CC BY
0
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION NATURAL SCIENCE. 2024. No. 4-2
Научная статья УДК 551.510.5
doi: 10.18522/1026-2237-2024-4-2-77-92
АНАЛИТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СУТОЧНОЙ ОСЦИЛЛЯЦИИ ПЛОТНОСТИ ДЛЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ НОЧНЫХ НИЗКОУРОВНЕВЫХ СТРУЙНЫХ ТЕЧЕНИЙ
Анатолий Анатольевич Радионов
Южный математический институт - филиал Владикавказского научного центра РАН, Владикавказ, Республика Северная Осетия - Алания, Россия [email protected], ORCID: 0000-0002-6934-6873
Аннотация. Рассматривается задача возникновения ночных низкоуровневых струйных течений в пограничном слое атмосферы. Учитываются суточные изменения температуры и плотности воздуха над равнинной поверхностью. Система нелинейных уравнений аэродинамики сводится к системе линейных уравнений при упрощенном рассмотрении математической модели динамики струйных течений без использования приближения Буссинеска. Приближенное аналитическое решение системы уравнений позволяет описать механизм суточной осцилляции плотности, под действием которой усиление горизонтальных компонент скорости ветра происходит за счет резонанса, развивающегося при достаточно малом коэффициента усиления. Резонанс возникает при взаимодействии силы Кориолиса и суточных периодических изменений плотности воздуха. Обсуждается зависимость решения от параметров модели. Горизонтальные скорости ветра в струйном течении усиливаются и могут превышать значение геострофического ветра. Основные свойства суточной осцилляции плотности похожи на свойства инерциальной осцилляции, но скорость усиления ветра может быть существенно выше.
Ключевые слова: аналитическая модель, сжимаемый воздух, ночные низкоуровневые струйные течения, резонанс, суточная осцилляция плотности
Для цитирования: Радионов А.А. Аналитическая модель суточной осцилляции плотности для возникновения ночных низкоуровневых струйных течений // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2024. № 4-2. С. 77-92.
Благодарности: автор благодарит М.А. Каллистратову и Е.С. Каменецкого за указание интересной исследовательской области и полезное обсуждение, а также анонимных рецензентов журнала Boundary-Layer Meteorology за полезную дискуссию.
Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0). Original article
ANALYTICAL STUDY OF THE LOW LEVEL JET FORMATION IN A DIURNAL DENSITY OSCILLATION MODEL
Anatoly A. Radionoff
Southern Mathematical Institute - Branch of Vladikavkaz Scientific Center, Russian Academy of Sciences, Vladikavkaz, Republic of North Ossetia-Alania, Russia [email protected], ORCID: 0000-0002-6934-6873
Abstract. A problem of nocturnal low-level jet (LLJ) formation taking into account the diurnal density variations in the atmospheric boundary layer is studied analytically. The system of nonlinear partial differential equations of hydrodynamics is reduced to a system of linear differential equations for a simplified consideration of the LLJ phenomenon. This model does not use the Boussinesq approximation. An analytical solution of this system of equations shows that LLJ can develop due to the resonance mechanism at a small coefficient of amplification, the value of
© Радионов А.А., 2024
ISSN 1026-2237BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION NATURAL SCIENCE. 2024. No. 4-2
which determines an amplification of wind speed. The resonance occurs due to the interaction of rotation forces and diurnal density variations. This diurnal density oscillation mechanism amplifies only the horizontal components of wind velocity, which can be supergeostrophic. The diurnal density oscillation mechanism is capable to amplify the horizontal components of the wind speed over a shorter time compared to the inertial oscillation mechanism. The basic properties of the solution extend the inertial oscillation mechanism and have some additional behaviour.
Keywords: analytical model, compressible air, nocturnal low-level jet, resonance, diurnal density oscillation
For citation: Radionoff A.A. Analytical Study of the Low Level Jet Formation in a Diurnal Density Oscillation Model. Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Natural Science. 2024;(4-2):77-92. (In Russ.).
Acknowledgments: the author thanks M.A. Kallistratova and E.S. Kamenetsky for pointing out an interesting research area and useful discussions, and the author is also grateful to the anonymous reviewers of the Boundary-Layer Meteorology Journal for useful discussions.
This is an open access article distributed under the terms of Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC-BY 4.0).
Введение
Вертикальный профиль горизонтальной скорости ветра над равнинными участками поверхности изменяется во время ночного выхолаживания и формирует довольно острый максимум приблизительно на высоте, где расположена ночная инверсия температуры. При этом в пограничном слое атмосферы не возникает заметных вертикальных движений воздуха. Этот максимум скорости ветра называется ночным низкоуровневым струйным течением, в англоязычной литературе используется термин nocturnal low-level jet (LLJ), являющийся общепринятым. Особенно ярко явление LLJ выражается при ясном ночном небе, когда выхолаживание поверхности происходит наиболее интенсивно. Точной связи с инверсией температуры не отмечается, и в измерениях наблюдаются сложные профили модуля горизонтальной скорости ветра, зачастую имеющие ярко выраженный максимум.
Ночные низкоуровневые струйные течения оказывают значительное влияние на погоду и региональный климат [1, 2]. Важность LLJ для изучения закономерностей ночного пограничного слоя атмосферы отмечена в работах [3-7], где указывается, что LLJ могут быть источником сдвиговой турбулентности и причиной распространения загрязняющих веществ на неожиданно большие расстояния. LLJ необходимо учитывать при анализе закономерностей миграции птиц и насекомых [8, 9], для обеспечения безопасности авиационных полетов, а также при планировании энергетических объектов ветрогенерации.
Общепринятое теоретическое объяснение этого физического явления представлено в работе А. Блакадара [10], где развитие явления LLJ объясняется инерциальной осцилляцией. Принимается, что в дневное время в пограничном слое атмосферы движение воздуха сбалансировано действием трех факторов: силы Кориолиса, барического градиента и сил турбулентного трения. После захода солнца в вечернее и ночное время суток турбулентное трение значительно уменьшается из-за понижения температуры. В результате баланс, существовавший в дневное время, нарушается, а разность между геострофическим ветром и дневным профилем ветра (максимальная вблизи поверхности) вращается в горизонтальной плоскости, что приводит к увеличению скорости ветра на высоте, где ранее имелось заметное трение. Ближе к утру скорость ветра превышает геострофическую и формирует максимум скорости ветра, который управляется силой Кориолиса. Вблизи максимума на профиле скорости ветер вращается в горизонтальной плоскости антициклонически в Северном полушарии с периодом вращения 2 л://, где f - параметр Кориолиса. Такой физический механизм называется инерциальной осцилляцией. И хотя имеют значение различные факторы (блокировка, влияние поверхности, сезона [11-13]), механизм инерциальной пульсации считается основным для формирования LLJ.
По указанным причинам внимание исследователей сосредоточено на дальнейшем развитии всестороннего понимания феномена LLJ. В работе [14] учитывается зависимость геострофического ветра от высоты, часто возникающая в измерениях, и анализируются особенности инерци-альной осцилляции в этом случае. Предлагается объяснение механизма возникновения нижней
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION NATURAL SCIENCE. 2024. No. 4-2
обратной пульсации, часто наблюдаемой в нижней части прямой пульсации основного потока LLJ и вращающейся с ней в противофазе.
В классических работах [15, 16] представлено аналитическое решение для профиля ветра в пограничном слое атмосферы при постоянной турбулентной вязкости воздуха и его детальный анализ. В работе [17] рассматривается аналитическое решение, описывающее внезапное уменьшение турбулентной вязкости воздуха и дальнейшее развитие инерциальной осцилляции в пограничном слое атмосферы. Зависимость вязкости от высоты и влияние конвективных слагаемых на описание инерциальной пульсации представлены в аналитическом исследовании [18]. Полученное здесь решение показывает более реалистичные профили горизонтальной скорости ветра в дневное время по сравнению с решением В. Экмана [15]. Сравнение некоторых теоретических моделей представлено в работе [19].
Множество работ посвящено описанию полевых измерений характеристик пограничного слоя атмосферы, в частности профилей скорости ветра при LLJ [12, 20-22]. Наиболее цитируемым является Вангара-эксперимент, проведенный специально для измерения характеристик LLJ над плоской подстилающей поверхностью [23]. В цикле работ Т. Ямады и Дж. Меллора [24] описаны вычислительные алгоритмы, позволяющие исследовать геофизическую турбулентность с использованием моделей различной степени сложности и детальности. При моделировании LLJ для случаев измерений Вангара-эксперимента показано хорошее соответствие с результатами вычислений. Работа [25] посвящена математическому моделированию нестационарного пограничного слоя атмосферы и анализу развития явлений турбулентности.
Относительно близкие значения частот суточных изменений турбулентной вязкости воздуха и инерциальной частоты позволяют предполагать возможность возникновения резонансных явлений в пограничном слое атмосферы. Несколько работ посвящено описанию возможного механизма резонансного усиления скорости ветра при LLJ. Если имеется гармоническая во времени составляющая потока импульса в уравнениях движения, то возможно резонансное усиление компонент скорости ветра, что показано в [26]. В [27] при помощи методов математического моделирования задач аэродинамики с использованием LES-модели турбулентности выявлена возможность формирования LLJ как результата действия некоторого резонансного механизма. Описано усиление ветра при LLJ в зависимости от геострофического ветра и географической широты.
Влияние суточных изменений турбулентной вязкости воздуха и изменений во времени циклонической/антициклонической циркуляции атмосферы на формирование LLJ рассматривается в работе [28], резонансное усиление скорости ветра, временная и пространственная изменчивость турбулентной вязкости воздуха и циклоническая/антициклоническая циркуляция атмосферы при возникновении LLJ - в аналитической работе [29]. Здесь показана аналитическая зависимость профиля скорости ветра в LLJ от географической широты и времени, подробно обсуждается влияние циклонической циркуляции, которая может быть одной из причин резонансного усиления ветра при LLJ.
Во всех цитируемых работах, применяющих как аналитические методы описания, так и методы математического моделирования, используется приближение Буссинеска [30], которое позволяет упростить уравнения движения. В соответствии с этим приближением плотность воздуха в правой части уравнений движения может быть принята константой (за исключением слагаемых, описывающих силы плавучести). Приближение Буссинеска является работоспособным для множества задач геофизики.
Модель инерциальной осцилляции не описывает механику возникновения некоторых свойств наблюдаемых LLJ (возникновение нижней обратной пульсации, быстрое увеличение скорости ветра). Эти явления анализируются в п. 1 настоящей работы на основе данных Вангара-экспери-мента [23].
Если отказаться от приближения Буссинеска при описании LLJ, то в правой части уравнений движения появляются дополнительные слагаемые, пропорциональные плотности атмосферного воздуха и значению геострофического ветра. Эти слагаемые малы в сравнении с основными в уравнениях, но они периодически зависят от времени, изменяются с суточной частотой и не связаны с периодическими изменениями турбулентной вязкости воздуха. Малость этих слагаемых не доказывает малость их влияния на решение, и при резонансном усилении они могут быть сравнимыми с основным течением. В этом случае пренебрегать малыми слагаемыми нельзя, что и показывает полученное в настоящей работе решение.
С учетом суточных изменений плотности при помощи приближенных аналитических методов исследования показано, что возникновение LLJ управляется резонансным усилением скорости ветра при достаточно малых и отрицательных значениях коэффициента усиления. В этом механизме усиления, который назван суточной осцилляцией плотности, возникновение LLJ является результатом резонансного взаимодействия силы Кориолиса и суточных изменений плотности атмосферного воздуха.
1. Анализ аналитических моделей LLJ
Обратимся к данным измерений профилей скорости ветра в Вангара-эксперименте, чтобы обосновать необходимость дальнейшего развития математических моделей явления LLJ. Турбулентное трение в пограничном слое атмосферы учитывается посредством турбулентной вязкости [15]. В приближении Буссинеска уравнения движения принимают вид
du r , 1 д ( ди\ dv r , 1 д ( dv\ ,1Ч
К = fV + VoTz^) , ft = + Tzh (1)
где (x, у) - горизонтальные координаты; (и, v) - горизонтальный вектор отклонения скорости ветра от геострофического ветра (ug, vg) = Const; z - высота; t - время; f = 2П sin(<p ) « 10-4 1/с - параметр Кориолиса; П « 7,292 • 10-5 1/с - частота вращения Земли; (р - географическая широта; ¡л0 - турбулентная вязкость воздуха; р0 - плотность воздуха. Начальные и граничные условия для (1):
u(z, t = 0) = us(z), v(z, t = 0) = vs(z), u(z = 0, t) = —Ug, (2)
v(z = 0,t) = —vg, ^ (z = от, t) = 0, £ (z = a>,t) = 0, где us, vs - начальное отклонение скорости ветра от геострофического ветра.
Для случая постоянной турбулентной вязкости /ло = Const. Для задачи (1), (2) можно записать аналитическое решение
u(z, t) = иЕ (z, t) + ив (z, t),
v(z, t) = vE(z, t) + vB (z, t), (3)
где справа - сумма решений Экмана иЕ, vE [15] и Блакадара ив, vB [10].
иЕ(z, t) = exp(—Ez) \ua cos(fz) + va sin(fz)l, „
* (( ,) (W Г ■ d )) * (l * = (//(2^о))1/2, vE(z, t) = exp(—%z) [Ug Sin(^z) — Vg cosOfz)J,
(uB (z, t) = us cos(/t) + vs sin(/t),
\vB(z, t) = us cos(/t) — vs sin(/t).
Воспользуемся решением (3), чтобы интерпретировать наблюдательные данные для 33-го и 34-го дней Вангара-эксперимента. Для этих же дней построено поле турбулентной вязкости при помощи математического моделирования [24]. Днем турбулентная вязкость достигает максимума 100 Па-с приблизительно на высоте 500 м, далее уменьшается с высотой и составляет менее 1 Па-с выше 1000 м. Ночные значения турбулентной вязкости составляют 0,01 ^ 1 Па-с.
На рис. 1 показаны профили амплитуды горизонтальной скорости ветра, измеренные для 6 моментов времени на 33-й и 34-й дни Вангара-эксперимента. Примем в качестве начального профиля (us, vs) кривую, изображенную на рис. 1а сплошной кривой, характеризующей дневной профиль ветра, используется восточное стандартное время (Eastern Standard Time, EST), две первые цифры которого означают часы, а последние две цифры - минуты. Выбранный профиль модуля скорости является инвариантом при вращении в горизонтальной плоскости для (1). Согласно решению Бла-кадара, этот профиль должен оставаться неизменным в течение всего времени суток, по крайней мере на высоте выше 1000 м. Решение Экмана также не позволяет считать, что этот профиль может измениться выше 1000 м.
Сплошная и пунктирная кривые имеют приблизительно одинаковый профиль ниже 800 м, выше - имеются различия. Нижняя часть этих профилей, вероятно, характеризует дневной баланс между трением, силой Кориолиса и барическим ветром. Штрихпунктирная кривая рис. 1а, измеренная на 3 ч позже пунктирной, показывает изменение модуля скорости ветра (более чем на 2 м/с) от поверхности и вплоть до высоты около 1200 м, где эта кривая имеет острый минимум, который отсутствует на предыдущих кривых. Еще через 3 ч профиль ветра меняется: максимум скорости ветра поднимается вверх, а значения модуля скорости ветра ниже 800 м уменьшаются (на 2-3 м/с). Ночные, штрихпунктирная и пунктирная кривые рис. 1б показывают сложные изменения профиля
ISSN 1026-2237 BULLETINOFHIGHEREDUCATIONALINSTITUTIONS. NORTHCAUCASUSREGION. NATURALSCIENCE. 2024. No. 4-2
скорости ветра, особенно выше 1200 м. Небольшой максимум скорости ветра формируется на высоте около 200 м к трём часам ночи и исчезает в 6-часовой кривой.
Только на 9-часовой кривой (сплошная кривая, рис. 1б) наблюдается развитый LLJ с максимальными скоростями в интервале высоты от 300 до 1200 м. При этом за 3 ч в слое от 200 до 1200 м модуль скорости ветра увеличивается на 3-4 м/с. Там же хорошо просматривается и нижняя обратная пульсация, вращающаяся в противофазе с основным потоком и видимая как острый минимум на высоте около 150 м. За промежуток времени 3 ч происходят сложные изменения модуля скорости ветра на всех высотах (рис. 1), что противоречит механизму инерциальной пульсации. Решение (3) показывает приблизительно вертикальные профили выше 1000 м и не может объяснить изменений модуля скорости на этих высотах.
2000
1500
z 1000
500
Рис. 1. Вертикальные профили модуля = (ит — ид) + (vm — vg) , м/с, горизонтальной скорости ветра
(ит, vm) в Вангара-эксперименте для высот 50 ^ 2000 м: а - сплошная кривая представляет измерения в 33-й день в момент времени 1601 EST; пунктирная - 33-й день, 1904 EST; штрихпунктирная - 33-й день,
2200 EST; б - штрихпунктирная кривая - 34-й день, 0302 EST; пунктирная - 34-й день, 0603 EST; сплошная - 34-й день, 0901 EST / Fig. 1. Vertical profiles of the module M2 = (um — ug)2 + (vm — vg)2, m/s, of the horizontal wind speed (um, vm) in the Wangara experiment for heights of 50^2000 m: a - the solid curve represents measurements on the 33rd day at time 1601 EST; the dotted line - the 33rd day, 1904 EST; the dash-dotted line - the 33rd day, 2200 EST; b - the dash-dotted line - the 34th day, 0302 EST; the dotted line - the 34th
day, 0603 EST; the solid line - the 34th day, 0901 EST
Ниже 1000 м суточные изменения турбулентной вязкости могут резонансно усиливать скорость ветра [29]. Вероятно, максимум ночного роста скорости ветра, резонирующей с ¡л0 (z, t), должен приходиться на область высот, где изменения во времени (z, 0 максимальны. Действительно, на высоте около 500 м, где вязкость днем максимальна, формируется максимум скорости LLJ к 9 ч утра (сплошная кривая, рис. 1б). Но наблюдаемый рост модуля скорости ветра выше 1000 м, где вязкость почти постоянна во времени, не соответствует максимуму суточных изменений вязкости (z, 0.
Хотя механизм инерциальной осцилляции удовлетворительно описывает возникновение LLJ, все же изменения происходят зачастую быстрее, чем предсказывается (3), а также гораздо сложнее.
2. Управляющие уравнения
В модели геострофический ветер принимается постоянным, т.е. атмосферные течения синоптического масштаба в свободной атмосфере являются стационарными на протяжении нескольких суток.
Уравнения движения пограничного слоя атмосферы без приближения Буссинеска имеют вид
du 1 дро .г Л d ( du\ dv 1 дро г Л d ( dv\ .
Tt = til*? + fv + ТоТА^к), T = — fu + 7oTz(voyz), (4)
где Po, Po - плотность и давление основного состояния (приложение А); р - суточные изменения плотности воздуха. Начальные и граничные условия для уравнений (4) сформулированы в (2).
Для основного состояния принимаются гидростатическое равновесие и геострофический баланс: , ^, ^ё) = (Рох, Р°У, - Ров), где Pox = Чvg = Сonst, р0у = fug = Const.
Первые слагаемые в правых частях уравнений (4) описывают влияние суточных изменений плотности на динамику LLJ. Они пропорциональны геострофической скорости ветра, и ими пренебрегают в приближении Буссинеска.
Решение уравнений (4) ищется в виде суммы решения однородных уравнений (4) с ненулевыми начальными и граничными условиями (2) и неоднородных (4) с нулевыми начальными и граничными условиями. Задача нахождения решения однородных уравнений (4) с условиями (2) рассмотрена в [29]. Далее в тексте приводится решение неоднородных уравнений (4) с нулевыми начальными и граничными условиями.
Уравнение, которому подчиняется возмущение плотности при суточных изменениях (приложение А), имеет вид
92р + др = 222. — ЁЕ — ,2R — ао (5)
dt2 Х дt dz2 ро dz dz ро dz dz ( )
где - давление возмущенного состояния,
a= 1 д2ро 1 дРо дРо y = —2(2£о\2\ + 4 д ^о д Ро 1 d2 ßo
p0 d z2 p2 dz dz ' ро \ро d z2 p^\dz ) ) dz dz ро d z2 '
Уравнение (5) описывает динамику суточных изменений плотности, происходящих вследствие суточных изменений температуры. Решение уравнения (5) ищется при нулевых начальных условиях. Суточные изменения плотности \р(t) в атмосфере вблизи поверхности вычисляются из суточных изменений температуры вблизи поверхности. Граничное условие для уравнения (5) имеет вид
p(z = 0,0 = Ц)(0 = J°=1\pi sin(ú)i0, ¡pi = Ц)(OsinO iO dt, (6)
где i¡j( t) - периодическая функция; i¡j ¡ - амплитуда гармоники a> ¡ в Фурье-разложении функции i¡j (t). Использование (6) означает, что изменения плотности в пограничном слое атмосферы определяются только граничным условием, которое задается на поверхности Земли.
Используя уравнение состояния для адиабатических процессов dр = cfidp, уравнение (5) можно переписать для одной зависимой переменной:
д2р , dp 2d2p ndp ,
О* +Х Tt = "dz2 ^ ~dz ^Р, (7)
где с0 - скорость звука в воздухе, ß = (сЦ/р0) dp0/dz — д.
Принимая х = Const и ß = Const, подстановку [31]
p(z, t) = q(z, t) exp (—2t) exp (£gz), (8)
из (7) получим уравнение Клейна - Гордона
d2Q 2 d2S i /г>\
ß2 j2
где Q (z, t) - новая искомая переменная, b = —j---+ а'
4со 4
Использование постоянных значений х и ß накладывает некоторые ограничения на искомое решение, что обсуждается в п. 5.
3. Решение
В этой работе рассматривается случай b = 0 (b имеет порядок 0,001 1/с2, и в первом приближении соответствующим слагаемым в (9) можно пренебречь). Аналитическое решение уравнения (9) с нулевыми начальными условиями и граничным условием (6) в области z> 0 получим при помощи подстановки q = а — ф(t — z/c2) в (9). Новое уравнение d2o/dt2 = сЦ d2o/dz2 решается
при нулевых начальных и граничных условиях. Его решение Q = ^(t — z/cq) [31] допускает нечетное продолжение в область z < 0 и справедливо для всех t > z/c0.
ек. 0 = зт ^¡(с-^. (10)
Отличием величины ехр(@г/(2сд )) от единицы на высоте до 2000 м пренебрегаем. В этом приближении аналитическое решение (ид, Рд) уравнений (4) при постоянной турбулентной вязкости с нулевыми начальными и граничными условиями имеет вид
ик(г, 0 = е-*2^ и I С05(ГО + ^ *т(/0,
(2,0 = е^^^соз(/О - £/^т(/0-^*т(а>гЬ(11)
1 Ро 4 со /
где
Л = . С-11соб(( ш -) I-ш р/Со)+2 С21вт(( ш -) I-ш р/Со) + . ¡соз((ш l+f) г - ш 1г/с0)+2Р т((ш l+f )£ - ш 1г/Со);
í = ^ 4гр20(х2/4+(со 1-п2) í 4Г р2(Х2/4+(ы 1+Г)2) '
у = . 2C2^cos((^^-/)t-^^z/Cо)-Cl^stw((^^-/)t-^^z/Cо) + . 2Р 21Соз((ш l+f) I-ш 1г/Со)+Р 1 ьз т((ш l+f ^ - ш 1г/Со); 1 = ™ 4Гр1(х2/4+(Ш-)2) + * í 4Гр2(х2/4+(Ш +П2) '
Cli = (my + 2^iPox)f - 2Рох(^2 + Х2/4); C2j = ((/ - Wj)роу - ХРох/2) f;
Dii = (my - 2toiPox)f - 2рох(и2 + X2/4); Dn = ((/ + шi)Poy - XPox/2) f-
Решение (11) является приближенным математическим представлением механизма суточной осцилляции плотности формирования LLJ в пограничном слое атмосферы. Ui и Vi имеют физический смысл горизонтальных компонент скорости ветра.
Решение (11) описывает результат взаимодействия двух физических процессов: горизонтального вращения скорости ветра силой Кориолиса с частотой f и суточных изменений плотности с частотой П. Как видно из (11), результат совместного действия этих двух факторов может приводить к резонансному усилению амплитуд горизонтальных компонент скорости ветра. Максимально выраженным резонанс является при совпадении частот f ~ с которыми действуют эти две силы и при малых и отрицательных значениях Усиление ветра (11) пропорционально геострофическому ветру и зависит от амплитуд ^.
Решение системы уравнений (4), (9) с граничными и начальными условиями (2), (9) будет иметь вид
u(z, 0 = иЕ(z, 0 + ив(z, 0 + uR(z, 0, v(z, 0 = vE(z, 0 + vB(z, 0 + vR(z, 0- (12)
Первые два слагаемых в правой части (12) могут быть уточнены, если воспользоваться результатами работы [29].
4. Оценка значений параметров
При нейтральной стратификации величина а ~ 0, а в устойчивых слоях атмосферы может заметно возрастать. Примем оценки для весовых характеристик столба атмосферы:
2 д
d2po/dz2 « ро д2/с0 и dpo/dz « -род, тогда а = ^ +
с0 р0 az
При анализе устойчивых атмосферных слоев обычно используется потенциальная температура во, которая вводится при помощи соотношения р-1 dpo/dz = - д/с0 - в-1 Ово/dz и часто непо-
г> и 9 дв0
средственно измеряется. Выразим через потенциальную температуру а, х, а =
Uq OZ
= - 3ti(il + + + - ^ = — + ^Q-(I^^Q)2
* Ро (c4 в0с2 dz в0 dz2 ) p0 dz (cQ в0 dz ) p0 dz2 , c2 4 (в0 dz ) 4 ,
а совпадает с выражением для частоты Вяйсяля - Брента с противоположным знаком.
Из измерений в Вангара-эксперименте выбирались профили потенциальной температуры в ночные и утренние моменты времени: день 34, 0327 EST; день 34, 0603 EST; день 34, 0900 EST. Зависимость коэффициента усиления х от времени для высоты 150 и 500 м показана на рис. 2. В Вангара-эксперименте не измерялись характеристики турбулентности и при вычислении зависимости х от времени не учитывались изменения во времени производных д^о/dz, д2^о/dz2. Максимум турбулентной вязкости («100 Па-с) отмечается в дневное время на высоте около 500 м. На высоте 150 м турбулентная вязкость уменьшается («50 Па-с) [24]. Рост вязкости начинается около
ISSN 1026-2237BULLETINOF HIGHEREDUCATIONALINSTITUTIONS. NORTHCAUCASUSREGION. NATURALSCIENCE. 2024. No. 4-2
9 ч утра, максимум приходится на 14-15 ч, далее вязкость уменьшается. В ночное время турбулентная вязкость минимальна («0,5-0,01 Па-с). С учетом такой зависимости на двух высотах получена грубая оценка коэффициента х: в ночное время суток х~ ± 5 • 10-5 1/с, в дневное время -значение меньше по модулю. Наибольшие изменения х происходят в нижних слоях (200 м) и далее с высотой уменьшаются. Величина b в ночное время составляет 0,003-0,0003 1/с2. Величина fi выше 400 м « -20 м/с2, а ниже 400 м изменяется от -50 до -15 м/с2. Экспонента exp(fiz/(2cq)) меняется от 0,7 до 1,4 на высоте ниже 2000 м.
0.000050
0.000025
Х 0.000000
-0.000025
Рис. 2. Зависимость от времени t, ч, коэффициента усиления х в Вангара-эксперименте (от день 32,
0018 EST до день 35, 1247 EST). Сплошная кривая - изменение на высоте 150 м, пунктирная кривая -на высоте 500 м / Fig. 2. Dependence on time t, h, of the amplification coefficient x in the Wangara experiment (from DAY 32, 0018 EST to DAY 35, 1247 EST). The solid curve shows the change at altitude of 150 m, the dotted curve - at altitude of 500 m
5. Результаты и обсуждение
Математическая модель (4), (5) с граничными условиями (2), (6) используется для описания динамики формирования LLJ в пограничном слое атмосферы над плоской поверхностью. Аналитическое решение (12) показывает, что механика возникновения LLJ может описываться не только механизмом инерциальной осцилляции (при р = 0), но также и механизмом суточной пульсации плотности (при р Ф 0). Последний представлен в решении (11) слагаемым, которое показывает возможность резонансного усиления скорости ветра при LLJ.
5.1. Анализ влияния упрощений
Аналитическое решение (12) получено в предположении постоянной турбулентной вязкости воздуха. Приближенное аналитическое решение уравнений (1) с учетом изменений турбулентной вязкости в пространстве и во времени также возможно [29], но все же такой учет требует знания функции t). Это можно реализовать при помощи численного решения уравнений (4), (5), что не требуется при упрощенном рассмотрении.
Для решения уравнения (7) принимаются упрощения: х = Const, ß = Const. Эти величины (рис. 2) зависят от высоты и от времени, что в некоторых случаях сказывается на динамике решения (4), например при отрицательных значениях х, когда возможно экспоненциальное усиление решения. Измерения показывают, что параметры х, ß меняются достаточно медленно и при решении уравнения (7) могут быть приняты постоянными, поскольку за время порядка 10 с существенно не меняются.
При интегрировании уравнений (4) (время - несколько суток) коэффициент усиления x(z> О существенно влияет на решение уравнения (4), (10) на малых высотах, а выше 500 м - слабее. При
/1
1
к. л ЛЧ а
1/ * т
10 20 30 40 50
t, hour
ISSN 1026-2237 BULLETINOFHIGHEREDUCATIONALINSTITUTIONS. NORTHCAUCASUSREGION. NATURALSCIENCE. 2024. No. 4-2
помощи численного решения уравнения (4), (9) с x(z = 500, t) (сплошная кривая на рис. 2) можно подобрать постоянное значение Хо так, чтобы (11) приблизительно соответствовало численному решению: эта величина - х = Хо ~ 3 • 10-7 1/с. Значения х0 для решения (4), (9) с x(z = 150, t) подобрать не удается, поскольку наблюдаются значительные отрицательные Х-
Точный учет изменчивости этих величин возможен при численном решении уравнений (4), (9). Он требует знания массивов x(z, t), (3(z, t), b(z, t), ¡л0 (z, t), полученных в рамках математического моделирования. Аналитическое рассмотрение позволяет провести анализ механизма суточной осцилляции плотности в упрощенной постановке.
5.2. Основные свойства решения (11)
Решение (11) получено при нулевых начальных условиях для плотности и скорости ветра, не содержит произвольных констант, описывает резонансное усиление горизонтальных компонент скорости ветра и может применяться для описания динамики LLJ. Усиливающиеся горизонтальные компоненты ветра (11) определяются граничным условием (6) для изменений плотности воздуха вблизи поверхности, коэффициентом х, значением геострофического ветра и зависят от географической широты.
Скорость усиления ветра (11) в основном определяется коэффициентом усиления х: для малых по модулю и отрицательных х ветер усиливается сильнее. Профиль коэффициента усиления х зависит от профилей потенциальной температуры и турбулентной вязкости. При больших отрицательных значениях х (рис. 2, 35-й ч) ветер может усиливаться быстро, за несколько десятков минут.
Выражение (11) - это горизонтальный вектор (uR, vR ), который вращается в горизонтальной плоскости с инерциальной частотой /. Для субтропических и умеренных широт Фурье-разложение (6) содержит основной член ~ П ~ 7,292 1/с, который описывает суточную частоту изменений температуры поверхности. Эта частота совпадает с f на географической широте ф = 30°, и резонансное усиление ветра наиболее выражено при (р = 30°. Аналогичный вывод сделан в работе [27] при анализе результатов математического моделирования задач аэродинамики с использованием LES-модели турбулентности. В этом численном исследовании также установлен факт пропорциональности модуля ветра в LLJ с геострофической скоростью ветра. Эта пропорциональность также очевидна из (11).
Параметр Кориолиса f изменяется от 0 до 2П при росте географической широты от 0 до 90. При этом значение 'ф^ для гармоники ш^, соответствующей частоте Кориолиса, также изменяется. Гармоника соответствующая суточным изменениям плотности, и ее амплитуда ^ остаются относительно постоянными при изменении географической широты (за пределами полярного круга). Максимальная амплитуда ^ достигается при ф = 30°, где ^ максимальна. Соответственно, и модуль скорости ветра (11) максимален на этой широте. При приближении к географическим полюсам
^ 0 и амплитуда суточных изменений плотности также уменьшается, что препятствует резонансному усилению ветра. На экваторе ^ 0 и резонансного совпадения частот не происходит.
5.3. Коэффициент усиления
Действие механизма суточной пульсации плотности в течение нескольких дней привносит добавочные скорости ветра в дополнение к механизму инерциальной пульсации. За первые сутки действия этого механизма дополнительная компонента скорости ветра мала и ею можно пренебречь, но добавка возрастает через несколько дней. Она не всегда мала относительно геострофического ветра и может быстро трансформировать профиль скорости ветра в зависимости от значения X-
Зависимость профиля модуля скорости, вычисленная из (11), от коэффициента усиления х показана на рис. 3. Значения модуля скорости приведены для момента времени t = 108 ч. Они отражают амплитуды скорости, которые могут быть при заданном коэффициенте усиления. При отрицательных значениях х модуль скорости ветра M возрастает экспоненциально во времени.
Как видно из рис. 3, модулю скорости ветра M = 4 м/с соответствуют два значения коэффициента усиления: х = +1,0 • 10-6 1/с и х = -2,0 • 10-6 1/с. Максимальное значение модуля скорости в LLJ в Вангара-эксперименте составляет M ~ 5,1 м/с. Имеет значение интервал времени, в течение которого действует механизм суточной пульсации плотности: чем больше интервал, тем
больше усиление ветра. Вероятно, слишком долго этот механизм не действует вследствие изменения внешних условий, например циклонической циркуляции.
Зависимость профиля модуля скорости, вычисленная согласно (11), от частоты ш при нескольких значениях коэффициента усиления х показана на рис. 4. Резонансное усиление модуля скорости ветра происходит в узком интервале частот. Усиливающийся ветер может достигать больших амплитуд и превышать скорость геострофического ветра, но остается ограниченным для любого значения коэффициента усиления Хо. Значения модуля скорости приведены по (11) для момента времени t = 108 ч и положительных значений
1
M / J \
l.j
-0.00002 -0.00001 0.00000 0.00001 0.00002
X
Рис. 3. Зависимость модуля скорости ветра М, м/с, от коэффициента усиления х (t = 108 ч, / = = 7,2921 • 10-5 1/с, р0х = -7,6/ Па/м, р0у = -4,72/ Па/м, ^ = 0,01 кг/м3, ^о = 0,5 Па-с)
/ Fig. 3. Dependence of the wind speed module M, m/s, on the amplification coefficient x (t=108 h, / = щ = 7.2921 • 10-51/s, p0x = -7.6/ Pa/m, p0y = -4.72/ Pa/m, ^ = 0.01 kg/m3, = 0.5 Pa^s
со
Рис. 4. Зависимость модуля скорости ветра в LLJ от частоты при разных значениях коэффициента
усиления х. Сплошная кривая соответствует х = 1,0 • 10-6 1/с, пунктирная - х = 2,0 • 10-6 1/с, штрихпунктирная - х = 4,0 • 10-6 1/с. Вычисления проводились по (11) с параметрами: t = 108 ч; ^ = / = 7,2921 • 10-5 1/с; р0х = -7,6 м/с; р0у = -4,72 м/с; х0 = 1,0 • 10-7 1/с; ^ = 0,01 кг/м3 / Fig. 4. Dependence of the wind speed modulus in LLJ on frequency for different values of the amplification coefficient x. The solid curve corresponds to x = 1.0 • 10-6 1/s, the dotted curve - x = 2.0 • 10-6 1/s, the dash-dotted curve - x = 4.0 • 10-61/s. The calculations were carried out according to (11) with the parameters: /=108 h; aij = / = 7.2921 • 10-5 1/s; p0x = -7.6m/s; p0y = -4.72 m/s; Xo = 1.0 • 10-7 1/s; ^ = 0,01 kg/m3
Модуль скорости ветра в LLJ также зависит от амплитуды ^ гармоники ^, даже при условии, что = /. Вот некоторые оценки. Для усиления скорости ветра до 5,0 м/с требуется величина Ц>т « 0,00077 кг/м3 при значениях остальных параметров расчета по (11): = / = 7,2921 • 10-5 1/с;
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION NATURAL SCIENCE. 2024. No. 4-2
p0x = -7,6 м/с; p0y = -4,72 м/с; x = 1,0 • 10-7 1/с. Резонансное усиление ветра развивается слабее при малых значениях амплитуды суточных изменений температуры, например в облачную погоду, когда суточные перепады температуры малы.
Эти свойства решения (11) показывают, что механизм суточной осцилляции плотности является важным дополнением к механизму инерциальной осцилляции.
5.4. Механизм обратной связи
Вертикальный профиль коэффициента усиления x(z> 0 подвержен значительному влиянию вертикального распределения турбулентной вязкости р0 (z, t) вблизи приподнятых инверсионных слоев, а также вблизи поверхности в утренние и вечерние часы. Кроме того, x(z, 0 зависит от профиля потенциальной температуры, существенные изменения которого характерны для приземного и инверсионных слоев. В этих слоях наблюдаются как положительные, так и отрицательные значения производных d2p0/dz2 и д2в0/дг2. Соответственно, и коэффициенты х в этих слоях могут принимать как отрицательные, так и положительные значения. Эти изменения коэффициента усиления х, особенно отрицательные значения, приводят к быстрому усилению скорости ветра (речь идёт о десятках минут), что, в свою очередь, приводит к генерации сдвиговой или перемежающейся турбулентности и последующему трансформированию профилей р0 (z, t) и в0 (z, t).
Так может действовать механизм обратной связи, ограничивающий экспоненциальный рост скорости ветра в представленном механизме суточной осцилляции плотности. В решении (11) возможен экспоненциальный рост модуля скорости ветра при отрицательных х (рис. 3) и нет явного механизма, его ограничивающего. Единственным сдерживающим фактором является механизм обратной связи, который связан с моделированием турбулентности и в упрощенном аналитическом рассмотрении не описывается. После изменения профилей p.0(z, t) и 90(z, t) под действием этого механизма меняется и профиль x(z> 0, что предотвращает появление слишком больших значений модуля скорости ветра в LLJ.
В работе [3] показывается, что существенному усилению скорости ветра в LLJ препятствует появление турбулентных вихрей, возникающих в устойчивых атмосферных слоях. Эти явления могут также нарушать предположения об одномерности и линейности задачи (4), (9), что требует использования трехмерных численных моделей.
Максимум модуля скорости ветра в LLJ часто расположен вблизи вершины ночного инверсионного слоя в приземном слое атмосферы [9]. На этой высоте находится минимум профиля турбулентной вязкости и там же - минимумы производных д2р0/dz2 и д2в0/dz2. Следовательно, приблизительно на тех же высотах расположены и минимумы профиля x(z> 0, которые могут усиливать скорости ветра в LLJ.
5.5. Отличия от механизма инерциальной осцилляции
Хотя свойства механизма суточной осцилляции плотности близко соответствуют механизму инерциальной осцилляции, есть несколько отличий:
1. В рамках механизма суточной осцилляции плотности усиление скорости ветра в LLJ при нулевых начальных условиях для плотности управляется коэффициентом усиления х, при отрицательных и близких к нулю значениях которого возможно быстрое усиление ветра в LLJ (за десятки минут). Величина усиления может превышать значение геострофического ветра. Слишком быстрому усилению препятствует механизм обратной связи.
В рамках механизма инерциальной осцилляции вращающееся возмущение скорости ветра вокруг геострофического значения может достичь своего максимума приблизительно через 8 ч. Это существенное отличие между двумя механизмами. На рис. 1 видно, что профили модуля скорости ветра при LLJ на высоте 200 м в момент 0302 EST 34 дня через 5 ч после заката уже достигают значений 4,8 м/с при максимальной скорости 5,1 м/с в момент 0901 EST 34 дня. Изменения скорости ветра, которые наблюдаются выше 1000 м, происходят гораздо быстрее чем за 8 ч.
2. В облачную погоду хорошо выраженным является только механизм инерциальной осцилляции, поскольку в рамках механизма суточной осцилляции плотности необходим ненулевой суточный перепад температуры вблизи поверхности. В последнем механизме горизонтальные компоненты скорости усиливаются прямо пропорционально ^, при малых значениях которого скорости ветра усиливаются слабее.
ISSN 1026-2237BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2024. No. 4-2
3. Поскольку в рамках механизма суточной осцилляции плотности усиление скорости ветра в LLJ развивается при нулевых начальных условиях, усиление ветра в LLJ за счет этого механизма слабо выражено в первые и, возможно, во вторые сутки с момента начала появления ветра синоптического масштаба. В данных Вангара-эксперимента также видно, что наиболее выраженным явление LLJ наблюдается спустя несколько суток после появления ветра синоптического масштаба - это 34-й день наблюдений. Несколько слабее, но тоже хорошо выражено LLJ и на 33-й день измерений. Обратная пульсация не всегда развивается, а только в дни, когда LLJ выражено отчетливо. Механизм инерциальной осцилляции не зависит от количества дней, в которые наблюдается ветер синоптического масштаба.
4. Вертикальная компонента скорости при LLJ подвержена суточным изменениям в рамках механизма суточной осцилляции плотности. Амплитуда вертикальной компоненты скорости может быть оценена из уравнения неразрывности: dw/dz « — (dp/dz)/р0 « — шр/р0 « +10-6 1/с. По данным Вангара-эксперимента можно вычислить dwm/dz « +10-5 1/с, при этом wm « ±1 • 10-3 ^ +3 • 10-2 м/с - измеренные вертикальные скорости. Теоретические оценки меньше измеренных значений. Для механизма инерциальной пульсации вертикальная компонента скорости ветра остается нулевой.
Заключение
Взаимодействие периодических процессов в пограничном слое атмосферы может приводить к резонансным явлениям. В данной работе без использования приближения Буссинеска представлено аналитическое описание одного из возможных типов резонанса при помощи простой одномерной задачи (4), (9) с граничными условиями (2), (6). Резонанс развивается в результате взаимодействия силы Кориолиса и периодических изменений плотности воздуха вблизи поверхности при нулевых начальных условиях для возмущения скорости ветра. При этом усиливаются только горизонтальные компоненты скорости ветра, что описывает механизм формирования LLJ над равнинной поверхностью.
Этот механизм назван суточной осцилляцией плотности для формирования LLJ. В его рамках усиление скорости ветра зависит от коэффициента усиления х, геострофического ветра, амплитуды суточных вариаций плотности вблизи поверхности и времени действия этого механизма. В целом предложенный вариант дополняет механизм инерциальной осцилляции и в своей математической формулировке похож на него, но имеются и отличия. Скорость усиления скорости ветра может существенно превышать скорость в механизме инерциальной осцилляции и также может отличаться для разных высот.
Приложение
Рассматривая суточные изменения, происходящие в атмосфере над равнинной горизонтальной поверхностью, удобно выделить возмущенное состояние атмосферы как отклонение от некоторого основного состояния (движения воздуха, вызванные процессами синоптического масштаба). Обозначим соответствующие переменные индексом 0. Под возмущением будем понимать отклонение от основного состояния, и его характеристики обозначим теми же символами без индекса.
Примем неподвижную прямоугольную систему координат (х, у, z), ось Oz направим вверх и совместим с поверхностью, (х, у) - горизонтальные координаты. Обозначим: t - время; (и, v, w) - скорость ветра возмущения; (и0, v0, w0) - скорость ветра основного состояния; р0, р0, Т0 - давление, плотность, абсолютная температура основного состояния; р, р, Т - давление, плотность, абсолютная температура возмущения; D = ди/дх + dv/dy + dw/dz - дивергенция возмущения; % = dv/dx — ди/ду - вертикальная компонента завихренности возмущения; (0,0, —д) - вектор силы тяжести; остальные обозначения определены в тексте.
Динамика атмосферных движений описывается уравнениями Навье - Стокса [32], турбулентный характер которых учтем при помощи введения турбулентной вязкости р0. Этим уравнениям удовлетворяет как основное состояние, так и основное состояние в сумме с возмущением. Получим уравнения для возмущения, вычитая основное состояние из суммы основного состояния в сумме с возмущением. Аналогичный подход часто используется для описания волн в атмосфере, например в [30, 33]. Для сокращения выкладок примем одномерность рассматриваемой задачи.
Уравнение для вертикальной компоненты w скорости запишется в виде
dw , ^dw dwo 1 dp p дро . ,f
— + (w0 + W) — + W—° = — --- — +--—- + H,
dt dz dz (P0+P) dz p0(p0+p) dz
где для удобства введено обозначение Н для вязких слагаемых 1 д ( dw\ р д
f р д f dw0\
~al) - Ро(Ро+Р) Tz ИГУ
н =
(Ро +Р) dzV" dz J Ро (Ро +р) dz '
Аналогичные выкладки позволяют записать уравнение неразрывности для возмущения плот-
дР , f , Лг> , дРо , dWo . dp
ности Р'- Т +(Ро + P)D + + РЦГ + w0Tz = 0'
В уравнение для дивергенции скорости возмущенного состояния, вычисленного из уравнений движения, необходимо подставить значение дивергенции D, вычисленное из уравнения неразрывности, после чего получится громоздкое уравнение, которое здесь не приводится. При рассмотрении LLJ это уравнение можно упростить при помощи следующих предположений:
1. Все характеристики основного состояния зависят только от вертикальной координаты, за исключением давления, которое отражает барический градиент геострофического ветра (у,д,
Таким образом, градиент давления основного состояния есть , , = (р0х, Роу, —РоО), где рох = —fvg = Const, роу = —fug = Const. Вектор скорости основного состояния -(u0, v0, w0) = (u.g, vg,0). При этом dUg/dz = 0, dvg/dz = 0, т.е. геострофический ветер не зависит от высоты.
2. Все характеристики возмущений не зависят от горизонтальных координат, при этом сами величины могут быть большими.
3. Возмущение плотности р и вертикальная скорость w считаются достаточно малыми.
4. Параметр Кориолиса не зависит от горизонтальных координат.
5. Вторая вязкость воздуха является пренебрежимо малой величиной.
6. Вертикальная компонента завихренности % = ди/ду — dv/dx равняется нулю в начальный момент времени и не возникает с течением времени. В некоторых моделях LLJ учитывается циклоническая циркуляция, например, в [29].
После применения этих допущений получится уравнение
д2р = + + + р д2ро Р дРо дРо + + р ЁЕ. (А 1)
dt2 dz2 p0dz dz p0dz dz p0 dz2 p2 dz dz dz "0 dz'
Вязкие слагаемые в правой части (А.1) можно приближенно выразить через возмущение плот-
1 rzdP J
ности посредством уравнения неразрывности w = — Получим для вязких слагаемых в (А.1)
дРо ц + М = уо д3р + /д уо дро 2 d^o) д2р +
dz ' dz Ро dtdz2 V ро dz ро dz J dtdz
1 д2р 1 (^Ро)2\ + 1 дРо д^о 1 д2^о] др + (А 2)
ро (Ро dz2 p°(dz) ) Р2 dz dz Ро dz2 \ dt 0 J0 dt ^ (А 2)
+
где введено
= ^of 1 diPo 6дро д2Ро (дро)3\ + _4 (дРо\2 дРо д2Ро дРо 1 дро д2Цо
Ро \P0 ^z3 p2 dz dz2 рз(дг) ) p3( dz ) dz pQ; dz2 dz dz dz2 ' Первое слагаемое в правой части (А.2) пренебрежимо мало по сравнению с третьим слагаемым. Чтобы им пренебречь, нужно ещё показать, что оно не меняет направления фазовых траекторий в фазовом пространстве уравнения (А.1). Это - сложная задача, но из наблюдений известно, что акустические возмущения в атмосфере подчиняются гиперболическому уравнению, следовательно, направления фазовых траекторий остаются неизменными.
Второе слагаемое в правой части (А.2) того же порядка, что и слагаемое в левой части (А.1). Используя уравнение состояния для адиабатических процессов d2p/dz2 = Cq d2p/dz2, со = Const « « 340 м/с, перепишем первые два слагаемых в (А.1) и второе слагаемое в правой части (А.2):
д2р + 2 д2Р г2 д2Р = D г2 = 3 Ио^Ро= — 3 + _L£^) — (А 3)
dt2^ ^ dz2 ^ dtdz~ ^ ро dz ро dz Ро^Со во dz J ро dz '
где R - остальные слагаемые уравнения (А.1). Здесь будем считать с^ константой, поскольку он мало меняется за десятки секунд. Из данных Вангара-эксперимента можно оценить с^ ~ 0,5 м/с для дневного времени, для ночного времени - еще меньше. Общая форма решения уравнения (А.3) в полу-
бесконечной области имеет вид p(z, t)~f ^t + z ^c^ — Je2 + 4c0^/(2cq)^, где f - некоторая
функция. Очевидно, что величиной с^ всегда можно пренебречь в сравнении с величиной скорости
звука Со. Соответственно, и второе слагаемое в правой части (А.2) пренебрежимо мало.
Уравнение (А. 1) запишется в виде (обозначения приведены в тексте)
д2о dp 2 д2р пдр „сгдр,
~тт + = ск—^г — В-г — ар + S \n-fdz.
dt2 л dt 0 dz2 и dz и J0 dt Используя подстановку (8), получим
0=cid-^2—bQ—s eXp exp (2kz)n—ïexp (é z)Qdz. (А4)
Оценим значения коэффициентов b, S, fi из данных Вангара-эксперимента. Для этого выразим
о п 2(1 дв0\2
их через потенциальную температуру: р = —2д — с0\-—— 1 ,
\Uq OZ J
р0Ус6 C0 в0 dz2 C04 в0 dz в0 dz3 J p0 dz Vc^ C0 в0 dz в0 dz2 J p0 dz2 \C0 в0 dz J'
Величина b оценивается в тексте. Выше 400 м она имеет порядок 0,0003 1/с2, а ниже 400 м может достигать 0,003 1/с2. Величина fi выше 400 м « —20 м/с2, а ниже 400 м изменяется от —50 до —15 м/с2. Соответственно, экспонента exp(^z/(2cq )) меняется не более чем от 0,7 до 1,4 ниже 2000 м, и для получения оценок эти изменения можно не учитывать при интегрировании. Множитель 8 « 0 выше 400 м, а ниже 400 м изменяется от —5 • 10-9 до +5 • 10-9. Используем выражение (10) для оценки интеграла в (А.4)
sin(^it) + sin ^Wi (t —
Скорость звука Со ~ 340 м/с. Учитывая значение множителя S, можно полагать, что на высоте ниже 400 м содержащее интеграл слагаемое в (А.4) как минимум в 100 раз меньше слагаемого, содержащего множитель Ь. Выше 400 м это слагаемое меньше в 1000 раз. Второе слагаемое под знаком интеграла также пренебрежимо мало. В результате получается (9).
Уравнения (4) вытекают непосредственно из уравнений движения после применения упрощающих предположений.
Список источников
1. StensrudD.J. Importance of low-level jets to climate: A review // J. Climate. 1996. Vol. 9. P. 1698-1711.
2. Shapiro A., Fedorovich E. Nocturnal low-level jet over a shallow slope // Acta Geophys. 2009. Vol. 57. P. 950-980.
3. Banta R.M., Pichugina Y.L., Newsom R.K. Relationship between the low-level jet properties and turbulence kinetic energy in the nocturnal stable boundary layer // J. Atmos. Sci. 2003. № 60. P. 2549-2555.
4. Banta R.M., Pichugina Y.L., Brewer W.A. Turbulent velocity variance profiles in the stable boundary layer generated by a nocturnal low-level jet // J. Atmos. Sci. 2006. № 63. P. 2700-2719.
5. Banta R.M. Stable boundary-layer regimes from the perspective of the low-level jet // Acta Geophys. 2008. Vol. 56. P. 58-87.
6. McNiderR.T., MoranM.D., PielkeR.A. Influence of diurnal and inertial boundary-layer oscillations on long range dispersion // Atmos. Environ. 1988. Vol. 22. P. 2445-2462.
7. Beyrich F. Sodar observations of the stable boundary layer height in relation to the nocturnal low-level jet // Meteor. Z. 1994. Vol. 3. P. 29-34.
8. Liechti F., Schaller E. The use of low-level jets by migrating birds // Naturwissenschaften. 1999. Vol. 86. P. 549-551.
9. Baas P., BosveldF.C., BaltinkH.K., Holtslag A.A.M. A climatology of nocturnal low-level jets at Cabauw // J. Appl. Meteorol. Climat. 1991. № 48. P. 1627-1642.
10. Blackadar A.K. Boundary Layer Wind Maxima and Their Significance for the Growth of Nocturnal Inversions // Bull. Am. Meteorol. Soc. 1957. Vol. 38. P. 283-290.
11. Jiang X., Lau N.C., Held I.M., Ploshay J.J. Mechanism of the Great Plains low-level jet as simulated in an AGCM // J. Atmos. Sci. 2007. Vol. 64. P. 532-547. Doi: 10.1175/JAS3847.1.
12. KallistratovaM.A., Kouznetsov R.D., Kuznetsov D.D., Kuznetsova I.N., NakhaevM., Chirokova G. Summertime low-level jet characteristics measured by sodars over rural and urban areas // Meteorol Z. 2009. Vol. 18. P. 289295. Doi: 10.1127/0941-2948/2009/0380.
13. Du Y., Rotunno R. A simple analytical model of the nocturnal low-level jet over the Great plains of the United States // J. Atmos. Sci. 2014. Vol. 71. P. 3674-3683. Doi: 10.1175/JAS-D-14-0060.1.
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION NATURAL SCIENCE. 2024. No. 4-2
14. Van de Wiel B.J.H., Moene A.F., Steeneveld G.J., Baas P., Bosveld F.C., Holtslag A.A.M. A Conceptual View on Inertial Oscillations and Nocturnal Low-level Jets // J. Atmos. Sci. 2010. Vol. 67. P. 2679-2689. Doi: 10.1175/2010JAS3289.1.
15. Ekman V. W. On the influence of the Earth's rotation on ocean currents // Arkiv. Matematik. Astron. Fysik. 1905. Vol. 2. P. 1-53.
16. Brown R.A. Analytic Methods in Planetary Boundary Layer Modeling. New York: John Wiley and Sons,
1974. 150 p.
17. Shapiro A., Fedorovich E. Analytical description of a nocturnal low-level jet // Q. J. R. Meteorol. Soc. 2010. Vol. 136. P. 1255-1262. Doi: 10.1002/qj.628.
18. Hira S., Kanehisa H. An Analytical Solution of Nocturnal Low Level Jets // J. Meteorol Soc. Jpn. 2015. Vol. 93. P. 477-487. Doi: 10.2151/jmsj.2015-031.
19. Smith E., Fedorovich E., Shapiro A. Comparison of analytical descriptions of nocturnal low-level jets within the Ekman model framework // Environ. Fluid Mech. 2017. Vol. 17. P. 485-495. Doi: 10.1007/s10652-016-9502-z.
20. Beyrich F., Klose B. Some aspects of modeling Low-level Jets // Boundary-Layer Meteorol. 1988. Vol. 41. P. 1-14.
21. Conangla L., Cuxart J. On the turbulence in the upper part on the low-level jet: an experimental and numerical study // Boundary-Layer Meteorol. 2006. Vol. 118. P. 379-400.
22. Wang Y., Klipp C.L., Garvey D.M., Ligon D.A., Williamson C.C., Chang S.S., Newsom R.K., Calhoun R. Nocturnal Low-Level-Jet-Dominated Atmospheric Boundary Layer Observed by a Doppler Lidar over Oklahoma City during JU2003 // J. Appl. Meteorol. Clim. 2007. Vol. 46. P. 2098-2109. Doi: 10.1175/2006JAMC1283.1.
23. Clarke R.H., Dyer A.J., Brook R.R., Reid D.G., Troup A.J. The Wangara experiment: Boundary layer data // CSIRO Division of Meteorological Physics Tech. 1971. Vol. 19. P. 358.
24. Yamada T., Mellor G. A simulation of the Wangara Atmospheric Boundary Layer Data // J. Atmos. Sci.
1975. Vol. 32. P. 2309-2329.
25. Momen M., Bou-Zeid E. Mean and turbulence dynamics in unsteady Ekman boundary layers // J. Fluid Mech. 2017. Vol. 816. P. 209-242. Doi: 10.1017/jfm.2017.76.
26. Ingel L.Kh. One Type of Resonance Phenomena in the Atmosphere and Water Bodies // Fluid Dynamics. 2015. Vol. 50. P. 494-500. Doi: 10.1134/S0015462815040043.
27. Shibuya R., Sato K., Nakanishi M. Diurnal Wind Cycles Forcing Inertial Oscillations: A Latitude-Dependent Resonance Phenomenon // J. Atmos Sci. 2014. Vol. 71. P. 767-781. Doi: 10.1175/JAS-D-13-0124.1.
28. Paegle J., Rasch G.E. Three-Dimensional Characteristics of Diurnally Varying Boundary-Layer Flows // Mon Weather Rev. 1973. Vol. 201. P. 746-756.
29. Tan Z., Farahani M.M. An Analytical Study of the Diurnal Variations of Wind in a Semi-geostrophic Ekman Boundary Layer Model // Boundary-Layer Meteorol. 1998. Vol. 86. P. 313-332.
30. GillA.E. Atmosphere-Ocean Dynamics // International Geophysics Series. 1982. Vol. 30. New York, London: Academic Press, 1982. 662 p.
31. Polyanin A.D. Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists. Chapman & Hall/CRC, 2002.
32. Landau L.D., Lifshitz E.M. Fluid Mechanics. Vol. 6 of Course of Theoretical Physics. Oxford, New York: Pergamon Press, 1987. 539 p.
33. GossardE.E., Hooke W.H. Waves in the Athmosphere. Atmospheric Infrasound and Gravity Waves-their Generation and Propagation. Amsterdam, Oxford; New York: Elsevier, 1975. 532 p.
References
1. Stensrud D.J. Importance of low-level jets to climate: A review. J. Climate. 1996;9:1698-1711.
2. Shapiro A., Fedorovich E. Nocturnal low-level jet over a shallow slope. Acta Geophys. 2009;57:950-980.
3. Banta R.M., Pichugina Y.L., Newsom R.K. Relationship between the low-level jet properties and turbulence kinetic energy in the nocturnal stable boundary layer. J. Atmos. Sci. 2003;(60):2549-2555.
4. Banta R.M., Pichugina Y.L., Brewer W.A. Turbulent velocity variance profiles in the stable boundary layer generated by a nocturnal low-level jet. J. Atmos. Sci. 2006;(63):2700-2719.
5. Banta R.M. Stable boundary-layer regimes from the perspective of the low-level jet. Acta Geophys. 2008;56:58-87.
6. McNider R.T., Moran M.D., Pielke R.A. Influence of diurnal and inertial boundary-layer oscillations on long range dispersion. Atmos. Environ. 1988;22:2445-2462.
7. Beyrich F. Sodar observations of the stable boundary layer height in relation to the nocturnal low-level jet.
Meteor. Z. 1994;3:29-34.
8. Liechti F., Schaller E. The use of low-level jets by migrating birds. Naturwissenschaften. 1999;86:549-551.
9. Baas P., Bosveld F.C., Baltink H.K., Holtslag A.A.M. A climatology of nocturnal low-level jets at Cabauw. J. Appl. Meteorol. Climat. 1991;(48):1627-1642.
10. Blackadar A.K. Boundary Layer Wind Maxima and Their Significance for the Growth of Nocturnal Inversions. Bull. Am. Meteorol. Soc. 1957;38:283-290.
ISSN 1026-2237BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2024. No. 4-2
11. Jiang X., Lau N.C., Held I.M., Ploshay J.J. Mechanism of the Great Plains low-level jet as simulated in an AGCM. J. Atmos. Sci. 2007;64:532-547. Doi: 10.1175/JAS3847.1.
12. Kallistratova M.A., Kouznetsov R.D., Kuznetsov D.D., Kuznetsova I.N., Nakhaev M., Chirokova G. Summertime low-level jet characteristics measured by sodars over rural and urban areas. Meteorol Z. 2009;18:289-295. Doi: 10.1127/0941-2948/2009/0380.
13. Du Y., Rotunno R. A simple analytical model of the nocturnal low-level jet over the Great plains of the United States. J. Atmos. Sci. 2014;71:3674-3683. Doi: 10.1175/JAS-D-14-0060.1.
14. Van de Wiel B.J.H., Moene A.F., Steeneveld G.J., Baas P., Bosveld F.C., Holtslag A.A.M. A Conceptual View on Inertial Oscillations and Nocturnal Low-level Jets. J. Atmos. Sci. 2010;67:2679-2689. Doi: 10.1175/2010JAS3289.1.
15. Ekman V.W. On the influence of the Earth's rotation on ocean currents. Arkiv. Matematik. Astron. Fysik. 1905;2:1-53.
16. Brown R.A. Analytic Methods in Planetary Boundary Layer Modeling. New York: John Wiley and Sons; 1974. 150 p.
17. Shapiro A., Fedorovich E. Analytical description of a nocturnal low-level jet. Q. J. R. Meteorol. Soc. 2010;136:1255-1262. Doi: 10.1002/qj.628.
18. Hira S., Kanehisa H. An Analytical Solution of Nocturnal Low Level Jets. J. Meteorol. Soc. Jpn. 2015;93:477-487. Doi: 10.2151/jmsj.2015-031.
19. Smith E., Fedorovich E., Shapiro A. Comparison of analytical descriptions of nocturnal low-level jets within the Ekman model framework. Environ. FluidMech. 2017;17:485-495. Doi: 10.1007/s10652-016-9502-z.
20. Beyrich F., Klose B. Some aspects of modeling Low-level Jets. Boundary-Layer Meteorol. 1988;41:1-14.
21. Conangla L., Cuxart J. On the turbulence in the upper part on the low-level jet: an experimental and numerical study. Boundary-Layer Meteorol. 2006;118:379-400.
22. Wang Y., Klipp C.L., Garvey D.M., Ligon D.A., Williamson C.C., Chang S.S., Newsom R.K., Calhoun R. Nocturnal Low-Level-Jet-Dominated Atmospheric Boundary Layer Observed by a Doppler Lidar over Oklahoma City during JU2003. J. Appl. Meteorol. Clim. 2007;46:2098-2109. Doi: 10.1175/2006JAMC1283.1.
23. Clarke R.H., Dyer A.J., Brook R.R., Reid D.G., Troup A.J. The Wangara experiment: Boundary layer data. CSIRO Division of Meteorological Physics Tech. 1971;19:358.
24. Yamada T., Mellor G. A simulation of the Wangara Atmospheric Boundary Layer Data. J. Atmos. Sci. 1975;32:2309-2329.
25. Momen M., Bou-Zeid E. Mean and turbulence dynamics in unsteady Ekman boundary layers. J. Fluid Mech. 2017;816:209-242. Doi: 10.1017/jfm.2017.76.
26. Ingel L.Kh. One Type of Resonance Phenomena in the Atmosphere and Water Bodies. Fluid Dynamics. 2015;50:494-500. Doi: 10.1134/S0015462815040043.
27. Shibuya R., Sato K., Nakanishi M. Diurnal Wind Cycles Forcing Inertial Oscillations: A Latitude-Dependent Resonance Phenomenon. J. Atmos. Sci. 2014;71:767-781. Doi: 10.1175/JAS-D-13-0124.1.
28. Paegle J., Rasch G.E. Three-Dimensional Characteristics of Diurnally Varying Boundary-Layer Flows. Mon Weather Rev. 1973;201:746-756.
29. Tan Z., Farahani M.M. An Analytical Study of the Diurnal Variations of Wind in a Semi-geostrophic Ekman Boundary Layer Model. Boundary-Layer Meteorol. 1998;86:313-332.
30. Gill A.E. Atmosphere-Ocean Dynamics. International Geophysics Series. New York, London: Academic Press; 1982;30. 662 p.
31. Polyanin A.D. Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists. Chapman & Hall/CRC; 2002.
32. Landau L.D., Lifshitz E.M. Fluid Mechanics. Vol. 6 of Course of Theoretical Physics. Oxford, New York: Pergamon Press; 1987. 539 p.
33. Gossard E.E., Hooke W.H. Waves in the Atmosphere. Atmospheric Infrasound and Gravity Waves-their Generation and Propagation. Amsterdam, Oxford, New York: Elsevier; 1975. 532 p.
Информация об авторе
А.А. Радионов - кандидат технических наук, старший научный сотрудник, отдел математического моделирования.
Information about the author
A.A. Radionoff - Candidate of Science (Technical), Senior Researcher, Department of Mathematical Modeling.
Статья поступила в редакцию 17.06.2024; одобрена после рецензирования 02.08.2024; принята к публикации 16.10.2024. The article was submitted 17.06.2024; approved after reviewing 02.08.2024; accepted for publication 16.10.2024.
