Аналитический и геометрический способы задания аффинной связности Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.75

К. В. Полякова

(Балтийский федеральный университет им. И. Канта, г. Калининград)

Аналитический и геометрический способы задания аффинной связности

Рассмотрены аналитический (с помощью форм связности) и геометрический (с помощью горизонтальных векторов) способы задания аффинной связности. Дана новая геометрическая интерпретация тензору кривизны.

Ключевые слова: линейная связность, горизонтальные векторы, ковариантные производные.

1. Структурные уравнения расслоения L(Xm) касательных линейных реперов на гладком многообразии Xm имеют вид

da1 = С Aa'j , daj = akj лю'к + ak л ajk , (1)

где a'j-jkj = 0 (mod a1); i, j,k,... = 1,m . Продолжая уравнения (12), получим

dCjk = Cjk л с -a'ik лс] - aji лск лс)ш. (2)

Выражение для дифференциала точки A е L(Xm ) запишем в виде

dA = aiei + mje]i, (3)

где ei, ej — векторы подвижного репера 1-го порядка, на которые натянуто касательное пространство Tm+m2 = [ei ,eJi] к расслоению L(Xm ) в точке A .

Вполне интегрируемая система уравнений со1 = 0 фиксирует точку многообразия Xm и, следовательно, слой расслоения L(Xm ) . Таким образом, касательное пространство Tm+m2

содержит вертикальное пространство Tm2 = [в/ ], касательное

к слою в точке A .

Продифференцируем уравнения (3) внешним образом:

(de1 - e]kakji) л a1 + dej л aj - ejaj л a1 + в/ajj л a1- = 0 . (4)

Сгруппируем слагаемые в (4), например, следующим образом: в слагаемом, подчеркнутом одной чертой, вынесем за скобку формы с 1 , а в слагаемом, подчеркнутом двумя чертами, вынесем за скобку формы aj (предварительно сделав замену индексов j о j ). Итак, в данном случае имеем

(dei - в ja1i - ejaj ) л a1 + (dej + ejaj ) лаС = 0 . (4') Разрешая уравнения (4') по лемме Картана, получим

de- - в J&1 - ejwji = eijC + ejaj (5)

de1 + в-a j = ejak + вЦюс, причем новые векторы

ej = en , ej = eji, elj = ej (6)

симметричны и удовлетворяют сравнениям по модулю базисных форм a1 ,aj расслоения L(Xm ) :

dej - enajj + ^j + eljau + 4auj ,

dej - eSjaS + ejaj , dej - 0.

Замечание. Если в выражении (4) в слагаемом, подчеркнутом одной чертой, вынесем за скобку формы mj, то все результаты данной статьи сохранятся.

Замечание. Если в выражении (4) в слагаемом, подчеркнутом двумя чертами, вынесем за скобку формы cj (предварительно сделав замену индексов i о k), то получим

(dei - ejCj1 - e]kak¡i) ací + (dej - ejck ) A®j = 0 • (4")

Разрешаем уравнения (4") по лемме Картана:

dej -ejck = ekck + ejC . (52')

Сравнивая уравнения (52) и (52'), убеждаемся в возможности равенств

ekck =-eC, (8)

дифференциальным следствием которых являются сравнения

ekcki =-eicu • Запишем уравнения (5) в виде сравнений

de, = eC , dej = 0. (9)

Сравнения (92) означают инвариантность каждого из m2 векторов e, , т. е. вертикальное пространство Tm2 является линейной оболочкой m 2 одномерных подпространств, определяемых векторами eij .

2. Аффинная связность в главном расслоении L(Xm ) задается по Ю. Г. Лумисте с помощью форм

=< -rik®k, (9)

причем

da) = л ~k + ck л ¿Г,]к + ю,к У Fskrslck л cl. (10)

Из выражения (10) видно, что компоненты объекта аффинной связности rjk удовлетворяют уравнениям

+ cjk =Fjklcl . (П)

Структурные уравнения форм связности имеют вид

d~j = Sk лю'к + Rjkl®k л со1, (12)

где тензор кривизны Rjkl выражается по формуле

R)ki = г'т] - г^П]. (1 з)

3. Зададим геометрическую связность в касательном расслоении T(L(Xm)) с помощью горизонтальных векторов [1; 2]:

Ek = ek + e¡ L'jk . (14)

Дифференциалы векторов Ek имеют вид

dEk = Eck + ej dLjk +сjk )+С ekj + ejL'lk )+

+ сj e¿ + efjlisk - elLk SjeL ). (15)

Из выражения (15) можно записать уравнения на компо-

ненты Ljk:

dn]k + с jk = L'jk¡® + LjC, (16)

ñ ji s ^jkl'^jkl

TÍ t' s

причем компоненты L ,к], L т удовлетворяют сравнениям по

модулю форм С, а j :

dL jki - L ¿рсй +с jki = °

(17)

dLjki - Siajj + Sja'ij + ska ji - 0 . Из уравнений (172) и (16) видно, что справедлив охват

Ljjj =-S\Ljk +SjLj + SjjLji. (18)

Подставляя равенства (18) в уравнения (16), получим уравнения вида (11), т. е. равенства (18) являются условиями

совпадения компонент Ljj объекта геометрической связности

в расслоении Т(1(Хт)) (см., напр., [3]) и компонент Г]к объекта аффинной связности в расслоении 1(Хт ) .

Вывод. При выполнений равенств (18) геометрическая И,]к и аффинная Г] связности совпадают.

Выражение (15) с учетом уравнений (16) принимает вид

ёЕк = Е' со к + Ек' со' + Е] со/ , (19)

где

Еш = еь + е1рЦк + е'Цк',

77 1 ' . .11 Т1 1 Т1 £1 .1 т1 . . т1 1

Ек] = екд + е1] 1.к - е11]к - Зке11.] + е11.к] ,

причем справедливы сравнения по модулю форм со', со ] :

йЕк' - Ек] с ] + Е] с ], й.Е] - (21)

4. В пункте 3 для задания связности в касательном расслоении Т(1(Хт)) рассмотрен способ, основанный на построении горизонтальных векторов (14). Модифицируем этот способ для задания связности в главном расслоении 1(Хт ). Для этого выражение (15) запишем в виде

йЕк = Е'ск + е' - Ек с ] -1 п с к + с ]к >

к ^]к ^1кш] к + еЦ > с ] ек] +

] ] ]к

+ с+ еЦ > с ] е1 + е^ ) (22)

а в уравнения (52) внесем формы связности а' = со'■ - 1']ксок .

Уравнения (52) примут вид

Уе] = Vке/ со к,

где

Уе] = йе] + ек а] - ек ак ,

' ' ' к 'к 1 (23)

Vке' = ек + е] 1\к - еЩ,,

причем согласно уравнениям (7, 16) справедливы сравнения

АУкв{ = 0 .

Замечание. С учетом равенства (8) требование ексак - становится естественным, что влечет за собой

ект] --е]Тк, Полагаем ковариантные производные нулю, т. е.

ек + е'Цк . (24)

Используя равенство (24) с учетом симметрии (6), выражение (22) приведем к виду

ёЕк - Е,а'к + е{ АТ] + ®)к > С ^ + е{П1к ]. (25) Следовательно, компоненты Е]к удовлетворяют уравнениям

АТ]к +с]к - {С . (26)

Теорема. Горизонтальные векторы (14) задают аффинную связность в главном расслоении Ь(Хт ), если вертикальные векторы е/ ковариантно постоянны.

Выражение (25) с учетом уравнений (26) принимает вид

^Ек - Е,ю'к + Ек]С ,

где

Ек] - ек] + е{Т1к + е\Т1{ . Альтернирование точек Ек] дает

Е[к{] - е\Щк], (27)

причем

Я]к1 - Т][к1] - Ц[к1Тз1] . Формула (27) демонстрирует геометрический смысл тензора кривизны Я

]к1 •

Список литературы

1. Шевченко Ю. И. Non-symmetric structure of adjoining spaces of a principal bundle // Proceedings of Joint International Scientific Conference «New Geometry of Nature». Kazan, 2003. P. 187—190.

2. Полякова К. В., Шевченко Ю. И. Способы Лаптева—Лумисте задания связности и горизонтальные векторы // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2012. Вып. 43. С. 114—121.

3. Номидзу К. Группы Ли и дифференциальная геометрия / пер. с англ. М., 1960.

K. Polyakova

Analytical and geometrical giving the affine connection

Analytical (by means of forms) and geometrical (by means of horizontal vectors) giving the affine connection are considered. New geometric interpretation of the curvature tensor is given.

УДК 514.76

К. В. Полякова, Ю. И. Шевченко

(Балтийский федеральный университет им. И. Канта, г. Калининград)

Способ Лаптева — Лумисте задания связности и горизонтальные векторы

Описаны два приема задания фундаментально-групповой связности в главном расслоении: способ Лаптева — Лумисте с помощью форм связности и двойственный способ с помощью горизонтальных векторов. Показана универсальность первого способа по сравнению со вторым.

Ключевые слова: фундаментально-групповая связность, формы связности, объект связности, объект кривизны, горизонтальные векторы, геометрическая связность.