CC BY
18
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2016. No. 4
УДК 519.2
DOI 10.18522/0321-3005-2016-4-17-20
РАСЧЕТ ИНТЕРВАЛА СПРАВЕДЛИВЫХ ЦЕН ДЛЯ БИНАРНОИ МОДЕЛИ (Б£)-РЫНКА С ВОЛАТИЛЬНОСТЬЮ, ЯВЛЯЮЩЕЙСЯ МАРКОВСКОЙ ЦЕПЬЮ*
©2016 г. Н.В. Данилова
THE CALCULATION OF THE INTERVAL OF THE FAIR PRICES FOR THE BINARY (B,S)-MARKET MODEL WITH VOLATILITY, WHICH IS MARKOV CHAIN
N. V. Danilova
Данилова Наталья Викторовна - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра высшей математики и исследования операций, Институт математики, механики и компьютерных наук имени И.И. Воровича Южного федерального университета, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, e-mail: [email protected]
Natalia V. Danilova - Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Department of High Mathematics and Operations Research, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: danilova198686@mail. ru.
Рассматривается случайный процесс, один из параметров которого является марковской цепью с заданной матрицей переходных вероятностей и неопределённым начальным распределением, а другой - радемахеровской случайной величиной. Приводится задача вычисления минимального и максимального значений математического ожидания некоторой функции от этого процесса, обладающей определёнными свойствами, по начальному распределению. Представлено приложение задачи в финансовой математике. Рассчитывается интервал цен опциона.
Ключевые слова: марковская цепь, волатильность, случайное блуждание.
The stochastic process which is based on the Markov chain and the random walk is considered in the paper. The Markov chain has the given matrix of transitive probabilities and the unknown vector of initial distribution. The problem of calculation of minimal and maximal values of the given function of this process is considered. The calculation example is resulted. The problem appendix in mathematical finance is also presented, as it is shown in the paper. The interval of the fair prices, which suit both the seller and the buyer of the European call option, is calculated. In several cases we deal with the unique fair price.
Keywords: Markov chain, volatility, random walk.
Введение
Фундаментальные работы Ф. Блэка, М. Шоулза [1] и Р. Мертона [2] внесли значительный вклад в теорию оценивания опционов. Многочисленные статистические наблюдения показали, что модели Блэка, Шоулза и Мертона недостаточно хорошо отражают рыночные цены, так как рыночная волатильность в них не является константой. Эта проблема известна как «улыбка волатильности». В настоящее время основное внимание исследователей в области финансовой математики сфокусировано на моделях стохастической волатильности, в которых волатильность является случайным процессом. Модели стохастической волатильности впервые изучены Х. Джонсоном и Д. Шано [3], Дж. Халлом и А. Уайтом [4], Л. Скоттом [5]. Другие модели со стохастической волатильностью предложены Е. Штейном [6], С. Хестоном [7]. В этих моделях изменение цен активов управлялось с помощью процесса волатильности, который может быть как зависимым, так и не зависимым от процесса стоимости рискового актива. Как правило, в этих моде-
лях волатильность является процессом Ито. Это предполагает знание начальной волатильности.
Наряду с моделями стохастической волатильности рассматриваются модели с неопределенной волатильностью [8-10]. В них волатильность является траекторией неважно детерминированной или случайной, принадлежащей допустимому множеству траекторий. То есть на волатильность накладываются ограничения, например, в виде неравенства
с(^)<с(^)<с(^) с известными границами или в виде условия Гельдера |с(/ )-с(т) < Ь^ - т\Я, 0 <Я< 1.
В классических моделях Блэка, Шоулза и Мертона эволюции стоимости акции и банковского счета описываются дифференциальными уравнениями, стохастическим и детерминированным
= (рА + схШ1), = гВА, (1)
с начальными условиями £0, В0 . В первом уравнении - винеровский процесс относительно исходной меры и исходного стохастического базиса. В стохастической финансовой математике особую роль играет процесс дисконтированной стоимости
* Работа поддержана грантом 213.01 -07-2014/07 ПЧВГ.
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
(£/В) и эквивалентная исходной мартингальная мера, относительно которой и исходного стохастического базиса дисконтированная стоимость является мартингалом. Переход к единственной мартин-гальной мере в этой модели осуществляется заменой винеровского процесса Wt на процесс Ж*, который удовлетворяет уравнению аж* аг+аж,.
а
Относительно мартингальной меры и исходного стохастического базиса процесс Ж* является вине-ровским. Переход от процесса к новому процессу Ж* называется преобразованием Гирсанова [11]. После преобразования Гирсанова первое уравнение в (1) трансформируется в уравнение аБг = Б г {гаг + ааж*). В ряде приложений, в частности в стохастической финансовой математике, требуется вычислить по мартингальной мере математическое ожидание Е*а / (Бт) от неотрицательной и ограниченной функции. Если рассматривать функцию /как платежное обязательство по некоторому финансовому контракту, которое должно быть оплачено в финальный момент Т, то выражение С = ехр (- гТ ^)Е*а / (Бт) является справедливой ценой этого контракта. В этой модели упомянутое математическое ожидание
El f(ST )=j= J f S0 exp j(r-a2ll)it + \\i2atx
-J 0
V v
J)
5t
5x
2 5x2
ния
supE*af(ST ) и inf Elf(St ). Если
5v 5v x2 уравнения--+ rx--1--max
5t 5x 2 o<o<o
2
2 5_v
5x 2 v 5x )
i
= 0 с крае-
вым
условием v(T, x) = f (x) ; inf E*a f (ST )=v(0, S0 )
где
5v
- вязкостное
2
5v x + rx--1--min_
5t 5x 2 KKi
NATURAL SCIENCE. 2016. No. 4
решение уравнения = 0 с краевым усло-
2
2 5V
5x2 v 5x )
i
вием v(T, x) = f (x). Основным недостатком модели является то, что волатильность —(t)е ——}. Отсюда
отношение —) eji, — 1. В [10] этот недостаток а(т) [ — J
был в некоторой степени преодолен. В модели, рассматриваемой в этой работе, волатильность является решением дифференциального уравнения d—(t) = S(t—(t)dt с начальным условием — 0 и нефиксированной функцией s(t), причем [(t)e [[,[].
—(t) - "
Для отношения
i
(0
справедливо двойное нера-
при
венство: exp(s(t-г))< , \ <expS(t-г)) и
г —^ t отношение стремится к единице. Для непрерывной и ограниченной функции f вычисление sup E*s f (ST) и
inf E*sf (St )
Se&
Se&
также связано с вязкост-
х ехр (- х2 / 2)ах .
Математическое ожидание также может быть вычислено в результате решения уравнения
ду ду а2х2 д2у - + гх— +--- = 0
с краевым условием
у(т, х) = / (х), причём Е*а / (Бт) и решение уравнения
связаны равенством Е*а / (Бт ) = V (0, Бо). Для любой фиксированной траектории а из допустимого множества траекторий 5 порождаемая уравнением аБг = Бг (гаг + ааж*) мера является мартингальной. В связи с этим можно рассматривать задачи вычисле-
множество до-
пустимых траекторий Н = jr(t),0 < t < T,a< a(t) < a} и функция /является непрерывной и ограниченной, то sup E*af (ST ) = v(0,S0), где v - вязкостное решение
ными решениями v и у двумерных уравнений, которые принято называть уравнениями G-теплопроводности sup E*s f (ST ) = v(ö, So,ao ) и
SeA
inf E*sf (St ) = v(ö, So,&o ), где
SeA
A = S(t),ö < t < T : S < S(t)<S}. Там же установлено, что одним из способов решения уравнения G-теплопроводности являются дискретизация стохастического дифференциального уравнения и использование при этом радемахеровских случайных величин. Поэтому далее рассматривается дискретная модель, порождаемая последовательностью радемахеровских случайных величин.
Альтернативой вышеприведенным моделям является задание семейства мер на измеримом пространстве, порождаемом допустимыми траекториями волатильности. При этом используется представление волатильности в виде марковского процесса с неполностью определенными параметрами, допустим, с известной матрицей интенсивно-стей и неопределенным начальным распределением. Именно такая задача рассматривается ниже.
Модель
Рассматривается дискретная модель
Б„ = Б„-1(1 + г + апеп), Бп = Бп-1(1 + г) , (2)
где (ап - марковская цепь, не зависящая от е ; каждое ап, п = 1,..., N принимает N +1 значение из
х
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
{ct,ct + h,...,CT —h,CT
NATURAL SCIENCE.
интервала
CT —CT
и
ctI, а именно ct„ e '
-},
E,
Sn
V Bn
/ F
n—1
S„
So exPI £a, IexPl £b,e,
i=1
i=1
1
где ai = — (ln(1 + r + CTi) + ln(1 + r — CTi)). bi = 1(ln(1 + r + CTi) — ln(1 + r — CTi)).
Итак, EPf
h =—, n = 1,...,N. Множество возможных значений волатильности обозначим через A = (Ai)N0, где А1 = ст + i• h, i = 0,...,N . Матрица переходных вероятностей имеет вид Q = (qhп, где д1} = P{an = Аг /Стп_1 = А), i = 0,...,N , j = 0,...,N .
So exPI £ai Iexpl £b,s,
i=1
/ /
£ ■■■ £ Ep
ixe{-1,1} i*e{—1,1}
f
S0 exp
V V a.
i=1
N
£ a IexP
V i=1
2016. No. 4
N УЛ
£bA
V j=1
^ . о,..Я , ■ = 0, Вектор начальных вероятностей имеет вид Р Цр^ , где р, = Р(с =А'), ' = 0...... В (2)
(е„ - одинаково распределённые и независимые радемахеровские случайные величины. При постоянной волатильности данная модель является бинарной моделью Кокса - Росса — Рубинштейна [12].
Легко проверяется
Утверждение 1. Для любого фиксированного начального распределения Р марковской последовательности с мера, порождаемая уравнением (2), является мартингальной относительно естественного стохастического базиса с фильтрацией ^ = с(0,0),..., ^ =с((е1,с1),..., (е„ ,с„ )).
Доказательство. Мартингальное равенство
с учётом (2) имеет вид
Следовательно, Е/ = Eg (а1,..., %; Ь1,..., Ьы ) = Ек(с1,...,сы).
Введем обозначение: о = {с1.....с^}, а Е - множество допустимых значений О. Имеем ЕН (о )= 2 Н(о р(о) . В силу того, что (си - мар-
цепь, справедливо р(ст) = p(ctn /CTn—!)•...• рЦ ). Отсюда
ковская (ст
n ' n=1
равенство
N
Eh(CT)= £APi , где Ai,i = 0,...,N - константы.
i=0
Поскольку Ef (SN) линейно зависит от парамет-
NN
ров Pi (£ Pi = 1, Pi > 0), то справедливо
i=1
min EPf (SN)= min A,
P i =0,..., N
Утверждение 3.
max EP f (SN ) = Ai.
P i=0,..., N
Доказательство. Первый факт вытекает из того, что задача линейного программирования
N N
£ pAi ^ min при ограничениях £ Рг = 1, Pi - 0,
EP (<?„£„ / Fn_1)= 0 . В силу свойств радемахеров-ской последовательности (еп получаем, что мартингальное равенство выполняется для любой фиксированной последовательности (стп .
Рассмотрим функцию f, ограниченную на конечном множестве возможных значений случайной величины SN, для которой необходимо вычислить min Epf (Sn ) и max Epf (Sn ).
Утверждение 2. Математическое ожидание EPf (SN) линейно зависит от начального распределения P .
Доказательство следует из непосредственного вычисления математического ожидания EPf (SN):
Epf(SN )= Epf ^ So П (1 + r +ciEi )j =
= Epf
i=1 i=1 имеет решение p* = S.. ., где i* = arg min Ai. Аналогично устанавливается второй факт.
Пример. Начальные данные: N = 3 , N = 2,
S0 = 1, /и = 0,3 , ст = 0,2, ст = 0,4, (0,1 0,5 0 ^
Q =
, f (х) = max(x —1,0).
0,9 0,2 0,6 V 0 0,3 0,4у Функция
h(CTl, CT2, CT3 ) = 1 (f ((1,3 + CT! Xu + CT2 Xu + CT3 )) +
+ f ((1,3 + CT1 )(1,3 + CT2 )(1,3 — CT3 )) + + f ((1,3 +CT1 )(1,3 — CT2 )(1,3 + CT3 )) + + f ((1,3 + CT1 Xu —CT2 )(1,3 — CT3 )) + + f ((1,3 — CT1 Xu + CT2 )(1,3 + CT3 )) + + f ((1,3 — CT1 )(1,3 + CT2 )(1,3 — CT3 )) + + f ((1,3 — CT1 )(1,3 —CT2 Xu + CT3 ))) + + f ((1,3 — CT1 )(1,3 — CT2 Xu — CT3 )) . Коэффициенты A0 «1,197, A1 «1,203, A2 «1,214. Следовательно, min Ef (S3 )= A0 «1,197 ,
P0. P1. P2
P0 =1, P1 = 0, P2 = 0.
N
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2016. No. 4
Аналогично max Ef (S3 ) = A2 ~ 1,214, p0 = 0,
P0. Ръ P2
pi=0, P2=l.
Отметим, что в примере экстремальными являются крайние значения. Вполне возможно, этот факт связан со свойствами функции f а именно с выпуклостью.
Заключение
В модели, предложенной в [10], предполагается знание начального значения волатильности <г0, что не всегда оправданно. Предлагаемая модель лишена этого недостатка и поэтому, на наш взгляд, заслуживает внимания. В модели предполагается, что выбор матрицы переходных вероятностей позволяет добиться того, чтобы волатильность колебалась относительно неизвестного уровня, например, сделав крайние состояния марковской цепи отражающими состояниями. Отметим, что предложенная модель не относится к моделям со стохастической и неопределенной волатильностью, скорее это модель с неопределенным «уровнем» волатильности.
Литература
1. Black F., Scholes M. The pricing of options and corporate liabilities // J. of Political Economy. 1973. Vol. 81, № 3. Р. 637-659.
2. Merton R. Theory of rational option pricing // The Bell J. of Economics and Management Science. 1973. Vol. 4, № 1. Р. 141-183.
3. Johnson H., Shanno D. Option pricing when the variance is changing // J. of Financial and Quantitative Analysis. 1987. Vol. 22. P. 143-151.
4. Hull J., White A. The pricing of options on assets with stochastic volatilities // J. of Finance. 1987. Vol. 42, № 2. Р. 281-300.
5. Scott L. Option pricing when the variance changes randomly: theory, estimation and an application // J. of Financial and Quantitative Analysis. 1987. Vol. 22. Р. 419-438.
6. Stein E., Stein J. Stock price distributions with stochastic volatiliy: an analytic approach // Reviews of Financial Studies. 1991. Vol. 4, № 4. Р. 727-752.
7. Heston S. A closed-form solution for options with stochastic volatility with applications to bond and currency options // Reviews of Financial Studies. 1993. Vol. 6, № 2. Р. 327-343.
8. Avellaneda M., Levy A., Par'as A. Pricing and hedging derivative securities in markets with uncertain volatilities // Applied Mathematical Finance. 1995. Vol. 2, № 2. Р. 73-88.
9. Meyer G. The Black Scholes Barenblatt equation for options with uncertain volatility and its application to static hedging // Theoretical and Applied Finance. 2006. Vol. 9. Р. 673-703.
10. Beliavsky G., Danilova N., Grober T. The uncertainty volatility models and tree approximation // Applied Mathematical Sciences. 2016. Vol. 10, № 19. Р. 921-930.
11. Гирсанов И.В. О преобразовании одного класса случайных процессов с помощью абсолютно непрерывной замены меры // Теория вероятностей и её применения. 1960. Т. 5, № 3. С. 314-330.
12. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Т. 1 : Факты, модели. М., 2004. 512 с.
References
1. Black F., Scholes M. The pricing of options and corporate liabilities. J. of Political Economy. 1973, vol. 81, no. 3, pp. 637-659.
2. Merton R. Theory of rational option pricing. The Bell J. of Economics and Management Science. 1973, vol. 4, no. 1, pp. 141-183.
3. Johnson H., Shanno D. Option pricing when the variance is changing. J. of Financial and Quantitative Analysis. 1987, vol. 22, pp. 143-151.
4. Hull J., White A. The pricing of options on assets with stochastic volatilities. J. of Finance. 1987, vol. 42, no. 2, pp. 281-300.
5. Scott L. Option pricing when the variance changes randomly: theory, estimation and an application. J. of Financial and Quantitative Analysis. 1987, vol. 22, pp. 419-438.
6. Stein E., Stein J. Stock price distributions with stochastic volatiliy: an analytic approach. Reviews of Financial Studies. 1991, vol. 4, no. 4, pp. 727-752.
7. Heston S. A closed-form solution for options with stochastic volatility with applications to bond and currency options. Reviews of Financial Studies. 1993, vol. 6, no. 2, pp. 327-343.
8. Avellaneda M., Levy A., Par'as A. Pricing and hedging derivative securities in markets with uncertain volatilities. Applied Mathematical Finance. 1995, vol. 2, no. 2, pp. 73-88.
9. Meyer G. The Black Scholes Barenblatt equation for options with uncertain volatility and its application to static hedging. Theoretical and Applied Finance. 2006, vol. 9, pp. 673-703.
10. Beliavsky G., Danilova N., Grober T. The uncertainty volatility models and tree approximation. Applied Mathematical Sciences. 2016, vol. 10, no. 19, pp. 921930.
11. Girsanov I.V. O preobrazovanii odnogo klassa sluchainykh protsessov s pomoshch'yu absolyutno nepreryvnoi zameny mery [On the transformation of a class of stochastic processes with the help of an absolutely continuous change of measure]. Teoriya veroyatnostei i ee primeneniya. 1960, vol. 5, no. 3, pp. 314-330.
12. Shiryaev A.N. Osnovy stokhasticheskoi finansovoi matematiki. T. 1 : Fakty, modeli [Fundamentals of stochastic financial mathematics. Vol. 1: Facts, models]. Moscow, 2004, 512 p.
Поступила в редакцию /Received
6 сентября 2016 г. /September 6, 2016
