Алгоритмическое и программное обеспечение расчета спектральной характеристики оператора дробного интегродифференцирования относительно функций Хаара Текст научной статьи по специальности «Физика»

Машиностроение к компьютерные технологии

Сетевое научное издание

http://www.technomagelpub.ru

Ссылка на статью:

// Машиностроение и компьютерные технологии. 2018. № 01. С. 31-51.

DOI: 10.24108/0118.0001368

Представлена в редакцию: 23.12.2017

© НП «НЭИКОН»

УДК 519.711.2

Алгоритмическое и программное обеспечение расчета спектральной характеристики оператора дробного

интегродифференцирования относительно функций Хаара

Рыбаков К.А.1*, Рыбин В.В.1

гкоЕЁсеЙтаД.ш

1 Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), Москва, Россия

В статье дается описание алгоритмического и программного обеспечения расчета спектральной характеристики оператора интегродифференцирования дробного порядка в ортонормированном базисе функций Хаара, применяемое в спектральной форме математического описания систем управления. Статья содержит не только конечный результат в виде алгоритмов и программ, но и дает представление о технологии вывода необходимых соотношений в системе компьютерной математики Mathcad для расчета спектральных характеристик, которая в дальнейшем может применяться и для других базисных систем. Алгоритмическое и программное обеспечение расчета спектральной характеристики оператора интегродифференцирования может быть использовано для решения задач анализа, синтеза и идентификации систем управления, математические модели которых описываются уравнениями с дробными производными.

Ключевые слова: интегралы дробного порядка, производные дробного порядка, оператор дробного интегродифференцирования, спектральный метод, спектральная характеристика, спектральная форма математического описания, функции Хаара

Введение

Одной из форм математического описания систем управления является спектральная форма. Она применяется для представления непрерывных, дискретных и непрерывно-дискретных моделей систем управления и процессов, протекающих в этих системах. В ее основе лежит представление функций набором коэффициентов разложения по функциям выбранной ортонормированной или биортонормированной системы (базисной системы).

Среди преимуществ спектральной формы математического описания следует выделить развитое алгоритмическое и программное обеспечение, позволяющее эффективно решать задачи анализа, синтеза и идентификации систем управления с помощью совре-

менной вычислительной техники. В первую очередь речь идет об алгоритмах и программах расчета спектральных характеристик типовых линейных операторов, или двумерных нестационарных передаточных функций (ДНПФ) типовых звеньев систем управления, относительно различных базисных систем [6, 8-16, 18, 19].

Целью этой статьи является описание разработанного алгоритмического и программного обеспечения расчета спектральной характеристики оператора интегродиффе-ренцирования дробного порядка, или ДНПФ звена интегродифференцирования, относительно ортонормированной системы функций Хаара. Ранее были получены алгоритмы и сформированы соответствующие программы для расчета спектральных характеристик оператора интегродифференцирования для полиномов Лежандра, кусочно--постоянных и кусочно-линейных сплайнов Шёнберга (финитных функций, порожденных 5-сплайнами нулевой и первой степени), функций Фабера-Шаудера [13, 16]. Эти алгоритмы и программы дополняют специализированный пакет расширения системы компьютерной математики (СКМ) Mathcad и далее могут быть адаптированы для СКМ Maple, Mathematica и Matlab [14, 15], а также для расчетной системы Spectrum [4, 12]. Для функций Хаара ранее было разработано алгоритмическое и программное обеспечение расчета спектральных характеристик операторов дифференцирования и интегрирования целого порядка (ДНПФ дифференцирующих и интегрирующих звеньев).

Соотношения, необходимые для расчета спектральной характеристики оператора интегродифференцирования относительно функций Хаара, достаточно громоздки, поэтому для их вывода был задействован символьный процессор СКМ Mathcad. Таким образом, статья содержит не только конечный результат в виде алгоритмов и программ, но и формирует технологию вывода соотношений для расчета спектральных характеристик, которая в дальнейшем может применяться для других базисных систем.

Разработанное алгоритмическое и программное обеспечение может быть использовано для решения задач анализа, синтеза и идентификации систем управления, математические модели которых описываются уравнениями с дробными производными. Это могут быть системы управления как с сосредоточенными параметрами, так и распределенные системы. Например, системы управления с дробными ПИД-регуляторами [1, 7, 13].

1. Интегродифференцирование обобщенных функций

Будем рассматривать только левосторонний оператор обобщенного интегродифференцирования P0-ß = 0[2, 13, 17, 20] на отрезке [0,t]:

1 т

P0 g СО = ™ J g (0)(т - 0)м dQ = g (т) * Fk = g (т) * ф0+ +т), (1)

Hß) 0 r(ß)

где g(т) - некоторая обобщенная функция, а Ф^ (т) - стандартная степенная функция:

xß

0+v .ß-1

Tß-1

ф0+ (т) = -^ = 1r(ß)' 0+ T(ß) 1 (ß)

т > 0,

0, т< 0.

Этот оператор определен для всех вещественных значений р е (-да, + да), а при р = 0, -1, - 2,К он определяется как обобщенная функция, которая выражается через 5-функцию и ее производные, т.е. Ф0+(т) = 8(А)(т), к = 0,1,2,К При р< 0 оператор Р0

-р 0+

называется оператором обобщенного дифференцирования, а при р > 0 он совпадает с левосторонним оператором интегрирования Римана-Лиувилля Jр+ = 0 3тр дробного порядка Р и на отрезке [0,г] он имеет вид

1 т

Р- Е (т) = 3 рР+ Е (т) = -— Г Е (0)(т-0)р-1 й 0. Г(р) 0

(2)

Обобщенное дробное дифференцирование и интегрирование одного и того же порядка -взаимно обратные операции [2], т.е.

(Р;р <3 )Е(т) = (3р+ оР+ )Е(т) = /Е(т) = Е(т), (3)

где I - тождественный оператор, символом о обозначена композиция операторов.

Правосторонние операторы обобщенного интегродифференцирования связаны с левосторонними операторами и операторами отражения, поэтому нет необходимости рассматривать их отдельно.

2. Интегродифференцирование функций Хаара

Нормированная система функций Хаара, заданная на отрезке [0, г], имеет вид [18]

-1, 0 <т< г, /' = 0; ф

Хг(т,г) =

2к^< (2к + 1)г /, т+1 т т+1 :

УТ' [г

1 у'

(2к +1)г ^ ^ 2(к + 1)г

' = 2" + к = 1,2,К , п = 0,1,2,К /, к = 0,1,2,К ,2" -1, / * к.

(4)

л 2/г (2/ + 1)г

0, —т <т<--,

Эту систему функций можно задать иначе, а именно через порождающую функцию

'0, т< 0,

Х(т) =

1, 0 <т< -1, 2

-1, 1 <т< 1, 2

0, т> 1,

с помощью ее сжатий, сдвигов и последующей нормировки, т.е.

(5)

Хг' (Т' 0 = Х2" +к (т> 1) =

г)=^7

(

Х

2" т

Л

- к

, Хс(т,г) =

41'

(6)

<

<

1

где г = 2" + к = 1,2,К , п = 0,1,2,К , к = 0,1,2,К ,2" -1. Полученные функции целесообразно доопределить в точке т = t таким образом, чтобы они были непрерывны слева.

Используя формулы (4)-(6), сформируем в СКМ Mathcad программу вычисления нормированных на отрезке [0, t ] функций Хаара с номерами г = 0 и г = 1, а также для произвольного номера г = 2" + к = 1,2,К , п = 0,1,2,К , к = 0,1,2,К ,2" -1. Эта программа показана на рис. 1 (в приведенном листинге Ф(т) - это функция Хевисайда, или единичная функция), а на рис. 2 изображены графики первых четырех функций Хаара при t = 1 в следующем порядке:

г = 0 г = 1 г = 2 г = з.

Такой же порядок графиков будет использоваться в дальнейшем.

Рис. 1. Программа вычисления нормированных на отрезке [0, {] функций Хаара

Рис. 2. Графики нормированных функций Хаара на отрезке [0,1] с номерами г = 0,1,2,3

Далее на рис. 3 приведена программа расчета значений нормированных на отрезке [0, t] функций Хаара с номерами /' = 0,1,К , Ь -1 на равномерной сетке т . = ^ / Ц,

] = 0,1,К , Ц . При этом используется порождающая функция (5), а результатом является матрица (Ц +1) х Ь значений функций Хаара. На рис. 4 показана программа расчета значений нормированных на отрезке [0, t] функций Хаара с произвольными номерами г = 0,1,2,К в заданной точке т е [0, t]. Отметим, что названия этих программ расчета в СКМ МаШсаё и их входные параметры соответствуют принятому принципу формирования идентификаторов элементарных алгоритмов спектрального метода, этот принцип подробно описан, например, в [13, 15].

;х(т) := [О ^ т < 0

£от Ь £ 0_Ы

1 Я 0< т < -2

±ог { е О..Ь- 1

-1 £ - < т < 1 2

£от 1 £ 0..И

0 £ т > 1

т ^— 1 ■

г

И

АзГ 111 £ I _П

1Гог ; е 0_2

,п 1-1

- 1

£ п> I

т

Рис. 3. Программа вычисления функций Хаара на отрезке [0, (] в точках т

ннвхдда^т .1) := п ^— а 1 > 1

к ■ - 2П £ 1 >: 1

т

Рис. 4. Программа вычисления функций Хаара на отрезке [0, (] в точке т

Перейдем к вычислению левостороннего интеграла Римана-Лиувилля дробного порядка р от функций Хаара согласно определению (2):

1 0

Р0?Хг (0,0 = — ГХг ('(0- т)Мйт.

Г(р) о

Сделаем это отдельно для г = 0. Результат применения символьного процессора СКМ Mathcad показан на рис. 5. Для случая г = 2" + к = 1,2,3,К результат применения символьного процессора с учетом промежуточных преобразований приведен на рис. 6.

Рис. 5. Вычисление интеграла от нормированной на отрезке [0, г] функции Хаара с номером г = 0

Рис. 6. Вычисление интегралов от нормированных на отрезке [0, г] функций Хаара с номерами

/ = 2" + к = 1,2,3,К

Окончательный вид алгоритма вычисления дробных интегралов порядка р (р > 0) от нормированных функций Хаара для г = 2" + к = 1,2,3,К показан на рис. 7.

Рис. 7. Программа вычисления интегралов от нормированных на отрезке [0, г] функций Хаара с номерами

I = 2" + к = 1,2,3,К

Такой алгоритм позволяет вычислять не только дробные интегралы порядка р от нормированных на отрезке [0, г] функций Хаара для г = 2" + к = 1,2,3,К , но и дробные производные порядка р (р < 0, р * -1, -2, -3,К ) .

На основе полученных результатов сформируем программу для вычисления дробных интегралов и дробных производных порядка р (р * -1, -2, -3,К ) для функций Хаара. Эта программа показана на рис. 8.

Рис. 8. Программа вычисления дробных интегралов и дробных производных от нормированных на отрезке [0, г] функции Хаара в точке т

Далее на рис. 9 приведены результаты апробации программ вычисления дробных интегралов и дробных производных для первых четырех функций Хаара при г = 1 и р = 1 (первообразные функций Хаара), на рис. 10 и 11 показаны графики дробных производных с параметром дробности 0.5 ( р = -0.5 ) и дробных интегралов с параметром дробности 0.5 (р = 0.5 ) соответственно также для первых четырех функций Хаара при г = 1 (в точках разрыва производные не определены).

3. Формирование программ расчета спектральной характеристики оператора дробного интегродифференцирования относительно функций

Хаара

Рассмотрим вычисление элементов спектральной характеристики оператора дробного интегродифференцирования [13], или, пользуясь терминологией [15, 18, 19], элементов матрицы ДНПФ дробного интегродифференцирующего звена. Согласно определению для элементов матрицы ДНПФ дробного интегродифференцирующего звена Р_Р в базисе ор-тонормированных на отрезке [0, г] функций Хаара имеем

г

-Р _

Р, = /с,(0,г)Р0+Р%;(0,гуе, /,у = 0,1,2,к,

где Р0+С- (0, г) - результат применения левостороннего оператора обобщенного интегродифференцирования Римана-Лиувилля (1) к соответствующей функции Хаара (6).

Рис. 9. Графики первообразных функций Хаара на отрезке [0,1] с номерами I = 0,1,2,3

Рис. 11. Графики дробных производных порядка 0.5 функций Хаара на отрезке [0,1] с номерами I = 0,1,2,3

0

Вычисление элементов С . = Pi ;.р матрицы ДНПФ дробного интегродифференци-

рующего звена сводится к четырем случаям:

1) г = J = 0;

2) г = 1,2,3,К ; J = 0 ;

3) г = 0; J = 1,2,3,К ;

4) г = 1,2,3,К ; J = 1,2,3,К

Рис. 10. Графики дробных интегралов порядка 0.5 функций Хаара на отрезке [0,1] с номерами г = 0,1,2,3

В первом случае, учитывая выражение для дробного интеграла Р0+РХ; (0,1) при J = 0 (см. рис. 5), а также принимая во внимание соотношение

I

0 Г(р +1) (р + 1)Г(р +1) Г(р + 2)'

находим значение элемента С0 о:

_1 г еЫе _ 1р

0,0 = 1 ] Г(Р +1) = Г(р + 2)-

Для второго случая воспользуемся символьным процессором СКМ МаШсаё. Результат его последовательного применения показан на рис. 12.

Этот результат был получен для параметра дробности р > 0, однако его можно адаптировать и для р < 0. Для любого действительного р на рис. 13 показано, каким образом можно вычислить элементы С; . = Р"р при /' = 2П + \ = 1,2,3,К и j = 0 .

Для третьего случая, рассуждая аналогично и учитывая выражения для дробного интеграла Р0+рХ; (е, 1) при J = 2"2 + = 1,2,3,К (см. рис. 7), находим элементы С; . = Р"р при

г = 0 и J = 2"2 + = 1,2,3,К Соответствующий результат приведен на рис. 14.

В четвертом случае задача вычисления элементов С при г = 2"1 + к = 1,2,3,К и j = 2и2 + ^ = 1,2,3,К сводится к вычислению шести интегралов (см. рис. 15). При нахождении каждого из них применялся символьный процессор СКМ МаШсаё, результат показан на рис. 16 и 17.

Рис. 12. Вычисление элементов С; . = Р / матрицы ДНПФ дробного интегрирующего звена относительно функций Хаара на отрезке [0, г] с номерами г = 2п + кх = 1,2,3,К и j = 0

Рис. 13. Вычисление элементов С; . = р ^ матрицы ДНПФ дробного интегродифференцирующего звена относительно функций Хаара на отрезке [0, г] с номерами г = 2"1 + ^ = 1,2,3,К и j = 0

Рис. 14. Вычисление элементов С; . = р матрицы ДНПФ дробного интегродифференцирующего звена относительно функций Хаара на отрезке [0,1] с номерами г = 0 и J = 2"2 + = 1,2,3,К

Рис. 15. Вычисление элементов С; . = р матрицы ДНПФ дробного интегродифференцирующего звена относительно функций Хаара на отрезке [0,1] с номерами г = 2"1 + ^ = 1,2,3,К и J = 2"2 + = 1,2,3,К

АС12 :=

_2~ж - (2 - к2 + 1} - kl - 2*° ■ = 0,0:[2nl - (2 ■ к2 + 1} - kl - 2^

,n 1

ß+1

ВС 12 := if CC12 := -

2ß+l

ül.....^=M,Uülk2-kl-2^+1

2 k2 - kl 2

12 ■ k2 - kl - 2

„nl ...„ ,, . ,п2+1 _ Q Q |\iil ,.„ ,„ ,, jû+l

2 (2 - k2+ I) - kl 2

L2 (2 k2 + l) - kl - 2

ß+1

,ß+l

CXX12<kl,k2,nl,n2,|3) := if

f kl 2 ■ k2+ 1

j;

ni _n2+l

jL

JUf

— >— .AC 12 - BC12,CC12 n2 „ni "

\\

jj

fj - (2 - k2 + 1) - f1 - (2 - kl + 1) d2

.ni

AC22 :=

+ if[2nl 1 ■ k2- 2^ - (2 ■ kl + 1}= 0a0:[2nl+1 ■ k3- 2^ - (2 ■ kl + 1

Г* (2 - k2 + l) - T" (2 - kl + 1)] ".....}]

ß+1

BC22 :=

.............I = 0,0.-[2^.......^

_2 - (2 ■ k2 + 1) - 2 ■ (2 ■ kl + l) :

|_2 - (2 k2 + l) - 2 - (2 ■ kl

ß+1

CXX22(kl,k2,nl,n2.;ï) := if

2 - kl + 1 2 - k2+ 1 -> - Ort

111+1

л2+1

k2 2 ■ kl + 1

2"

„nl+1

AC22.BC22

2nl (2-k2+ 1} - 2ll^+ ^ - (kl + 1)

,111

,n2+l

AC32 :=

+ -

= 0,0.(2"" ■ (2 ■ k2 + 1} - 27 * - (kl + l)J

, : г . -ip+f

2 - k2 - 2^ - (kl + 1} = 0,0.|_2 ■ k2 - i' - (kl + t)J

ß+1

■ 2'

ß+1

,ß+l

BC32 :=

_2"~ (2 k2 + I) - 2ia+1 - (kl + 1} = 0,0r[2nl (2 - k2 + l) - ■ (kl + 1}]

„ni

ß+1

,ß+l

CX332(kl,k2,jil,ri2,|3) := if

kl + 1 2 ■ k2+ 1

L Ï

ni

л2+1

,0 ,if

k2 kl + 1

n2 „ni

■, AC32=EC32 1

_(2-k2 + 1) -2nl-kl -2я2 0,0:[(

AC42 :=

+ -2P+1-if

2 k2+ l) 2 -kl 2

ni ,ii2+ lj

ß+1

(k2 + 1} - 2 - kl - 2

111 ^-o.ojjr - " ^

(k2 + 1) - 2 - kl Г

,3+1

L(k2 + 1} - 2nl - kl - 2^

BC42 := -if CXX42(kl,k2,jil,n2,|3) := if

2 = o,os[c

ni .. „n2f+1

r kl _ k2+ 1

„nl ,n2

k2+ l) - 2 - kl 2 O.if

li^Jli > — AC42,BC42

„п2+1 „nl

Рис. 16. Промежуточные расчеты для вычисления элементов матрицы ДНПФ дробного интегродифференцирующего звена относительно функций Хаара

АС52 :=

if[(k2 - 1} - 2nl 1 - (2 ■ kl + 1} - 2я2 = 0,0,[(k2 + 1) - 2nl+- - (2 - kl + 1) - ] ... + -if[(2 - k2 + l) - 2nl - (2 ■ kl + 1} - 2^ = 0,0,[(2 - k2 + 1) - 2nl - (2 ■ kl + 1} - 2^] ]

BC52 :=

_(k2 + 1} ■ 2nl 1 - (2 ■ kl + 1} ■ 2^ = 0,07[(k2 + 1) ■ 2nl 1 - (2 ■ kl + 1) ■ 2^]

CXX52(kl .k2.nl 7n2, ß) := if

2 ■ kl + 1 . k2 + 1

,0.if

2- k2+ l 2 ■ kl + 1

\\

jü+1

,nl+l

.AC52.BC52

AC62 :=

2 ■ k2 + 1 ■ if

,n 1

(kl +1)1

n3+l

= <>a[(

_(k2 + 1} ■ 2nl - (kl + 1) - 2^

- JJ

l i

2 ■ k2 + 1} - 2 - (kl + 1)

,nl ......

: = o,oI(:

k2 + 1} - 2 - (kl + 1} ■ 2

Ч 1

,P+1

(k2 + 1) - 2nl - (kl + 1) - 2^

BCS2 - -if CXX62(kl .k2.nl .n2, ß) := if

: = 0,0=[(k:

,1 ......

k2 + 1} - 2 - (kl + 1} - 2

'kl +1 k2 + 1

>-

L 2"

,ii 1

лЭ+1

,nl

Рис. 17. Промежуточные расчеты для вычисления элементов матрицы ДНПФ дробного интегродифференцирующего звена относительно функций Хаара (продолжение)

Наконец, сформируем программу вычисления ДНПФ интегродифференцирующего звена дробного порядка в СКМ Mathcad относительно нормированных функций Хаара на отрезке [0, t]. Эта программа показана на рис. 18.

Результаты работы этой программы приведены ниже на рис. 19-21. Представлены матрицы ДНПФ интегродифференцирующего звена для различных значений параметра дробности ß = -1, ß = -0.5 и ß = 0.5 с порядком усечения L = 8 (отрезок [0,1], т.е. t = 1).

4. Апробация программ расчета спектральной характеристики оператора

дробного интегродифференцирования

В качестве простейшего примера рассмотрим интегродифференцирование единичной функции g(т) = Ф(т) спектральным методом на отрезке [0,1] и сравним найденное

решение с аналитическим решением И(т) = ■

. Проведем вычисления для порядков

Г(Р +1)

дробности р = —0.5 и р = 0.5, т.е. найдем дробную производную порядка 0.5 и дробный интеграл порядка 0.5. Результаты расчетов приведены на рис. 22 и 23 для порядка усечения Ь = 32 . На них черным показано приближенное решение, найденное с помощью спектрального метода, а красным - точное решение для сравнения.

ß

т

Рис. 18. Программа вычисления усеченной матрицы ДНПФ размера Ь х Ь интегродифференцирующего

звена дробного порядка р

Рис. 19. Матрица ДНПФ интегродифференцирующего звена для значения параметра дробности ß = -1

Рис. 20. Матрица ДНПФ интегродифференцирующего звена для значения параметра дробности р = -0.5

Рис. 21. Матрица ДНПФ интегродифференцирующего звена для значения параметра дробности р = 0.5

Рис. 22. Результат дробного дифференцирования Ф(т) с порядком 0.5

Далее в табл. 1 приведены отклонения приближенного решения от точного в зависимости от порядка усечения Ь , вычисленные как нормы разности приближенного и точного решений в пространстве Ь2 ([0,1]).

Таблица 1. Отклонение приближенного результата интегродифференцирования от точного

Порядок усечения, Ь Параметр дробности р = -0.5 Параметр дробности р = 0.5

8 0.459766 0.041519

16 0.366283 0.021517

32 0.297137 0.011213

64 0.246461 0.006503

128 0.110503 0.004935

Как хорошо видно из приведенных данных, с ростом порядка усечения Ь решение, найденное спектральным методом, приближается к точному. Это менее выражено для порядка дробности р = -0.5, поскольку точное решение в этом случае имеет разрыв второго рода в нуле.

Второй пример более сложный - это решение интегрального уравнения Абеля [5]

х(6) +

X

х( т)

г(Эго(е-т)

ИТ -т = Е(6)

на отрезке [0, г], при е(6) = 6 е + уравнения имеет вид

Б1П

5л6

ф[ 6- г |, X = 1.2 и р = 0.5 . Решение этого

г

У(6) = --6

6 _

| е^2( 6-т) ейе (^>/0-т) е (т)

или

6 _

у(6) = X| Е(т) X • ег& (х>/е-т )ея

-т)

7^(6-т)

- т + Е (6),

где егГе(^) - функция ошибок.

Методика применения спектральной формы математического описания в СКМ МаШсаё, как и для предыдущего примера, для этой задачи изложена в [16]. В указанной работе применялась базисная система Фабера-Шаудера, здесь же воспользуемся нормированными на отрезке [0, г ] функциями Хаара, положив г = 25. Результаты расчетов приведены на рис. 24 для порядка усечения Ь = 32. Цветовые обозначения графиков такие же, как и в предыдущем примере.

Отклонения приближенного решения от точного в зависимости от порядка усечения Ь, вычисленные как нормы разности приближенного и точного решений в пространстве Ь2 ([0,25]), представим в виде табл. 2.

0

1

0.25

~°5Q 5 10 15 20 25

Рис. 24. Результат решения уравнения Абеля

Таблица 2. Отклонение приближенного решения уравнения Абеля от точного решения

Порядок усечения, L Отклонение

8 0.298636

16 0.138283

32 0.077422

64 0.043715

128 0.029693

Здесь аналогичная ситуация, т.е. с ростом порядка усечения L решение, найденное спектральным методом, приближается к точному.

Список литературы

1. Авсиевич А.В., Авсиевич В.В. Моделирование систем автоматического управления с дробным ПИД-регулятором // Вестник Самарского гос. техн. ун-та. Сер.: Технические науки. 2010. № 1 (26). С. 6-13.

2. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. 2-е изд. М.: Физматгиз, 1959. 470 с.

3. Кашин Б.С., Саакян А.А. Ортогональные ряды. 2-е изд. М.: Изд-во АФЦ, 1999. 550 с.

4. Клешнин В.Ю., Рыбаков К.А. О применении технологий параллельного программирования для задач матричной алгебры в приложении к спектральному методу анализа, синтеза и идентификации систем управления // Математика и математическое моделирование. МГТУ им. Н.Э. Баумана: электрон. журн. 2016. № 1. С. 1-27.

DOI: 10.7463/mathm.0116.0841079

5. Манжиров А.В., Полянин А.Д. Справочник по интегральным уравнениям: Методы решения. М.: Факториал Пресс, 2000. 384 с.

6. Пантелеев А.В., Бортаковский А.С. Теория управления в примерах и задачах: учеб. пособие. 2-е изд. М.: ИНФРА-М, 2016. 583 с.

7. Пантелеев А.В., Летова Т.А., Помазуева Е.А. Параметрический синтез оптимального в среднем дробного ПИД-регулятора в задаче управления полетом // Управление большими системами. 2015. Вып. 56. С. 176-200.

8. Пантелеев А.В., Рыбаков К.А., Сотскова И.Л. Спектральный метод анализа нелинейных стохастических систем управления. М.: Вузовская книга, 2015. 392 с.

9. Романов В.А., Рыбаков К.А. Спектральные характеристики операторов умножения, дифференцирования и интегрирования в базисе обобщенных функций Эрмита // Тр. МАИ. 2010. № 39. Режим доступа: http://trudymai.ru/published.php?ID=14816 (дата обращения 08.02.2018).

10. Рыбаков К.А. Спектральные характеристики операторов умножения, дифференцирования и интегрирования в базисе обобщенных функций Лагерра // Дифференциальные уравнения и процессы управления. 2012. № 1. С. 114-141.

11. Рыбаков К.А. Многопараметрические базисные системы для представления функций в неограниченных областях // Научный вестник Московского гос. техн. ун-та гражданской авиации (МГТУ ГА). 2013. № 9(195). С. 45-50.

12. Рыбаков К.А. Программное обеспечение спектрального метода Spectrum // Тр. МАИ. 2003. № 14. Режим доступа: http://trudymai.ru/published.php?ID=34423 (дата обращения 08.02.2018).

13. Рыбаков К.А., Рыбин В.В. Моделирование распределенных и дробно-распределенных процессов и систем управления спектральным методом. М.: Изд-во МАИ, 2016. 160 с.

14. Рыбин В.В. Разработка и применение пакетов расширения MLSY_SM СКМ Mathcad, Maple, Mathematica, Matlab // Тр. МАИ. 2003. № 13. Режим доступа: http://trudymai.ru/published.php?ID=34432 (дата обращения 08.02.2018).

15. Рыбин В.В. Моделирование нестационарных непрерывно-дискретных систем управления спектральным методом в системах компьютерной математики. М.: Изд-во МАИ, 2011. 220 с.

16. Рыбин В.В., Цветаев В.Е. Моделирование дробных систем управления летательными аппаратами спектральным методом в системе функций Фабера-Шаудера // Тр. МАИ. 2017. № 93. Режим доступа: http://trudymai.ru/published.php?ID=80517 (дата обращения 08.02.2018).

17. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.

18. Семенов В.В., Рыбин В.В. Алгоритмическое и программное обеспечение расчета нестационарных непрерывно-дискретных систем управления ЛА спектральным методом. М.: МАИ, 1984. 84 с.

19. Расчет систем управления на ЦВМ: спектральный и интерполяционный методы / В.В. Солодовников, В.В. Семенов, М. Пешель, Д. Недо. М.: Машиностроение, 1979. 664 с.

20. Учайкин В.В. Метод дробных производных. Ульяновск: Артишок, 2008. 512 с.

Mechanical Engineering & Computer Science

Electronic journal

http://www.technomagelpub.ru

Mechanical Engineering and Computer Science, 2018, no. 01, pp. 31-51.

DOI: 10.24108/0118.0001368

Received: 23.12.2017

© NP "NEICON"

Algorithms and Software for Calculating the Spectral Characteristic of the Fractional-order Integrodifferential Operator by Haar Functions

K.A. Rybakov1 V.V. Rybin1 "rkofficegmaaju

:Moscow Aviation Institute (National Research University),

Moscow, Russia

Keywords: fractional-order integrals, fractional-order derivatives, fractional-order integro-differential operator, spectral method, spectral characteristic, spectral form of mathematical description, Haar functions

The article objective is to describe the algorithms and software for calculating the spectral characteristic of the fractional-order integro-differentiation operator by the orthonormal basis of Haar functions. These results are necessary to have a spectral form of mathematical description for control systems. They can be used to solve analysis, synthesis and identification problems using the spectral method for deterministic and stochastic control systems, whose mathematical models are described by equations with fractional derivatives. The obtained results extend the previous authors' papers, which consider the algorithms and software for calculating the spectral characteristics of various linear operators. These operators are multiplication, differentiation and integration operators, fractional-order differentiation and integration operators, time-inverse and time-lag operators, etc. The following orthonormal and bi-orthonormal functions were used: Le-gendre and Chebyshev polynomials, Laguerre and Hermite polynomials, trigonometric functions, Walsh and Haar functions, Faber-Schauder functions, function based on wavelets, functions generated by splines.

The article represents, as the final result, not only the algorithms and software, but also a technique to derive desirable relationships in Mathcad for calculating the spectral characteristics. This technique can be applied to other basis systems as well. Such algorithms and software extend the specialized expansion package for Mathcad and can be adapted for Maple, Mathematica, and Matlab, as well as for the Spectrum software.

To test the developed algorithms and software for calculating the spectral characteristic of the fractional-order integro-differentiation operator by the orthonormal basis of Haar functions we consider the fractional differentiation and integration of the unit step function and the Abel integral equation.

References

1. Avsievich A.V., Avsievich V.V. Modeling of systems of automatic control with a fractional PID-controller. Vestnik Samarskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta. Tekhnicheskie nauki [Vestnik of Samara State Technical Univ. Technical Sciences Series], 2010, no. 2 (26), pp. 6-13 (in Russian).

2. Gel'fand I.M., Shilov G.E. Obobshchennye funktsii i dejstviia nad nimi [Generalized functions and actions on them]. 2nd ed. Moscow: Fizmatgiz Publ., 1959. 470 p. (in Russian).

3. Kashin B.S., Saakian A.A. Ortogonal'nye riady [Orthogonal series]. 2nd ed. Moscow: AFTS Publ., 1999. 550 p. (in Russian).

4. Kleshnin V.Yu., Rybakov K.A. Parallel programming application to matrix algebra in the spectral method for control systems analysis, synthesis and identification. Matematika i matematicheskoe modelirovanie. MGTU im. N.E. Baumana [Mathematics and Mathematical Modelling of the Bauman MSTU], 2016, no. 1, pp. 1-27. DOI: 10.7463/mathm.0116.0841079 (in Russian)

5. Manzhirov A.V., Polianin A.D. Spravochnik po integral'nym uravneniiam: Metody resheniia [Handbook of integral equations. Method of solution]. Moscow: Faktorial Press, 2000. 384 p. (in Russian).

6. Panteleev A.V., Bortakovskij A.S. Teoriia upravleniia v primerakh i zadachakh [The control theory: Examples and problems]. 2nd ed. Moscow: Infra-M Publ., 2016. 583 p. (in Russian).

7. Panteleev A.V., Letova T.A., Pomazueva E.A. Parametric synthesis of average optimal fractional PID-controller for flight control problem. Upravlenie bol'shimi sistemami [Large-Scale Systems Control], 2015, no. 56, pp. 176-200 (in Russian).

8. Panteleev A.V., Rybakov K.A., Sotskova I.L. Spektral'nyj metod analiza nelinejnykh stokhasticheskikh sistem upravleniia [Spectral method of nonlinear stochastic control system analysis]. Moscow: Vuzovskaia kniga Publ., 2015. 392 p. (in Russian).

9. Romanov V.A., Rybakov K.A. Spectral characteristics of multiplication, differentiation and integration operators in the generalized Hermite basis. Trudy MAI [MAI Proc.], 2010, no. 39. Available at: http://trudymai.ru/published.php?ID=14816 , accessed 08.02.2018 (in Russian).

10. Rybakov K.A. Spectral characteristics of multiplication, differentiation and integration operators in the generalized Laguerre basis. Differentsial'nye uravneniia iprotsessy upravleniia [Differential Equations and Control Processes], 2012, no. 1, pp 114-141 (in Russian).

11. Rybakov K.A. Multiparameter basis to represent functions in unbounded domains. Nauchnyj vestnik MGTU GA [Civil Aviation High Technologies], 2013, no. 9(195), pp. 45-50 (in Russian).

12. Rybakov K.A. Spectral method software. Trudy MAI [MAI Proc.], 2003, no. 14. Available at: http://trudymai.ru/published.php?ID=34423 , accessed 08.02.2018 (in Russian).

13. Rybakov K.A., Rybin V.V. Modelirovanie raspredelennykh i drobno-raspredelennykh protsessov i sistem upravleniia spektralnym metodom [Modeling distributed integer-order and

fractional-order processes and control systems by spectral method]. Moscow: MAI Publ., 2016. 160 p. (in Russian).

14. Rybin V.V. Development and application of MLSY_SM extension packages for Mathcad, Maple, Mathematica, Matlab CMS. Trudy MAI [MAI Proc.], 2003, no. 13. Available at: http://trudymai.ru/published.php?ID=34432 , accessed 08.02.2018 (in Russian).

15. Rybin V.V. Modelirovanie nestatsionarnykh nepreryvno-diskretnykh sistem upravleniia spektral'nym metodom v sistemakh komp'yuternoj matematiki [Simulation of nonstationary continuous-discrete control systems by spectral method on computers]. Moscow: MAI Publ., 2011. 220 p. (in Russian).

16. Rybin V.V., Tsvetaev V.E. Simulation of fractional aircraft control systems by spectral method in Faber-Schauder function system. Trudy MAI [MAI Proc.], 2017, no. 93. Available at: http://trudymai.ru/published.php?ID=80517 , accessed 08.02.2018 (in Russian).

17. Samko S.G., Ki lb a s A.A., Marichev O.I. Integraly iproizvodnye drobnogoporiadka i nekotorye ikh prilozheniia [Integrals and derivatives of fractional order and some of their applications]. Minsk: Nauka i Tekhnika Publ., 1987. 688 p. (in Russian).

18. Semenov V.V., Rybin V.V. Algoritmicheskoe i programmnoe obespechenie rascheta nestatsionarnykh nepreryvno-diskretnykh sistem upravleniya LA spektral 'nym metodom [Algorithms and software for unsteady continuous-discrete aircraft control systems by the spectral method]. Moscow: MAI Publ., 1984. 84 p. (in Russian).

19. Raschet sistem upravleniia na TsVM: spektralnyj i interpoliatsionnyj metody [Design of control systems on digital computers: Spectral and interpolational methods] / V.V. Solodovnikov, V.V. Sem enov, M. Pe shel', D. Nedo. Moscow: Mashinostroenie Publ., 1979. 664 p. (in Russian).

20. Uchajkin V.V. Metod drobnykh proizvodnykh [The method of fractional derivatives]. Ul'yan ov sk: Arti shok Pub l., 2008. 512 p. (i n Ru s si an).