Модель движения двух твёрдых тел при столкновении с преградой и односторонними связями Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ

УДК 531.39; 531.66

А. А. ЗЕМСКОВ, С. А. КАШКИРОВ, В. К. МАНЖОСОВ

МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЯ ДВУХ ТВЁРДЫХ ТЕЛ ПРИ СТОЛКНОВЕНИИ С ПРЕГРАДОЙ И ОДНОСТОРОННИМИ СВЯЗЯМИ

Построена модель столкновения двух твёрдых тел с жёсткой преградой. Механическая система имеет несколько степеней свободы и односторонние связи. Удар считается мгновенным. После удара и при восстановлении скорости возникает процесс многократных ударов одного из тел. Для произвольного удара определены скорость удара, величина отскока тела от преграды, время между двумя последовательными ударами. Определено время переходного процесса, связанного с многократными ударами. Построена модель движения второго тела при разрыве связи с первым телом. Определены условия, при которых не происходит столкновения твёрдых тел друг с другом.

Ключевые слова: модель движения, столкновение, односторонние связи, удар, коэффициент восстановления, многократные удары, относительное движение

Механизмы автоматизированного захвата твёрдых тел занимают важное место в технологических процессах транспортировки объектов [1, 2]. В работе [3] рассмотрена механическая система переменной структуры, предназначенная для дистанционного автоматизированного захвата твёрдого тела и последующего его подъёма. Схема механической системы представлена на рисунке 1.

V

а)

щ-□

в)

Рис. 1. Схема механической системы: а - перемещение механизма к объекту транспортировки; б - положение механической системы в момент столкновения; в - схема механической системы в виде системы двух твёрдых тел в момент столкновения

Движение механической системы при перемещении механизма захвата к объекту транспортировки до момента контакта звена 3 с объектом транспортировки описывается уравнениями: J-yip = M1-ахр + c(x-pr), если x>pr ; Jpip=M1-ахр, если x<pr ; mx = G - c(x - pr) - а2X, если x > pr ; mX = G - а3X , если x < pr,

где J1 - приведённый к звену 1 момент инерции привода; Q1 = М1 - а1 р - обобщённая сила, приведённая к ведомому звену механизма 1 (барабану); М1 - приведённый к звену 1 момент движущих

© Земсков А. А., Кашкиров С. А., Манжосов В. К., 2019

сил; <р - скорость вращения ведомого звена механизма 1; а<рр - приведённый к звену 1 момент сил трения привода; с - жёсткость троса; х - координата прямолинейно движущегося тела массой т ; <р - угол поворота барабана; г - радиус барабана; т - суммарная масса всех звеньев, движущихся прямолинейно вдоль оси х (т = т2 + т3, т2 - масса звена 2, т3 - масса звена 3); Q2 = G - а3X -обобщённая сила, приложенная к прямолинейно движущемуся телу массой т; G - сила тяжести тела массой т ; а3 х - приложенная к звену 3 сила трения; х - скорость прямолинейно движущегося тела массой т.

Неравенства вида х > рг или х <рг в уравнениях движения учитывают наличие удерживающей или неудерживающей связи звена 2 и ведомого звена 1 привода.

В момент столкновения звена 3 с объектом транспортировки (рис. 1, б) механическая система приобретает дополнительную степень свободы, и её движение рассматривается как движение звена 3 с ударом о преграду (объект транспортировки), вращение звена 1 и движение звена 2 с разрывом не-удерживающей связи со звеном 3.

В работе [1] была рассмотрена модель движения звена 3 при соударениях о преграду в предположении, что в процессе этих соударений отсутствует контакт звена 3 и звена 2. Модель столкновения звена 3 с преградой описывается равенствами:

х+ = — Я • х-, если х3 = хс и Хз > 0,

где .¿з - скорость звена 3 после столкновения с преградой; .х— - скорость звена 3 перед столкновением с преградой; Я - коэффициент восстановления скорости при столкновении с преградой; х3- координата звена 3; хс - координата преграды.

Координата х3 при столкновении совпадает с координатой преграды: х3^с) = хс, ' = 1, 2, 3, ..., п, где (с - время ¡-го столкновения.

Удар звена 3 о преграду может многократно повторяться на интервале t <t<^ (^ - время первого столкновения; ^ - время завершения процесса многократных соударений и останова корпуса). Если на интервале t1 <t < ^ после первого столкновения в момент tc происходит ¡-й удар (¡' = 2, 3,.), то

х3 = —Ях— (^) + я ^ — tc¡), х3 = хс — Ях— «с—1 — tc¡) + g ^ — tc¡ )2 / 2, ' = 2, 3, ., п,

где х3- координата звена 3; хс - координата преграды; хх— (tCl) - скорость звена 3 перед столкновением с преградой; Я - коэффициент восстановления скорости при ударе; tc - время ¡-го столкновения.

В процессе соударений координата звена 3 всегда удовлетворяет неравенству х3 < хс. И только

когда процесс соударений завершится, координата звена 3 станет равной координате преграды.

Суммарное время соударений при числе соударений, стремящихся к бесконечности, конечно и определяется как

^ = 2 Ях— (^)/( я (1 — Я)).

Это время и определяет время переходного процесса.

Движение звена 1 и звена 2 при разрыве связи звена 2 и звена 3 на время переходного процесса столкновения звена 3 с преградой опишем дифференциальными уравнениями:

3<р = М1 —а<р + с(х2 —рг), если х2 > рг ; ^р=М1 —а<р, если х2 <рг ;

т2хх2 = G2 — с(х2 — рг) — а2х2, если х >рг ; т2х2 = G2 — а2хс2, если х2 <рг ,

где G2 = т2я - сила тяжести тела массой т2; х2 - координата массы т2 в абсолютном движении; х2 - скорость массы т2 в абсолютном движении; а2хс2 - приложенная к звену 2 сила трения.

Рассмотрим условия, выполнение которых при разрыве связи звена 2 и звена 3 во время переходного процесса столкновения звена 3 с преградой не произойдёт столкновения звена 3 со звеном 2.

Примем, что во время переходного процесса столкновения звена 3 с преградой жёсткость троса остается постоянной, а угол поворота барабана р из-за кратковременности процесса меняется по линейному закону: р = р0 + со^ — ^), t < t < ^.

Здесь р0 - угол поворота барабана в момент разрыва связи звена 2 и звена 3; ю - скорость вращения барабана в момент разрыва связи звена 2 и звена 3; время завершения переходного процесса, связанного с колебаниями звена 2 из-за разрыва связи звена 2 и звена 3.

В этом случае движение звена 2 опишем уравнениями:

т2х2 = G2 — с • [х2 — р0г — юг^ — ^)] — а2хх2, если х2 > р0 г + юг^ — ^); t < t < t2; (1)

т2 х2 = G2 — а2 х2, если х2 < р0 г + ш(1 — ^ ); t < t < t2. (2)

На рисунке 1, в представлена схема механической системы в момент столкновения корпуса с преградой. С гибким тросом свяжем подвижную систему координат, перемещающуюся в направлении преграды со скоростью ххе. Положение подвижной системы координат определяется координатой хе.

Значение координаты хе и скорости ххе определим равенствами:

хе = (хе)0 + юг(t — хе = юг = х— ^ ), (3)

где (хе )0 = р0 г - координата, определяющая положение подвижной системы координат в момент столкновения корпуса с преградой, когда t — t = 0 ; хе - скорость подвижной системы координат в

момент столкновения звена 3 с преградой.

Для уравнений (1) и (2) введём новую переменную:

х2 = х2 — р0 г — юг^ — ^) . (4)

Координата х2 определяет положение массы т2 в подвижной системе координат. Дифференцируя по t равенство (4), находим скорость и ускорение массы т2 в относительном движении:

-¿¿2 — х^2 Ю г , ¿¿2 — ¿¿2 . (5)

Учитывая данные равенства в (1) и (2), получим

т2х2 + а2хг2 + сх^ = G2 — а2юг , если х22 > 0 ; 0 < t — t < t2 — ^ ; (6)

т2х2 + а2х2 = G2 — а2юг , если х2 < 0; 0 < t — ^ < t2 — ^ . (7)

Силы трения гасят колебания. Рассмотрим менее благоприятную модель движения, когда отсутствуют силы трения:

т2х22 + сх2 = G2, если х22 > 0 ; 0 < t — t < t2 — ^ ; т2х2 = G2, если х22 < 0; 0 < t — t < t2 — ^ .

Преобразуем эти уравнения к виду

х2 + к2х2г = я , если х22 > 0; т = t — tCl, М2 = t2 — tCl, 0 <т<М2; (8)

х2г = я , еслих2 <0; 0<т<М2, (9)

где к2 = с / т2, я = G2 / т2.

В момент разрыва связи между массами т2 и т3 движение массы т2 начинаем описывать уравнением (8). Так как связь в виде троса звена 2 и ведомого звена 1 привода является неудерживающей, то при хг2 < 0 движение массы т2 описываем уравнением (9). Но для перехода к такому описанию необходимо знать время разрыва связи и фазовое состояние системы (координату массы т2 и её скорость) в момент разрыва связи.

Решение (8) и производную х2г (если х2г > 0 ) представим как

х2г = С1со8 кт + С2ът кт + я / к2; х^ = к (—С^т кт + С2со8 кт). (10)

Решения (10) справедливы, если в относительном движении х2 > 0. Постоянные интегрирования С1 и С2 определим из начальных условий:

/

т,

г) = (т3 + т2)я = Г т Л

_ _ , 2

^ + 1

т2

(хг )с = 0. (11)

Тогда из (10)

к

(т ^

т +1

V т2 .

= С1 + я / к2, С1 = — —-, С2 = 0, и решения (10) примут вид

к т2

x2" k2

——cos kr +1

V m2

g

x2 (m3 / m2) sin kr, x2 > 0.

(12)

Решения (10) будут справедливы, если в абсолютном движении после столкновения звена 3 с преградой при выполнении условия х2 > 0 не произойдёт столкновения звена 2 и корпуса 3 между собой. Чтобы не было столкновения звеньев 2 и 3, необходимо выполнить неравенство:

- > 0. (13)

Движение звена 2 относительно подвижной системы координат будем описывать уравнением (9), если х2 < 0 и время т = ^ - > 0 . Для определения времени т, перехода к состоянию х2 < 0 воспользуемся решением (12), приравняв х[ т=т, = 0 к нулю:

g_ k2

С m ^

—cos kr* +1

V m2

= 0 r* = -^arccos k

С щ > v m J

(14)

Для описания движения звена 2 в неподвижной системе координат воспользуемся уравнением (4), учитывая, что (хе)0 = р0 г :

Х2 = х2 + (0 Г + ®Г 0 -Так как р0 г = хс - (х21 )0, т = ^ - ^ то

х2 = хс + х22 -(х2)0 +®гт. (15)

Учитывая (11) для (х2)0 и (12) для х22, приходим к равенствам:

Х2 Xc = х2 (x2 )0 + arr, Х2 Xc = ,2

k

g щ

mQ

Л

cos kr +1

V m2

g_ k 2

mi+1

V m2 J

arr 0 <r<r*

x2 -xc = ^2• —(coskr-1) + arr, 0<r<r*. k m2

При r = r*

(16)

Xry

- xc = Дт •m(cos kr* -1) + arr* c k2 m2 ' .

(17)

Чтобы не было столкновения звеньев 2 и 3 при т = т,, требуется выполнить неравенство

х-*

2

I - = g Щз

Х2 r=r* Xc ,2 ^

1 k m2

-xc >0:

•(coskr* - 1) + arr„ > 0 .

(18)

g m3 / л\

Так как слагаемое —2---(coskr* -1)<0, то для выполнения условия (18) необходимо, чтобы

km2

скорость переносного движения удовлетворяла неравенству:

g тз

ar >-

r*k Щ'

-(1 - cos kr*)

- x„ > 0

= 1

Учитывая, что из (14) r* = arccos

f Л m2 v m j

находим

ar >

g тз

g

С m л 1 + m

r*k2 m2

—(1 - cos kr* ) =

m

з J

m 2

k—-arccos

m3

m

Л '

(19)

V тз J

В предельном случае, когда скорость переносного движения

g(1 + т2 / тг)

cor = ■

(

к(т2 / т3) • arccos

т2

т

3 У

координата звена 2 при Т = т* становится равной координате преграды хс :

- хс = 0 .

В таблице 1 приведены значения скорости переносного движения cor в зависимости от соотношения масс т2 / т3 и значений круговой частоты к при расчёте по формуле (20).

На рисунке 2 представлены диаграммы, определяющие разницу координат (x2 - хс) звена 2 и преграды на интервале 0 < т < т, при различных значениях соотношения масс т3 / т2 и круговой частоте к = 130 с-1. Для каждого соотношения масс т2 / т3 скорость переносного движения cor определялась по формуле (20).

Таблица 1

Соотношение масс т2 / т3 Скорость переносного движения cor в м/с, рассчитанная по формуле (20)

к = 130 с-1 к = 140 с-1 к = 150 с-1 к = 160 с-1 к = 170 с-1 к = 180 с-1

0,1 0,496259 0,460812 0,430091 0,40321 0,379492 0,358409

0,2 0,25523 0,237 0,2212 0,207375 0,195176 0,184333

0,3 0,174177 0,161736 0,150953 0,141519 0,133194 0,125794

0,4 0,1331 0,123593 0,115353 0,108144 0,101782 0,096128

0,5 0,107981 0,100268 0,093583 0,087734 0,082573 0,077986

Рис. 2. Диаграммы, определяющие разницу координат (х2 — xc) на интервале 0 < т < т,: 1 - при т2 / т3 = 0,1 и cor = 0,496 м/с; 2 - при т2 / т3 = 0,2 и cor = 0,255 м/с; 3 - при т3 / т2 = 0,3 и cor = 0,174 м/с; 4 - при т2 / т3 = 0,4 и cor = 0,133 м/с; 5 - при т2 / т3 = 0,5 и cor = 0,108 м/с

Неравенство (19) является необходимым, но недостаточным условием для исключения столкновения звеньев 2 и 3. Отсутствие столкновения будет гарантировано, если неравенство (19) будет дополнено условием, что при т = т, скорость звена 2 будет больше или равна нулю:

> 0

Из (5) с учётом (12) определим скорость звена 2 на интервале 0 < т < т*:

х2

При т = т* скорость звена 2

x2 = хг2 + cor = cor--(т3 / rn2)sinкт, 0 < т < т*.

к

x21 =cr--(т3 /rn2)sinкт,.

1 * к

(21) (22) (23)

Учитывая условие (21), находим, что

g

cor >—(m3 / m2)sinkr„. k

Учитывая, что из (14) Zt = -larccos

k

f m \

, находим

m2

сг >-8т[агссо8 (-m2 / m3)]. (24)

k(m2 / m3)

В предельном случае, когда скорость переносного движения

сг =-g-8т[агссо8(-m2 / m3)], (25)

k(m2 / m3)

скорость звена 2 при Т = Т* становится равной нулю.

В таблице 2 приведены значения скорости переносного движения сг в зависимости от соотношения масс ш2 / ш3 и значений круговой частоты k при расчете по формуле (25).

Таблица 2

Соотношение масс m2 / m3 Скорость переносного движения cr в м/с, рассчитанная по формуле (24)

k = 130 c-1 k = 140 c-1 k = 150 c-1 k = 160 c-1 k = 170 c-1 k = 180 c-1

0,1 0,750833 0,697202 0,650722 0,610052 0,574166 0,542268

0,2 0,369685 0,343278 0,320393 0,300369 0,2827 0,266994

0,3 0,239952 0,222813 0,207959 0,194961 0,183493 0,173299

0,4 0,172904 0,160554 0,14985 0,140485 0,132221 0,124875

0,5 0,130703 0,121367 0,113276 0,106196 0,09995 0,094397

Сопоставляя значения скорости переносного движения в таблицах 1 и 2, заметим их более высокие их значения при расчете cr по формуле (25). Условие

ar >-g-sin[arccos(-m2 / m3)]

k(m2 / m3)

исключает возможность столкновения звеньев 2 и 3 во время переходного процесса при столкновении звена 3 с преградой.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Андреев А. Ф. Грузозахватные устройства с автоматическим и дистанционным управлением. -Москва : Стройиздат, 1979. - 173 с.

2. Fan Yu C. Gripping Mechanisms for Industrial Robots // Mechanism and Machine Theory. 1982, 17 (5). pp. 299-311.

3. Земсков А. А., Кашкиров С. А., Манжосов В. К. Модель столкновения механизма захвата с преградой // Вестник УлГТУ. - 2017. - №4. - С. 28-32.

REFERENCES

1. Andreev A. F. Gruzozahvatnye ustrojstva s avtomaticheskim i distancionnym upravleniem [Load gripping devices with automatic and remote control]. - Moskow : Strojizdat, 1979. - 173 р.

2. Fan Yu C. Gripping Mechanisms for Industrial Robots // Mechanism and Machine Theory. 1982, 17 (5). pp. 299-311.

3. Zemskov A. A., Kashkirov S. A., Manzhosov V. K. Model' stolknoveniya mekhanizma zahvata s pregradoj [The collision of the gripper with a barrier ] // Vestnik UlGTU. - 2017. - №4. - рр. 28-32.

Земсков Александр Александрович, аспирант Ульяновского государственного технического университета, инженер ООО НПФ «Сосны». Имеет статьи в области анализа механизмов переменной структуры. E-mail: [email protected].

Кашкиров Сергей Анатольевич, заместитель начальника конструкторского отдела ООО НПФ «Сосны». Имеет статьи в области анализа механизмов переменной структуры. E-mail: [email protected].

Манжосов Владимир Кузьмич, доктор технических наук, профессор, профессор кафедры «Промышленное и гражданское строительство» Ульяновского государственного технического университета. Имеет статьи, монографии, изобретения в области динамики машин, анализа и синтеза механизмов переменной структуры, моделирования процессов удара. E-mail: [email protected].

Поступила 15.04.2019 г.

УДК 531.1; 531.8

В. К. МАНЖОСОВ, А. А. САМСОНОВ

МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЯ ЗАКРЕПЛЁННОГО СТЕРЖНЯ С ДИСКОМ ПРИ КРУЧЕНИИ И РАЗРЫВЕ СВЯЗИ

Рассмотрена волновая модель движения механической системы в виде диска и однородного стержня, закреплённого в жёсткое основание. До начала движения реакция внешней связи закручивает диск и стержень. При разрыве внешней связи начинается движение поперечных сечений стержня. Для решения волнового уравнения используется метод бегущих волн. Угловая скорость, угловое ускорение и относительный угол закручивания поперечных сечений стержня определяются с использованием функций прямых и обратных волн.

Ключевые слова: стержень, волновое уравнение, метод бегущих волн, волна деформации, скорость поперечных сечений стержня, деформация в поперечных сечениях стержня.

Динамика продольного взаимодействия жёсткого твёрдого тела со стержнем с использованием волновой модели движения рассматривается в работах [1-4]. Однако исследования вращательного движения твёрдого тела и стержня с применением волновой модели не столь распространены [5-7]. В данной работе рассмотрена волновая модель движения механической системы (рис. 1) в виде диска и однородного стержня, закреплённого в жёстком основании.

,1

/ 2 •

1\

0

Рис. 1. Схема механической системы

Твёрдый недеформируемый диск 1 с осевым моментом инерции Зх закреплён в сечении х = 0 стержня 2.До начала движения на диск действует реакция внешней связи в виде момента М0. Под действием моментаМ0 стержень 2 закручен. При г = 0 происходит разрыв внешней связи диска, реакция внешней связи в виде момента М0 исчезает и начинается движение механической системы. Движение поперечных сечений стержня описывается волновым уравнением вида

8 2<х, г) 1 8 2<( х, г)

• = 0, 0 < х < l,

(1)

8х2 а2 8Г

где <( х, г) - угол поворота поперечного стержня, положение которого определяется координатой х; г - время; а - скорость распространения волны деформации в материале стержня.

© Манжосов В. К., Самсонов А. А., 2019