Алгоритм вычисления оптимальной мартингальной меры для условно-пуассоновского распределения логарифмического возврата Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.2

АЛГОРИТМ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПТИМАЛЬНОМ МАРТИНГАЛЬНОИ МЕРЫ ДЛЯ УСЛОВНО-ПУАССОНОВСКОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКОГО ВОЗВРАТА

© 2009 г. Г.И. Белявский, Н.Д. Никоненко

Southern Federal University Rostov-on-Don

Южный федеральный университет, г. Ростов-на-Дону

Строится мартингальная мера с помощью преобразования Гирсанова и оценки риска в случае хеджирования в среднем для модели (B, S) - рынка. На рынке источником случайности является последовательность независимых и одинаково распределенных по закону Пуассона случайных величин. Сравниваются два подхода построения процесса плотности.

Ключевые слова: мартингальная мера; преобразование Гирсанова; оценка риска.

In this paper, martingale measure is constructed via Girsanov transformation and in case of hedging on average for (B, S) - market model. We assume that the source of contingency on this market is independent and identically distributed Poisson sequence. Two different approaches to construct density process are compared.

Keywords: martingale measure; Girsanov transformation, risk estimate.

Вопрос конструирования мартингальной меры с помощью абсолютной непрерывной замены меры является важным, поскольку не всегда исходная мера является мартингальной и тогда усложняются многие расчеты.

В работе [1] рассматриваются общие вопросы конструкции вероятностных мер P , (локально) абсолютно непрерывных или эквивалентных исходной мере P, входящей в определение фильтрованного

пространства (q, F, (Fn)n>1, P). Сначала рассматривается дискретное преобразование Гирсанова для условно-гауссовской последовательности

hn = ln nSn , (1)

где Law (en|Fn_1;P) = N(0,1), |n,an являются Fn_1

измеримыми случайными величинами, причем полагается, что стп > 0 . Также в данной работе исследуется вопрос о мартингальных мерах, относительно которых S = (Sn) является мартингалом. Полагают, что

на (B, S) - рынке Sn = S0eHn, Hn = ¿hk , где h = (h)

k=1

является условно-гауссовской последовательностью, которая определена выше. В качестве способа построения мер P , относительно которых последовательность (Sn )n<N будет (P, (Fn)) - мартингалом,

рассматривается условное преобразование Эшера. Следует отметить, что для этой модели (B, S) - рынка результаты преобразования Эшера и преобразования Гирсанова совпадают.

Особый интерес для моделирования (B, S^bm^ представляют случаи, когда последовательность h = (hn) не является условно-гауссовской.

Будем рассматривать модель неполного безарбитражного (B, S)-рынка, где в (1) последовательность е = (en) является пуассоновской.

Эволюция рискового актива определяется уравнением

Sn - Sn-1

ehn

(2)

где в е п - независимые и одинаково распределенные по закону Пуассона случайные величины, т.е.

p(en - к) -

к!

Рассматривается естественная фильтрация:

Fn -ст(в!,..., Sn ) .

(3)

Относительно фильтрации параметры модели ц п, стп - предсказуемы. Банковский счет:

Вп =(1 + Г ) Вп_1,

где г - константа.

Не нарушая общности, будем считать, что г = 0. Модель (1) - (3) рассматривалась в работе [2].

Пусть Рп = Р^п - сужение вероятностной меры Р на ст-алгебру Fn с F. Установим, при каком условии процесс £ является (Sn, Fn, Р) -мартингалом.

Простое вычисление показывает, что таким условием является равенство

ст„ - ln

X

(4)

Допустим, что равенство (4) не выполняется. Тогда возникает вопрос о существовании меры Р , эквивалентной исходной, относительно которой процесс £ является (£п,Fn,Р) -мартингалом. Используя про-

7 dPn

цесс плотности ¿п = —-, введем вероятностную меру dP„

P - P(dю)

полагая

Pn(dю) - Zn(ю)Pn(dю),

п = 1,2,..., N. Будем искать процесс плотности в виде

Zn = Zn_1еа"+РпЕп , где ап, р„ - предсказуемы.

В уже упоминавшейся работе [2] была доказана теорема, которую мы приводим в наших обозначениях.

Теорема 1. Для существования преобразования Гирсанова необходимо и достаточно, чтобы для всех п выполнялось неравенство

Цп^п < (5)

Причем, процесс плотности имеет следующий

Ц к

вид: Z„ = exP<|EK + ßksk )r, где ^ =X —

[k=1 J 1 - eak

ßk = ln-

Vk

Ц1 - eak) можно переписать в виде:

стк Ф 0, тогда процесс плотности

Zn = exp

L-У,^- + Y. ln Vk s>

[ k=i1 - eak k=i X(1 - eak)

Таким образом, получена мартингальная мера, и тогда согласно первой фундаментальной теореме финансовой математики, рассматриваемый (В, S)-рынок является безарбитражным.

Условие теоремы 1 является достаточным условием существования мартингальной меры, но не необходимым. Выясним достаточные и необходимые условия существования мартингальной меры.

Теорема 2. Является справедливой импликация: цпстп < 0 ^ существует мартингальная мера.

Рассмотрим условие EP (eh"/Fn-1)

= 1:

Ep (ehn/Fn-1 ) = 1ö EP (e°nBn^¡F^ )

= 1 ö Ep (e°nF'n/Fn-1):

Заметим, что

Ep (e°nSn/Fn-1 ) = e-Vn ö £ e°"kPk v ' k=0 ОТ , ,

= e ö ^(ea"k - e ) pk = 0.

от / \

Выполнение условия e°nk - ) pk = 0 воз-

k=0

Таким образом, получили необходимое и достаточное условие для существования мартингальной меры vпстп < 0 , которое совпадает с условием (5) теоремы 1.

Допустим, что условия теоремы выполнены. Это значит, что исследуемый безарбитражный рынок не является полным, т. е. множество мартингальных мер содержит бесконечное число элементов и поэтому получение эквивалентной мартингальной меры при помощи преобразования Гирсанова не является единственной альтернативой. Рассмотрим несколько иной способ построения эквивалентной мартингальной меры.

Рассмотрим задачу хеджирования в среднем. Пусть fN = fN (ю) - некоторое FN - измеримое платежное обязательство, принадлежащее классу L2 (Q, P). В случае неполного рынка невозможно

точно воспроизвести платежное обязательство. Вопрос о выборе точности меры воспроизведения является в некотором отношении условным и определяется «целевыми установками», возможностью получения точного решения соответствующей оптимизационной задачи и т.п. Качество воспроизведения обусловлено среднеквадратическим отклонением

Rn (тс, х) = E[XN - fN ]2, что помогает в ряде

^ * *

случаев найти те «оптимальные» х и тс , на которых достигается минимум E[XN - fN ]2 , т. е. Rn (тс*,х*) = minE[XN - fN]2. Для мартингальной

х,тс

меры решение этой задачи не представляет особого труда, поскольку можно использовать разложение Кунита - Ватанабе. Подробней см. [1].

Если мера немартингальная, то решение задачи существенно усложняется.

Рассмотрим несколько другое условие качества воспроизведения финансового обязательства

EP |XN - fN |. И оценим его сверху:

Ep \xn - Zn | = EpZn \xn - Zn |, где ZN = . Отметим, что в рассматриваемой моде-

ZN

ли ZN Ф 0, тогда получим

можно в двух случаях:

1) стп > 0. В данном случае функция у = в°пк -

-в ~цп возрастает, тогда минимальное значение этой функции достигается при к = 0 и поэтому должно

выполняться условие 1 - в~Цп < 0 или цп < 0.

2) стп < 0 . В данном случае функция у = ва"к -

-в~цп убывает, тогда максимальное значение этой функции достигается при к = 0 и в этом случае должно выполняться условие 1 - в~Цп > 0 или цп > 0.

EpZN \XN fN | ~*lEp Z pj^-^p (XN fN ) .

Данная оценка позволяет рассматривать следующую оптимизационную задачу:

min JEpZl^Ep (XN - fj)2 , (6)

x,tceSF,p * p N ' p

при условии, что Р - мартингальная мера.

Если зафиксировать мартингальную меру Р , тогда задача (6) переходит в следующую задачу:

min JEp(X£- fN)2 .

mm ep (Vn/Fn-i );

vn

Как указывалось выше, данная задача легко разрешима в силу разложения Кунита - Ватанабе.

Для нахождения мартингальной меры естественно рассмотреть задачу:

min E д Z

2

P Z N ,

(7)

при условии, что Р - мартингальная мера.

Согласно формуле перехода от одной меры к другой, имеем

Ef

V VN

IFn-1

- sn-1 .

(10)

Сделаем упрощающее допущение: пусть в формуле для цены акции (2) величины цп, стп являются константами. Введем обозначение: ) = хкы . Перепишем задачу (9), учитывая, что последовательность h = (hn) является пуассоновской:

min EpZN - min EpZNZN - min EPZN .

zn Z n zn

Таким образом, задача (7) преобразовывается в задачу:

min EPZN,

(8)

E

Z n-1

V Z n

Sn Fn-1

- Sn-1, n -1,2,...,N .

E

7

N-1 V Z N

SN FN-1

- S;

N-1

(9)

£ Г

Z xk, ntt ^ min;

k-0 k!

стл \k

Z ^

k! x

(*)

-1.

k-0

k ,N

при условии, что PZN - P и P - мартингальная мера.

Рассмотрим условие мартингальности меры P . Это означает, что процесс цены акции (Sn)n>0 должен быть мартингалом по новой мере:

Ep (SjFn-1)- Sn-1,n - 1,2,...,N .

Таким образом, задача (8) примет вид

min EPZN,

Для решения данной задачи используем метод Ла-гранжа. В связи с тем что функция и ограничения выпуклы, необходимые условия условного минимума: дL „ дL дL

— = 0; --> 0; --хкы = 0 являются достаточ-

с^ dxj

k, N

dx,

k, N

ными.

В результате получим следующие уравнения:

Z ^ - e^-0; k !xk

k-0 k !xk,N

ka 2

Будем искать ZN методом обратной индукции.

Рассмотрим одношаговую задачу - сделаем один шаг назад от финального момента времени N. Воспользуемся тем, что ZN - ZN-1JVN . Будем искать VN , считая ZN-1 временно зафиксированным. В результате получим задачу:

min EpZn-Jn ,

хк N = ^е И решение задачи (*) будет иметь вид:

ст

„ Х(е2 -1)+ц+^

V = е 2

Предположим, что найдены 1*пуп+1,...уы, при-

ст

чем все V, I = п, N имеют вид Vi = е 2 .

Исходя из этого предположения найдем 1*п_1. Пусть

Z X(e 2 -1)+^+^ n e,-a

Используем телескопическое свойство математического ожидания:

mm epZn-Jn - mm Ep (Zn-1Ep (Vn/Fn-1)).

zn zn ' "

Поскольку считаем, что ZN-1 фиксировано, то

необходимо искать min EP (VN/FN-1). В результате

v'n V '

этих преобразований получим следующую задачу на условный экстремум:

Qn -Wi - e*

2 z-j- +(n-n)(me 2 -1)+ц)

/ - ei=n

Для вычисления Vn-1 получим следующую зада-

чу:

E

min

Vn-1

n—1

V Vn-1,

in E (vn-1QjFn-2)

'F„_

-S

N

n

a

a

Из независимости Qn от Fn-2 найдем:

Е(У„-&„^п-2 ) = Е(Уп-1^п-2 )EQn .

В силу определения V , / = 1, N получаем, что EQn>0.

Таким образом, в итоге приходим к задаче:

Е (¥„-!/Fn-2 ) ;

E

Sn-1

V Vn-1,

F

n-2

= S

n-2

CT

N

Z N = exp i N (He2 -1) + |)

2 , =i

Преобразование Гирсанова в случае, когда в (2) ц п, стп являются константами, имеет вид

I

ZN = exp i NH—N|- + ln N 1 1 - eCT H(1 - eCT )й

N

Важным результатом является то, что преобразование Гирсанова отличается от оптимальной плотности. В случае, когда цп, стп не являются константами, решение задачи о вычислении оптимальной меры может быть получено с помощью специальных вычислительных методов.

Данная задача аналогична задаче (10), и, решая её, получим

„ h(e2 -1)+||+^ -

V = e 2, i = 1, N .

Значит, была доказана

Теорема 3. Если в (2) величины цп, стп являются константами, тогда оптимальный процесс плотности имеет вид

Литература

1. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Т. 2. Теория. М.,1998. 544 с.

2. Лужецкая П.А. Преобразование Гирсанова для пуассо-новской модели поведения финансовых индексов : тезисы // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2008. Т. 15, вып. 5. С. 900.

и

ct

Поступила в редакцию 30 апреля 2009 г.

Белявский Григорий Исаакович - д-р техн. наук, заведующий кафедрой «Высшая математика и исследование операций», Южный федеральный университет, г. Ростов-на-Дону. Тел. (863)2320149. E-mail: [email protected]

Никоненко Наталья Дмитриевна - магистрант 2 года обучения, кафедра «Высшая математика и исследование операций», Южный федеральный университет, г. Ростов-на-Дону. Тел. (863)2723360. E-mail: [email protected]

Belyavsky Grigoriy Isaakovich - Doctor of Technical Sciences, head of department «Higher mathematics and operation research», Southern Federal University, Rostov-on-Don. Ph. (863)2320149. E-mail: [email protected]

Niconenko Nataliya Dmitrievna - the second year undergraduate, department «Higher mathematics and operation research», Southern Federal University, Rostov-on-Don. Ph. (863)2723360. E-mail: [email protected]