Анализ аксиом порядковой теории потребительского спроса с использованием графов бинарных отношений Текст научной статьи по специальности «Математика»

4-

Теоретические основы экономики и управления

меньшее количество каждого блага, а хотя бы одного из них большее, чем другой набор (Г), то Xу Г. Отметим, эта аксиома дает четкую дефиницию бинарного отношения предпочтения2.

Аксиома № 3 - аксиома транзитивности. Она утверждает, что для любых трех наборов X, Г и X будем иметь Xу X, если: либо Xу Г у X; либо Xу

Г~Х; либо X~Г~Z. Кроме этого аксиома транзитивности утверждает так же, что X~Z, если X~Y и Г~Х.

Принято считать, что функция полезности отражает предпочтения индивида, если она удовлетворяет следующим условиям:

а) ЦК^) = и(Г), тогда, и только тогда, когда X~Г;

б) U(X) = и(Г), тогда и только тогда, когда X у Г.

При таком способе задания функция полезности (порядковая функция полезности) и(X) определяется неоднозначно. Любая возрастающая функция Е от аргумента и, т. е. ЕЦ^), обладает теми же свойствами и поэтому тоже является функцией полезности [2].

Графы бинарных отношений

Представим отношения предпочтения и безразличия в виде графов на поле благ потребления и с их помощью проведем анализ системы указанных аксиом.

Рассмотрим простейший для анализа случай дуального потребления, когда наборыX, Г и X содержат только по два блага и х2, но в разных количествах,

т.е. X =(1;х2) Y = (хУу;х2) а Z = (х1;х|). Опираясь на аксиомы № 1 и № 2 бинарные отношения предпочтения и безразличия этих наборов можно представить в виде графов, если поступать следующим образом.

На взаимно перпендикулярных осях (осях благ) отложить соответствующие количества (XIх; Х2х ) и (1 ; x2y), тем самым изобразтъ набор

X, набор Г в виде точек с соответствующими координатами. Если соединить эти точки отрезком прямой, то и получится граф бинарного отношения. Аналогичным образом можно поступить и с любой другой парой наборов, построив тем самым графы их бинарных отношений.

Используя аксиомы № 1 и № 2 не трудно связать ориентацию графа (наклон отрезка относительно осей благ) с типом бинарного отношения. Для этого некоторый набор X выберем в качестве опорного (рис. 1) и через точку, изображающую его на поле благ потребления проведем две вспомогательные линии, параллельные выбранным осям. Вертикаль будет отражать уровень потребления блага х1, а горизонталь - блага х2. Эти линии разделят поле благ на четыре квадранта (1)^(ТУ).

Точка, изображающая другой набор Г может находиться в любом из этих квадрантов, включая и границы между ними.

Если точка, изображающая набор Г, располагается на вертикали выше точки, изображающей набор X, то в соответствии с аксиомой № 2 Г у X, т. к. в

наборе Г количество блага х2 больше, чем в наборе X. Граф бинарного отношения таких наборов будет принадлежать к типу «предпочтение». Аналогичным образом не трудно убедиться, что если изображающая набор Г точка располагается в (I) квадранте или на горизонтали правее точки, изображающей набор X, то в соответствии с аксиомой № 2 по-прежнему Г у X и граф их бинарного отношения также относится к типу «предпочтение».

С помощью графа отношения предпочтения можно указать на предпочтительный набор, если изображать граф в виде стрелки, указывающей на него.

Не трудно видеть, что в случае расположения точки, изображающей набор Г в квадранте (III) или на его границах с соседними квадрантами (II) и (IV), граф бинарного отношения наборов X и Г также (в соответствии с аксиомой № 2) будет принадлежать к типу «предпочтение», но в отличие от предыдущего случая Г < X.

Обобщением рассмотренных выше случаев будет утверждение: «граф бинарного отношения предпочтения представляет собой либо вертикальный, либо горизонтальный, либо отрезок прямой с положительным наклоном3». Причем направление предпочтения можно отобразить в виде стрелки (ориентированный граф), указывающей на предпочтительное благо (см. рис 1).

Стрелки в I и III квадрантах - возможные графы отношений предпочтения; пунктирные отрезки во II и IV квадрантах - возможные графы отношений безразличия

2 Иногда отношения предпочтения подразделяют на сильные и слабые, не вводя соответствующих дефиниций. Из-за отсутствия этих дефиниций мы не будем рассматривать эти разновидности отношения предпочтения.

3 Положительный наклон отрезка на поле потребления

соответствует ситуации, когда на этом отрезке производная йх2/х > 0.

се |_

се ^

ю

О ш I-

о ф

т ^

О

Количество блага х1

Рис 1. Возможные графы бинарных отношений

Если вновь обратиться к аксиоме № 1, то из нее следует, что возможен ещё только один тип бинарного отношения - отношение безразличия. Графом этого отношения может быть только отрезок с отрицательным наклоном4 (см. рис 1 - пунктирные отрезки), т. к. отрезки с другими наклонами из числа возможных (нулевым, положительны и бесконечным), отображают бинарные отношения предпочтения.

Отметим, что такой вид графа безразличия согласуется с видом графа безразличия для взаимосвязанных благ, которые рассматривал Парето. Если на кривой безразличия Парето взять две произвольные точки и соединить их отрезком, то полученный граф отношения безразличия для взаимосвязанных товаров будет иметь отрицательный наклон.

Анализ совместимости аксиом

С помощью введенных графов бинарных отношений предпочтения и безразличия проверим транзитивность произвольных наборов благ, декларируемую аксиомой .№ 3. Другими словами, проверим совместимость аксиом полной упорядоченности и ненасыщения, с одной стороны,

4 Отрицательный наклон отрезка на поле потребления соответствует ситуации, когда на этом отрезке производная VX < 0'

с аксиомой транзитивности, с другой стороны для произвольных наборов благ при дуальном потреблении.

В соответствии с аксиомой транзитивности для любых двух из трех наборов X, Y и 2, например наборов X и 2, можно записать следующие утверждения:

1. Xу 2, если Xу Y, а У у 2. (1)

2. Xу 2, еслиXу У, а 7~2. (2)

3. Xу 2, еслиХ~7, а Yу 2. (з) 4. Х~2, еслиХ~7, а Y~2. (4)

Проверим выполнимость утверждений (1), (2), (3) и (4) для любых наборов благ, используя графы бинарных отношений.

Последовательность построения графов выберем следующей. В качестве опорного блага выберем набор Y, т.к. он находится в том или ином бинарном отношении с набором X, и с набором 2. Изобразим Y в виде точки на поле благ потребления5 и проведем через эту точку вертикаль и горизонталь, разделив тем самым поле потребления на четыре квадранта. Затем, нанесем на поле благ потребления точку, изображающую набор X (или набор 2) в соответствии с его бинарным отношением к набору Y. Далее можно строить

5 Чтобы не загромождать рисунки, в отличие от рис. 2, оси координат (оси количества благ) изображать не будем, полагая, что они находятся за пределами поля рисунка.

Рис 3. Возможные графы бинарных отношений наборов X и 2 (штрихпунктирные и точечные линии) (для случая X у Y и Y~2)

изображающая набор 2, располагается во втором квадранте левее вспомогательной пунктирной вертикали (например, 2(21)), то возможные графы бинарного отношения будут иметь положительный наклон (на рис 3, вариант б) показаны точечными линиями). Это означает, что они будут отражать отношения предпочтения, т.е. утверждение (2) является истинным.

Если же изображающая точка набора 2 располагается во втором квадранте правее вспомогательной пунктирной вертикали (например, 2(2г)), то возможные графы бинарных отношений будут иметь отрицательный наклон (на рис 3, вариант б) показаны штрихпунктирными линиями). Это означает, что они будут отражать отношения безразличия, т.е. утверждение (2) будет ложным.

В общем случае для любых наборов 2 (наборов Хикса), отображаемых точками во втором квадранте, утверждение (2) аксиомы транзитивности ложно.

а)

3. Для утверждения (3) аксиомы транзитивности, т.е. Xу 2, если X~F, а Yу 2 будем иметь

следующее (рис 4).

Ориентированный граф, отражающий предпочтение У у 2 будет представлять собою стрелку,

начало которой располагается где-то в третьем квадранте, а конец указывает на Y. Отношение безразличия X ~ Y приводит к необходимости рассматривать два варианта формирования возможных графов бинарных отношений для наборов X и 2.

3.1. Вариант, когда точка, изображающая набор X, находится где-то в четвертом квадранте (рис. 4, вариант а)).

Проведем вспомогательную вертикаль через точку, изображающую набор 2. Если теперь строить возможные графы бинарных отношений наборов X и 2, то для наборов X в четвертом квадранте правее вспомогательной вертикали (например, X') возможные графы будут иметь положительный наклон, т. е.

Рис. 4. Возможные графы бинарных отношений наборов X и 2 (штрихпунктирные и точечные линии) (для случая X~Y и Y у 2)

4-

Теоретические основы экономики и управления

будут отражать предпочтение Ху X (на рис 4, вариант а) - показаны точечными линиями). Таким образом, утверждение (3) является истинным.

Для наборов, когда X расположен в четвертом квадранте левее вспомогательной вертикали (например, X4') возможные графы будут иметь отрицательный наклон, т.е. будут отражать безразличие Х~2 (на рис. 4, вариант а) показаны штрихпунктирными линиями), т. е. утверждение (3) является ложным.

В общем случае для любых наборов X (наборов Хикса) отображаемых точками в четвертом квадранте утверждение (3) ложно.

3.2. Вариант, когда точка, изображающая набор X, находится где-то во втором квадранте (рис. 4, вариант б)).

Проведем вспомогательную горизонталь через точку, изображающую набор X. Если теперь строить возможные графы бинарных отношений наборов X и X, то для наборов X во втором квадранте выше вспомогательной горизонтали (например, Х2к) возможные графы будут иметь положительный наклон, т. е. будут отражать предпочтение Xу X (на рис. 46 показаны точечными линиями),

т. е. утверждение (3) является истинным.

Для наборов же X во втором квадранте ниже вспомогательной горизонтали (например, Х2к) возможные графы будут иметь отрицательный наклон, т. е. будут отражать безразличие Х~2 (на рис 4, вариант б), показаны штрихпунктирными линиями). Таким образом утверждение (3) является ложным.

В общем же случае для любых наборов X (наборов Хикса), отображаемых точками во втором квадранте утверждение (3) аксиомы транзитивности ложно.

4. Рассмотрим последнее утверждение (4) аксиомы транзитивности, т. е. X~Z, если X~Y, а Y~Z (рис. 5).

Как и в предыдущем случае, отношения безразличия X~Y и Y~Z приводят к необходимости рассматривать два варианта формирования возможных графов бинарных отношений для наборов X и X.

4.1 Точка, изображающая набор X располагается в четвертом квадранте (рис 5, вариант а), точка X4) Проведем вспомогательную вертикаль и вспомогательную горизонталь через эту точку (на рис. 5, вариант а) - пунктирные линии). Они разделят четвертый квадрант на четыре области (ТС-1), (ТС-2), (ГУ-3) и (^-4).

Если точки, изображающие наборы X оказываются либо во втором квадранте (II), либо в областях (Г^2) или (ГУ-4) четвертого квадранта то возможные графы бинарных отношений X и X будут иметь отрицательный наклон (на рис. 5 а показаны точечными линиями), т.е. будут отображать отношения безразличия. В этих случаях утверждение (4) истинно.

Если же точки, изображающие наборы X оказываются в областях (ГУ-1) или (ГУ-3) четвертого квадранта, то возможные графы бинарных отношений X и X будут иметь положительный наклон (на рис 5, вариант а) показаны штрихпунктирными линиями), т.е. будут отображать отношения предпочтения. В этих случаях утверждение (4) ложно.

а) (IV) (!У-4)

\ ;.'х(4)_____

• .....

-' / >'<:::•• ■

(М-3) / ! \ \iIV-2)

(I)

У

(II)

6)

(IV) (I)

у ,

* Мн-4) : ... ; / (И-1) \\ \ . ' .......... ' >ч,:/

/111 \ ________ ;\х(?ч

(т) / ! ' /И ох (II)

Рис 5. Возможные графы бинарных отношений наборов X и Ъ (штрихпунктирные и точечные линии) (для случая X~Y и Y~Z)

В общем же случае для любых наборов 2 (наборов Хикса) отображаемых точками в четвертом квадранте утверждение (4) ложно.

4.2 Точка, изображающая набор X располагается во втором квадранте (рис 5, вариант б), точка X(2)). Проведем вспомогательную вертикаль и вспомогательную горизонталь через эту точку. Они разделят второй квадрант на четыре области (11-1), (11-2), (11-3) и (1^-4).

Если точки, изображающие наборы 2 оказываются либо в четвертом квадранте, либо в областях (11-4) или (11-2) второго квадранта, то возможные графы бинарных отношений X и 2 будут иметь отрицательный наклон (на рис. 5, вариант б) показаны точечными линиями), т.е. будут отображать отношения безразличия. В этих случаях утверждение (4) истинно.

Если же точки, изображающие наборы 2 оказываются в областях (11-1) или (11-3) второго квадранта, то возможные графы бинарных отношений X и 2 будут иметь положительный наклон (на рис 5, вариант б) - показаны штрихпунктирными линиями), т.е. будут отображать отношения предпочтения. В этих случаях утверждение (4) ложно.

В общем случае для любых наборов 2 (наборов Хикса) отображаемых точками во втором и

четвертом квадрантах, утверждение (4) аксиомы транзитивности ложно.

Итак, подведем итоги проведенного анализа.

Если в соответствии с аксиомами упорядоченности и ненасыщения ввести в рассмотрение графы бинарных отношений предпочтения и безразличия и с их помощью проанализировать утверждения аксиомы транзитивности, то обнаруживается, что только одно из них (X у 2, если X у Y а Yу 2) истинно. Все же остальные, содержащие хотя бы одно условие безразличия, в общем случае ложны.

Это означает, что гипотеза Хикса о способности потребителя ранжировать по предпочтению наборы благ, состоящие из любых, а не только из взаимосвязанных благ, как это полагал Парето, не может рассматриваться адекватной и служить адекватным базисом для построения порядковой теории потребительского спроса.

По видимому не случайно, что порядковая теория оказалась неэффективной для решения прикладных задач, касающихся совокупного спроса [3], а многие из порядковых функций полезности не отвечают требованию размерной однородности уравнения, которое призвано служить математической моделью [4].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1 .Бентам И. Введение и основание нравственности и законодательства. //Избр. соч. СПб., 1867. Т.1. с. 2.

2. Debreu G. Theory of Value. // Cowles Foundation Monograph, 17, New York, John Wiley and Sons, Inc., 1959.

3. Горбунов В.К. Математическая модель потребительского спроса. //М.: «Экономика», 2004. 176 с.

4. Герман Е.А., Дмитриев А.Г., Козелецкая Т.А.

Размерный анализ порядковых функций полезности. //Экономическая наука современной России, 2008. (в печати)

Бончук Г.И., Гадышев В.А Анализ основных компонентов национальной безопасности

Безопасность может определяться как состояние, при котором не угрожает опасность потому, что есть защита от опасности; или потому, что опасность отсутствует. Например, в сейсмически активных районах для защиты от землетрясений строят здания повышенной прочности, а в сейсмически неактивных это не требуется.

Первоначальная трактовка понятия безопасности подразумевала защищенность определенной личности от опасности. В последствии под безопасностью стали понимать состояние объекта в системе его связей с точки зрения

способности к самовыживанию и развитию в условиях угроз [1].

Авторы Н.Д. Кремлев, В.Г. Федоров и М.Ф. Сергеев определяют "безопасность" в широком смысле слова как сохранение от негативных воздействий совокупности естественно-физиологических, социально-экономических, духовно-моральных потребностей в ресурсах (природных, технических, технологических, информационных), нравственных эталонах, необходимых для осуществления процессов жизнедеятельности членами общества [2].