Робастное управление линейным объектом по косвенным измерениям Текст научной статьи по специальности «Математика»

А

нализ и синтез систем управления

УДК 519.7

РОБАСТНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМ ОБЪЕКТОМ 00 КОСВЕННЫМ ИЗМЕРЕНИЯМ

А.М. Цыкунов

Исследована задача построения робастной следящей системы для линейного объекта, на входе и выходе которого действуют различные внешние неконтролируемые возмущающие воздействия, а регулируемые переменные недоступны измерению. Предложен алгоритм управления, обеспечивающий выполнение целевых условий слежения за эталонными сигналами и компенсирующий параметрические и внешние возмущения с требуемой точностью. Приведены числовые примеры и результаты компьютерного моделирования.

Ключевые слова: робастное управление, объект управления, наблюдатель, вектор состояния, вспомогательный контур, функция Ляпунова.

ВВЕДЕНИЕ

Построение систем управления, обеспечивающих достижение основной поставленной цели управления в условиях априорной неопределенности

о параметрических и внешних возмущениях, — одна из основных проблем теории управления. Впервые на возможность создания систем управления, не чувствительных к внешним возмущениям, было указано в работе [1]. Впоследствии такие системы были названы инвариантными [2, 3]. Этой проблеме посвящено большое число публикаций. Достаточно полно она изложена в работе [3], где приводится классификация задач проектирования инвариантных систем управления и различных типов возмущений.

Выделяется два основных принципа построения систем управления, позволяющих достичь выполнения основных целевых условий при наличии параметрических и внешних возмущений. В инвариантных системах структура и параметры управляющего устройства выбираются таким образом, чтобы обеспечить полную или частичную нечувствительность системы к нежелательным различным воздействиям. Другой принцип построения основан на динамической компенсации возмущений, когда с помощью соответствующим образом сформированного управляющего воздействия подавляется влияние возмущений на систему. В настоящее время системы, обеспечивающие выполнение указанных условий, стали называть

робастными, и разработано большое число способов проектирования таких систем. Теория их построения и обширная библиография приведены в книге [4].

К системам, в которых осуществляется компенсация возмущений, следует отнести управляющие устройства, использующие внутреннюю модель возмущений [5, 6], оценку производных неизмеря-емых сигналов [7, 8], идентификацию гармонических воздействий, метод вспомогательного контура [9—12], позволяющий выделить сигналы, несущие информацию о возмущениях. Однако в работах [5—14] предполагается, что внешние возмущения действуют только на вход объекта управления и измерению доступны регулируемые переменные. Задачи, где регулируемые переменные не измеряются и на выходе системы тоже действуют возмущения, исследуются в работах, основанных на применении теории Ит-оптимизации [4, 15]:

X (?) = Ах(?) + Ви(?) + !/(?), у(?) = Ьх(?) +

9(?) = Мх(?) + Си(?), (1)

где х е Ж”, и е Жт, у е Жк, 9 е Жг — векторы состояния, управления, измеряемых переменных и регулируемых параметров соответственно, / е Жр,

^ е Ж1 — векторы внешних возмущений; А, В, С, Д М, Ь и N — числовые матрицы соответствующих порядков.

Такой же тип объектов управления исследуется в работе [16], где применяется метод инвариант-

АНАЛИЗ И СИНТЕЗ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

1

ных эллипсоидов. Предполагается, что /(?) = ^(?) и выполнены следующие условия: пары (А, В) и (А, Я) — управляемы; пары (А, Ь) и (А, М) — наблюдаемы; СТМ = [0], СТС = I; Х^Т = [0], NTN = I. Здесь [0], I — нулевая и единичная матрицы соответствующих порядков.

В практических задачах, как правило, /(?) * ^(?).

Т

Кроме того, условие Я# = [0] иногда не только не выполняется, а искажает исходную постановку задачи. Например, если /(?) и ^(?) — скалярные величины, то условие Я# = [0] равносильно тому, что внешнее возмущение действует только на входе или только на выходе.

В данной работе исследуется класс линейных систем, для которых можно построить систему управления, компенсирующую действие внешних и параметрических возмущений при условии, что

/(?) * ^(?) и Я#Т * [0].

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Динамические процессы в объекте управления описываются уравнением (1), где С = 0, /(?) — скалярное возмущающее воздействие. Требуется спроектировать алгоритмическое обеспечение системы управления, обеспечивающей выполнение целевого условия

|9(?) - 9т(?)| < 5 при ? > Т, (2)

где 9т(?) — вектор эталонных сигналов, 5 — достаточно малая величина, характеризующая точность отслеживания эталонных сигналов по истечении времени Т.

Иными словами, необходимо, чтобы отклонение неизмеряемого вектора регулируемых переменных 9(?) от значений вектора эталонных сигналов 9т(?) было меньше заданной величины.

Сформулированную задачу будем решать при следующих предположениях.

1. Выполнены условия структурных согласова-

ТТ

ний: А = А + Яс, , В = В + Яс, , где с и с, — век-

п 1 ’ п 2 ’ 1 2

торы неизвестных параметров, компоненты которых принадлежат известному ограниченному множеству возможных значений Е.

2. Пара (Ап, В) — управляема, а пара (Ап, Ь) — наблюдаема и существует матрица g такая, что пара (Ап, gЬ) — наблюдаема и для матрицы N матрица g является левым делителем нуля, т. е. gN = [0].

3. Ранг матрицы N меньше порядка вектора у(?), г < т, а передаточная матрица Ж(Х) = = М(7пХ — Ап) 1В должна быть минимально-фазовой, где X — комплексная переменная в преобразовании Лапласа.

4. Вектор эталонных сигналов и его производных — ограниченные функции времени, |/(?)| < 5Р 5Х е Е, где — максимальная относительная степень по строкам передаточной матрицы Ж(Х).

5. Матрицы Ап, Вп, М, N Ь и Я — известны. ♦ Задачу будем решать в два этапа. Вначале спроектируем систему оценки вектора состояния х(?), что позволит получить оценки неизмеряемых регулируемых переменных 9(?). Затем, используя полученные оценки, построим следящую систему, обеспечивающую выполнение целевых условий (2).

2. ОЦЕНКА ВЕКТОРА СОСТОЯНИЯ

Выберем матрицу g, обеспечивающую выполнение второго условия предположений и сформируем новый вектор измеряемых переменных

у (?) = gУ(?) = gЬx(^) + gN^(?) = gЬx(?) = ЬпХ(?). (3)

Таким образом, новые измеряемые переменные не зависят от возмущений, действующих на выходе объекта управления.

Воспользуемся наблюдателем для оценки вектора состояния

Х (?) = Ап Х (?) + Впи(?) +

+ К(у (?) — ЬпХ (?)) + Яу(?), (4)

где у(?) — вспомогательное управляющее воздействие наблюдениями, К — числовая матрица, обеспечивающая гурвицевость матрице А0 = Ап — КЬп. Такая матрица существует, так как по предположению пара (А, gЬ) наблюдаема.

Составим уравнение для вектора ошибок оценивания е(?) = х(?) — Х (?), вычитая (4) из (1)

£ (?) = А0е(?) + Яф(х, и, ?) — Яу(?),

е(?) = у (?) — ЬпХ (?) = Ьп£(?), (5)

т т

где в функции ф(х, и, ?) = /(?) + х(?) + с2 и(?)

сконцентрированы внешние и параметрические возмущения. Воспользуемся методом вспомогательного контура [9, 10] и возьмем подсистему, динамические процессы в которой описываются уравнением

£ (?) = А0 £ (?) — £у(?), е (?) = Ьп£ (?), (6)

где £ е Яп. Составим уравнение для вектора рас-

согласования п(?) = £(?) — £ (?), вычитая (6) из (5)

П (?) = Аоп(?) + Яф(х, и, ?),

<;(?) = е(?) — е (?) = ЬпП(?). (7)

Сформируем новый скалярный выходной сиг-

Т_

нал д(?) = q п (?), где q — числовой вектор, и преобразуем векторное уравнение (7) в скалярное уравнение относительно переменной д(?)

00(Р)<;(?) = ЯІРМх и ?).

(8)

Здесь Р = ^/^? — дифференциальный оператор, <Зо(Р) = йе1(7пР — Ао), Я/Р) = АМР — А)+Д (7пР — А0)+ — присоединенная матрица алгебраических дополнений матрицы (7пР — А0). Из уравнения (8) имеем

ф(х- и ?> = Ш> ^ = (О( Р) + т©"*-(9)

где ёе§О0(Р) = п, ёеБО(Р) = у, у = п — ёе§Я^(Р). Если сформировать вспомогательное управление у(?)

в виде у(?) = ( О(Р) + ( Р))с(/), то получим точ-

4 Я^( Рг

ную оценку вектора состояния. Однако производные сигнала д(?) недоступны измерению, поэтому будем формировать сигнал управления у(?) в соответствии с формулой

у(?) = 40г ? (?) + <;(?),

л/ Р)

(10)

в которой #0 — вектор, компонентами которого являются коэффициенты полинома О(Р), записанные

в обратном порядке, дТ(?) = [<;(?), ^ (?), ..., ду (?)],

с,1 — оценка /-й производной сигнала д(?). Эти производные получаются с помощью последовательно соединенных реальных дифференцирующих звеньев. Неминимальная математическая модель такого соединения имеет вид

(11)

(?) = Ь і(?)> і = 1,

У>

где гг-ей', ц — достаточно малое число, Ьг- = [0,..., 1], Ь. = [1, 0, ..., 0] — матрицы порядков /х1, 1 х/ со-

ответственно, Р =

-1 1 0 ... 0 0 -1...'.. .

... '.. '.. 0 ... ... 1

0 ....... 0 -1

Для определения точности оценки введем векторы:

а.(?) = г.(?) + Р-1 Ь.Р'<;(?), / = 1, ..., у. (12)

Здесь вектор Рг- 1 Ьг. = к. имеет первую компоненту, равную —1, а первой компонентой вектора гг(?)

является оценка /-й производной дг- (?). Поэтому, если обосновать, что величина |стг(?)| будет небольшой, то тем более будет малой величина |Р д(?) — с;г- (?)|. Из модели (11) получим уравнение динамики для векторов ст.(?):

1

(Гі (?) = І ад/) + йр+^О),

£„,(?) = Рг<;(?) - ^ (?) = Х,г,(?), і = 1, ..., у. (13)

т

Введем составные векторы г (?) = [г1(?), ..., сту(?)], Эт(?) = [Р 2д(?), ... Рт+1^(?)], и блочно

-диагональные матрицы Р = ё1а§{Р1, ..., Ру}, к = ШаБ^, ..., к}

Ь = ^{Ь^ ..., Ьу}, £Т = [£п1(?), .", £пу(?)].

Тогда систему уравнений (13) можно записать следующим образом:

1

Г (?) = — Рт(?) + Й3(?), £л(?) = Ь г(?),

І0 "

І = І0.

(14)

Подставив формулы (10) в уравнения (5) с учетом выражения (3), получим

х (?) = Апх(?) + Р„м(?) + Рф(х, и, ?),

у (?) = Ь„х(?), 9(?) = Мх(?).

£ (?) = А0£(?) + Ь г(?), е(?) = Ьп£(?),

(15)

где ^1 — часть вектора #0 без первой компоненты.

Утверждение 1. Пусть выполнены условия предположений 1 — 5, функция ф(х, и, ?) ограничена и полином Я/Р) гурвицев. Тогда существуют числа ц0 и Т1 такие, что при ц < ц0 и ? > Т1, для системы (1), (3), (4), (6), (10), (11) выполнено условие

|£(?)| < 52, (16)

где 52 — достаточно малое число. ♦

Доказательство приведено в Приложении. В данном случае сделано предположение об ограниченности функции ф(х, и, ?), поскольку задача компенсации возмущений не решена окончательно. Ограниченность функции ф(х, и, ?) обеспечится с помощью соответствующего выбора управления и(?).

3. СИНТЕЗ СИСТЕМЫ СЛЕЖЕНИЯ

Сформируем оценку неизмеряемого вектора

регулируемых переменных 9(?): 9 (?) = МХ (?) = = Мх(?) — М£(?). Тогда, принимая во внимание выражение (15), из уравнений (1) получим

Х (?) = Апх(?) + Впи(?) + Яф(х, и, ?),

у (?) = Ьпх(?), 9(?) = Мх(?) — М£(?). (17)

Сформируем вектор управления в виде и(?) = = агк(?), а — матрица порядка тхг, выравнивающая порядки векторов 9 (?) и ^(?), выбирается так, чтобы не нарушить минимально-фазовость объекта управления.

Утверждение 2. Если выполнены условия предположений 1 — 5, то существуют числа х0 > 0, Т2 > 0

такие, что при % < х0 и ? > Т2 алгоритм управления

Ук(?) = и(Р)( 9 (у) — 9т(?)) (18)

обеспечивает выполнение условия

19 (?) — 9т(?)| < 5з, (19)

где и(Р) = ёае <1 —в ' 0 ( Р)— [ — диагональная мат-

1(ХР + 1 )У' - 11

рица, 0т'(Р) — гурвицевы полиномы порядка у/, у/ — относительная степень /-х диагональных элементов числителя и знаменателя передаточной матрицы

М(7пХ — Ап)-1Впа, в. > 0. ♦

Доказательство приведено в Приложении. Данное утверждение является обобщением результатов работы [11] на многомерный случай. Рассмотрим процесс получения алгоритма (18), и обоснуем его работоспособность. Преобразуем уравнение (17) в операторную форму относительно вектора 9 (?):

С(Р) 9 (?) = Я1(Р)Ук(?) + Я2(Р)ф(х, и, ?) +

+ Я3(Р)£(?). (20)

Здесь С(Р) = ё1а§{ёе1;(1пР — Ап)} — диагональная матрица, Я1(Р) = М(7пР — Ап)+Впа, СДР) =

= ёе^Р — Ап), Я2(Р) = М(7пР — Ап)+Я, Яз(Р) = = — МСДР).

Разложим диагональные элементы матриц С(Р) и Я1(Р) на суммы двух составляющих С..(Р) =

= С0'.(Р) + АС'(Р), Я'.'(Р) = КЯ0'(Р) + АЯ'.'.(Р) и выберем гурвицевы полиномы С0'(Р) и Я0'(Р) таким

образом, чтобы выполнялись равенства С0.(Р) = = Ст'(Р)Я0'(Р), / = 1, -., Г, где ёевСт'(Р) = у/, у/ = ёе§С0'.(Р) — ёе£Я0'.(Р). Тогда уравнение (20)

преобразуется к виду Ст(Р) 9 (?) = К Ук(?) + Ф(?), где

Ст(Р) = ё1а£{Ст'.(Р)}, К = ё1а£{к'.}, к. — коэффициенты при старших производных в операторах ЯЙ(Р),

Ф(?) = Я01 (Р)((АЯ(Р) + Я1 (Р))Ук(Т) + АС(Р) 9 (?) + + Я2(Р)ф(х, и, ?) + Я3(Р)£(?)), АС(Р) = ё1ав{АС'.(Р)},

Я0(Р) = ё1а£{Я0'(Р)}, АЯ(Р) = ё1аЕ{АЯЙ(Р)}, Я1 (Р) — матрица с нулевыми диагональными элементами, а остальные элементы такие же, как в матрице Я1(Р).

Сформируем вектор гк(?) = Гу (?), Г = ё1а£{вг}, в. >0, / — 1, ..., г и составим уравнение для вектора

ошибок ёс (?) = 9 (?) — 9т(?):

Ст(Р) ес (?) = V (?) + Ф (?), (21)

где Ф (?) = Ф(?) + Ст(Р)9т(?) + (К V — 7) V (?). Вве-

дем вспомогательный контур

Ст(Р) ес (?) = V (?) (22)

и составим уравнение для вектора рассогласования £(?) = е (?) — е (?), вычитая (22) из (21):

Ст(Р)С(?) = V (?). (23)

В векторе Ф (?) сконцентрирована информация о параметрических и внешних возмущениях. Если сформировать вектор V (?) в виде

V (?) = —Ст(Р)С(?), (24)

то из уравнения (21) получим уравнение

Ст(Р) ес (?) = 0. Однако производные недоступны

измерению, поэтому вектор V (?) сформируем следующим образом

V (?) = —и (Р)Ст(Р)С(?), (25)

где и (Р) = Ша§ <1-1-. I, х — достаточно малая

1(хР + 1 )У' >

величина. Из формулы (25) имеем V (?) = — и (Р)Ст(Р)( е (?) — е (?)). Принимая во внимание выражение (22), получим V (?) = — и(Р)Ст(Р) е (?) + + и (Р) V (?), откуда следует V (?) = —(1Г — и (Р))1 х х и (Р)Ст(Р) е (?). Принимая во внимание, что все матрицы диагональные, а ^(?) = VV (?), получаем

формулу (18). Таким образом, динамические процессы в управляющем устройстве следящей системы описываются уравнениями:

у (?) = ЯК?),

Х (?) = АпХ (?) + Впи(?) + К(у (?) — Ьп е (?)) + !Ц?),

£ (?) = А £ (?) — !Ц?), е (?) = Ьп £ (?),

?(?) = е(?) — е (?), е(?) = у (?) — ЬпХ (?),

К?) = 4оТ ? (?) + АО(р) ?(?), и(?) = аVk(?),

0 (?) = Мх (?),

(26)

*' (?) = ц Р'£'(?) + ц Ь'Р'<;(?), ^ (?) = Ь'г/?), ц Ц

/ = 1, -., у,

V/?) = и(Р)( 9 (?) — 9т(?)).

Утверждение 3. Пусть выполнены условия предположений 1—5, полином Я^(Р) гурвицев. Тогда существуют числа ц0, х0 и Т такие, что при ц < ц0, X < х0 и ? > Т для системы (1), (26) выполнено целевое условие (2). ♦

Доказательство приведено в Приложении.

4. ПРИМЕРЫ

1. Рассмотрим объект управления, математическая модель которого имеет вид

х (г) = Ах(0 + Ви(г) + _0( с^ и(г) + с^ х(0 + /(г)), у(0 = Хх(0 + N^(0, 0(0 = Мх(г),

где А =

1 2 1 0 1 5 1

2 1 -2 1 , в = 2 1 , О = 4

1 1 -2 1 -2 -3 -7

_2 3 1 -2 1 0 _3_

1 1 1 0 1 2 3 Г

X = 0 1 0 0 , N = 2 4 3 , М = 10 0 0

0 0 0 1

[0 0 10] 1 2 3

Класс неопределенности задан соотношениями: с11 е [4, 6], с12 е [4, 6], |/(0| < 5, с2; е [-3; 3], г = 1, ..., 4, £(0 — произвольная векторная функция.

Требуется построить систему слежения за двумерным вектором эталонных сигналов 0т(О при условии, что измеряется вектор выходных сигналов у(г). Целевым условием слежения является неравенство (2).

Выберем матрицу g = [1 0 -1], обеспечивающую выполнение предположения 2 и сформируем новый вектор измеряемых переменных

у (г) = gy(г) = х х(0, х = [1 1 0 0].

Воспользуемся наблюдателем (4)

Х(г) = АХ (О + Ви(г) + К(у (О — Хпх (г)) + Оу(0, где Кт = [5 5 1 5]. Возьмем вспомогательный контур (6)

ё (г) = А0 ё (г) - Х>у(0, ё (г) = ё (О,

где А0 = А - КХп =

. Сформируем управле-

-4 -3 1 0 -3 -4 -2 1

0 0 -3 1 -1 0 1 -2_

ние наблюдениями у(ґ) в соответствии с формулой (10):

КО = 40Г ?(г) +

где ф) = е(г) - ё(г) = у - Ьпх (г) - ё(г), Я^(Р) = = Хп(/пР - А0)+^ = 5Р3 + 40Р2 + 72Р + 48, компоненты

вектора = [0,2 1] получены при выполнении «операторного деления» 00(Р)/Р^(Р) = 0,2Р + 1 + А0(Р)/Р^(Р), А0(Р) = -(2,4Р2 + 8,6Р + 12),

<20(Р) = аег(/пР - А0) = Р4 + 8Р3 + 52Р2 + 73Р + 36.

Оценку производной сигнала <;(?) получим с помощью реального дифференцирующего звена. В результате получаем, что управление у(г) формируется в соответствии с формулой

КО = 0 ву ■ КО + КО - ^ 4р2 +Л8,6 Р + 12 КО.

0,01Р + 1 5Р3 + 40 Р2 + 72Р + 48

Сформируем оценку регулируемого вектора 9(0 в виде 9 (г) = МХ (г) и вычислим передаточную матрицу

Ж (А,) = М/А, - А )-1В , Ж (А) = -1- Р,(А) = х

пЧ/ V п п> п п > С(А) С(А)

, С(А) = А4 + 3А3 - 10А2 - 29А - 18,

х ЛП(А) Л12(А)

Л21(А) Л22(А)

Лц(А) = А3 + 6А2 + 30А + 49), Л^А) = 5А3 + 19А2 + 15А +

+ 23, Л^А) = А3 + 7 А2 + 35А + 11, Л,2(А) = 10А2 + 84А + + 61. Анализируя эти выражения, можно сделать такой вывод. Объект минимально-фазовый, если с помощью первой компоненты вектора управления будем управлять второй компонентой вектора выхода. В этом случае относительные степени у1 и у2 равны единице. Следовательно, алгоритм управления (18) будет иметь вид:

“1(0 = -20щт (02 (о - МОХ

И2(0

= -2 (Р + 2 )

(9і (г) - 9„і(/)).

^ 0,01Р

В данном случае в алгоритме (18) Р1 = р2 = 2,

X = 0,01.

Таким образом, устройство управления следящей системы описывается следующими уравнениями:

у (г) = йу(г) = х„х(0, х (г) = ах (г) + В“(г) + К(у (г) - хпх (г)) + ^у(г), ё (г) = а0ё (г) - Лу(0, е(г) = хпё (г),

АНАЛИЗ И СИНТЕЗ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

г 1

q(t) = y - Lnx (t) - e(t), 0 (t) = Их (t),

“1(0 = - ( ^ ^ - 0т2(?))’

= - ЦР+Р ( 01 (?) - 0т1(?))-

Переходные процессы задающих воздействий 0т1 и 0т2, ошибок слежения А01 = 01 — 0т1, А02 = 02 — 0т2 и ошибок е оценивания вектора состояния в следящей

системе приведены на рис. 1 при следующих исходных т

данных: х(О) = [1111] , остальные начальные условия нулевые, С11 = С12 = 5, /(?) = БШ? + 8ш1,3г, С21 = С22 = = с24 = 3, с23 = —3, ^(г) = ^2(г) = 10вш4г + 5вш2г, ^3(г) = 5вш3г.

2. Рассмотрим решение задачи компенсации возмущающих воздействий для летательного аппарата при посадке для конкретной траектории глиссады, которая в работе [15] решена с помощью метода ^-оптимизации и 2-Риккати подхода. Математическая модель, полученная в работе [17], имеет вид:

х (?) = Ах(?) + £^(0 + £2и(0, у(?) = С2х(0, £(?) = С1х(?).

Здесь использованы такие же обозначения, как и в работе [17], где х(?) = [АК, А0, Ашг, АО, АН, А8Ст ]Т — вектор состояния летательного аппарата; АК — отклонение воздушной скорости летательного аппарата от заданного значения 71,375 м/с; А0 — отклонение угла наклона траектории; Ашг — отклонение угловой скорости; АО — отклонение угла тангажа; АН — отклонение высоты от значения, которое должно быть при заданной

глиссаде; А5^ т — отклонение силы тяги, выраженное в

т

единицах изменения сектора газа; м(?) = [Осу, А8ст] — вектор управления, где Осу — сигнал управления, формируемый регулятором, А8^ — отклонение ручки сектора газа от заданного значения; у(?) = [АК, А0, Ашг,

т т

АО, АН] — вектор измерения; 7(1) = [АК, АН] — век-

т

тор регулируемых выходов; Ц?) = [щ^, ^, ] —

вектор ветровых возмущений;

-о,о6о8 —о,о815 о,оооо 5 9 8 ,о о, 1 о,оооо 7 2 8 ,о о,

о,2185 —о,6158 о,Ю82 о,7174 о,оооо о,оо33

о,оо53 о,5399 —1,59о2 — 1,5728 о,оооо о,оооо

о,оооо о,оооо 1,оооо о,оооо о,оооо о,оооо

—о,о471 1,2442 о,оооо о,оооо о,оооо о,оооо

о,оооо о,оооо о,оооо о,оооо о,оооо —о,4оо_

в =

о,оо35 о,о658 —о,9989 о,о471

о,о233 о,4939 —о,о378 —о,8о19

—о,о194 —о,4319 о,оооо о,оооо

о,оооо о,оооо о,оооо о,оооо

—о,о471 о,оо23 о,оооо о,оооо

о,оооо о,оооо о,оооо о,оооо_

о,оооо о,оооо

—о,1236 о,оооо

в2 = 1,18о4 о,оооо

о,оооо о,оооо

о,оооо о,оооо

о,оооо о,4ооо

C1 =

1 о о о о о о о о о 1 о

C =

Рис. 1. Переходные процессы в следящей системе

1 о о о о о

о 1 о о о о

о о 1 о о о

о о о 1 о о

о о о о 1 о

В данном случае нет необходимости оценивать вектор состояния, так как регулируемые переменные входят в состав вектора измеряемых параметров. Поэтому можно сразу применять утверждение 2. Однако передаточная матрица объекта С1(/А — А) 1£2 неминимально-фазовая, а значит, данное утверждение неприменимо. Сформируем новый вектор измеряемых параметров у (?) = СС2х(?) и выберем матрицу С из условий

. Тогда полу-

минимально-фазовости: С = чим у (?) = Ьх(ґ), Ь =

0 4 0,5 2 6

1 0 0 0 0

0 4 0,5 2 6 0 10 0 0 0 0

В этом случае передаточная матрица Д/А — А) 1£2 =

1

£(А)

«11(Х) «12 (Х) «21(Х) «22(Х)

минимально-фазовая; ,д(А) = А +

+ 2,6668А5 + 3,5523А4 + 1,8139Х3 + 0,3792А2 + 0,0298А, ап(А) = 0,0958А,5 + 1,5401А4 + 4,1173А3 + 6,4463А2 + + 2,1705А + 0,0619, а12(А) = 0,0053А4 + 0,0385А3 + + 0,1081 А2 + 0,1334А + 0,0811, а21(А) = 0,0101А3 -

- 0,096А2 - 0,1523А - 0,0449, а22(А) = 0,0331А4 + + 0,0729А3 + 0,0823А2 + 0,019А.

Используя результаты утверждения 2, получим следующие алгоритмы управления

Осу® = -10Ш У 1(?), А8С<(?) = -10 р2 + 24 Р + 3 У2(?).

0,1Р 0,01Р2 + 0,1Р

В этом случае осуществляется компенсация влияния внешних воздействий на вектор у (?). Однако в его составе сумма измеряемых переменных и АК(?). Следовательно, влияние внешних воздействий на отклонение высоты АН(?) полностью скомпенсировано не будет.

При моделировании синтезированной системы управления исследовалось влияние ветровых возмущений w и w , графики изменения которых представлены на х у рис. 2.

Это такие же возмущения, как и в работе [17], что позволяет сравнить полученные результаты с системой управления, исследованной в ней.

Рис. 3. Переходные процессы регулируемых переменных

Рис. 4. Переходные процессы по управлениям

На рис. 3 представлены переходные процессы регулируемых переменных, а на рис. 4 — переходные процессы по управляющим воздействиям. Видно, что максимальное отклонение высоты не превышает пяти метров, а отклонение скорости практически нулевое. В работе [17], где приведены результаты моделирования системы управления, полученной с помощью Д-опти-мизации, максимальное отклонение высоты равно 26 м, а отклонение скорости 2,8 м/с.

Однако управляющие воздействия получились менее качественными. Их изменение имеет колебательный вид, а максимальное отклонение А8ст составляет 45 против 24 в работе [17].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Рис. 2. Составляющие скорости ветра

Рассмотрена задача управления по косвенным измерениям для линейных объектов управления, на входе и выходе которых действуют различные возмущающие воздействия, а также присутствуют параметрические возмущения. Выделен класс объектов, для которых может быть решена задача компенсации параметрических и внешних неконтролируемых возмущений, при условии, что управление осуществляется по косвенным измерениям. Получен алгоритм управления для данного класса объектов, обеспечивающий инвариантность системы к внешним воздействиям, действующим на выходе, и компенсирующий другие возмущения с требуемой точностью.

Численное моделирование приведенных примеров показало, что в следящей системе происходит слежение за эталонными сигналами с хорошей точностью. В системе стабилизации компенсации возмущений на один регулируемый параметр нельзя было достигнуть, так как система была неминимально-фазовой. Однако, по сравнению с имеющимися результатами для аналогичных систем, влияние возмущений на этот параметр уменьшено.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Доказательство утверждения 1. Возьмем функцию Ляпунова

V = 8Т(г)Н1е(г) + ат(?)Н2а(?), (П.1)

положительно определенные симметрические матрицы которой определяются из уравнений

Н,А0 = А0ГН = -2*4,, НЁ + = - 2Р2/, (П.2)

где П = (1 + 7)7/2, р1 > 0, р2 > 0. Вычислим полную производную функции (П.1) на траекториях системы (13), (15), принимая во внимание уравнения (П.2):

V = -2р1|е(г)|2 + 2ет(?)Н^ТIа(?) - 2Р2' |ст(?)|2 +

М-0

+ 2аТ(?)Н2кО(?). (П.3)

В силу предположения об ограниченности функции ф(х, и, ?), из уравнения (8) следует ограниченность вектора О(?). Воспользуемся оценками

28Т(0Н^[I а(?) < Мо1е(?)|2 + ^|а(?)|2, к = ||Н^[ 1||2,

—0

2ат(?) Н2кО(?) < — |а(?)|2 + М0к2, к2 = вир|Н2кО(?)|2.

—о *

Подставив эти оценки в производную (П.3), получим

К1 < - Р1|е(?)|2 - Р2/Мо|ст(?)|2 - (Р1 - -0)|е(?)|2 -

- — (Р2 - к1 - 1)к(?)Р + -ок2.

-0

Если выбрать числа р1 и р2 из условий р1 - —0 > 0 и Р2 - к1 - 1>0, то

К1 < -Р1|е(?)|2 - Р2/-0|ст(?)|2 + -0к2.

Выберем число р3 из условия р3 = ш1п <! Р 1 ,

[ Атах( Н1)

-----Р 2 I. Принимая во внимание выражение (П.1),

—0Атах( Н2 ^

получим неравенство V < -р3К1 + —0к2, где Атах — максимальное собственное значение соответствующей

матрицы. Решив это неравенство, с учетом формулы (П.1) получим:

|е(?)|2 < Р4(е-р3* ^(0) + —0к2/Рз), (П.4)

где р4 = ---1 . Из неравенства (П.4) видно, что су-

АШШ( Н1)

ществуют числа —0 и 71, обеспечивающие выполнение

неравенства (16) при ? > 71 для любого 82.

Доказательство утверждения 2. Для доказательства работоспособности алгоритма (18) для системы (17) необходимо показать, что целевое условие (19) обеспечивает алгоритм, описываемый уравнениями (22) и (24).

Идеальный закон управления в системе слежения по компонентам можно записать в виде у, (?) = ?),

где £т,- — векторы, составленные из коэффициентов

полиномов еи1.(Р), = [?,'(?), Р?,'(?), ..., Р\(?)], С,(?) —

г-я компонента вектора £(?). Ддя реализации уравнения (24) используем фильтры, аналогичные модели (11)

.,/ (?) = 1 ёч (?) + 1^ ^ (?) = ^

г = 1, ..., у г, у = 1, ..., г, где матрицы Ё, Ь и I^ такие же, как в выражении (11), (?) — оценка г-й производной у-й компоненты вектора £(?). Введем оценочные векторы а у (?) = г,у(?) +

+ Ё,-1 Ьр‘С/?), г = 1, ..., уг, у = 1, ..., г. Проделав преобразования, аналогичные тем, которые выполнены при выводе формулы (13), получим

а/ (?) = X Ё ау (?) + к Оу (?Х Еу.с(?) = 1 ау (?), (П.5)

X

где а/(?) = [ау(?), ..., а^?)], О/ = [Р%(?), ..., Ё"+Ч/?)].

_/ _ _ Введем составные векторы а (?) = [51 (?), ..., аг(?)],

(?) = [е1с(?), ..., егс(?)], ОТ(?) = [О1 (?), ..., Ог(?)] и блочно-диагональные матрицы Ё = diag {Ё ..., Ё}, к =

4 Г ^

= diag {к, ... , к}, I = diag{L, ..., I}. Тогда систему урав-

ГГ

нений (П.5) можно записать в виде одного векторно-матричного уравнения

Х1 ^(?) = Ёа(?) + Х2к О (?), ес(?) = 1 а(?),

Х1 = Х2 = X. (П.6)

Преобразуем уравнение (21) в векторно-матричную форму, принимая во внимание формулу (25):

ёт (?) = А е (?) + £ С I а (?), е (?) = I е (?). (П.7)

т '■/ т ту / т т у/’ су/ т тру / \ /

Здесь Ст — матрица, у которой элементами строк

являются коэффициенты полиномов Ст‘(Р), кроме сво-

бодных компонент.

Возьмем функцию Ляпунова

К2 = ётт (?)Нз8т(?) + аТ (?)Н4 а (?), (П.8)

где положительно определенные симметрические матрицы Н3 и Н4 определяются из уравнений

НзАт + Ат Нз = -2^, Н4Ё + ЁТН4 = -2X24,1, (П.9)

Здесь и1 — порядок вектора а (?), т1 > 0, т2 > 0. Воспользуемся леммой [18].

Лемма [18]. Если система описывается уравнением х = /(х, —1, —2), х е Р", где /(х, —1, —2) — непрерывная функция, липшицева по х, и при —2 = 0 имеет ограниченную замкнутую область диссипативности ^ = {х |Ё(х) < С}, где Ё(х) — положительно определенная, непрерывная, кусочно-гладкая функция, то существует —0 > 0 такое, что при —1 < —0 и — 2 < —0 исходная система имеет ту же область диссипативности если для некоторых чисел С1 и — 1 при — 2 = 0 выполнено условие

Бир ((дЁ(х)) /(х, —1, 0)) < -С1, при Ё(х) = С. ♦

И| йЙ1 дх

Возьмем в качестве функции Ё(х) функцию Ляпунова (П.8) и вычислим полную производную от нее на траекториях системы (П.6), (П.7), положив х2 = 0 и учитывая условия (П.9),

К2 = 2т 11ет(?)|2 - 2^|а(?)|2 + 2£т(?)Нз£тСтI а(?).

Х1

Воспользуемся оценкой

2ёТт (?)Нз£тСтI а (?) < Х1|е(?)|2 + ^ |а(?)|2, (П.10)

XI

к3 = Ь|Р-

Подставив эту оценку и выбрав числа т1 и т2 из условий т1 > х1, т2 > к3/х1, получим

К2 < т 11ет(?)|2 - ^|а(?)|2.

1 т Х1

Система асимптотически устойчива по переменным ет(?) и а (?). Следовательно, векторы х(?) и 0 (?) в системе (17) ограничены в силу четвертого условия предположений. Покажем, что все переменные в системе тоже ограничены. Равенство х2 = 0 равносильно

тому, что вектор у (?) определяется в соответствии с

формулой (24). Из ограниченности переменных 0 (?), /(?) и е(?) и гурвицевости полиномов С0‘(Р) и Р0‘(Р)

следует ограниченность составляющей ¥^?) = Р01 (Р) х

X ((АС(Р) 0 (?) + Р2(Р)( С2Т х(?) + /(?)) + Рз(Р)8(?)) + + Ст(Р)0т(?)) в выражении для векторной функции

¥ (?). Подставим в правую часть формулы (24) значение ¥ (?), принимая во внимание уравнение (23):

у (?) = -Р01 (Р)((АР(Р) + Р1(Р) + Р2(Р)а)Ку (?) + ¥1(0) -

- (К V - 4.) у (?), откуда Р0(Р) у (?) = -((АР(Р) + Р^Р + + Р2(Р)а))Ку (?) + ¥1(?)) - Р0(Р)(КК - I) у (?). Принимая во внимание равенства АР(Р) + Р1(Р) + Р0(Р) К = = Р^Р), Р(Р) = Р^Р) + Р2(Р)а = М(/„А - А„)+Ра и ук(?) = Ку (?), получаем ук(?) = Р-1(Р)¥1(?). Так как векторная функция ¥1(?) ограничена, а передаточная матрица М(/лА - А,) 1£а минимально-фазовая, тогда вектор ук(?) тоже ограничен. Учитывая формулу для ¥ (?), можно сделать вывод об ограниченности этой функции, а следовательно из уравнения (23) следует ограниченность вектора О (?). Таким образом, при любых начальных условиях существует ограниченная область О, в которой находятся все переменные исследуемой системы при х2 = 0. Тогда в соответствии с леммой существует число х0 такое, что при выполнении условия х < Х0 все переменные тоже будут находиться в этой области. Далее доказательство аналогично доказательству утверждения 1. Вычислим полную производную функции (П.8) на траекториях системы (П.6), (П.7), положив х = х0, с учетом уравнений (П.9):

К2 = -2т1|8т(?)|2 - 2Т2|а (?)|2 + 2еТт (?)Нз£тСтI а (?) +

Х1

+ 2аТ(?)Н4к О(?).

Воспользуемся неравенством (П.10) и оценкой

2аТ(?)Н4к О (?) < XI |а(?)|2 + х0к4, к4 = вир|Н4к О (?)|2, х0

в результате чего получим

К2 < -Т1М?)12 - т2|а (?)|2

1 т Xо

(ті - Хо^^ОР

- XI (Т2 - кз - 1)1 а (?)|2 + Xоk4. х0

Если выбрать числа т1 и т2 из условий: т1 - х0 > 0 и т2 - к3 - 1 > 0, то

^2 < —чМОР - — к (0Р + Хок4-Х0

Выберем число т3 из условия ?з = шinI ------------Ц— ,

I Атах( Н2)

Т2

Х0А тах (Н)

Принимая во внимание (П.8), получим

неравенство К2 < -т3 У2 + X0k4, решив которое с учетом формулы (П.8), получим следующие соотношения:

М?)|2 < т4 (е Т3*К2(0) + X0 —) ,

3

АНАЛИЗ И СИНТЕЗ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

1

где т4 = -----— . Отсюда видно, что существуют чис-

Атш ( Н3 )

ла х0 и Т2, обеспечивающие выполнение неравенства (19) при ? > Т для любого 83.

Доказательство утверждения 3. В соответствии с утверждением 2, векторная функция ¥ (?) ограничена. В этом случае справедливо утверждение 1, если компенсирующее управление формировать в соответствии с формулой (25). Показано, что выполнены условия (16), (19). Тогда можно получить следующую цепочку равенств и неравенств

|0 (?) - 0т(?)1 = |0(?) - 0 (?) + 0 (?) - 0т(?)1 <

< |0(?) - 0 (?)| + 10 (?) - 0т(?)| = |М8(?)| + |М8т(?)| <

< |М |(|е(?)| + |8т(?)|) < |М|(82 + 83),

когда — < —0, X < XI)- Если выбрать величины 81, 82 и Т так, чтобы выполнились условия |М |(82 + 83) = 8 и Т > шах^, Т2}, то получим справедливость целевого условия (2).

ЛИТЕРАТУРА

1. Щипанов Г.В. Теория и методы проектирования автоматических регуляторов // Автоматика и телемеханика. — 1939. — № 1. — С. 49—66.

2. Петров Б.Н. О реализации условий инвариантности // Тр. 1-го Всесоюзного совещания по теории инвариантности. — Киев: Изв. отделения техн. наук АН УССР. — 1959. — С. 59—80.

3. Буков В.Н. Вложение систем. Аналитический подход к анализу и синтезу матричных систем. — М.: Изд-во науч. лит-ры Н. Ф. Бочкарёвой, 2006.

4. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. — М.: Наука, 2002. — 216 с.

5. Никифоров В. О. Наблюдатели внешних возмущений. 1. Объекты с известными параметрами // Автоматика и телемеханика. — 2004. — № 10. — С. 13—24.

6. Никифоров В. О. Наблюдатели внешних возмущений. 2. Объекты с неизвестными параметрами // Там же. — № 11. — С. 40—48.

7. Никифоров В. О. Нелинейная система управления с компенсацией внешних детерминированных возмущений //

Изв. РАН. Теория и системы управления. — 1997. — № 4. — С. 69—73.

8. Бобцов А А. Алгоритм робастного управления линейным объектом по выходу с компенсацией неизвестного детерминированного возмущения // Там же. — 2003. — № 2. — С. 93—97.

9. Цыкунов А.М. Алгоритмы робастного управления с компенсацией ограниченных возмущений // Автоматика и телемеханика. — 2007. — № 7. — С. 103—115.

10. Цыкунов А.М. Алгоритм робастного управления нестационарным объектом с компенсацией возмущения // Изв. РАН. Теория и системы управления. — 2008. — № 4. — С. 33—40.

11. Цыкунов А.М. Алгоритм робастного управления линейным динамическим объектом // Мехатроника, автоматизация, управление. — 2008. — № 8. — С. 7—12.

12. Фуртат И.Б., Цыкунов А.М. Робастное управление нестационарными нелинейными структурно неопределенными объектами // Проблемы управления. — 2008. —№ 5. — С. 2—7.

13. Бобцов А А., Быстров С.В., Григорьев В.В. Компенсация неизвестного синусоидального возмущения для неминимально фазового объекта // Тр. 5-й науч.-техн. конф. «Ме-хатроника, автоматизация, управление». — СПб., 2008. — С. 37—40.

14. Бобцов А.А. Алгоритмы управления по выходу с компенсацией гармонического возмущения со смещением // Автоматика и телемеханика. — 2008. — № 9.

15. Методы робастного, нейро-нечеткого и адаптивного управления / Под ред. Н.Д. Егупова. — М.: Изд-во МТТУ им. Н. Э. Баумана, 2002.

16. Поляк Б. Т., Топунов М. В. Подавление ограниченных внешних возмущений: управление по выходу // Автоматика и телемеханика. — 2008. — № 5. — С. 72—90.

17. Курдюков А. П., Тимин В. Н. Синтез робастной системы управления на режиме посадке самолета в условиях сдвига ветра // Изв. РАН. Техн. кибернетика. — 1993. — № 6. — С. 200—208.

18. Брусин В. А. Об одном классе сингулярно-возмущенных адаптивных систем // Автоматика и телемеханика. — 1995. — № 4. — С. 119—127.

Статья представлена к публикации членом редколлегии

С.Д. Земляковым.

Цыкунов Александр Михайлович — д-р техн. наук,

зав. кафедрой, Астраханский государственный технический

университет, в (8512) 61-42-48, И [email protected].

“Новая

книга

Гонтарева И.В., Нижегородцев Р.М., Новиков Д.А. Управление проектами. — М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ»,

2009. — 384 с.

Рекомендована учебно-методическим объединением по образованию в области финансов, учета и мировой экономики в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся по специальностям «Финансы и кредит», «Бухгалтерский учет, анализ и аудит», «Налоги и налогообложение» и «Мировая экономика».

Системно рассмотрен комплекс вопросов, составляющих сравнительно молодую и быстро развивающуюся область экономической и управленческой науки — управление проектами. Оно охватывает все составные части процесса управления проектами (разработка, планирование, бюджетирование, финансирование, оценка эффективности, завершение проекта) и отдельно рассматривает вопросы различных направлений этого управления: управление проектными рисками, управление качеством проекта, управление проектной командой и др. Отдельное внимание уделено управлению инновационными проектами.

Для студентов экономических специальностей, преподавателей и практических работников в области экономики и управления.