Алгоритмы решения первой задачи динамики для плоских рычажных механизмов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 531.3

АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ ПЕРВОЙ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ДЛЯ ПЛОСКИХ РЫЧАЖНЫХ МЕХАНИЗМОВ

А.И. Телегин, М.В. Тимощенко

На примерах демонстрируется эффективность использования нового метода выписывания формул вычисления сил и моментов сил, действующих в кинематических парах (КП) плоских рычажных механизмов (ПРМ) для заданных законов изменения обобщённых координат.

Введение. Предлагаемая статья является продолжением статьи [1], в которой общие результаты сформулированы в утверждениях, а частные - в следствиях. Здесь на основе этих утверждений и следствий сформулированы алгоритмы в виде аналитических формул и приведены примеры их использования для выписывания главного вектора сил реакции (ГВСР) и главного момента сил реакции (ГМСР), возникающих в КП ПРМ. Алгоритмы и соответствующие примеры изложены от простого к сложному. Большинство рассмотренных примеров выписывания формул вычисления динамических реакций в КП, а также движущих сил и моментов сил, рассматриваются в учебной литературе, например, в книгах [2-5], где соответствующие формулы выведены другими методами. Это сделано с целью демонстрации эффективности предлагаемых алгоритмов, т. е. простоты и быстроты получения искомых формул по сравнению с известными методами.

Здесь, как и в [2-5], не учитываются силы трения в КП. Для их учёта необходимо рассматривать конкретные конструкции КП и использовать, например, метод последовательных приближений [3], в котором для записи искомых формул нулевого приближения эффективно использовать предлагаемый здесь подход. В приведённых примерах не требуется, чтобы ПРМ имел плоскость симметрии, параллельную плоскости движения Р, в которой действуют все силы, как это требуется в цитируемой литературе.

Ссылки на утверждения и следствия статьи [1] будем записывать в следующем виде: утверждение 1л, следствие 1 л, где 1 - номер соответствующего утверждения или следствия статьи [1]. Обращение к ьй формуле статьи [1] будем записывать в виде (1 л).

1. Выписывание уравнений динамики (УД) и формул вычисления динамических реакций ТЧ-звенников. Плоский шарнирный механизм (ШМ) с одной открытой ветвью, у которого центры масс (ЦМ) звеньев лежат на прямых, соединяющих соседние оси относительного вращения (ООВ), будем называть Ы-звенником (N8), где N - количество подвижных звеньев. Формулы вычисления ГВСР в шарнирах N8, а также движущего момента Мк можно выписать, используя

Алгоритм 1. Для N8 проекции ГВСР в к-м шарнире на оси Ок1к, Ок]к системы координат (СК) £-го звена вычисляются по формулам

к-\ ( V М ( \ М —

рк А ос, - с)к «,2 ] - так «I - Е та Д + ск1а^ )- тк 1к • £ - , (1)

Ы /=*+1 1=к

к~] ( \ Н I \ Н —

рк +эд2+ IX/ -я-]к • (2)

1=1 1=к+1 1=к

УД к-го звена имеет вид

/ Ч / \

так ЕА (?1к&1+к^ ]+Цйк+1к Xт* \сш«, - чА7;)-/=1 /~к + \

_ ___ N

- «дЛ-8~к-мьк-Ь1к ■ Е^ =Мк (3)

1=к+1

где £=1,2,...,/'/; = 0,01+] - длина /-го звена; Гк - момент инерции к-го дополненного тела (ДТ)

относительно оси Окк; Мк - движущий момент силы к-го звена относительно оси Окк (Мм+1 = 0 ); Ры, Мы - заданные главный вектор внешних сил (ГВВС) и главный момент (отно-

сительно точки О,) внешних сил (ГМВС), действующих на /-е звено. Определение и физический смысл остальных величин смотрите в [1].

Формулы (1)-(3) получаются из утверждения 1.1 и следствий 1.3, 1.4.

Пример 1. Выпишем формулы для вычисления динамических реакций в шарнире маятника. Решение. По формулам (1), (2) для к= 1 получим искомые выражения проекций ГВСР на оси

Oxix, Oj\ маятника (рис. 1): F* = -mdxax

F\

■ md\a\

■mxj\ ■ g. По определению [1 ] Of,

- угол откладываемый от / до /, . Очевидно, что ccx=q, ax=q. Из рис. 1 видно, что ix-g = gcosq, j\ -g -gcos(q + я72) = -gsin#. Следовательно, искомые формулы имеют вид F\ =~md\42 ~mxgcosq, Fxy = mdlq + mxgsmq.

Подставив в формулу (3) k= 1, получим УД маятника I'{q + m^gs'mq = 0, где Г{ - момент инерции маятника относительно ООВ, mdx - mxdx, тх - масса маятника, dx - расстояние от ООВ до ЦМ маятника.

Это УД позволяет исключить q из формулы F/. Таким образом, искомые

формулы имеют вид F* =-mdlq2 -mxgcosq, = g\mA -mdl/l{ jsm q

Пример 2. Выпишем формулы для вычисления динамических реакций в сечении маятника.

Решение. В сечении маятника на прямой, проходящей через его ЦМ перпендикулярно ООВ, мысленно разместим шарнир. Тогда получим двойной маятник (рис. 2), у которого в действительном движении q2 = 0. Теперь по формулам (1), (2) для к-2 получим

F2 - m2Lx{sxlax -cx2d2 )-md2d2 -т212 ■g, F2y = m2Lx(cnax + sudx)+md2a2 -m2j2 -g.

Так как i2 =ix и q2 = 0, получим s]2 = sin 0 = 0, cx2 = cos 0 = 1, ax = a2 = q , ax = a2 - q . Следовательно,

F2 --m2Lxq2 -md2q2 - m2gcosq = -т2{ьх + d2)c

: Ml

'» F/ =g(mi~m2dl/I{)s

Рис. 1

m2gcosq, F2 = m2{lx +d2)cj + m2gsinq .

Ya

Из УД (3) для к=2 получим М2 = М\ - ГМСР, действующий в сечении относительно оси мысленного шарнира, т. е.

М2=т621х(сх2ах+8х2а2)+Г2а2 -та2]2-% = (Г2 + md2Lx)q + md2gs\nq. Используя УД маятника I{q + mdxgsinq = Q, из полученных расчетных формул можно исключить , что приведёт к формулам искомых реакций, которые совпадают с выражениями реакций в сечении маятника, выведенные более сложным путём в [2] на с. 333-336.

Пример 3. Выпишем формулы для вычисления динамических реакций в шарнирах двойного маятника, если на его конец действует заданная сила ^ Решение. По формулам (I), (2) для к= 1 выпишем проекции на орты /,, 7] ГВСР в 1-м шарнире. Получим

Рис. 2

F* = ~md]ax -т

42

(sX2d2 + с12а2)- тх1х ■ g - г, • Fb,

= таА + тЛ2(сп«2 - 5п«22)- т\1\ ■ g -1\ ' рь > где 5,2 = зт(а2 -ах), сХ2 =со$(а2 -а,), /, ■£ = gcos(a] - 270°) = -gsinax, ]l■g = gco$(ax - m0) = -gcosax.

Для к=2 выпишем проекции на орты /2, /2 ГВСР во 2-м шарнире. Получим

^ = т2Ц (^а, - спа2)-тЛ2а\ - т212 ■ £ - /2 • ^ .

=т2Ц [спах + 512«,2)+ т^а2 - т2]2 -М-]2-Ть, где 12 ^g = gcos(a2 -2^0o) = -gsma2, j2■g = gcos(a2 -180°) =-£соза2.

Для двойного маятника И-2, МХ = М2 = 0. Следовательно, из (3) для к= 1, к=2 в процессе развёртывания сумм получим УД двойного маятника:

1\ &\ + Цт(ц(рп&2 ~512®2 )~тсГ\]] ’§ = Ц]\ 'РЬ »

Щгк (с12«1 + -512«12)+ /г«г - тагН ~ к ' Мь = Ь2к -12 хРь = 12]2 ■ /? .

Отсюда можно выразить ах,а2 и подставить их в формулы вычисления проекций искомых ГВСР, что приведёт к зависимостям, которые получены в [2] на с. 342-344.

2. Выписывание формул вычисления движущих моментов сил и динамических реакций в шарнирах замкнутых N8. Если последнее звено N8 образует со стойкой КП, то её можно мысленно разорвать (разомкнуть контур), заменив связи на ГВСР ^ и ГМСР Мг относительно точки 0К. Из утверждения 1.1 следует, что для выписывания формул вычисления ГВСР и ГМСР в шарнирах замкнутого N8, а также векторов ^, Мг и движущих моментов Мк можно использовать алгоритм 1 со следующими дополнениями. Во-первых, в левую часть формулы (1) необходимо добавить слагаемое • /%. Во-вторых, в левую часть формулы (2) необходимо добавить слагаемое ]к ■ Рг. В-третьих, в правую часть формулы (3) необходимо добавить слагаемое Ьк]к ■ Рг и, если искомым является момент Мг, то в последнее УД необходимо добавить слагаемое к -Мг. Здесь Рг, Мг - искомые ГВСР и ГМСР относительно точки Ои, действующих на последнее звено N8.

Можно выделить три вида размыканий (мысленного разрыва связей) последнего звена одноконтурного ПРМ со стойкой. Во-первых, размыкание конца (точки) звена с линией контакта. Взамен вводится ГВСР Рг-Ргё, где ё - нормаль к линии в точке контакта. Во-вторых, размыкание вращательной КП (ВКП). Взамен вводится ГВСР Рг. В-третьих, размыкание поступательной КП (ПКП), образованной последним звеном N8 со стойкой. Взамен вводятся ГВСР Рг ё и ГМСР Мг =Мгк относительно точки Ои, где ё - нормаль к оси ПКП.

Пример 4. Для двухзвенника на рис. 4 выпишем формулы вычисления следующих величин: динамических реакций в шарнирах; силу реакции Рг, удерживающую концевую точку А на оси ОХ; движущий момент силы Мх, под действием которого первое звено вращается относительно стойки по заданному закону д = д(г).

Решение. Устраним контур, разорвав связь конца 2-го звена (точки А) с осью ОХ. На 2-е звено действует сила реакции связи ^ = РГ]. Подставим в (1)-{3) вместо к номера 1, 2 и учтём добавленный ГВСР Рг . Получим следующую систему 6-ти уравнений:

Щ = МХ + к! 1 • рп Щг = • Рг-

Здесь и в дальнейшем через ^ обозначены правые части формул (1), (2) соответственно, и через Мг

обозначена левая часть формулы (3).

Для вычисления Рг используем последнее уравнение системы М:ц2-ЬгРг]2-]. Получим РГ = М:(121{Ь2] ■ ]2)■

у2 ■ у = соз(180-д -<?2) - + 92)’ получим Рг = -М*2 /Ь2 соэ^ + q2). Искомый движущий

момент М, найдем из предпоследнего уравнения: М, + ЦРГ]Х ■ ]-М~'цХ. Так как у, • у' = созд,

получим Мх = М;/Х + ЬхРгсо$д. Силы реакции в 1-м и 2-м шарнирах находим из первых четырёх уравнений системы. Получим

Учитывая равенство

^ = 7^ - Т^Д • ] = 7^ - Рг со5(270 + д) = Рд\ - зіпд, Р/ = 7^ - Рг)\ • ] = ^ - Рг созд,

Рг = ^2 -^-4 • У = ^ + дг), = 7$ -7^7, ■ 7 = 7$ -7? сов^ + ц2).

Выражения для вычисления Р*к, 7*^, (к= 1, 2) выписываются по аналогии с предшест-

вующим примером, т. е. как для двойного маятника, но без учёта внешней силы 7^, так как она здесь отсутствует. В заключение в формулах вычисления Рг, Мі, Рк , /г/, М:к (к=\, 2) можно выразить д2 и её производные по 1 через д, д, д . Соответствующие выражения можно найти, например, в [3,4]. Эти выражения достаточно громоздки и относятся к результатам кинематического анализа ПРМ с замкнутыми ветвями.

Пример 5. Для центрального кривошипно-ползунного механизма на рис. 5 выведем формулы вычисления следующих величин: динамических реакций в шарнирах; ГВСР ^, ГМСР Мг, удерживающих ползун на оси ОХ; движущий момент силы Мх, под действием которого кривошип вращается по заданному закону д = д(і). На ползун действует заданная сила сопротивления ¥ь =Р,,і .

Решение. Заменим связь ползуна с осью ОХ на ГВСР Рг -Рг] и ГМСР Мг = М.к . Из (1 )-(3) для кривошипа (^ = і), шатуна {к-2) и ползуна {к = 3) выпишем следующую систему уравнений баланса силовых факторов в шарнирах:

[^+^4-7 = 7^, 7^ +7^,7*-7 = 7^, (* = 1,2,3),

[щ =Щ+ ЦРг1х ■ Ъ Щг = 12рг1г • Л Щъ =к-Мг.

Здесь учтено, что второй и третий шарниры пассивные, т. е. М2 ~МЪ = 0, момент силы Рь относительно точки 03 на нулевом плече равен нулю.

Из двух последних уравнений системы получим Рг = М^2 ЧРІї ' Л > Мг = М[]Ъ. Искомый движущий момент найдем из УД кривошипа: М, - /,, Рг], ■ j . Проекции ГВСР в шарнирах на оси Окік, Ок /к (*=1, 2, 3) находим из первых шести уравнений. Получим

77777

^ рь х

Мг

Рис. 5

■Рф-Рг]- \ =РЧ]-РГ &тд.

Р}

с ояд,

= Рц2 ~ Р,1' \ = Рд2 + Р, + 42 I Рі = РЧУ2 ~ Рг] ' Л = Рц2 + + <?2 ) >

<?2

рі-р-у -р:)-ъ-р-у.

Формулы для вычисления Р*к, Рук, Мф выписываются по алгоритму 1 аналогично примеру 2.

3. Алгоритм решения 1-й задачи динамики многоконтурных ШМ. Формулы вычисления ГВСР в шарнирах ШМ, а также движущих моментов Мк можно выписать, используя

Алгоритм 2. Для ШМ проекции ГВСР в к-м шарнире на оси Окік, Ок]к СК к-то звена вычисляются по формулам

-Е^ =рч\ -4 -Е^ > рку+1к -Е^ =рч1 -Л -Е^ ’ (4)

/>£

і>к

і>к

і>к

УД к-го звена имеет вид

Щк -к-

мЬк +мгк + Е К/ *Е(^ +ргі)

JЛ

.!,к

где

Рф =щ'£к*-Ф'2)-такй1 -Ета(чА + )“ткЧ • £>

I !>к

(5)

(6)

Рф =ткЦК%+ К т*<*к + Етш(скА -)-тк]к ■ g,

I ок

Мдк = т<& Ё КМ (*$«/ + *ХЯ‘а,2)+ 1к&к + Е К7 Е тл (5^А - 4Д2 )-тл]к’й,

'2У

ъх\к

<Рх

= эт{а1к+<р ),

ч3 = эу1к

вт(ал + <РУ1),

(7)

(8) (9)

[агссоэСй*/./?*■’')- если Щ <0, -агссо${Я* I Я*у) - если Яу >0,

|агссоз(Л; /Я/)- если RJ >0, -агссоз(Л^ /Я?) - если Ях <0.

Определения и физический смысл всех величин смотрите в [1].

Формулы (4)—(9) получаются из утверждения 1.1 и следствия 1.1.

Пример 6. Для плоской модели трёхногой шагающей платформы (ТТПГТ) [6] в процессе выполнения шага в горизонтальной плоскости (рис. 6) выведем формулы вычисления следующих величин: динамических реакций в точках О, А, В контакта ступней ног с опорной поверхностью и в шарнирах ТШП. Моменты движущих сил в шарнирах заданы.

Решение. Разомкнём два контура ТШП. Для этого мысленно разорвём ВКП между опорной поверхностью и ступнями ног в точках А ц В, заменив связи на ГВСР /<д, Рь. Тогда по формулам (4), (5) для к= 1, 2,..., 5 получим следующую систему уравнений:

>кх + 4 ■ й + Рь)= Рф, П + Л-{К + Ю= Рф, к-1,2,3,

Ъ+~и-Ра=Р1^/+л-^ = ^4,

р5+ь-рь = р'^р/+]5.рь=ру5,

М*1 -к-Я2х(Ёа+ ¥ь)= 0, М\2 - к ■ Яг X Й + ¥ь)= м2,

■ к - {я4х Ра + Я5х р^- М -к-ЯахТа=М4, М‘5 где Я0 = 002 - т

м,

м

-м, -м

ЧА

к-ЯьхРь

5’

■ М,

5’

■ ОгОъ

Ы2, Я4 = 030А = -Я5 = <*,, Яа = 04Л ■

= й/4, Я„

05В

■■ М5, а -

длина 1-го звена (голень костыля), Ь - длина 2-го звена (бедро костыля), (1 = 0,0 4 - половина длины платформы, к = 04Л = 05В - половина длины ноги (переднего и заднего мостов). Следовательно, пять последних уравнений (УД ТШП) имеют вид:

+ ^)= О,

М^-Ь]2-(га+Рь)=М2,

м;3-ф3.(ра-гь)=м3-м4-м5,

Мд4-!у\-Ра=М4,

Щь-ЪЬ'Рь=Мъ.

Любые четыре УД ТШП можно использовать для поиска ГВСР Ра, Рь. Проекции Р/ ГВСР в точке О на оси Оц, 0]\ находим из уравнений:

р{г = рч] - к- {ра + Рь\ Р<у = р,\ -1 \ра+рь)-Аналогично ГВСР в к-и шарнире находим из уравнений

Р-? +

^■{ра+РьЬр^ р2У+]2-{Ра+РЬ)=Рд}.I, Р,Х+Н-(Ра+Р*)=Р^ Р/ + к ' Й + ^ )== .

р^ + й ■ Ра = РдА > Р/ + и -Ра=Рс

- ру

цА >

Р.+Ч-Рь

Ра\> Р! +Ь-РЬ

■ РУ

РЧ5-

Формулы вычисления величин , Е(}1;, М-!к выписываем по алгоритму 2. Учитывая, что с/4 = <а?5 = 0 по формулам (6)-{8), получим

Рд\ = ~тсПа\ - тсП (*12 «2 + С,2«2 )> + ™ё2 (<42 <*2 “ ЯХ2«1 \

^2 ~ т2^2^х]2^1 —Яу]2а, ')-Ш(12(^2 ’ ^2 = у\2&\ + )+ тй2^12 >

-^2Г(5^13^1 — ^^13^1 )+ 23*^2 “^угз^г).

^^3*1 +,5дг13^1 )+'^3У(5^23®2 +5.?23®;

— 5^14®1 )+ •^з'У(‘Удс24^2 — 5.у24^2 )+ -^4^ (5*34^3 *У^34^3 ).

(5у14^1 + ,Ух14<^1 )+^з' (^24^2 +5л:24С*;2 )+^4^(5у34^3 + 5.г34С*;3 )

Кг[?х1Ъ&1 ~11у15<Х\ )+-^33 {Ях25^2 _5'у25С*2 )+ ^5^ (^35^3 — 5^35®3 )]’

^?3 ~ %

^/з =щ

[\,А = «4 ^,4 = ОТ4

<?5

■ /И,

/Г->"

■ т<

^2^у15^\ + 5*15^1 )+ ^3^ (^^25^2 + ^25^2 )+ ^ (5^35®3 + 5х35®3 )] 5

-^</1 ~^1 + Я-2тс12 ^у\2&] — 5х12^г)> ^ц2 ~тй2^2 (5,.|2®1 + ‘^.г!2С^ГГ )+ ^2®2 >

Щъ^ГЪ& 3» ^4 =/4«4, Мгч5=Цщ.

По определению и из рис. 6 видно, что Л ’; = 0, Л2гу = а, Л3СТ = й , = с1, й5*

-с/. Следова-

тельно, по формуле (9) получим

V*

= Бт(ай +я,/2) = созау

■'/А ’

5^34 =8та34 =534, 5^34 = + ж / 2) = соэа34 = с34, ^35 = 8т(а35 +Л-) = -8Й

5^35 = 81п(а35 -яг/2) = соейг35 -с35. Таким образом, получены все формулы для вычисления искомых величин.

Здесь рассмотрена упрощённая модель ТШП и описан алгоритм вычисления ГВСР в шарнирах и опорных точках без учёта трений. Результаты кинематического, статического и динамического анализа ТШП в самом общем случае и с учётом сил трения в шарнирах готовятся к публикациям.

4. Алгоритм решения 1-й задачи динамики одноконтурных ПРМ. Для решения 1-й задачи динамики одноконтурного ПРМ можно использовать

Алгоритм 3. Для одноконтурного ПРМ проекции ГВСР в к-й ВКП на оси Ок 1к, Ок вычисляются по формулам

4 ■ рг = Щ Е [с/* (*/ - Я/+1 а,2)+ 5Л (.Л(+1 а, + 2x,6с,)]-(=1

а*)4

г / ч 1 _ _ __

+ XX Iек, (*/ - Ха*! Г **, (^Д + 2х,а, )\-тк \ • £ - \ ■ £ ,

;=£+] /=£

рк +1кшЯ = И*Х] [-**(*/ -^+1«/2)+сл(Ли-1й/ +2х,а,1+тк(хЛак + 2хксск)+

/ = 1

/У^ г / \ "I _ _ N ^

” хаа[)+ск1(хаа1 + 2х!а1)\~тк]к ■ £ - ]к ■ ■

(10)

(11)

1=к+1

Проекция Мк ГМСР к-й ПКП на ось Оокк вычисляется по формуле

М, - Мы + к • 11^ х Е’ = т ,х.

-Км^)+с,к{яма, +2х,а^\

+

1=1

+ + 2ткхЛхкак + ^+1 -^•^)+с*,(дсЛа|- +2лД.)]~

1=к+\

(12)

-ЩХ<я]к-8-Ь-

Мьк + Як+1 х

/=*+1 У

Если искомым является ГМСР, то для к=М в левую часть формулы (12) необходимо добавить слагаемое к ■ Мг. Здесь 7% , Мг - искомые ГВСР и ГМСР относительно точки Оы, действующие на последнее звено ПРМ. Определения и физический смысл смотрите в [1].

Формулы (10)—(12) получаются из утверждения 1.1 и следствия 1.2.

Пример 7. Для ПРМ с качающимся цилиндром на рис. 7 выведем формулы вычисления следующих величин: динамических реакций в 2-х ВКП и одной ПКП; силу реакции Рг в точке А шарнира, замыкающего ПРМ на стойку; движущий момент силы Мх, под действием которого кривошип вращается по заданному закону д = #(/). Сила Р3 в ПКП задана (давление газа).

Решение. Устраним шарнирную связь в точке А, заменив её силой реакции Рг. По формулам (10)—(12) получим следующую систему уравнений:

рк + 4 • К - *

Рк +]к-Я=Рдк> (* = 1,2,3)

Мх-М2+к-Ж2хРг=М*и

М2-М3+к-Я3хРг- М:ц2,

М3 + к-О03АхРг =Мгц3.

Здесь через Рф, Рф, Мф обозначены правые части уравнений (10)—(12) соответственно.

Просуммируем два последних уравнения. Получим М2+к -02АхРг =М2ц1 + М*3. Так как

второй шарнир пассивный (М2= 0), получим кх02А- Рг = М*2+ М:ц3. Введем обозначение к = 02А. Тогда к х 02А = кк х і2 = к]2. Следовательно, у2 •Рг-[м*2 + М*ц3)/к. Из 5-го уравнения получим /3 • Рг - Рф - Р3 . Так как /2 = , получим для проекций искомого вектора на оси

СК 3-го звена следующие расчетные формулы і3- Рг- П . Л • К = Кг + Щг)*, Иско-мый движущий момент Мх находим из 7-го уравнения системы: М, -М^ ~к-К-,х Рг. Силы реакции в ВКП находим из первых 3-х уравнений. Проекцию Р/ силы реакции в ПКП находим из уравнения Р3 = Ру3 - /3 ■ Рг. Момент Мъ силы реакции относительно точки Оо3 в ПКП находим из последнего уравнения.

Выражения для скалярных величин Рф, Рф, Мф элементарно выписываются на основе правых частей формул (10)—(12).

5. Алгоритм решения 1-й задачи динамики многоконтурных ИРМ. Условия статистической определимости ПРМ. Для решения 1-й задачи динамики многоконтурной ПРМ можно использовать

Алгоритм 4. Искомые относительные силовые факторы &-го звена ПРМ, т. е. сила Рк и момент силы Мк (относительно точки Оок), действующие на к-е звено со стороны его базы, а также главный вектор Р„ и момент Мп (относительно точки О0і) сил реакций, действующих на г-е звено со стороны мысленно разорванных связей (при размыкании контуров), удовлетворяют следующим уравнениям

О3)

І І>к іік

' М.-^М^Мгь+^хХЯ^Мф-Мф-^хХП,, к = \,2,...Л (І4)

] ,к ),к і>] ],к />у

где проекции векторов Рф , Мф на оси Оокік, Опк]к, Опкк СК к-го звена вычисляются по формулам (1.12), (1.13), (1.17).

Можно выделить четыре вида размыканий (мысленного разрыва связей) в ПРМ. Во-первых, размыкание конца (точки) к-го звена с контактной поверхностью. Взамен вводится сила Ггкёк, где ёк - нормаль к поверхности в точке контакта. Во-вторых, размыкание ГЖП. Взамен вводятся сила РгУк и момент силы Мгкк относительно точки Оок. В-третьих, размыкание ВКП. Взамен вводятся силы Р^кік,Р}к]к. В-четвёртых, разрезание к-го звена на две части. Взамен вводятся силы Р^кік, Ргк]к и момент силы Мгкк.

Проекции ГВСР и ГМСР в КП и размыканиях на орты осей СК звеньев, а также искомые движущие силы и моменты сил будем называть составляющими искомых силовых факторов (СИСФ). Число СИСФ, определяемых из системы уравнений (13), (14), не должно превышать число независимых скалярных уравнений, получаемых из этой системы и содержащих СИСФ. Соответствующее условие называют условием статической определимости.

Утверждение 1. Если N - число подвижных звеньев древовидной ПРМ (ДПРМ), п - число искомых движущих сил и моментов сил, «з - число мысленно разрезанных звеньев для устранения контуров ПРМ, и2 - число размыканий ВКП и ПКП, щ - число размыканий высших КП, то условие статической определимости ПРМ имеет вид:

N >п + щ+2п2+3щ. (15)

Доказательство. Если пр - число пассивных ВКП и ПКП ДПРМ, т. е. не имеющих приводов, то условие статической определимости имеет вид:

ЗЫ > Зп + 2пр + Зи3 + 2пг + щ . (16)

Действительно, для плоских открытых ПРМ с N подвижными звеньями число независимых скалярных уравнений, получаемых из системы (13), (14) равно ЗЫ. Причём для каждого к (£=1, 2,..., М) два уравнения получаются после скалярного умножения уравнения (13) на два не-коллинеарных вектора, лежащих в плоскости движения ПРМ, и одно уравнение - после скалярного умножения уравнения (14) на к . Число СИСФ для активной (имеющей привод) КП равно трём (две составляющие динамических реакций и одна движущая сила для ПКП или момент силы для ВКП). Поэтому первое слагаемое в правой части условия (16) равно 3п. Для остальных (пассивных) ВКП и ПКП число СИСФ равно двум. Поэтому второе слагаемое в (16) равно 2пр. Число СИСФ, соответствующих одному разрезанному звену, равно трём. Поэтому третье слагаемое в правой части условия (16) равно Зщ. Число СИСФ в размыкании ВКП или ПКП равно двум, а в размыкании высшей двухподвижной КП равно одному. Поэтому последние слагаемые в (16) дают сумму 2п2 + щ . Очевидно, что пр= N -п . Подставим в (16) вместо пр разность N - п

и после элементарных упрощений получим условие (15). Утверждение доказано.

Замечание 1. В теории механизмов и машин условие (15), вероятнее всего, известно, но в цитируемой литературе [2-5] и в других известных нам источниках оно не встречается. Поэтому (без претензий на новизну) условие (15) здесь не только сформулировано, но и доказано.

Пример 8. Для кулисного двухконтурного механизма на рис. 8 выведем формулы вычисления следующих величин: динамических реакций в трёх ВКП и одной ПКП; ГВСР Рг3 в шарнирном замыкании последнего звена первого контура на стойку; ГВСР Рг = Ргі и ГМСР Мг - Мгк в замыкании последнего звена второго контура на стойку; движущий момент силы М{, под действием которого кривошип вращается по заданному закону д - д(?). Сила сопротивления Рс - , где Рс - заданная функция времени.

Решение. Мысленно разомкнув контуры, получим ДПРМ, в котором на конец 3-го звена действует сила реакции Рг3, осуществляя шарнирное замыкание 1 -го контура на стойку, а на 5-е звено действуют сила Рг - Ргі и момент сил реакции Мг = Мгк , осуществляя призматическое замыкание 2-го контура на стойку. Для этого ПРМ имеем п2-2, пъ = щ = 0, п=\, N=5, т. е. условие (15) выполняется. По формулам (13), (14) для к-1,2,3,4,5 получим

Fl+Fr3+Frl = Fql-Fc,

Мх-M2+R2x(Frз + Fci)=Mql ~R2xFc,

F2+Fr3+Frl = Fq2-Fc,

M2 -M3 -М4 + R3 xFr3 + FrR4 xi = Mq2 -R4 xFc,

< __________________ ____ _____

F3+F,3=Fq3, M3+Mr3=Mq3,

F4 + Fri = Fq4 -Fc,

M4 -M^+F^xi =Mq4-RsxFc,

F5+Frl = Fq5-Fc, M5+Mrk=Mq5-Mb5.

Так как к -M5-0 и к ■ Мъь = 05В х Fc = 0, то из последнего уравнения получим Mr - Mq5. Все ВКП кроме 1-й - пассивные, т. е. М2 - М4 = М5 - 0. Поэтому из 8-го уравнения системы получим Fr =(м*4 - к ■ R5 х Fc )/(k ■ R5 xi). Просуммируем 4-е и 6-е уравнения системы. Получим FrR4 х i + Оо1А х Fr3 = Mq2 + Mqз -R4xFc, так как Mr3 =O03Ax Fr3, R3 + Oo3A ~Oo2A. В рассматриваемой ПРМ ПКП - пассивная, т. е. /3 -Fr3 = Fq3. Таким образом, ГВСР Fr3 можно найти из системы

h ' Кь ~ Рчг >

k-Oo2AxFr3 — Mq2 + Mq3 - к -R4xFc-Frk-R4xi.

Движущий момент найдём из 2-го уравнения исходной системы. ГВСР в 1-й, 2-й, 4-й и 5-й ВКП находим соответственно из 1-го, 3-го, 7-го и 9-го уравнений системы. Выражения для вычисления всех скалярных величин Fqk,Fyk,Mqk элементарно выписываются по формулам (1.12), (1-13), (1.17).

6. Выписывание УД ПРМ. Для исключения ускорений из формул вычисления СИСФ можно использовать утверждение 1.4 и следствие 1.5.

Пример 9. Выпишем УД двухрукого манипулятора на рис. 9, работающего в горизонтальной плоскости.

Решение. По формуле (1.39) для к -1 получим Mq] =МХ- М2 - М3. По формуле (1.40)

М2 -m2x2{R2 s2ynax + R2 s2xna2)+ x2m2(xd2a2 +2x2a2),

M3 = m3x3{R3y + R3ys2xl3df)+ x3m3(xd3a3 +2 x3a3).

Из рис.9 видно, что ах -d2=qv а, = а2 = , xd3 = х3, xd2 = х2, ап - а]3 = 0 . Согласно (1.5)

получим

s2m = sin[«]2 + arccos(i?2 IЯ2У)} - sin[arccos(cos<p2)] = sin (p2 =hld, s*13 = sin[«13 - arccos(i?3 /R3y)] = -sin[arccos(cos<p3)] = -sin <p3 =-h/d, где <p - угол между гипотенузой 000J длиной d=Rxy и катетом 0CdX длиной dt = R* (/=1, 2) прямоугольного треугольника, у которого второй катет Cd]Onj имеет длину й=| Ry |. Аналогично,

s2yU = sin[a12 + arccos(i?2 / R?)} = sin[arccos(- cos y2)] = sin(;r -y2) = dx Id,

5^3 = sin[or13 + arccos(7?3' /R3y)] = sin[arccos(cos/3)] = siny3=dx Id ,

где у - угол между гипотенузой 000J и катетом Cdl0OJ. Следовательно,

М2 = т2х2{^х^х + кс/х)+ т2х2{х2(}\ + 2#,х2),

Мз= т3х3(с!^ - Цх)+ т3х3(х3д, + 2д}х3).

По формуле (1.17) для к = 1 получим

Мд\ — 1\&Х "*■ [^*12 (-^2 ~ ХЛ2^2 )+ 5уп(Хс12®2 + 2Х2<Х2)] +

+ Я3ут3[уг|з(х3 — хЛ3а3")+ ^уХЗ{хаза3 + 2х3а3)]=

= Ц'4Х + т2 [с/, {х2дх + 2хгд{) + н{х2 - х2с[х )]+ т3 [с/, (х3дх + 2х3%) - и(х3 - х3ц])].

Таким образом, УД 1-го звена имеет вид (/{ + 2т2с1хх2 + т2х\ + 2т3с1хх3 + т3х3)<7, -

+ к(т2х2 - т3х3) + 2т2 (с1{ + х2 )х2^, + 2т3 (о', + х3 )х3д] = Мх.

По формуле (1.38) для к -2,3 получим Р*2 = Р2, Р*3 = Р3. По формуле (1.12) для к-2 получим

Рд2 = ~3уП®\ )+щ{х2 ” Хс12^2 ) =

= т2Щх + т2х2 - т2 (х2 + с!х )д2 = Р2.

По формуле (1.12) для к- 3 получим

З^З^^З®! — ^13^1 )+тМ ~ Х<Н(Хз) =

рху 2 _и рху 3

Л2 Лх12 ~ п> Л3 Лх13

-h, R?s2 -

2 у\2

R?Sy\i =dl И

Fq\ =m,

-m

Jig} + m3x3 - m3 (x3 + dx )q\ = F3.

О

Рис. 9

Таким образом, УД двухрукого манипулятора имеют следующий вид.

[/,; + т2х2(х2 + 2dx)+ т3х3(х3 + 2d])]^ + к(т2х2 -т3х3) +

+ 2т2 + х2 )х2д, + 2т3 (й?, + х2 )х3дх - Мх, т2кд} + т2х2 - т2 + х2 )д2 = Р2,

- т3Щх +т3хъ- т3 ^х + х3 )д2 = Р3.

Пример 10. Выпишем УД манипулятора на рис. 10, работающего в вертикальной плоскости. Решение. По формулам (1.41) и (1.27) для к = 2 с учетом равенств сп = соэО = К

42

: sin 0 = О, хх = 0, xdX =dx, х,

Kd2 -х2, i2 ■ g = gcos(90 + qx) = -gsin qx, ах-а2- qx получим УД 2-го звена

Fq2 =т2(- R2<1i)+ тг{х2 ~xd24i)-mj2-g = m2x2 ~ т2 (К2 + *2 )9\ + m2gsin qx =F2.

По формулам (1.42), (1.30)-(1.32) для к = 1 получим Ixax + R2m2(xd2a2 + 2x2a2)-mxxdxjx ■g = Mx -М2.

По формуле (1.43) получим М2 = m2x2R2ax + x2m2{xd2a2 + 2x2dr2)-m2x2j2 ■ g. Следовательно, УД 1-го звена имеет вид

Ixqx + R2т2(x2qx + 2x2qx )-mxdx cos(l80 + qx) =

-Mx -m2x2R2qx -x2m2(x2qx + 2x2qx)~

- m2x2 cos(l80 + qx).

[/* + т2(х; + 2^X2^, + 2т2{я2 +х2)х2д, +

+ (т^х + m2x2)cosqx = Мх.

Пример 11. Выпишем УД манипулятора на рис. 11, работающего в вертикальной плоскости.

Y1 \ — R J2 N f2f Ха

го звена Ъ г ч ! ч

0' 0 / ? X

77/77

Рис. 10

Решение. По формулам (1.41), (1.27) для к = 1 получим Fq\ = «1*1 + т2сих2 + m3cX3(-d3q\)-sX3d3q3 -т'ц ■g = F].

Из рис. 11 видно: ix-g = g cos(l 80) = -g; сХ2 = cos(- 90) = 0;

с13 = cos(270 + |?з) = sin <у3 = s3; s]3 = sin(270 + g3) = -cosg3 =-с3.

:s3; s-

Следовательно, УД 1-го звена имеет вид тххj + m3d3c3q3 - m3d3s3qj + mxg = Fx.

По формулам (1.41), (1.27) для к = 2 получим F*2 = т2спхх + т2х2 + т3[с23(- d3q\)- s23d3q3\-т212 -g = F2.

Из рис. 11 видно: с23 = cos q3 - съ; ^23 = sin q3 - s3; i2-g = 0. Следовательно, УД 2-го звена имеет вид т2х2 -m3d3s3q3 - m3d3c3q\ =F2.

По формулам (1.42), (1.30)-( 1.32) для к = 3 получим М;3 = d3m3(-ад -s23x2) +1z3q3 -m3d3j3 -g=M3.

Так как j3 ■ g = gxos(l 80 + q3) - -gc3, получим следующее УД 3-го звена;

m3d3(c3xx -s3x2) + I3q3 + m3d3gc3 = M3.

Таким образом, УД манипулятора на рис. 11 имеют вид

тххх + md3(c3q3 -s3q23 )+mxg = Fx; т2х2 -md3(s3q3 + c3q\)= F2

■ 2’

m

(c3*3 -53x2)+ Iz3q3 + md3c3g = M3.

Заключение. Сформулированные алгоритмы и примеры их использования продемонстрировали, как можно просто и быстро выписать формулы вычисления динамических реакций и обобщённых движущих сил ПРМ.

Литература

1. Телегин, А.И. Новые формулы для динамического силового анализа плоских рычажных механизмов / А.И. Телегин // Вестник ЮУрГУ. Серия «Машиностроение». - 2007. - Вып. 10. -№25(97). - С. 3-11.

2. Лурье, А.И. Аналитическая механика /А.И. Лурье. - М.: Физматгиз, 1961. -824 с.

3. Механика машин: учебное пособие для втузов / ИИ. Вульфсон, М.Л. Ершов, М.З. Коловский и др.; под ред. Г. А. Смирнова. - М.: Высш. шк., 1996 - 511 с.

4. Озол, О.Г. Теория механизмов и машин / О.Г. Озол; под ред. С.Н. Кожевникова. - М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1984. — 432 с.

5. Теория механизмов и машин: учебник для втузов /К.В. Фролов, С.А. Попов, А.К. Мусатов и др.; подред К.В. Фролова. - М.: Высш. шк., 1987. - 496 с.

6. Телегин, А.И. Уравнения динамики механических систем абсолютно твёрдых тел: учебное пособие /А.И. Телегин, А.В. Абросов - Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2003. - 80 с.