О задаче со смещением для уравнения смешанного типа первого рода Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956 А.В. Ефимов

О ЗАДАЧЕ СО СМЕЩЕНИЕМ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА ПЕРВОГО РОДА

Для уравнения смешанного типа первого рода поставлена и исследована задача со смещением, краевое условие которой содержит обобщенные операторы дробного интегродифференцирования. Доказана однозначная разрешимость поставленной задачи.

Рассмотрим уравнение

$1%пу I у Гихх + иуу = О, т > 0 (1)

в односвязной области В, ограниченной кривой Жордана Г с концами в точках А(0,0) и В(0,1), расположенной в полуплоскости у > 0 , и характеристиками уравнения (1):

/-ч т+2 /-ч т+2

АС: X = х----------(-у)” = 0 и ВС: ц = х +-----(—у)~ = 1.

т + 2 т + 2

Примем следующие обозначения:

Р-

Вг и В2 - эллиптическая и гиперболическая части смешанной области В соответственно; 3 -

2

х ^ т + 2 ^

единичный интервал 0 < х < 1 прямой у = 0 ; в0 (х) = — — ? ---х

Р = —^-, 0 < Р < 1,

2(т + 2) 2

т+2

- аффикс точки пересе-

V 4 У

чения характеристики уравнения (1), выходящей из точки (х,0)е 3 с характеристикой АС;

(/0+Р ,ц/)(х) - обобщенный оператор дробного интегродифференцирования в смысле М. Сайго

[1, 2]; (С / )х) и (В0+/)(х) - операторы дробного интегродифференцирования в смысле Рима-на-Лиувилля [3, 4].

Под регулярным в области В решением уравнения (1) понимается функция и (х, у) е С(В) п С '(В) п С 2(В1 и В2), удовлетворяющая уравнению (1) в В1 и В2, и такая,

2

что и у (х,0) на концах интервала 3 может обращаться в бесконечность порядка ниже

у' " ' 1 ’ ’ т + 2

З а д а ч а. Найти регулярное в области В решение и(х, у) уравнения (1), удовлетворяющее условиям

и (х, у) Г = ф(х, у) "(х,у) е Г ; (2)

Ах1-2Р+Ъ/0+—сЪ сх2Р—1и[в0(х)] = В/1-2Р—с,2Р—1,—1+2Р+с—Ъ (а(х)иу (х,0)) +

(3)

+(2р+с—ъ^)(х) "хе 3

и условиям сопряжения

и (х,—0) = и (х,+0), х е 3, иу (х,—0) = иу (х,+0), х е 3, (4)

где А, В - заданные константы, на которые впоследствии будут наложены необходимые условия; Ъ, с - действительные числа; Ч'Дх), ф(х, у), а(х) - заданные непрерывные функции, причем

^1(х) е Н1 [0,1], 0 < 1 < 1; а, > 1 — 2р, 1 — 2р — а < с < 0, Ъ > 1, р1 < 2р — Ъ (Ъ < 1, р1 < 2р — 1); (5)

а1 > 0, 1 — 2Р — а1 — 1 < с < шт[1 — 2Р — а1,0], Ъ > 1, Р1 < 2Р — Ъ (Ъ < 1, Р1 < 2Р — 1).

Единственность решения задачи. В полуплоскости у < 0 уравнение (1) имеет вид

(—у) тихх — иуу = 0. (6)

С помощью характеристических координат оно преобразуется в уравнение Эйлера-Дарбу-Пуассона

Р ц—X

иц--------(их — иц) = 0. (7)

Хорошо известно [5], что решение уравнения (7), удовлетворяющее начальным данным

Шп и(X,Ц) = т(X), X е 3,

(ц—X)®—0

ІІШ

(я-Х )®-о

(я - Х )2 " (^ - и я) = V 2 (Х), Х є з (8)

имеет вид

и(Хя) = у Г (я - Х) ^(')а' - у Г______^2(^________ (9)

(Х,я) Уі 1 (я - о1-" ц - х)1-" У2 1 (я - о" (г - х)" , ()

где Г=КМ). і Г Г(1 - 2")

Г2(")’ У2 2[т + 2 0 Г2(1 -")'

Из формулы (9) имеем

и\во (х)] = УіГ(Ь)(/оЬ+М-1т)(х) - у2Г(1 - ")(/і+ь,2Ь-1"-1v2)(х), (10)

где и(х,0) = т(х), иу (х,0) = V 2 (х).

Подставив (10) в (3) и воспользовавшись свойствами операторов обобщенного дробного интегродифференцирования \1], получим соотношения

(і 0+" >)(х)=х)(х); (11)

(і0+"я (і0+1 а*>)«))(х) = (і0™"+*>)х), (12)

справедливые при а > 0 и у > 0 соответственно.

На основании свойств (11) и (12), учитывая, что " > 0, 1 - " > 0, с < 0, 1 - 2" - с > 0,

имеем

х2"-1 (і0"+°,"-1т)(х) = (і0Ь+1-2",-"т)(х), х2"-1 (і 1-+",2"-1,"-1V2)(х) = (іі-+"'0'-"V2)(х);

(і0-+"-сАс (іо"+1-2"'-"т\ґ))х) = (іо-+c'1-2" +ь,ст)(х), (і0-+"-с,ь,с (і0-+"'о'-"V2 ^х) = (і0-+2"-с,ь^2)(х); х1-2" +ь (і0-+с,1-2" +ь,ст)(х) = (і0-+c'0'-1+2"+с-ьт)(х), х1-2" +ь (і 1+2"2)(х) = (і 1+2"-с,2"-1,-1+2"+с^2)(х). Далее,

ЛкГ(") (I°-+c'°'-1+2"-ь+ст) (х) - Лу^Ц - ") (11+2"-с2" -1,-1+2"-ь+cv 2) (х) =

= Бі10+2"-c'(" -1,-1+2"+с-ь (а (х)у 2( х)) + (і";А,-1+2"+с-ь Ч) (х). (13)

Применяя к обеим частям (13) обратный оператор

(т 1-2"-с,2"-1,-1+2"-ь+с )-1 = і-1+2"+с,1-2",-ь

V 0+ / =10+

и в силу того, что с < 0 и а1 > 0 , находим

Лу[Г(") (П-2 "т) (х) - Лу2Г(1 - " V 2( х) = Ба (2( х) + (С2"+с+0oД-("+"0'-ь Ч) (х);

(Ба(х) + Лу 2 Г(1 - ") V 2 (х) = Лу^ф )(д1-+2"т )(х)-(і-^2"+с+а1,1-2"+"1,-ь Ч )(х). (14)

При ЧДх) ° 0 из (14) получим

/

V2 (х) = Дополнительно потребуем

Лу[Г(")

Ба (х) + Лу2Г(1 - ") Лу 1Г(")

(2"т)(х). (15)

> 0.

Ба (х) + Лу 2 Г(1 - ")

Единственность решения задачи вытекает из аналога принципа экстремума А.В. Бицадзе \6].

В самом деле, при Ч (х) ° 0 положительный максимум и отрицательный минимум решения и (х, у) задачи достигается лишь на Г .

Очевидно, достаточно показать, что положительный максимум функции и (х, у) в ^1 не достигается в точке х0 є 3 . Пусть шахи(х,у) = т(х0) > 0 . Тогда в соответствии с принципом

Пі

экстремума для операторов дробного дифференцирования \7] из (15) и (5) заключаем, что

V (х0) > 0.

Последнее противоречит принципу Заремба-Жиро \8].

4

Аналогично доказывается, что U (x, у) не может достигать отрицательного минимума в D1 в точке x0 е J .

Существование решения задачи. Сделаем следующее предположение: кривая Г совпадает с «нормальным контуром» Г0:

/ 1 \2

X------

2

+

4 m+2 1

y

, (m + 2)2 ' 4

и функция j(x, y) ° 0 .

Тогда функциональное соотношение между t (x) и n (x) = Uy (x,+0) из эллиптической области D1, принесенные на J , имеет вид [5, с. 173]

1

t(x) = -k1 J |x -t| 2b - (x +1 - 2xt) 2b

v ( t ) dt ,

(16)

где kl = — [2(1 - 2р)]2р Г (Р) .

1 4^ И П Г(2 р)

Учитывая условие склеивания (4), соотношения (14) и (16), исключим т(x) . В результате

получим уравнение для определения V (x):

' AїlГ(P) Ї л1_2/ ' 4

v (x) =

Ba (x) + Ag^l і p) 1

-k1 J[|x 11| 2p — (x +11 (xt) (p Jv(t)dt

(17)

-----(I 0++2 Р+°+“1,1-2р+р1,-і ^)(x).

Ba(x) + Ag2Г(1 - ру 0+ 1

Будем считать, что функция V (x) в интервале (0,1) удовлетворяет условию Гельдера с показателем h > 0 и интегрируема на отрезке [0,1].

Приведем уравнение (17) к сингулярному интегральному уравнению. Известно, что если V (x) имеет вид (17), то

D

1-2p

-k1 J |x 11| 2p — (x +11 (xt) 2p V (t)dt

k1

n(p)

Jl

1

1

11 x x +112 xt

'(t )dt + ptgppv (x)

На основании последнего соотношения уравнение (17) примет вид

V (x) =

Ag|T(p)

Ba(x) + AgjГ(11p) JV Г(2p)

1

1

1

,t і x x +112 xt

V

v (t )dt + p tgppv (x)

откуда

ґ / і і

V v

Ba (x) + Ag^l і p) Ag^p)

(I

іі+( p+c+аі,іі( p+pl-b

Yl)(x),

Ba(x) + Ag^l - p) I Г(2p)

p tgpp

v (x) -

f Ag|Г(P) f kl 1 f f 1Гp f і і Ї

V Ba (x) + Ag(Г(і - p) J V Г(2P) J J V x J t 1 x 1 x + t 1 2 x

v (t)dt =

1

Ba (x) + Ag^l - p) И окончательно будем иметь

(x

1+2 p+c+a ,1-2 p + pl,-b 0+

Yl)(X).

C 2 (x)v (X) + Cl( x)J

і / \1-2p

1

1

где

Cl(x) = -

t - x x +1 - 2 xt

Ag TO )kl

'(t)dt = F(x);

(1S)

Ba (x)^) + Ag (Г(і - p )Г(2p)

C2 (x) = C1 (x)ntgnр -1,

F(x) =-------------1-----------(I0-++2р+с+“1,1-2р+А--Ь ^)(x).

Ba (x) + Ay2 Г(1 - р у 1Д

Исследуем свободный член F(x) интегрального уравнения (18). Рассмотрим два варианта

принадлежности функции F (x) классу гельдеровских функций.

В а р и а н т 1. Пусть -1 + 2р + c + а1 > 0 или c > 1 -2р -а1 .Так как c < 0, 1 -2р > 0 и

а1 > 0 , то

1 - 2р - а1 < c < 0, а1 > 1 - 2р .

Воспользуемся теоремой 1 [11].

Т е о р е м а 1. Пусть а > 0, р < шт[0,^ +1], 0 < 1 < 1 и р(x) е H1 [0,1]. Тогда

(10+Рр)(x), (^р)(x) е H т1п[ 1 ’-р][0,1].

По условию теоремы 1 необходимо иметь

-1 + 2р + c + а1 > 0; 1 - 2 р + р1 < т1п[0,1 - Ь]; 0 < 1 < 1; ^(х) е H1 [0,1].

Пусть т1п [0,1 - Ь] = 1 - Ь . Тогда 1 - Ь < 0 и Ь > 1. Поэтому 1 - 2р + Р1 < 1 - Ь и окончательно р1 < 2р - Ь .

Возможен и другой случай. Пусть т1п [0,1 - Ь] = 0. Тогда 1 - Ь > 0 и Ь < 1. Поэтому 1 - 2р + р1 < 0 и р1 < 2р -1. Тогда

(1~1+2 р +С+а1, I-2 р+Д, -Ь ^ )(х) е Н т'п[ 1,-1+2р-р!][0 1]

И окончательно имеем: если а1 > 1 -2р , 1 -2р -а1 < с < 0, Ь > 1, р1 < 2р -Ь (или Ь < 1, р1 < 2р -1), то

F(х)е Нт1п[1+2р■ тт[я> -1+2р-р1]][0 1]

В а р и а н т 2. Пусть теперь -1 <-1 < -1 + 2р + с + а1 < 0 или 1 - 2р - а1 -1 < с < 1 - 2р - а1. Так как с < 0, 1 - 2р > 0 и а1 > 0, то 1 - 2р - а1 -1 < с < т1п[1 - 2р - а1,0].

Воспользуемся теоремой 2 [11].

Т е о р е м а 2. Пусть 0 < -а < 1 < 1 и р < тт[0,^ +1] . Если р(х) е Н1 [0,1], то

(10+р•>)(х) , (I“,р’цр)(х) е Нт1п[ 1+а’-р][0,1].

По условию теоремы 2 необходимо иметь

0 < 1 - 2р - с - а1 < 1 < 1; 1 - 2р + р1 < т1п[0,1 - Ь]; ^1(х) е Н1 [0,1].

Пусть т1п [0,1 - Ь] = 1 - Ь . Тогда 1 - Ь < 0 и Ь > 1. Поэтому 1 - 2р + р1 < 1 - Ь . И окончательно р1 < 2р - Ь .

Возможен и другой случай. Пусть т1п [0,1 - Ь] = 0. Тогда 1 - Ь > 0 и Ь < 1. Поэтому

1 - 2р + р1 < 0 и р1 < 2р -1. Тогда

(1“1+2 р +с+а!, 1-2 р+р!, -Ь ^ )(х) е Н т1п[ 1-1+2р +с+а1,-1+2р - р1][0 1]

И окончательно имеем: если а1 > 0, 1 - 2 р - а1 -1 < с < т1п[1 - 2р - а1,0], Ь > 1, р1 < 2р - Ь (или Ь < 1, р1 < 2р -1), то

F(х) е Нт1п[1+2р■ т1п[ 1-1+2р+с+а1. -1+2р-р1]][0 1]

Применив теперь обычную схему вычислений (см. напр. [5, с. 220-222], [6, с. 382-383]), уравнение (18) можно свести к сингулярному интегральному уравнению нормального типа с ядром Коши. А с помощью известного метода регуляризации Карлемана-Векуа [9, 10] приходим к эквивалентному интегральному уравнению Фредгольма второго рода, безусловная разрешимость которого следует из единственности решения задачи.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. SaigoM. // Math. Rep. Kyushu Univ. 197S. Vol. 11. № 2. P. 135 - 143.

2. Репин О.А. Краевые задачи со смещением для уравнений гиперболического и смешанного типов. Саратов: Изд-во Сарат. гос. ун-та, 1992. 164 с.

3. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.

4. Нахушев А.М. Элементы дробного исчисления и их приложения. Нальчик: КБНЦ РАН, 2000. 299 с.

5. СмирновМ.М. Уравнения смешанного типа. М.: Высш. шк. 1985. 304 с.

6. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981. 448 с.

7. НахушевА.М. Уравнения математической биологии. М.: Высш. шк. 1995. 301 с.

8. Бицадзе А.В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. М.: Наука, 1966. 203 с.

9. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977. 640 с.

10. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968. 511 с.

11. Saigo M. and Kilbas A.A. Generalized fractional integrals and derivatives in Holder spaces // Transform methods and

Special Functions, Sofia 94 (Proceedings of International Workshop), Sci. Cult. Publ., Singapore, 1995. P. 282 - 293.

Поступила 4.04.2003 г.