АЛГОРИТМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ КАК МЕТОД ВЫЧИСЛЕНИЯ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕТРОЭНЕРГЕТИКА

WIND ENERGY

Статья поступила в редакцию 14. 05.14 Ред. per. № 1996

The article has entered in publishing office 14.05.14 Ed. reg. No. 1996

УДК 551.510

АЛГОРИТМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ КАК МЕТОД ВЫЧИСЛЕНИЯ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ ВЕТРОЭНЕРГЕТИКИ

С.Г. Игнатьев

ФГУП ЦАГИ им. проф. Н.Е. Жуковского 140180 г. Жуковский, ул. Жуковского, 1, (495)556-34-31, e-mail: [email protected]; Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова 119991 Москва, Ленинские горы, д.1 географический факультет, НИЛ ВИЭ.

Заключение совета рецензентов 21.05.14 Заключение совета экспертов 28.05.14 Принято к публикации 04.06.14

Функция плотности вероятности p V) как характеристика изменения скорости ветра по времени становится бесконечно большой в точках, которые являются экстремумами функции Vm (t). Поэтому интегралы

ветроэнергетики, содержащие функцию p V), являются несобственными интегралами. Случайное количество и случайный характер распределения особых точек делают невозможным вычисление этих интегралов методом выделения особенностей. В работе показано, что алгоритм математической статистики позволяет достичь точных значений интегралов ветроэнергетики, не раскрывая особенностей теоретической функции плотности вероятности.

Ключевые слова: интегралы ветроэнергетики, скорость ветра, функция плотности вероятности, алгоритм математической статистики.

ALGORITHM OF MATHEMATICAL STATISTICS AS A METHOD OF WIND ENERGY IMPROPER INTEGRALS CALCULATING

S. G. Ignatiev

The Central Aerohydrodynamic Institute named after N.E. Zhukovsky 1 Zhukovsky Str., Zhukovsky, 140180, Russian Federation Lomonosov Moscow State University, Faculty of Geography 1 Leninskie Gori, Moscow, 119991, Russian Federation

Referred 21.05.14 Expertise 28.05.14 Accepted 04.06.14

Probability density function p V) as a characteristic of wind speed variation in time, becomes infinitely large at the points that are extrema of function Va (t). Therefore, wind energy integrals containing the function p V) are improper integrals. Random number and random distribution of singular points make calculation of these integrals by the selection of features method impossible. It is shown that the algorithm of mathematical statistics can achieve the exact values of the wind-energy integrals without revealing features theoretical probability density function.

Keywords: wind energy integrals, wind speed, probability density function, algorithm of mathematical statistics.

12

International Scientific Journal for Alternative Energy and Ecology № 12 (152) 2014

©

Игнатьев Станислав Георгиевич

Сведения об авторе: кандидат технических наук, старший научный сотрудник ФГУП ЦАГИ имени профессора Н. Е. Жуковского, главный конструктор ООО СКБ «Искра».

Образование: окончил Харьковский авиационный институт по специальности «инженер-механик по самолетостроению».

Область научных интересов: аэродинамика дозвуковых летательных аппаратов, ветроэнергетика. Публикации: более 30.

Введение

В предположении, что скорость ветра - непрерывная случайная величина, традиционно вычисляются интегралы ветроэнергетики [1, 2]

V =

cp

} V p V) dVя и ww = У V3 p V) dV,

Здесь р (Ух) - функция плотности вероятности случайной величины «скорость ветра»; Уср - средняя скорость ветра на совокупности измеренных дис-

кретных значении;

W

уд

мощность воздушной струи

с единичной площадью поперечного сечения.

По измеренным значениям скорости ветра функция плотности вероятности представляется в виде гистограммы. Для окончательного расчета указанных интегралов эмпирическая гистограмма аппроксимируется аналитическими функциями. Считается [1, 2], что сглаживание эмпирической гистограммы при аналитической аппроксимации позволяет более точно вычислить искомые интегралы ветроэнергетики.

В работах [3,4] измеренные значения скорости ветра рассматриваются как дискретные значения

функции времени (V). Для этого случая получены

следующие формулы, предназначенные для расчета средней скорости ветра и производительности ветроэнергетических установок:

V = Г V p'(V ) dV

cp J \ да s да

QT = T J W(V ) p'(y )dV

Здесь р У) - функция, которая характеризует состоявшуюся реализацию случайной функции Утп < Уа (V) < Упах в течение отрезка времени Т;

Уср - среднее для функции Уа (V) значение скорости

ветра на отрезке времени Т; Ж (У ) — функция, характеризующая изменение мощности по скорости ветра; QT — произведенная ветроэнергетической

установкой энергия за время Т.

В работе [4] показано, что функция плотности вероятности р (Ух) зависимости Уа (V) выражается

через ее производную по времени следующей формулой:

р*(У„) = 1

T\dV /,

Из формулы видно, что функция р (Ух) становится бесконечно большой при значениях скорости, которые являются экстремумами функции Уа (V).

Измерения скорости ветра показывают, что для функции Уа (V) характерно присутствие высокочастотных колебаний. В левой части рис. 1 показано изменение скорости ветра в течение суток, а на правом графике - изменение скорости ветра в течение 6 минут, которые в суточном интервале выделены вертикальными линиями Т — Т'.

Рис. 1. Пример функции Vя(t) изменения скорости ветра по времени Fig. 1. An example of function VM(t) - wind speed variation in time

iSJJIll

V

По количеству и расположению экстремумов

функции (V) можно представить количество и

расположение особых точек функции плотности

вероятности р (Ух). Таким образом, интегралы,

содержащие функцию плотности вероятности

р (Ух), являются несобственными интегралами со

случайным распределением особенностей на оси абсцисс.

Для вычисления несобственных интегралов разработан метод выделения особенностей [5]. В работе [4] аналитический вид особенности функции

Р V) определён. Числовой коэффициент при аналитической формуле особенности выражается через вторую производную функции Ут (V). Измерения скорости ветра на метеостанциях осуществляются с периодичностью А V = 3 - 4 часа. На левом графике рис. 1 измеряемые значения скорости ветра с шагом А V = 4 часа показаны крупными белыми точками. Видно, что редкость измерений скорости ветра не позволяет определить вторую производную в каждом экстремуме. Вместе с тем случайное количество и случайный характер распределения особых точек делает невозможным применение классического подхода к вычислению интегралов с выделением особенностей.

Исследование свойств алгоритма математической статистики, проявляющихся при вычислении интегралов ветроэнергетики по дискретным значениям функции Ут (V) на равномерной сетке аргумента

1. Предмет исследования. Математическая модель и ( V.)

В работе [4] показано, что одной функции плот*

ности вероятности р (Ух) соответствуют бесконечное количество немонотонных функций Ут (V) и

одна монотонная функция У* (V) . При этом интегралы ветроэнергетики для монотонной и всех не

монотонных функций, которым соответствует одна

*

функция плотности вероятности р (Ух), имеют одинаковое значение.

Единственная монотонная функция У* (V) , соответствующая заданной функции плотности вероят-

*

ности р (Ух ) , определяется дифференциальным уравнением

dt

= Tp V).

Не уменьшая общности решения, в качестве начального условия можно принять /0 = 0, а в качестве начального значения скорости принять Ух = У0. Тогда решение дифференциального уравнения будет

Ко

V У) = т } /(У) dУ.

У0

Относительная функция

т У) = ^ = ? р>)&

У0

обладает всеми свойствами функции распределения непрерывной случайной величины. Обращенная

функция Ух (V / Т) является искомой монотонной

*

функцией Ум (0.

На рис. 2, в качестве примера, показаны графики

*

функции р (Ух) Релея и соответствующая ей

*

функция Ум ).

* V

*/тл ч Ю

Р (V» ) ^-TeXP

г V2 ^

2a

V*(t) = a J 2ln

T

T -1

Р V) Плотность вероятности Релея. а = 5 м/с

0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0

V*

V„

(t)

10 12 14 16

a = 5м / c T = 15

01 2 34567 89 1011 12 131415

Рис. 2. Функция Vx (t) Fig. 2. Function Vx (t)

14

International Scientific Journal for Alternative Energy and Ecology № 12 (152) 2014

©

t

0

Обратим внимание, что функция VM (t) соответствует точной функции плотности вероятности

*

p V ) . По эмпирическим данным алгоритм математической статистики дает приближенное представление функции плотности вероятности.

Один из этапов алгоритма математической статистики - упорядочение исходных дискретных значений. В рассматриваемом случае процедура упорядочивания состоит в том, что, не изменяя сетки

значений аргумента t., значения функции выстраиваются в порядке возрастания. Упорядочение дискретных значений скорости Voo(t.) - технологическая процедура, облегчающая подсчет их числа, попавших в рассматриваемые разряды. Однако в результате применения этой процедуры к дискретным значениям функции V, (t,) мы получаем гистограмму функции плотности вероятности монотонной функции VM (t), а вычисленные с применением

этой гистограммы интегралы ветроэнергетики фактически характеризуют эту монотонную функцию.

Характерной особенностью традиционных гистограмм является то, что внутри каждого разряда

AVj функция плотности вероятности p* (Vm) =

= const. А в работе [4] было показано, что закону

функции p (Vx) = const соответствует линейный

закон изменения скорости ветра по времени. Поэтому гистограмме соответствует некоторый монотонный полигон Пм (t).

Так как гистограмма является приближенным

*

представлением точной функции p (Vx ), то и полигон Пм (t) лишь приближённо соответствует

*

точной функции VM (t).

В связи с этим возникают следующие вопросы:

1. Как взаимосвязаны функции VM (t), Пм (t)

и точная функция VM (t).

2. Как соотносятся интегралы ветроэнергетики, определенные по полигону nM (t), по исходной функции V„ (t) и по происходящей от неё

функции VM (t) .

3. Насколько величины указанных интегралов соответствуют своим точным значениям.

Поиск ответов на эти вопросы является содержанием исследования.

Исследование свойств алгоритма математической статистики применительно к вычислению интегралов ветроэнергетики проведем на математической модели функции Vm (t). В качестве такой мо-

дели используем изменение относительной скорости u (t) от относительного времени, которую зададим

в аналитическом виде. Если функция (t) задана в области изменения аргумента 0 < t < T и имеет максимальное значение V , то для

max "

нее u = V / V , а г = t / T .

да max '

Вид аналитической функции u (Г) подобран так, что бы он отражал своИства функции (t) и позволял определить теоретическую функцию плотно -сти вероятности как функцию времени и как функцию скорости.

Вся область изменения математической модели

u (t) разбита на четыре одинаковых по времени интервала. На каждом из этих интервалов изменение скорости и функции плотности вероятности задается следующими формулами:

u, (г) = a i + Ьг sin рг (г),

V ) 1

p*(ui) =

Ф ÍÜ2 / \2 yVbi - (ui - a)

График функции и (V), рассчитанный в 101 точке на равномерной сетке аргумента, показан на рис. 3. Моделирующая функция имеет два максимума и один минимум.

u

umax 1 1

А \ Umax2 = 2/3

/

f / \

t • / x

ч / \

\

umin = 1/3 4 •

•

•

Рис. 3. Модельная функция u(t ) Fig. 3. Modelling function u(t )

График функции p (u) с характерными для неё особенностями показан на рис. 4.

Для математической модели u (t ) получены точные значения средней скорости и энергии: VT = 0, 602347, ЭТ = 0,5p*0,320819.

iSJJIll

t

p\u)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

u

Рис. 4. Функция p (u) Fig. 4. Function p (u)

2. Сравнение результатов вычисления интегралов ветроэнергетики с использованием дискретных значений функций Vm (t) и VM (t) по правилу трапеций

По дискретным значениям функции y (x) на сетке аргумента с равномерным шагом A x выгаис-ление интеграла по правилу трапеций осуществляется по следующей формуле:

xn

J y (x) dx « A x (Уо /2 + У1 + .. + ymm + ...

xo

... + Уг + .. + Утах + .. + Уп-1 + Уп / 2) = STP ■

В этой формуле минимальное и максимальное значения функции у (x) находятся внутри интервала интегрирования, а краевые значения yo и yn

входят с коэффициентом 0,5.

Пусть далее имеем монотонную функцию yM (x), которая получена путем упорядочения дискретных значений функции y (x) на исходной сетке аргумента. Для этой функции значения ymin и

Утах располагаются на границах области изменения, и формула трапеций будет иметь вид

xn

J Ум (x) dx ~A x (У min /2 + Уо + У1...

xo

... + Уг + — + Уп-1 + Уп + Утах / 2) = SM ■

Суммы STP и SM связаны следующим соотношением:

SM = STP -Ax[0U + Уmin) - (Уо + Уп )]/2

Вычислим предел:

lim "

Ax^0 S,

M

= lim

Ax^0

TP f

1

V

1 -Ax

[(У max + У min ) - (Уо + Уп )] 1

2S

TP

= 1.

У

Таким образом, в случае расположения дискретных значений функции у (х) на равномерной сетке аргумента численное интегрирование по правилу трапеций и такое же интегрирование монотонной

функции ум (х) дают различные результаты. И только лишь в пределе, когда А х ^ 0, правило трапеций для обеих функций дает одинаковый результат. Заметим, что в этом пределе правило трапеций дает точное значение интеграла ST .

На рис. 5 показаны графики, иллюстрирующие сходимость интегралов

STP = STP / ST

и SM = SM / ST

к единице при применении пра-

вилтрапеций к функциям y (x) = u (t) У (x) = u 3( 7) .

S y (x) = u (t)

1.06

1.05 1.04

1.03 1.02 1.01

1

0.99

S

1.16 1.14 1.12 1.1 1.08

1.06

1.04 1.02

1

0.98

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12

Рис. 5. Функции SM (At) и SIP (At) Fig. 5. Functions SM (Af) & STP (Af)

Видно, что с увеличением числа точек интегралы как от самих функций, так и от произведённый монотонных функций, стремятся к точным значениям.

м,

- С -С

'и1

0

1

16

International Scientific Journal for Alternative Energy and Ecology № 12 (152) 2014

©

2

0

Монотонную функцию, которая получается при А V ^ 0, назовем предельной монотонной функцией и будем ее обозначать им& (V). Приведенные

результаты показывают, что для оценки точности вычисления интегралов ветроэнергетики можно использовать сравнение подынтегральных монотонных функций с предельной монотонной функцией

имп (1).

3. Исследование свойств монотонной функции Ум (V), получающейся в результате упорядочения

дискретных значений функции Ут (V)

Исследуем свойства монотонной функции, которая получается в результате упорядочения дискретных значений исходной немонотонной функции.

На рис. 6 показаны рассчитанные в 101 точке значения функции и (V.) и полученные в результате их упорядочения дискретные значения монотонной

функции им (Т).

Отметим, что визуально дискретные значения функции и (V.) располагаются как дискретные значения непрерывной дифференцируемой функции. По этим точкам можно представить, что определенные через конечные разности значения производной йи / йГ так же образуют, как минимум, непрерывную функцию. Несколько иная картина открывается при рассмотрении дискретных значений функции

им (V.) . Здесь можно выделить два качественно различных участка.

Рис. 6. Сравнение функций u (t) и uM (t) Fig. 6. Comparison of functions u (t) & uM (t)

В области изменения скорости

0 < и < 1/3(0,93 < 1 < 1) функция и (!) монотонна. Зеркальное отражение функции и (V) в процессе упорядочения дискретных точек позволяет предположить, что функция им (V) в этой области имеет такие же аналитические свойства, как и функция и (Г).

При рассмотрении функции им (V) области 1/3 < им < 1 видно, что в результате упорядочения

дискретные значения расположились несколько скачкообразно, не так «гладко», как у функции

и (7"). Тем не менее они обозначают возможные

экстремумы функции им (V) при значениях и = 1/3, и = 2/3 и и = 1, которые являются экстремумами и функции и ( V ).

Такое расположение дискретных значений функции им (I) позволяет предположить, что, может

быть, в пределе, при А V ^ 0, функции и (Г) и им (V) будут характеризоваться одной теоретической функцией плотности вероятности.

Осуществим предельный переход численными методами, рассчитывая все большее число дискретных значений функции и (Г), уменьшая шаг сетки

времени А 7 = 1/(У — 1).

ISJJIEE

При каждом значении шага A t в массиве дискретных значений функции uM (t) можно определить наибольшую разность aummax = um(i+i) - umi соседних ординат функции uM (t). На рис.7 показан график изменения этой максимальной величины при уменьшении шага сетки времени

AuM max (A T).

Расчеты, выполненные при числе точек N = 21, 51, 101, 201, 501 и N=1001, дают основание предполагать, что при A t ^ 0 функция uM (t.) становится непрерывной функцией.

Определим теперь функцию плотности вероятности двумя способами.

1. Для определения теоретической функции плотности вероятности непрерывной монотонной функции uM (t) необходимо знать ее производную. Результаты расчетов функции uM (t) и ее производной при уменьшающемся шаге A t показаны на рис. 8.

Au

M max

0,12 0,1 ■ 0,08 ■ 0,06 0,04 ■ 0,02 ■ 0

A t

Рис.7. Изменение Aum max(A t) Fig. 7. Change of Aum max(A t)

uM (t )

A t = 0,02 N = 51

duM / dt

4,5-i

4- 'V

3,5-

3-

2,5-

2-

1,51 ■

0,5- «. t

0.

Рис. 8. Влияние шага A t на монотонную функцию um (t) и ее производную duM / dt Fig. 8. linfluence of interval A t on a monotone function um (t ) and its derivative duM / dt

18

International Scientific Journal for Alternative Energy and Ecology № 12 (152) 2014

©

При всех значениях шага А V на графиках функция им (V) представляется дискретными точками.

Производная ёим / ё V определена здесь через конечные разности. Рассмотрение графиков показывает, что с увеличением числа точек функция им (V)

все более представляется непрерывной функцией. В то же время графики производной выявляют особый, хаотически-пилообразный характер её изменения в области 0,07 < V < 1, а уменьшение шага А V совсем не уменьшает этого хаоса. Вместе с этим исследуемая производная здесь имеет конечное значение. Из графиков на рис. 8 следует, что свойства монотонной функции им (V) можно воспроизвести при

любом значении шага А V представлением ее в виде полигона.

Графики производной ёим / ё V на рис. 8 показывают, что теоретическая функция плотности вероятности полигона, построенного на дискретных зна-

чениях функции им (V), не может представлять теоретическую функцию плотности вероятности функции и (V), которая была показана на рис. 4

2. Оценим теперь функцию плотности вероятности р* (и) монотонной функции им (V) при возрастании числа разрядов N., определяя ее по алгоритму математической статистики:

р* = п. /(ИАУ.).

На рис. 9 белыми точками представлены результаты расчетов функции р* (и) при возрастании числа разрядов И . и уменьшении размера разряда А и . = 1/ N., когда функция и (V) представлена числом И = 1001 дискретных значений.

Р (U) NJ = 4 AUj = 0,25 Р (U)

3,5 3 2,5 -2 1,5 1

0,5 0

3,5 3 2,5 2 1,5 1

0,5

U ,

NJ = 10 Auj = 0,1

Р (U)

0,2 0,4 0,6 0,8 1

0,5

U

NJ = 40 Ыи] = 0,025

U

0,2 0,4 0,6 0,8 1

0,2 0,4 0,6 0,8 1

Рис.9. Влияние размера разряда Au. на плотность вероятности p (u) монотонной функции UM (t ) Fig. 9. Influence of the discharge size Au . on a probability density p (u) of monotone function UM (t )

Теоретическая функция плотности вероятности рТ (и) показана здесь толстой сплошной линией.

Представленные графики убедительно показывают, что при большом количестве дискретных значений функций и (Г) и им (V), которые могут обеспечить

достаточно подробную градацию диапазона измене -ния скорости, алгоритм математической статистики воспроизводит со всеми особенностями теоретическую функцию плотности вероятности, которая характеризует исходную функцию и (V), а не монотонную функцию им (V).

4. Связь вероятностной формы интегралов ветроэнергетики с формой, определяемой правилом трапеций

Решим дифференциальное уравнение

dt dV„

= Tp V)■.

когда функция плотности вероятности p (u) задана

в виде гистограммы. Так как на каждом разряде гис-

*

тограммы p, (Vm ) = const, то решением диффе-

ISJJIEE

3,5

3

2,5

2

1,5

ренциального уравнения на разряде AV. является следующая линейная функция:

t = t,,_1 + Tp*(vx- V._i).

В этом решении в качестве начального условия принято значение скорости Уш (íj—1) = У— 1 на нижней границе разряда АУ., которая совпадает с величиной скорости на верхней границе предыдущего разряда.

Обращая эту формулу, легко определить, что на разряде АУ отрезок полигона имеет следующее аналитическое выражение:

Пм. = У—1 + (" — V—1)/Ру

Непрерывная функция, определенная таким образом на всех разрядах, образует искомый монотонный полигон Пм (V). На рис. 10 показан пример расчета функций V (Уш) и Пм (V) по гистограмме, полученной на метеостанции № 12, о. Сахалин [6]. Из дифференциального уравнения для

размерного времени следует, что на разряде АУ время изменяется на величину

о—о—1 = тР*(У—У—1).

Учитывая, что по результатам измерений скорости плотность вероятности на разряде определяется формулой

* П Р* =

N, V

N (V - V-i)

V = f V p'(V ) dV « У p* f Vr dV

B J да ^ v да / да ^^^ J J

0 J = 1 vj-1

=У p

V" - V,

* J J-1

j=i

2

Vmax N. vj

Эв = —T f V3p'(V ) dV « —TУ p* f F3dF

B J да ^ V да / со ~ ^^^ -Г j I да да

2 0 2 J=1 V -1

= 2 T У p*

2 j=1

V4 - V 4 J

-1

p*(V,)

0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0

AVJ * pJ

18-21 0,0043360

21-25 0,0007460

25-29 0,0003610

29-35 0,0000326

35-40 0,0000098

& 0Ч"

&M 0

для изменения относительного времени на разряде получим

40 35 30 25 20 15 10 5 0

j -0- = (o -^-1)/T = n /N.

Вероятностные формулы интегралов ветроэнергетики, полученные с учётом того, что на разряде гистограммы p (Vo) = const, имеют следующий вид:

nj

v. = У p *

J=1

V2 -V 2J

j j-1

= У

w.

Рис. 10. Метеостанция №12, о. Сахалин Fig. 10. The weather station №12, Sakhalin island

Используя приведенную выше формулу для плотности вероятности, получим следующие выражения для интегралов ветроэнергетики:

V2 - V 2^

j J-1

1N(V, - V ,.-1)

=У

w, (V, + V,.-1)

j=

1N

V

20

International Scientific Journal for Alternative Energy and Ecology № 12 (152) 2014

© Scientific Technical Centre «TATA», 2014

liliil

N- \v4 - Ул\ п

(_п I Р _п I

n.

j=i

1N(V - V-.-1)

V4-VU\ _п^Т(V- + V.-i)(^4+V4-i)

4 2 j_í N 4

Но выше получена формула n . / N = (t . -1 ._1) / Т, поэтому

V» _ I

- ^ J J-

\n-V- + V.-1

í N

1 J 4 V + V

_ T I(t-- ^-J

J-i

з _V + У-.ХУ4 + V4-.)_

в 2 % N 4

„ , ) V + У-.ХУ2 + V-.)

_ 2 ' ^ 4 •

Точно такие же формулы получаются при интегрировании полигона и его куба, если этот полигон

построен по дискретным значениям скорости V..

Таким образом, при аппроксимации функции плотности вероятности гистограммой и определении

значений функции плотности вероятности р. (^ )

по алгоритму математической статистики, вероятностная форма интегралов ветроэнергетики эквивалентна интегрированию полигона Пм ), узловые

значения которого расположены на границах разрядов, получающихся при градации диапазона изменения скорости.

u(t)

и 3( t)

&M(t W \ */

им (% y--t-

y» •

wr

0 0.2 0.4 0.6 0.8 Y 1 о 0.2 0.4 0.6 0.8 f 1

Рис.11. Сравнение функций uM (t) и Пм (t) Fig. 11. Comparison of functions uM(t) & Пм(t)

На левом графике рис. 11 на примере N = 21 значений математической модели u (t) показано сравнение монотонной функции uM (t) и полигона Пм (t), построенного по гистограмме функции плотности вероятности при градации A u . = 0,25 .

На правом графике этого рисунка показано сравнение кубов этих функций.

Из графиков видно, что интегралы от сравниваемых функций должны быть приблизительно одинаковы. Сравнение численных значений рассматриваемых интегралов ветроэнергетики показано в таблице 1.

Таблица1

Точность вычисления скорости и энергии

Table 1

Accuracy calculation of speed and energy

VT _ 0,602347 ЭТ _ 0,320819

V / V _ Т В 1,04324 t / ^ЭВ 1,07997

Из таблицы видно, что в рассмотренном примере численные значения искомых величин VB и Зв близки к своим точным значениям.

5. Определение предельного монотонного полигона ПмП (t )

При градации диапазона изменения скорости назначается сетка значений скорости и.. Точки пересечения горизонтальных линий с функцией и (t) = и. образуют сетку значений аргумента и .

Так как функция и.( t) - непрерывная дифференцируемая функция, то существование и методы определения сетки значений t для неё не вызывают

сомнений. На рис.12 для функции и (t) пунктирными линиями показаны границы четырех разрядов Ди. (. = 1,2,3,4).

Ш111

u( t )

1

0,75 0,5 0,25 0

to t,

tJ t3

t5 t6 t7

Абсциссы Х позволяют определить время пре-

и.

бывания частей функции и (Г) в каждом разряде. Ли4 В качестве примера определим эти времена для данных, показанных на рис. 12. Обозначим Л время пребывания всех криволинейных отрезков функции и (Х) в разряде Л и .. Расчет относительного времени Лпоказан во втором столбце таблицы 2.

После определения ЛХ., определяем последовательность значений относительного времени так, как показано в третьем столбце таблицы.

AU

Au,

t

Рис. 12. К определению предельного полигона функции

и j( 7)

Fig. 12. To definition of a function и j(t) limit polygon

Таблица 2

Временные интервалы The time intervals

AUj A tj <ПП]

Au, A (t - <6) <ПП1 = A <1

Au2 a <2 = (t4 -13) + (t6 -15) 1ПП 2 = 1ПП1 + A t2

Au3 at3 = («Т-to) + (<з -12) + (ii -ö <ПП 3 = <ПП 2 + At2

Au4 a t4 = 02 -t,) <ПП] = <ПП 4 + A t3

Table 2

Так как значения && определены по непрерывной функции и (Х ), то их можно рассматривать как предельные, получающиеся при заданной градации Л и1 и бесконечно возрастающем количестве N

точек задания функции и (Х ). Знание относительного времени && позволяет построить полигон, показанный на рис. 13.

Полигон, абсциссы которого образуются величинами &&, а ординаты - горизонталями и (Х ) = и . мы будем рассматривать как монотонный предельный полигон ПМП (Х ) на сетке Л и ..

пмп (t)

0.75

0.5

0.25

0 0.25 0.5 0.75 1

Рис. 13. Предельный полигон ПМп (t) Fig. 13. Limit polygon ПМП (t)

4

t

0

22

International Scientific Journal for Alternative Energy and Ecology № 12 (152) 2014

©

Определим аналогичные точки t для монотонной функции им (I) при различных значениях шага Д t ее дискретных значений. Поскольку выше было установлено, что при любых значениях Д t функцию им (t) можно представить полигоном, то искомое значение t является абсциссой точки пересечения уровня и (t) = и с соответствующим линейным отрезком полигона.

им (Т) 1

0,75. 0,5. 0,25. 0

• N = 501

^ - N = 11

50 I

UM (t) при N = 11

/ tu.(N = 501) u(N= =11)

0,6

0,8

Рис. 14. Влияние числа N на время tu

j

Fig. 14. Impact of number N to the time Tu

При задании функций и ^ ) и им (t) дискретными точками абсциссы t монотонной функции

им (t) зависят от числа точек N задания этих функций. Это влияние иллюстрируется на рис. 14, где показаны функция имп (t) и функция им (t),

определенные по функции и(Г) при N = 11.

Из графика видно, что время и для них разное

и.

и \ (имп ) < \ (им ).

Расчетные исследования показали, что при бесконечном возрастании числа точек N абсциссы t

монотонной функции им (t.) стремятся к конечному

пределу. На рис. 15 видно, что значения t моноид

тонной функции им (t.) для ( (и = 0,25), t (и . = 0,5) и t (и . = 0,75), отнесенные к предельным значениям tпп., при Д t ^ 0 стремятся к единице. Это показывает, что величины t стремят-

и.

ся к предельным значениям tпп. и в пределе, вместе со значениями скорости на границах разрядов, образуют предельный полигон Пмп (t).

t (ы7 = 0,25) / t

ПП]

1,12 1,1 1,08 1,06 1,04 1,02 1

0,98

t {u = 0,5)/ t

ПП]

t {u = 0,75)/ t

ПП]

1,03 1,02 1,01 1

0,99 0,98 0,97

Рис.15. Зависимости t (A t )

uj

Fig. 15. Dependences t (A t )

uj

Рис.16. Влияние числа N дискретных значений функции и(t) на гистограмму p* и полигон Пм (t) Fig. 16. Impact of number N of discrete values of function u(t) to the histogram p* & range Пм (t)

На рис. 16 иллюстрируется изменение гистограмм и соответствующих им полигонов при фиксированной градации и увеличении числа точек N задания функции и (Х ).

Из графиков видно, что рассчитанные на возрастающей последовательности чисел N гистограммы стремятся к гистограмме предельного полигона, а соответствующая последовательность полигонов стремится к предельному полигону.

6. Связь интегралов ветроэнергетики, рассчитанных по предельной монотонной функции имш ( Х ) и по предельному полигону Пш (Х )

1,16 1,14 1,12 1,1 1,08 1,06 1,04 1,02 1

A u, = 0,25

1,16 1,14 1,12 1,1 1,08 1,06 1,04 1,02 1

N = 11

0,02 0,04 0,06 0,08 0,1

Определим теперь, как при конечном числе разрядов Л V1 и неограниченном увеличении числа

дискретных значений N функции V» (Х) изменяются интегралы ветроэнергетики, рассчитанные с использованием функции плотности вероятности в виде гистограммы.

Рассмотрим на примере функции и (Х ) случай, когда весь диапазон изменения скорости разбит на четыре одинаковых интервала Л и. = 0,25. Расположение дискретных значений модельной и (Х) и монотонной им (Х) функций было показано на рис. 6.

На рис. 17 показан график изменения относительных величин интегралов ветроэнергетики при увеличении числа N дискретных значений функции и (Х), которые рассчитаны с использованием гистограмм.

Рис. 17. Влияние числа точек N задания функции и(t) на точность вычисления интегралов ветроэнергетики Fig. 17. Impact of points N of the function u(t ) representation on the accuracy of the wind-energy integrals evaluation.

Напомним, что изменение числа дискретных значений N изменяет гистограммы функции плотности вероятности, как было показано на рис. 16. Из графиков на рис. 17 видно, что относительные величины скорости и энергии при A t ^ 0 стремятся к пределу, который не равен единице. Т.е. при рассматриваемой градации A Uj = 0,25 при бесконечном увеличении числа точек N функции и (t ) алгоритм математической статистики не обеспечивает получение точных значений искомых интегралов.

24

International Scientific Journal for Alternative Energy and Ecology № 12 (152) 2014

©

V&& /Vp Ли. _ 0,25

1,08 1,07 1,06 1,05 1,04 1,03 1,02 1,01 1

0,99

N _ 11

Э / Э

^пп 1 ^ р

1,08 1,07 1,06 1,05 1,04 1,03 1,02 1,01 1

N _ 11

0,99

0,02 0,04 0,06 0,08 0,1

0,02 0,04 0,06 0,08 0,1

Рис. 18. Влияние числа точек N задания функции u(t) на

точность вычисления интегралов ветроэнергетики Fig. 18. Impact of points N of the function u(T) representation on the accuracy of the wind-energy integrals evaluation

Обозначим соответствующие предельному полигону значения средней скорости V&&, а энергии

воздушной струи - ЭПП. На рис. 18 показан график, на котором иллюстрируется изменение отношения

величин Vпп и Зпп к тем же значениям Vв и Зв . Графики на этом рисунке показывают, что при Д t ^ 0 величины средней скорости Vв и энергии

зв стремятся к значениям, которые определяются предельным полигоном.

Рассмотрим теперь последовательность предельных полигонов при градации диапазона изменения скорости с уменьшающимся по закону

ДV. = 1/ N. размером разряда.

На рис. 19 показана предельная монотонная функция имп (t), определенная по дискретным значениям функции и (t). Здесь же пунктирными линиями показаны разрядные сетки для трех градаций диапазона изменения скорости. Мы рассматриваем последовательность градаций, когда число разрядов N. значительно меньше числа дискретных значений

N функций и (Г)и им (t).

и (t )

Ли. _ 0,25

и (t)

1

Ли. _ 0,1

и (t)

Ли. _ 0,05

Рис. 19. Соотношение предельных функций имП (t ) и ПМп (t) Fig. 19. A relation of limiting functions uMn (t) & ПМп (t )

На пунктирных линиях разрядной сетки белыми точками показаны предельные значения времени

П&. при различных градациях Д и.. Из графиков

на рис. 19 видно, что, даже при редкой градации

Д и. = 0,25, предельный полигон очень близок к

предельной монотонной функции имп ( г ). Видно

также, что с увеличением числа разрядов Д и . пре-

дельные полигоны всё более приближаются к предельной монотонной функции имп (Г).

В соответствии с результатами, которые показаны на рис. 15, белые точки располагаются на предельной монотонной функции имп (Г), а построенные на этих точках предельные полигоны интерполируют предельную функцию имп (Г). Предельная

функция имп (Г) - это непрерывная функция, которая во всей области определения принимает конеч-

ные значения. Поэтому последовательность предельных полигонов на последовательности градаций с

уменьшающимся размером разряда А и. в пределе точно воспроизводит функцию имп (t).

Напомним, что для предельной функции имп (t)

интегралы ветроэнергетики принимают точные значения. Поэтому интегралы ветроэнергетики, вычисленные по предельным полигонам, стремятся к своим точным значениям как интегралы функции

имп (t), и определенные по правилу трапеций на

сетке дискретных значений, которая формируется градацией диапазона изменения скорости.

Результаты расчета интегралов ветроэнергетики

Ув и Эв для функции и(Т) с использованием гистограмм предельных полигонов, приведенные в таблице 3, иллюстрируют стремление искомых интегралов к своим точным значениям.

Результаты вычисления скорости и энергии The results of calculation of the speed and energy

Таблица 3 Table 3

VT = 0,60235 ЭТ = 0,32082 Функция ut)

A uj = 0,25 A uj = 0,10 A uj = 0,05

Vt / VB 1,018 1,005 1,0017

•Эт / ~Эв 1,069 1,022 1,0067

м.

aVA - с -

Таким образом, алгоритм математической статистики, когда теоретическая функция плотности вероятности р* (и) аппроксимируется гистограммой, позволяет в пределе, при увеличении числа N дискретных значений исходной функции Уа ^) и

уменьшении размера разряда АУ., достичь точных

значений интегралов ветроэнергетики, не раскрывая особенностей теоретической функции плотности вероятности.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 12-08-01076-а.

Список литературы

1. Старков А.Н., Ландберг Л., Безруких П. П., Бо-рисенко М. М. Атлас ветров России. М.: Изд. «Мо-жайск-Терра», 2000.

2. Николаев В.Г., Ганага С.В., Кудряшов Ю. И. Национальный кадастр ветроэнергетических ресурсов России и методические основы их определения. Изд. «Атмограф». М. 2008.

3. Игнатьев С.Г. Решение теоретических задач ветроэнергетики с позиций теории вероятностей одномерной случайной величины // Альтернативная энергетика и экология. 2011. №2. С. 14-30.

4. Игнатьев С.Г. Функция плотности вероятности однозначной непрерывной и дифференцируемой

функции V(t) // Альтернативная энергетика и экология. 2013. № 1 (Ч. 2). С.63-93.

5. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Наука 1966. 644 с.

6. Справочник по климату СССР. Ч III. Ветер. Сахалин. 1966.

References

1.Starkov A.N., Landbergh L., Bezrukykh P. P., Bory-senko M. M. Atlas vetrov Rossyy. M.: Yzd. «Mozhajsk-Terra», 2000. Starkov A.N., Landbergh L., Bezrukykh P. P., Borysenko M. M. Atlas vetrov Rossyy. M.: Yzd. «Mozhajsk-Terra», 2000.

2. Nykolaev V.GH., Ghanagha S.V., Kudrjashov Ju. Y. Natsyonaljnyhj kadastr vetroehnerghetytcheskykh resur-sov Rossyy y metodytcheskye osnovyh ykh opredeleny-ja. Yzd. «Atmoghraf». M. 2008.

3. Yghnatjhev S.GH. Reshenye teoretytcheskykh zadatch vetroehnerghetyky s pozytsyj teoryy verojat-nostej odnomernoj slutchajnoj velytchynyh //Aljternatyvnaja ehnerghetyka y ehkolo-ghyja. 2011. №2. S. 14-30.

4.Yghnatjhev S.GH. Funktsyja plotnosty verojatnosty odnoznatchnoj nepreryhvnoj y dyffe-rentsyruemoj funktsyy V(t) // Aljternatyvnaja ehnerghetyka y ehko-loghyja. 2013. № 1 (TCH. 2). S.63-93.

5.Berezyn Y.S., Zhydkov N.P. Metodyh vyhtchys-lenyj. Nauka 1966. 644 s.

6. Spravotchnyk po klymatu SSSR. Tch III. Veter. Sakhalyn. 1966.

Транслитерация no ISO 9:1995

Q

I

O)

3 Q.

oo

- TATA —