CC BY
36
АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ ИНФОРМАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ ПОГРЕШНОСТЕЙ ИЗМЕРЕНИЙ И ОЦЕНКИ ИХ ДОСТОВЕРНОСТИ
Лысенко И.В., д.т.н.
Полной характеристикой качества измерительной информации является знание закона распределения погрешности измерений. Однако на практике часто встречаются ситуации, когда различные критерии проверки согласия опытных распределений с теоретическими дают различные результаты относительно вида распределения, т.е. имеет место неоднозначность и возникает вопрос о том, какую информацию учитывать на последующих этапах обработки. Классические методы ответа на этот вопрос не дают. В настоящей статье предлагается возможный подход к формированию таких альтернатив для последующей обработки с учётом их индивидуальной достоверности в виде функции принадлежности нечёткого множества на основе комплексного анализа с рассмотрением альтернативных распределений и привлечением различных критериев.
Ключевые слова: измерительная информация, математическая обработка, погрешность измерений, закон распределения, критерии проверки согласия, альтернативы, достоверность, функция принадлежности нечёткого множества.
ALTERNATIVE MODELS FOR MEASUREMENTS OF INACCURACY AND ESTIMATION OF THEIR VALIDITY
Lysenko I., doctorate degree of technical sciences
The knowledge of law of distribution of inaccuracy of measurements is the ultimate characteristic of measurement information. However, in practice there occur situations, when different testing criteria for conformity of test distributions produce different results relatively to a type of distribution, i.e. produce ambiguity and, therefore, arise a matter of what information should be taken into account in further processing. Classical methods do not answer this question. This article supposes a possible approach to formulating such alternatives for further processing with regard to their individual validity in a form of membership function of a fuzzy set based on complex analysis with consideration of alternative distributions and attracting different criteria.
Keywords: measurement information, mathematical processing, inaccuracy of measurements, law of distribution, conformity test criteria, alternatives, validity, fuzzy set membership function.
В практике обработки экспериментальных данных нередко имеет место ситуация, когда по результатам анализа вероятностных моделей погрешностей измерений не представляется возможным сделать однозначное заключение о виде и параметрах распределения данных погрешностей. Причин такой неоднозначности несколько: от физических особенностей функционирования первичных средств измерений до несравнимости функций мощности критериев проверки согласия опытных распределений с теоретическими. Это приводит к проблемам корректного применения статистических методов оценивания параметров моделей технических систем по результатам косвенных измерений на последующих этапах обработки экспериментальных данных. В связи с этим представляется целесообразным использовать в математической обработке экспериментальных данных все возможные альтернативные модели погрешностей измерений с учётом их индивидуальной достоверности. Однако в рамках используемых в настоящее время практических подходов к оценке вероятностных моделей измерений не существует общих методов, позволяющих сформировать множество наиболее вероятных альтернативных моделей и оценить их достоверность.
Разработка общего метода формирования альтернативных моделей случайных погрешностей измерений является прерогативой теории принятия решений и требует решения ряда задач, вытекающих из накопленного опыта анализа экспериментальных данных. Во-первых, необходимо определить условия выбора единственной вероятностной модели. Во-вторых, следует предусмотреть ситуацию возможной «нечувствительности» критерия оценки согласия опытных распределений случайных экспериментальных данных с теоретическими в конкретном случае. В-третьих, в случае невозможности выбора единственной вероятностной модели требуется определить числовую оценку достоверности каждой альтернативной модели.
Решение этих задач представляется целесообразным на основе лингвистического подхода [1, 2], в рамках которого имеется возможность формализации ситуаций, подобных рассмотренным, с использованием аппарата теории нечётких множеств. Используя основные
положения данного подхода будем полагать следующее. Имеется нечёткая переменная {R,, R. ~, R, - наименование нечёткой переменной - закон распределения случайных погрешностей измерений исследуемого параметра, R = {r , i = 1,1} - область возможных
й й r й R = Yv(Rr)/ Ri ..
значений переменной Ri - множество рассматриваемых альтернативных распределений, - нечёткое множество
RiSR
на R , описывающее ограничения на возможные значения нечёткой переменной R, v(Rt) - функция принадлежности нечёткого множества R - числовая оценка достоверностиp, с которой распределение Ri может иметь место на практике. Далее введём в рассмотрение лингвистическую переменную ^р, Р, R, Г, , где: r - наименование лингвистической переменной - множество альтернатив-
ных распределений, которые целесообразно рассматривать в конкретном эксперименте; R - множество её значений (термов), представляющих собой возможные множества альтернативных распределений, областью определения каждого из которых является множество R ;
G - процедура, описывающая процесс образования из множества R значений лингвистической переменной r в конкретном эксперименте; M - процедура, позволяющая приписать каждому значению r, образованному процедурой G, некоторую семантику путём формирования соответствующего нечёткого множества. Таким образом, научно-техническая задача разработки метода формирования альтернативных вероятностных моделей случайных погрешностей измерений, сводится к задаче синтеза процедур G и M.
При формировании процедуры G представляется целесообразным оценивать вероятность согласия опытных данных с альтернатив-
ными распределениями Я е Я на основании выводов каждого статистического критерия К у из множества имеющихся 3 критериев.
Далее предлагается выбирать наиболее вероятное распределение по результатам выводау-того критерия. Если в пользу конкретного г-ого распределения «высказывается» большинство из имеющихся 3 критериев, данное г-тое распределение считается единственным. Если из
рассмотренных I распределений в пользу каждого из // «высказалось» по одинаковому числу критериев, данные // распределений рассматриваются как возможные альтернативы. Ситуация возможной «нечувствительности» какого-либо критерия оценки согласия опытных распределений случайных экспериментальных данных с теоретическими при таком подходе (по результатам анализа вероятности согласия опытных данных со всеми предполагаемыми распределениями равны нулю или единице) позволяет исключить результаты опроса по данному критерию из дальнейшего рассмотрения. Такой метод выбора может рассматриваться как процедура индивидуального экспертного опроса. В условиях данной процедуры область определения нечёткого множества возможных альтернативных распределений случайных погрешностей измерений параметра является дискретной. Так как выводы делаются на основании конкретного числового значения вероятности согласия опытного распределения с теоретическим, тип используемой экспертной информации - кардинальный. Данные экспертного опроса можно считать детерминированными по причине того, что в каждом конкретном случае используется известное правило (вероятность согласия как функция статистики критерия).
В данных условиях представляется целесообразным синтезировать процедуру М на основании подхода изложенного в [3]. В рамках данного подхода оценки функции принадлежности каждого распределения из числа полученных альтернатив определяются как компоненты собственного вектора, соответствующего максимальному собственному значению положительной матрицы, составленной из элементов, представляющих собой оценки отношений функций принадлежности рассматриваемых альтернативных распределений. Такие оценки могут быть найдены с использованием максимальных значений вероятностей согласия опытных данных с каждым из выделенных альтернативных распределений по имеющимся критериям. Решение такой задачи всегда существует и единственно.
Таким образом, суть предлагаемого метода заключается в следующем. В случае невозможности выбора единственного распределения
Я* случайных экспериментальных данных на основании выводов большинства альтернативных критериев К у , у = 1, Ш из множества имеющихся 3 критериев к рассмотрению привлекаются наиболее вероятные распределения Я у , каждое с достоверностью р у , равной значению функции принадлежности Д нечёткого подмножества множества представленных альтернативных распределений
Я., I = 1,1 . Численное определение значений ру функции принадлежности Д организуется в соответствии с принципом выделения
максимальной образующей решётки отношений дЯ )/д{Яу).
Предлагается следующая алгоритмическая реализация данного метода.
1. Составление таблицы опроса экспертов (критериев согласия опытных распределений с теоретическими).
Таблица 1.
Предполагаемые распределения Привлекаемые критерии (эксперты)
К! Kj
статистика вероятность статистика вероятность
т„ W„ Тц W,.,
К-1 т„ Wn TD wn
2. Определить Wj , R. — R. (tyj ), j — 1, J .
3. Положить к. — 1, j — 1, J .
4. Для всех у, при которых к у Ф 0 выполнить: если К, = К1+1 ,} ф I, то к = ку +1 и к1+1 = к1+1 -1,1 = 1, J -1
5. Упорядочить к у по убыванию.
6. Если кШ > к у для всех у = 1, J , Ш Ф у , то Я = ЯШ ; перейти к п. 10.
B
1 ь.
-1
m1m2
Л
-1
mj-1mJ
ь ±
ь
ь
, —К — kmj > kj > для j —1, J -
bm1m2 ь m1m3 К bm1mJ
1 ь m2m3 Л bm2mj
Л 1 Л Л
Л bm. - 2mJ 0 b mJ-1mJ
ь_1 m2m. Л b'1 mJ-1mJ 1
W
7 m.m.
W
6/3/11, 1:10
1"‘ j
8. Определить А — \ТBv .
9. Положить равными Рш — Vш для Яш распределений, Ш — 1, Ш у .
10. Завершение алгоритма.
Примечание: рт - функции принадлежности распределений Кт, V - собственный вектор матрицы Б, соответствующий её максимальному собственному числу Атах , К* - единственное распределение.
Таким образом, разработан общий метод, позволяющий формировать альтернативные модели погрешностей измерений и оценивать их достоверность. Результаты применения вычислительного алгоритма данного метода представляются в виде нечёткого множества р^ /8 ,
где 8 - оценки, согласованные с квантилями вероятностных распределений, отвечающими требуемому уровню значимости. Очевидно,
8 являются функциями выборочных оценок параметров предполагаемых распределений [4], которые в свою очередь, могут быть получены после «выделения» погрешности (сглаживания измеряемого параметра) одним из алгоритмов, рассмотренных, например, в [5,6].
Рассмотрим пример анализа неоднозначности определения вероятностной модели погрешности измерений с использованием разработанного нами пакета прикладных программ статистической обработки экспериментальных данных. Данный пакет прошёл достаточную апробацию и позволяет безошибочно идентифицировать вероятностные распределения.
Зарегистрированный измерительный сигнал с наложенной на него выделенной при помощи локально-сплайновой модели измеряемой физической величиной представлен на рис. 1.
Данные с датчика
Время (сек)
Рис. 1.
Анализ погрешности измерений в единичном испытании Исходные данные | Анализ ММП | Гистограмма БМП [~ Оценка видов распределения | Оценка времени "прогрева" [ Сохранение в Файл |
[ Рассчитать возможные распределения |
Нормальное распределение Распределение Лапласа Равномерное распределние
Критерий Колмогорова 0.852 1.878 0,9
V* 0,462 0.002 0,393
Критерий Пирсона 14.447 73,387 7,573
У* 0,044 0 0,372
Критерий Дарбина 0,066 0,136 0,08
и» 0 0 0
Наиболее подходящее теоретическое распределение: Нормальное распределение с параметрами (-3,54679248933583Е-15; 18,976759898029) с достоверностью 0,762 Равномерное распределние с параметрами (-32,8687123064219: 65.7374246128438) с достоверностью 0,648
< г IH >
Рис. 2.
Далее после вычитания из измерительного сигнала полученной оценки физической величины проведём анализ оставшейся оценки случайной погрешности измерений. В качестве альтернативных теоретических распределений будем рассматривать нормальное, Лапласа и равномерное. А в качестве альтернативных критериев согласия опытных распределений с теоретическими рассмотрим критерии Пирсона, Колмогорова и Дарбина. Результаты анализа представлены на рис. 2.
На рис. 2 представлены статистики исследуемых критериев и вероятности согласия опытных распределений с теоретическими (w). Анализ ситуации показывает: критерий Дарбина оказался нечувствителен (все w = 0), критерий Колмогорова «высказался» в пользу нормального распределения (наибольшая w =0,462), а критерий Пирсона «высказался» за равномерное распределение (наибольшая w =0,372).
Все критерии основываются на различных по своей сути статистиках и их мощности несравнимы. Результаты вычислений по предложенному методу показывают, что в дальнейшую обработку следует принимать следующие альтернативы: нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и среднеквадратическим отклонением на уровне 18,977 с достоверностью 0,762, а также - равномерное распределение в интервале от - 32,869 до 32,869 с достоверностью 0,648. Последствия игнорирования рассмотренных альтернатив исследованы, например, в [3].
Литература:
1. Заде Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. - М. Мир, 1976. - 269 с.
2. Обработка нечеткой информации в системах принятия решений / А.Н. Борисов, А.В. Алексеев, Г.В. Меркурьева и др. - М.: Радио и связь, 1989. - 304 с.
3. Saaty T. L. Measuring the Fuzziness of Sets // J. of Cybernetics. - 1974. - Vol. 4, № 4. - P. 53-61.
4. Кобзарь А.И. Прикладная математическая статистика. Для инженеров и научных работников. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 816 с.
5. Сухорученков Б.И., Меньшиков В.А. Методы анализа характеристик летательных аппаратов. - М.: Машиностроение, 1995. - 368 с.
6. Бетанов В.В, Лысенко Л.Н., Лысенко И.В., Ряполов С.И., Ступак Г.Г. Экспериментальная баллистика ракетно-космических средств. Учебник / Под общей редакцией Л.Н. Лысенко, В.В. Бетанова, И.В. Лысенко. - М: Военная академия РВСН имени Петра Великого, РАРАН, 2000. - 287 с.
7. Бетанов В.В., Лысенко И.В. Оценивание характеристик технических систем в условиях неоднозначной вероятностной формализации экспериментальных и априорных данных / Известия РАН, «Теория и системы управления», 2001. - № 3.
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ КОНКУРЕНТОСПОСОБНОСТИ РОССИИ НА БАЗЕ МЕЖДУНАРОДНЫХ ИНДЕКСОВ
Колосов И.А., аспирант кафедры «Статистики», ГОУ ВПО «Российский экономический университет имени Г.В.Плеханова» Максимов Д.А., старший преподаватель кафедры «Математических методов в экономике», ГОУ ВПО «Российский экономический
университет имени Г.В.Плеханова»
В данной статье рассматривается конкурентоспособность России с точки зрения динамики баллов международных индексов GCI и IMD. Также был предложен обобщенный индекс конкурентоспособности 1C и на его основе были выявлены факторы, влияющие на конкурентоспособность, и на их основе с помощью метода Нейлора были рассчитаны имитационные модели, т.е. была дана рекомендация, как должны развиваться вычисленные факторы, для того, чтобы конкурентоспособность России начала расти.
Ключевые слова: конкурентоспособность России, глобальный индекс конкурентоспособности (GCI), индекс конкурентоспособности (IMD).
STATISTICAL EVALUATION OF THE COMPETITIVENESS OF RUSSIA ON THE BASIS OF INTERNATIONAL INDEXES
Kolosov I., the post-graduate student, Statistics chair, Plekhanov Russian University of Economics Maksimov D., lecturer in «Mathematical Methods in Economics», Plekhanov Russian University of Economics
The main idea of this article is to analyze the competitiveness of Russia from the point of view of scores dynamic of international competitiveness indexes GCI and IMD. A new competitiveness index IC had been offered in this article and factors, which influence on dynamic of score, also have been detected, and on this base simulation models has been created using the method of Neylor. It mean this article have any recommendations how this influencing factors should be develop that competitiveness of Russia would begin to grow.
Keywords: competitiveness of Russia, global competitiveness index (GCI), index of competitiveness (IMD).
Конкурентоспособность и факторы, влияющие на неё, в последнее время часто оказываются в центре дискуссий, посвященных экономическому росту и развитию. Однако, несмотря на такую популярность, до сих пор не существует строгого определения конкурентоспособности.
Принято различать конкурентоспособность на микроуровне (конкурентоспособность фирм) и на макроуровне (конкурентоспособность стран и регионов). При этом конкурентоспособность на макроуровне может рассматриваться в узком смысле, затрагивая соотношение цен на товары между различными странами, и в широком смысле и включать в себя множество факторов, в той или иной степени влияющих на динамику макроэкономических показателей страны.
Распределение стран по индексу конкурентоспособности характеризуется двумя параметрами: количеством баллов и занимаемым страной местом в международном рейтинге. Следует отметить, что это место является условным в том смысле, что при ежегодном составлении рейтинга количество стран может изменяться.
Целью данной работы является выявление и количественные оценки основных факторов, которые влияют на изменение рейтинга России среди стран мирового сообщества.
Конкурентоспособность России на мировом рынке оценивается по следующим показателям: количеству баллов и ее месту в глобальном рейтинге конкурентоспособности. В 2010 г. по указанным количественным характеристикам Россия имела 4,24 балла, что соответствует 63 месту в мировом рейтинге (табл. 1).
А
Для прогнозирования баллов индекса конкурентоспособности GCI был построен тренд y — ax + b . Анализ временного ряда
