Алгоритм робастного управления для одного класса неминимально-фазовых объектов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 62-506

Д. Е. Гребенщиков, А. И. Паршева, А. М. Цыкунов

АЛГОРИТМ РОБАСТНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА НЕМИНИМАЛЬНО-ФАЗОВЫХ ОБЪЕКТОВ

Введение

В настоящее время опубликовано большое количество работ, в которых представлены различные подходы и методы к синтезу робастных алгоритмов регулирования. В отечественной литературе теория робастного управления достаточно полно изложена в [1, 2], где имеется обширная библиография. В [3] дана классификация различных типов возмущений и выделены два основных подхода к их компенсации. Это построение инвариантных систем, в которых качество функционирования или регулируемые параметры малочувствительны или вообще не зависят от возмущений. В [3] дается также общая характеристика проблемы и предлагается несколько подходов к построению инвариантных систем, основанных на алгебраической структуре математических моделей объектов управления. Второй подход состоит в динамической компенсации внутренних и внешних возмущений, когда регулирующее устройство формирует сигнал управления так, чтобы скомпенсировать влияние возмущений на тот или иной параметр системы, например на ошибку регулирования.

В этих направлениях последние годы опубликован ряд работ. В [3-5] используется внутренняя модель возмущений, в [6, 7] - методы теории робастных и адаптивных систем. В [8] предложен новый подход, основанный на использовании инвариантных эллипсоидов. В [9] излагается подход к синтезу статических робастных регуляторов для линейных систем на основе решения линейно-квадратичной задачи, основанной на параметризации уравнения Лурье -Риккати. Робастные системы с компенсацией возмущений, построенные на базе их оценок, исследованы в [10, 11]. В [12, 13] предложен подход для синтеза робастных систем управления, основанный на применении вспомогательного контура, который позволяет выделить сигнал, несущий информацию о возмущениях, что позволяет получить их оценку. В основном все результаты получены для минимально-фазовых объектов управления.

В данной статье результаты [12, 13] использованы для одного класса неминимальнофазовых объектов управления. Показано, что предлагаемая система управления компенсирует параметрические и внешние воздействия с заданной точностью. Для иллюстрации работоспособности предложенного алгоритма приведен численный пример.

Постановка задачи

Рассмотрим объект управления, динамические процессы в котором описываются уравнением х(V) = Ах(0 + В(и(^) + /(V, 0, х(ф, у(1) = Ьх(1) . (1)

Здесь хе Яп - вектор состояния модели объекта; ), и(^) - скалярные регулируемый

параметр и управляющее воздействие; А, В, Ь - известные числовые матрицы соответствующих порядков; 0 - вектор неизвестных параметров; /(V, 0, х(^)) - функция, в которой сконцентрированы параметрические и внешние возмущения.

Формулируется традиционная задача стабилизации. Требуется спроектировать систему управления, обеспечивающую выполнение целевого условия

|у(0| < 8 при V > Т , (2)

где 8 - заданная точность; Т - время, по истечении которого регулируемая переменная не должна превышать заданного значения 8 после начала работы системы.

Будем решать сформулированную задачу при следующих ограничениях.

Предположения

1.Матрица А гурвицева, а передаточная функция Ь(И-А)-1 В = Я(Х)/Q(1) неминимально-фазовая, где 1 - комплексная переменная в преобразовании Лапласа; I - единичная матрица соответствующего порядка.

2. Элементы вектора 0 могут принимать значения в пределах некоторых известных значений [0 ■; 0г ], а вектор состояния х^) доступен измерениям.

3. Функция /(V, 0, х^)) удовлетворяет глобальным условиям Липшица по вектору x, /(V, 0, 0) ограничена.

4. Полиномы 2(1), Я(1) имеют порядки п и т , соответственно п > т .

Метод решения

Следуя [12], возьмем вспомогательный контур, математическая модель которого описывается уравнением

хъ (V) = Ахъ (V) + Ви(1), (3)

где хъ е Яп - вектор состояния вспомогательного контура. Составим уравнение для вектора рассогласования Х(^) = ) — хь (V), вычитая (3) из (1), в результате чего получим

X(V) = АХИ) + В/(V, 0, х($)). (4)

Умножим уравнение (4) слева на матрицу строку g = [0, ...,1,0,..., 0], где значение

равное единице принимает тот элемент, чтобы было выполнено условие gB Ф 0. Тогда будем иметь

gX(V) = gAX(t) + gB/(V, 0, х(0), (5)

откуда можно вычислить значения /(V, 0, х(V)) = ^—(gX(V) — gAX(t)). Слагаемое gX(V) = Хг (V),

gB

где X i (V) = хг (V) — хъ (V) - производная одной компоненты вектора состояния X(t), т. к. вектор g имеет только одну ненулевую компоненту. Принимая во внимание, что производные вектора состояния не измеряются, будем вычислять оценку функции /(V, 0, )) по формуле

/(V, 0, х^)) = ^(д(V) — gAX(t)), (6)

gB

где V(V) - оценка производной Xг (V), которая получается с помощью фильтра

тСО) = —?(0 + Хг (V). (7)

Здесь т - достаточно малое число. Управляющее воздействие и(0 будем формировать в виде двух составляющих:

1 т

и(Г) =----(д(0 — gAX(t)) — с х^), (8)

gB

где составляющая сТ' х^) предназначена для обеспечения требуемого качества переходных процессов, для чего вектор с выбирается так, чтобы матрица А0 = А — Bc'T, с0 = с / gB обладала

нужными свойствами, например имела требуемое распределение собственных чисел.

Утверждение

Пусть выполнены условия предположений и алгоритм управления задан уравнениями хь (V) = Ахъ (V) + Bu(t) , Х(0 = х^) — хь (V), Хг (V) = gX(t),

1 т

тд(V) = —V(t) + Хг (V), u(t) = ——(V(V) — gAX(t)) — сТх(0 .

gB

Тогда для любого числа 5 существует число М0 такое, что при М<М0 выполнено целевое условие (2), и все сигналы в замкнутой системе ограничены.

Доказательство утверждения

Подставим (8) в (1), принимая во внимание (5):

т = Ах(ґ) - Д(ґ), д(0 = V(0 - Xі (ґ). (9)

ёВ

Тогда из уравнения (7) имеем

тіД(ґ)=-д(ґ) - м2Хі (ґ), т =М2 = м. (іо)

Подставим (10) в (9):

Х(ґ) = Ах(ґ) + В—^~(Д(ґ) + М2Хі(ґ)). (11)

gвml

Воспользуемся следующим утверждением.

Лемма [13]. Если система описывается уравнением X = /(х, ті, М-2) хє Ят , где / (х, М1, М 2) - непрерывная функция, липшицева по х, и при М2 = 0 имеет ограниченную замкнутую область диссипативности ^ = {х|Е(х) < С}, где Е(х) - положительно определенная, непрерывная, кусочно-гладкая функция, то существует м0 > 0 такое, что при м1 £ М0 и М2 £ М0 исходная система имеет ту же область диссипативности ^, если для некоторых чисел С1 и М1 при м2 = 0 выполнено условие

8ир

И £т

£-С1, при Е (х) = С.

Если т2 = 0, то система (10), (11) асимптотически устойчива, т. к. матрица А гурвицева, и функция Ляпунова

V = хТ (V)Нх(V) + аД2 (V), а > 0,

удовлетворяет условиям леммы, где Н - положительно определенная симметрическая матрица. Следовательно, все переменные в замкнутой системе ограничены. Значит, для конкретных

начальных условий существует число £1 такое, что IXг (V)| < £1. Однако, когда т2 Ф 0, система

не будет асимптотически устойчивой. Для определения области притяжения положим М1 = т 2 = ^0 и вычислим полную производную от функции Ляпунова на траекториях системы (10), (11):

V = хТ (V)(НА0 + АТН)х(1) + 2хТ (V)HB-^-Д^) + 2хТ (0^—Xг (V)) — — Д2 (V) — 2аД^)Xг (V).

gBmo gB т0

Воспользуемся оценками:

2хт(ґ)ИВ—^Д(ґ) £ —|х(ґ)|2 + ЩД(ґ)|2, к2 =—Ц

нввтн

ёВМ0 М0 М0 (&В)2

2хт(ґ)ИВ-1-Xі(ґ))£— |х(ґ)|2 +М0^2X(ґ))|2 £ —|х(ґ)|2 +М0к2к2 ёВ М0 М0

2аД(ґ)Хі (ґ) £ — Д2(ґ) + М0|Хі (ґ)|2 £ —Д2(ґ) + М0^2 ,

М0 1 М0

а матрицу Н вычислим из уравнения

Т 3 НАо + АТН =--------1.

то

Подставим полученные оценки в формулу для производной от функции Ляпунова

V <-—Iх(0Г -то

г

а ^2 то

д2(0 + то(^г + Ы2).

Выберем число а из условия а — ^2 = 1. Тогда получим

V < ——\х(1 )|2 ——д2 (I) + ток3, к3 = к2 + к2кГ , то то

откуда следует неравенство V < —— V + ток3, Р = шт{-------------1---.

то 1 шах(Н )

1} , где 1 шах(Н) - максималь-

ное собственное число матрицы Н . Решая последнее неравенство, получим

—А,

Р

V(t) < е то V(0) + (1 — е то )

Р

Принимая

\у() < Ш x(t) < Щ

во

1

V (t) < Щ

1

внимание

( р.

е то V(о) + (1 — е то ) т°к3

цепочку неравенств

, можно сделать вывод,

Р

что для любого числа 5 > о существуют числа то и Т такие, что будет выполнено целевое условие (2).

Пример

Рассмотрим объект, математическая модель которого имеет вид

Х1 = —2х1 + х2,

Т

Х2 = —2х1 + х3 — (и + / + 0 х), х3 = — х1 + 6(и + / + 0 х), у = х1,

где хТ = [х1 х2 х3], 0Т = [01 02 03]. Класс неопределенности задан неравенствами: / < 2,

— 1о < 0г < 1о, 1 = 1,2,3. Величину 5 в целевом условии (2) зададим равной о,о5 . Уравнения вспомогательного контура (3) запишутся следующим образом:

хЪ1 = —2хЬ1 + хЪ2, хЪ2 = —2хЪ1 + хЪ3 — u,

,хъ3 = — хъ1 + 6и, Хг = хг — хы, 1 = 1, 2, 3.

Т

Возьмем матрицу g = [о 1 о] и вектор с = [—1о — 1 — 5о], тогда получим gB = 1, gA = [2 о — 1]. Формула для формирования управления (8) будет иметь вид

и = 2Х1 —Х3 +С — 1ох1 — х2 — 5°^ т^ = —^ + Х2 .

На рисунке представлены переходные процессы в замкнутой системе и график изменения внешнего неизмеряемого возмущения при следующих исходных данных: т = о,оо5 , 0г = 1о , 1 = 1, 2, 3, х1(о) = х2(о) = 1, х3 (о) = — 1. Все остальные начальные условия нулевые.

м

\ ' \

\ , л 'г\ / \

\ \ \ / \

\ чУ \

\ \

\ \

V У 1 1, с

Графики возмущения и переходных процессов в замкнутой системе

В данном случае, при выбранных параметрах алгоритма управления, величина 8 в целевом условии (2) равна 0,002 через пять секунд после начала работы системы.

Заключение

Предложен простой алгоритм робастного управления для одного класса неминимальнофазовых объектов. Показано, что в системе регулирования происходит компенсация параметрических и внешних возмущений с заданной точностью. Следует отметить, что результаты, полученные в работе, применимы и для минимально-фазовых объектов.

СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ

1. Поляк Б. Т., Щербаков П. С. Робастная устойчивость и управление. - М.: Наука, 2002. - 303 с.

2. Никифоров В. О. Адаптивное и робастное управление с компенсацией возмущений. - СПб.: Наука, 2003. - 282 с.

3. Буков В. Н. Вложение систем. Аналитический подход к анализу и синтезу матричных систем. - Калуга: Изд-во науч. лит. Н. Ф. Бочкарёвой, 2006. - 717 с.

4. Никифоров В. О. Наблюдатели внешних возмущений. 1. Объекты с известными параметрами // Автоматика и телемеханика. - 2004. - № 10. - С. 13-24.

5. Никифоров В. О. Наблюдатели внешних возмущений. 2. Объекты с неизвестными параметрами // Автоматика и телемеханика. - 2004. - № 11. - С. 40-48.

6. Никифоров В. О. Нелинейная система управления с компенсацией внешних детерминированных возмущений // Изв. РАН. Теория и системы управления. - 1997. - № 4. - С. 69-73.

7. Мирошник И. В., Никифоров В. О., Фрадков А. Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. - СПб.: Наука, 2000. - 549 с.

8. Назин С. А., Поляк Б. Т., Топунов М. В. Подавление ограниченных внешних возмущений с помощью метода инвариантных эллипсоидов // Автоматика и телемеханика. - 2007. - № 3. - С. 106-125.

9. Буков В. Н., Сельвесюк Н. И. Аналитический синтез робастных регуляторов на основе параметрических уравнений Лурье - Риккати // Автоматика и телемеханика. - 2007. - № 2. - С. 6-16.

10. Бобцов А. А. Алгоритм робастного управления линейным объектом по выходу с компенсацией неизвестного детерминированного возмущения // Изв. РАН. Теория и системы управления. - 2003. - № 2. -

С. 93-97.

11. Бобцов А. А. Алгоритм робастного управления неопределённым объектом без измерения производных регулируемой переменной // Автоматика и телемеханика. - 2003. - № 8. - С. 82-96.

12. Цыкунов А. М. Алгоритмы робастного управления с компенсацией ограниченных возмущений // Автоматика и телемеханика. 2007. - № 7. - С. 103-115.

13. Цыкунов А. М. Адаптивное и робастное управление динамическими объектами по выходу. -М.: Физматлит, 2009. - 266 с.

Статья поступила в редакцию 8.12.2009

ALGORITHM OF ROBUST CONTROL FOR ONE CLASS OF NON MINIMUM-PHASE OBJECTS

D. E. Grebenshchikov, A. I. Parsheva, A. M. Tsykunov

The task of robust control systems construction for one class of non mini-mum-phase objects, which allows to compensate parametrical and external disturbances with the given accuracy, is solved in the paper. The numerical example and result of computer modeling is given.

Key words: robust control, observer, disturbance.