CC BY
37
1. Растригин Л.А. Адаптация сложных систем. - Рига: Зинатне, 1981. - 375 с.
2. Жуков Д.В., Коняхин И.А., Усик А.А. Аналитический обзор способов определения координат изображений точечных источников // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. - 2007. - Т. 43. -С. 212.
3. Инструкция по разработке проектов и смет для промышленного строительства СН-202-76/ Госстрой СССР. - М.: Стройиздат, 1976.
Михеев Сергей Васильевич - Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кандидат технических наук, доцент, [email protected]
Усик Александр Александрович - Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, аспирант, [email protected]
Кулешова Екатерина Николаевна - Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, студент, [email protected]
УДК 681.51.015
АЛГОРИТМ УПРАВЛЕНИЯ ПО ВЫХОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ОБЪЕКТА С НЕИЗВЕСТНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ И ДИНАМИЧЕСКОЙ РАЗМЕРНОСТЬЮ
А. А. Бобцов, А.А. Пыркин
Обсуждается подход к управлению по выходу линейными объектами с неизвестными параметрами и динамической размерностью математической модели. Предлагается новый закон управления в неопределенных условиях для более широкого класса допущений на объект по сравнению с аналогами.
Ключевые слова: управление по выходу, параметрическая неопределенность, неизвестная динамическая размерность.
В современной научной литературе в области автоматического регулирования большое внимание уделяется разработке алгоритмов управления по выходу (т.е. без измерения переменных состояния или производных выходного сигнала) линейными объектами с неизвестными параметрами и динамической размерностью. Иными словами, рассматриваются объекты, представленные в виде обыкновенных дифференциальных уравнений вида
a( p) y(t) = b( p)u(t), (1)
где измеряются только сигналы y(t) и u(t), p = d / dt обозначает оператор дифференцирования; полиномы a(p) = pn + an_1 pn_1 + an_2p"~2 +... + a0 и b(p) = bmpm + bm_1 pm_1 + bm_2pm_2 +... + b0 имеют не только неизвестные параметры anan_2, ..., a00, bm, bm_1,..., b0), но и неопределенные размерности n и m . Как правило, решается задача поиска такого управляющего сигнала u(t), чтобы замкнутая система была устойчива, а выходная переменная y(t) вела себя некоторым специально заданным образом, например, стремилась к нулю при t ^ ж .
Существует ряд подходов [1, 2], полученных совсем недавно и независимо разными авторами, позволяющих решать данную задачу. Однако, на взгляд авторов данной работы, подходы [1, 2] могут быть развиты за счет формулирования более сильного допущения относительно неопределенности параметров и динамической размерности. В отличие от [1, 2], будем полагать, что параметры anan_2, ..., a0), bm, bm_j, ..., b0) априорно неопределенны, а известно только число pmax - максимально возможная относительная степень математической модели объекта (1), в то время как число p = n _ m , представляющее
собой реальную относительную степень, неизвестно. В частности, в [1] допускается, что определена об, . n n—1 n—2 ^
ласть изменения параметров и для полинома a(p) = p + an_ p + an_2p +... + a0 известно число n такое, что n < n . В [2] известны минимальное и максимальное значения относительной степени. Предлагаемый в этой работе подход будет базироваться на результате [2], но, в отличие от [2], будем полагать, что минимальная относительная степень неизвестна. Будем решать задачу поиска управляющего воздействия, обеспечивающего стремление выходной переменной y(t) к нулю при t ^ ж . Выберем закон управления в виде
u(t) = _k-^Т-Г ^1(t), (2)
(Tp + 1)Pmax 1
11 ^^
12 = а£3,
Ъ2 Ъ3 (3)
| p_1 =CT(_k1^1 _ k2^2 _... _ kp_1^p_1 + к1УХ
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 4 (74)
где число к > 0 и полином а(p) степени (pmax -1) выбираются так, чтобы передаточная функция а(p)b(p)
H(p) =- была строго вещественно положительной; у = pmax - p > 0 ; постоянная
a( p)(Tp + 1)у+ ка( p)b( p)
времени T апериодического звена должна быть достаточно малой величиной; число ст > T-1 > к, а коэффициенты к рассчитываются из требований асимптотической устойчивости системы (3) при нулевом входе y(t).
Чтобы следующие далее рассуждения были понятны и имели логический смысл, авторы адресуют читателя к разделу 3 (заключение) статьи [2], где обсуждаются достаточно близкие идеи. Итак, рассмотрим два случая.
1. Пусть p = pmax , тогда закон управления (2) примет вид
u(t) = -ка(p)v(t), v(t) =-1p-f 5i(t),
(Tp + 1)pmax 1
где вторая система представляет собой неучтенную асимптотически устойчивую динамику, обсуждаемую в [2]. Как было показано в [2], существуют такие числа ст > T-1 > к, что lim y(t) = 0 .
t ^^
2. Пусть p < pmax , тогда закон управления (2) примет вид
u(t) = -к а(p) у v(t), v(t) =-Ц— ^(t) ,
(Tp +1)у (Tp + 1)p-1
где вторая система, также как и в первом случае, представляет собой неучтенную динамику, анализируемую в [2]. Также как и в первом случае, согласно [2], найдутся такие числа ст > T-1 > к, что lim y(t) = 0 .
t
Чтобы рассматриваемый в данной работе результат был более конструктивным, авторы предлагают адаптивную схему настройки параметров к, T-1 и ст , которая близка к подобному подходу, опубликованному в [2]. Будем настраивать коэффициент к по линейному закону до тех пор, пока переменная
y(t) не попадет в некоторую малую область, заданную разработчиком системы. Параметры T-1 и ст можно рассчитывать следующим образом: T-1 = к2 и ст = (T-1)2pmax . При таком расчете коэффициентов регулятора обеспечивается сходимость выходной переменной y(t) в некоторую малую область, заданную разработчиком системы.
В заключение следует отметить, что, используя результаты, опубликованные в [2-5], представленный подход без труда может быть распространен на параметрически и функционально неопределенные нелинейные системы, функционирующие в условиях внешних возмущений, запаздывания и неучтенной динамики. Также на базе [6] представляет интерес распространение предлагаемого результата для доказательства экспоненциальной устойчивости на случай систем с запаздыванием.
Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (грант № 09-08-00139-а).
1. Фуртат И.Б., Цыкунов А.М. Адаптивное управление объектами с неизвестной относительной степенью // Автоматика и телемеханика. - 2010. - № 6. - С. 109-118.
2. Бобцов А.А., Шаветов С.В. Управление по выходу линейным параметрически неопределенным объектом в условиях возмущающих воздействий и неучтенной динамики // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. - 2011. - № 1. - C. 32-38.
3. Бобцов А.А., Николаев Н.А. Управление по выходу линейными системами с неучтенной паразитной динамикой // Автоматика и телемеханика. - 2009. - № 6. - С. 115-122.
4. Бобцов А.А., Капитонов А.А., Николаев Н.А. Управление по выходу нелинейными системами с неучтенной динамикой // Автоматика и телемеханика. - 2010. - № 12. - С. 3-10.
5. Бобцов А.А., Фаронов М.В. Управление по выходу нелинейными системами с запаздыванием в условиях неучтенной динамики // Известия РАН. ТиСУ. - 2011. - № 3. - С. 68-76.
6. Бобцов А.А., Пыркин А.А. Новый функционал Ляпунова-Красовского для доказательства экспоненциальной устойчивости нелинейной системы с запаздыванием // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. - 2011. - № 2. - C. 169.
Бобцов Алексей Алексеевич - Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, доктор технических наук, профессор, декан, [email protected]
Пыркин Антон Александрович - Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кандидат технических наук, ассистент, [email protected]
Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2011, № 4 (74)
