закону Снеллиуса волну, которая при определенных условиях превращается в неизлучающую. Полагаем, что поверхность частицы является гладкой <9Д с С2, а параметры сред удовлетворяют условиям 1т е^, ^ О (что соответствует зависимости полей от времени I вида е'шг). В этом случае граничная задача (1) имеет единственное решение.
Для построения приближенного решения будем следовать основным этапам схемы, подробно изложенной в [6]. Сначала решим задачу дифракции поля плоской волны {Е°,Н0} на плоскослоистом интерфейсе (в отсутствие частицы). Это возможно сделать аналитически и получить в результате поле внешнего возбуждения {Щ,Н°} в каждой из областей Д, которое в точности удовлетворяет условиям сопряжения на плоскостях раздела сред (г = 0,(1) и условиям на бесконечности. После этого перейдем к построению приближенного решения граничной задачи (1) для рассеянного поля {££, Щ} в областях Д, £ = 0,/,1, и полного поля внутри частицы. Будем строить представления для полей в виде конечной линейной комбинации мультиполей, расположенных внутри области Д, поля которых удовлетворяют системе уравнений Максвелла в областях Д, £ = 0,/, 1,/, условиям на бесконечности для рассеянного поля в областях Д>,/,1, а также условиям сопряжения для тангенциальных компонент полей всюду на границах слоистого интерфейса Е^ и £/о ■ Тогда решение задачи (1) сводится к решению задачи аппроксимации поля внешнего возбуждения на поверхности частицы полями заданных мультиполей. Таким образом, определение неизвестных амплитуд ДИ производится из условий сопряжения только на поверхности частицы <9Д:
прх(Е1-Е()) = прхЕ%, прх(Н1-Щ) = прхН$ на <9Д.
(2)
Здесь представляет собой поле преломленной
волны в области Д. Следовательно, задача дифракции (1) сведена к решению задачи аппроксимации поля преломленной в области Д волны на поверхности частицы (2) полями заданных мультиполей.
Построим приближенное решение таким образом, чтобы учесть осевую симметрию геометрии задачи (1). В основу представления для рассеянного поля положим мультипольные источники, удовлетворяющие условиям сопряжения для тангенциальных компонент полей на плоскостях Под, что позволит учесть аналитически всевозможные переотражения между частицей и плоскостями раздела сред [6]. В данном случае структура полей будет определяться тензором Грина слоистой среды [7]. Его азимутальные гармоники Фурье имеют вид интегралов Вейля-Зоммерфельда [6].
При построении приближенного решения задачи (1) будем также учитывать не только осевую симметрию рассеивателя, но и одновременно поляризацию внешнего возбуждения. В этом случае используем специальные комбинации векторных потенциалов, различных для Р- и 5-поляризации внешнего возбуждения, аналогично [6]. Построенное таким образом представление для приближенного решения удовлетворяет всем условиям граничной задачи (1), за исключением условий сопряжения на поверхности частицы. Удовлетворяя этим
условиям (2) в некоторой норме, определяем амплитуды ДИ. Заметим, что, определив таким образом амплитуды ДИ, мы построим представление для рассеянного поля в каждой из областей Д>,/,1.
Так как мультиполи локализованы на оси симметрии, то представления для полей имеют вид конечной суммы ряда Фурье по азимутальной переменной. Разлагая в ряд Фурье внешнее возбуждение (2), сводим задачу поверхностной аппроксимации для полей к последовательному решению задач одномерной аппроксимации для гармоник Фурье полей на образующей поверхности вращения. Для решения одномерных задач используется обобщенный метод коллокаций [8]. В рамках этого подхода определение Фурье-гармоник амплитуд ДИ сводится к решению переопределенных линейных систем и вычислению нормального псевдорешения [9]. Оценка погрешности полученного решения осуществляется вычислением невязки выполнения граничных условий (2) на поверхности частицы в среднеквадратичной норме [6].
Для вычисления характеристик рассеянного поля в верхнем и нижнем полупространствах на бесконечности необходимо иметь диаграммы рассеяния для полей 1р). В данном случае они определяются
в областях Д I как
ЩЛ(М) _exp{-/ko лг}
|£°(z = 0)|
foj(0,ip) + o(r-1),
Г = \М\ -¥ 00.
.Род (6>, определены на единичной сфере и имеют компоненты (в, <р). Для получения конкретного вида диаграмм рассеяния для приближенного решения задачи (1) достаточно использовать асимптотические представления для интегралов Вейля-Зоммерфельда. Как следствие компоненты диаграмм рассеяния в верхнем и нижнем полупространстве не содержат интегралов и после определения неизвестных Фурье гармоник амплитуд ДИ для расчета характеристик рассеяния достаточно вычислять лишь комбинацию элементарных функций [6].
Результаты моделирования
Интенсивность рассеянного поля определяется как
(3)
i£f(0ue,<p) = \Fj;f(0ue,<p)\
Е?P,S/
где 9, ip) — диаграмма рассеяния, соответству-
ющая P/S-поляризации возбуждающей плоской волны, размерность интенсивности мкм2. Также нас интересует сечение рассеяния (СР) — интенсивность, рассеянная в определенный телесный угол fi, определяемый апертурой объектива
lof(0i,e, Ч>) doj.
(4)
В качестве внешнего возбуждения будем рассматривать плоскую P/S-поляризованную волну с длиной волны А = 633 нм, а в качестве материала призмы — стекло с высоким индексом рефракции для данной длины волны LASF46A {щ = 1.904). Мы проведем анализ рассеивающих свойств сферических частиц по-
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
37
листерола латекса (Р5Ь), индекс рефракции которых {щ = 1.59), диаметр В = 1 мкм, 500 и 200 им, расположенных в воде (/2о = 1 -33), на золотой пленке (п[ = 0.18 - 3.26/) толщиной й = 49 нм. Величина критического угла вс = гтс^т(по/п\), за которым начинается область неизлучаюгцих волн, составляет 44.31°. В этом случае легко вычислить, что плазмонный резонанс, соответствующий минимуму коэффициента отражения от интерфейса призма-пленка, с учетом воды для Я-поляризации
г1р/ + г/р0ехр{-2/^/ соьОф 011 1) 1+г1р/г/роехр{-2//г/соз0/^}
достигается при угле падения в\ = 50°. Здесь г^ — коэффициенты отражения от границ — угол
преломления волны внутрь пленки, — волновое число пленки. В качестве коллекторов рассеянного поля рассматривались объективы с углами раствора 23 или 32° (одинаковые вверху и внизу), при этом по технологическим соображениям у коллектора, который располагается в нижнем полупространстве, блокирован центральный угол в 5°, чтобы не захватывать отраженный луч лазера. Последнее означает, что внизу располагается коллектор кольцевого типа.
На рисунках приведены результаты вычислительных экспериментов, апостериорная оценка погрешности которых не превышает 0.5%.
На рис. 1 приведены результаты расчета СР в зависимости от высоты частицы к (мкм) диаметром В = 1 мкм, расположенной над поверхностью пленки, для коллектора 23° и для Р- и 5-поляризованного излучения. Из рисунка видно, что СР для Я-поляризации превышает СР для 5-поляризации на 2-3 порядка. Кроме того, СР для нижнего коллектора для Я-поляризации превышает во всем диапазоне СР для верхнего. Следует также отметить, что СР для верхнего коллектора носит колебательный характер, в то время как СР для нижнего убывает практически эпспоненци-ально без каких-либо осцилляций.
На рис. 2 приведены аналогичные результаты для частицы диаметром В = 500 нм. Характерной особенностью в этом случае является немонотонное поведение
Рис. 1. Сечение рассеяния (4) в зависимости
от угла падения 9\ и поляризаций. Частица диаметром D = 1 мкм, коллекторы 23°. erg соответствует кривая /, erg — кривая 2, ирх — кривая 3, crf — кривая 4
Рис. 2. Сечение рассеяния Частица диамет-
ром D = 500 нм, коллекторы 23°. а^ — кривая /, сто — кривая 2, crf — кривая 3, crf — кривая 4
Рис. 3. Те же результаты, что и на рис. 2, но для коллекторов 32°
СР как для Р-, так и для 5-поляризации для верхнего коллектора. В то же время СР для нижнего коллектора убывает эпспоненциально. Аналогичные результаты приведены на рис. 3 для коллекторов 32°.
Рисунок 4 посвящен результатам расчета СР для частицы диаметром В = 200 нм для коллекторов 23°. Как следует из расчетов, в этом случае колебательный характер кривых для верхнего коллектора приводит к тому, что в области высот, превышающих 315 нм, СР для верхнего коллектора оказывается больше, чем для нижнего. Отметим, что колебательный характер СР для небольших частиц уже отмечался ранее в нашей работе [10].
На рис. 5 приведено распределение интенсивности рассеяния в плоскости падения для частицы диаметром В = 500 нм. Диапазон углов наблюдения 270° ^ в ^ 90° относится к нижней полуплоскости, а 360° > в > 270° и 90° > в > 0° - к верхней. Видно, что максимум в верхней полуплоскости направлен в сторону «преломленного» угла во, а в нижней полуплоскости максимум направлен в сторону зеркально отраженной
Рис. 4. Те же результаты, что и на рис. 2, но для частицы диаметром й = 200 нм
Рис. 5. Интенсивность рассеяния /р,5(0) (3) в плоскости падения волны для частицы диаметром й = 500 нм. Р-поляризация — кривая /, 5-поляри-зация — кривая 2
волны 130°. Из рисунка ясно, что верхний коллектор, локализованный в направлении 0 = 0°, собирает гораздо меньшую интенсивность рассеяния, чем коллектор, центрированный в направлении 9= 130°, даже несмотря на вырез в 5° в середине нижнего коллектора. Аналогичные результаты имеют место и для частиц других диаметров.
В заключение отметим, что использование коллектора, центрированного в направлении зеркально отраженной волны, имеет целый ряд преимуществ. Во-первых, его CP превосходит CP для верхнего коллектора. Во-вторых, CP в этом случае монотонно и экспоненциально убывает, что дает возможность однозначно определять высоту частицы.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 09-01-00318).
Список литературы
1. Prieve D.C. 11 Adv. in Colloid and Interface Science. 1999. 82, N 1-3. P. 93.
2. Hertlein C., Helden L., Gambassi A. et al. 11 Nature. 2008. 451. P. 172.
3. Helden L., Eremina E., Riefler N. et al. 11 Applied Optics. 2006. 45. P. 7299.
4. Hertlein C., Riefler N., Eremina E. et al. // Langmuir (Letter). 2008. 24, N 1. P. 1.
5. Raether H. Surface plasmon on smooth and rough surfaces and on gratings. Berlin, 1988. Chap. 2.
6. Гришина H.B., Еремин Ю.А., Свешников А.Г. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2009. № 1. С. 32.
7. Дмитриев В.И. Поля в слоистых средах. М., 1963.
8. Бахвалов Н.С. Численные методы. М., 1987.
9. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М., 1984.
10. Eremina Е., Grishina N., Eremin Yu. et al. // J. Opt. A: Pure Appl. Opt. 2006. 8. P. 999.
Analysis of alternative schemes of total internal reflection microscope N.V. Grishina1 a, Yu.A. Eremin20, A.G. Sveshnikov1
1 Department of Mathematics, Faculty of Physics, M. V. Lomonosov Moscow State University, Moscow 119991, Russia.
2 Department of Mathematical Physics, Faculty of Computational Mathematics and Cybernetics, M. V. Lomonosov Moscow State University, Moscow 119991, Russia.
E-mail: a [email protected], b [email protected].
Using the discrete sources method, numerical analysis of alternative schemes of microscopy based on evanescent waves transformation in the total internal reflection area is being performed.
Keywords: numerical analysis, discrete sources method, evanescent waves, total internal reflection microscopy. PACS: 42.25.-p, 42.25.Fx. Received 5 October 2009.
English version: Moscow University Physics Bulletin 1(2010).
Сведения об авторах
1. Гришина Наталья Владимировна — канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр., ст. науч. сотр.; тел.: (495) 939-10-33, e-mail: [email protected].
2. Еремин Юрий Александрович — докт. физ.-мат. наук, вед. науч. сотр.; тел.: (495) 939-17-76, e-mail: [email protected].
3. Свешников Алексей Георгиевич — докт. физ.-мат. наук, профессор, профессор; тел.: (495) 939-10-33, e-mail: [email protected].
