АНАЛИЗ НЕПРЕДСТАВИТЕЛЬНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ СКОРОСТИ ВЕТРА Текст научной статьи по специальности «Математика»

_ 5

m

ВЕТРОЭНЕРГЕТИКА

WIND ENERGY

Статья поступила в редакцию 27.05.14. Ред. per. № 2021

The article has entered in publishing office 27.05.14. Ed. reg. No. 2021

УДК 551.510

АНАЛИЗ НЕПРЕДСТАВИТЕЛЬНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ СКОРОСТИ

ВЕТРА

С.Г. Игнатьев

ФГУП ЦАГИ им. проф. Н.Е. Жуковского 140180 г. Жуковский, ул. Жуковского, 1 Тел.: 8(495)556-34-31, e-mail: [email protected]; Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова 119991 Москва, Ленинские горы, д.1 географический факультет, НИЛ ВИЭ.

Заключение совета рецензентов: 03.06.14 Заключение совета экспертов: 10.06.14 Принято к публикации: 17.06.14

В работе рассматривается проблема представительности дискретных данных о непрерывной функции. Отмечено, что измерения скорости ветра на метеостанциях дают непредставительные дискретные данные о функции Vm (t). Исследование свойств непредставительности дискретных значений функции Vm (t) проведено в предположении, что эта функция может быть определена рядом Фурье. Тогда задача сводится к исследованию результатов представления ряда Фурье совокупностью дискретных значений.

Анализируется влияние непредставительности дискретных данных на точность вычисления интегралов ветроэнергетики. Погрешность определения энергии воздушной струи с единичной площадью поперечного значения из-за непредставительности дискретных данных существенно больше, чем погрешность определения значения средней скорости ветра.

Ключевые слова: непредставительность дискретных данных, погрешность определения, скорость и энергия ветра, интегралы ветроэнергетики, ряды Фурье, тригонометрический многочлен, высокочастотная и низкочастотная гармоника.

ANALYSIS OF UNREPRESENTATIVE WIND SPEED MEASUREMENTS

S. G. Ignatiev

The Central Aerohydrodynamic Institute named after N.E. Zhukovsky 1 Zhukovsky Str., Zhukovsky, 140180, Russian Federation Lomonosov Moscow State University, Faculty of Geography 1 Leninskie Gori, Moscow, 119991, Russian Federation

Referred: 03.06.14 Expertise: 10.06.14 Accepted: 17.06.14

In the article the concept of representativeness of discrete points about the continuous function is given. It is noted that the measurements of wind speed at the weather stations represent the unrepresentative discrete data about Va (t) function. Properties analysis of the unrepresentative discrete values of the function Va (t) has been carried out assuming that this function could be represented by Fourier series. In such a case the problem reduces to the investigation results of the Fourier series representation by a set of discrete values.

The impact of a discrete data on the accuracy of wind energy integrals computation was analyzed. Error in determining the energy of the air stream due to unrepresentativeness of discrete data is much larger than the error of the mean wind speed determining.

Keywords: unrepresentativeness of discrete data, the accuracy, wind speed and wind energy, wind energy integrals, Fourier series, trigonometric polynomial, high-frequency and low-frequency harmonica.

International Scientific Journal for Alternative Energy and Ecology № 12 (152) 2014

© Scientific Technical Centre «TATA», 2014

Введение

В настоящей работе пойдет речь об ошибках вычисления интегралов ветроэнергетики, которые возникают из-за особенностей измерения скорости ветра на метеостанциях. Интегралы ветроэнергетики имеют вид:

1 Т т

КР = -1у. (О Л и а = | ж (Г) л.

Здесь У р - среднее для функции V. (/) значение скорости ветра на отрезке времени Т ; Ж (У.) -функция, характеризующая изменение мощности по скорости ветра; QT - произведенная ветроэнергетической установкой энергия за время Т.

В частном случае, когда Ж (У.) = 0,5р У.3 - мощность воздушной струи с единичной площадью поперечного сечения, то QT = Э - энергия воздушной струи за время Т .

Рис. 1. Пример функции V,(t) изменения скорости ветра по времени Fig. 1. Example of wind speed time-modification' function V„ (t)

Методы вычисления указанных интегралов хорошо разработаны [1-3]. Однако график на рис. 1, где показана экспериментальная функции У. (/) , иллюстрирует в нашем случае неординарность этой классической для вычислительной математики задачи. Измерения скорости ветра на метеостанциях осуществляются с периодичностью в несколько часов (от А t = 8 часов в начале XX века до А t = 3 - 4 часа в настоящее время). На рис. 1 измеряемые значения скорости ветра с шагом А t = 4 часа показаны крупными белыми точками. Сравнение непрерывной функции У. ^) и её дискретных значений показывает, что измерения не дают полного представления о функции У. ^) . Для использования классических методов вычисления интегралов ветроэнергетики необходимо вначале разобраться с задачей о представительности дискретных данных для функции

У. а).

Для решения этой задачи воспользуемся кусочно-линейной интерполяцией, которая позволяет через конечные разности определить значения первой и второй производных. Используя их можно решать уравнение у" (х) = 0 для определения точек перегиба.

Будем считать дискретные данные о непрерывной функции представительными, если на основе этих данных посредством кусочно-линейной интерполяции можно верно определить количество точек перегиба заданной функции.

Проиллюстрируем существо дела на примере функции

y (x) = 0,3(1 - x) + 0,6 sin ттх + +0,05 sin 2nx + 0,375 sin 3nx.

График этой функции показан на рисунках 2 и 3. Здесь круглыми точками показаны два способа представления этой функции дискретными точками.

На рис. 2 дискретные данные представительны. Представительность этих дискретных данных следует из показанных здесь же графиков y ' (x), которые демонстрируют, что функция y (x) имеет две точки перегиба (при x1 и 0,4 и x2 и 0,6). Это же количество точек перегиба видно и по графику функции У(x )■

iSJJlii

Международный научный журнал «Альтернативная энергетика и экология» № 12 (152) 2014 © Научно-технический центр «TATA», 2014

41

У ( x) 1

0.8 0.6 0.4 0.2 0

У "(x)

20 10 0 -10 -20 -30

мента. Из графика видно, что на представительных данных сплайн хорошо восстанавливает искомую функцию у (х) , а на непредставительных данных интерполирующий сплайн и искомая функция у (х) качественно отличаются друг от друга. При восстановлении функций по непредставительным дискретным данным можно получить непредсказуемые различия между искомой функцией и ее аппроксимацией.

Методология измерений скорости ветра на метеостанциях, как видно на рис. 1, дает непредставительные дискретные данные о функции У. ^). Необходимо изучать эту непредставительность и рассматривать ее влияние на точность вычисления интегралов ветроэнергетики.

Рис. 2. Представительные точки Fig. 2. Representative points

На рис. 3 показан пример представления той же функции y (x) непредставительными дискретными точками.

У ( x) 1

0.8 0.6 0.4 0.2 0

0 -10 -20

У (x)

Рис. 3. Непредставительные точки Fig. 3. Unrepresentative points

Здесь те же пять точек, что и в предыдущем случае. Однако расположены они по-другому. По функции y' (x) видно, что в области ее определения вторая производная нигде не равна нулю. Это значит, что показанные дискретные точки не выявляют наличие точек перегиба у функции, которую они представляют.

На рис. 2-3 показано также, к чему приводит непредставительность дискретных данных при интерполяции их кубическими сплайнами [4]. Цель этой интерполяции - восстановление функции y (x). Интерполирующий сплайн показан сплошной линией. Восстанавливаемая функция y (x) показана черными точками, рассчитанными на подробной сетке аргу-

1. Особенности тригонометрической аппроксимации непрерывной функции У. (^

1.1 Представление функции У. ^) рядом Фурье

Многочисленные измерения скорости ветра, как дискретные, так и непрерывные записи ее изменения по времени, дают основание для представле-

У и)

ния функции . 4 ' в виде ряда Фурье:

.

У. ^) = а0 / 2 + ^ ак соъ(2к^ / Тп) +

к=1 .

+Рк ът(2Ш / Тп)

Здесь t - текущее время, а Тп - наибольший период функции У. ^).

Если функция У. ^) представима рядом Фурье, то изучение свойств непредставительности конечной совокупности дискретных значений этой функции на заданной сетке времени сводится к исследованию представления ряда Фурье такой совокупностью дискретных значений.

Многолетние измерения показывают [5-8], что регулярно в летние месяцы скорость ветра меньше, чем в зимние месяцы. Это показано на рис. 4. Цикличность изменения времен года и анализ изменения среднемесячных скоростей ветра позволяет предположить, что годовое время Та = 8760 час может быть периодом функции У. ^) . При определении коэффициентов Фурье по результатам измерений скорости ветра У. ^) мы сталкиваемся с двумя обстоятельствами. Во-первых, часто эти измерения производятся на ограниченных отрезках времени, которые отличаются от периода функции У. ^) . Во-вторых, обычно эти измерения дискретны с постоянным и большим шагом по времени.

42

International Scientific Journal for Alternative Energy and Ecology № 12 (152) 2014

© Scientific Technical Centre «TATA», 2014

ISJJlil

V

срмес „ /то/

Кргод = 6,9 м /с

- Караби-Яйла • Маточкин Шар

6 8 10 месяц

У„

V„o* = 5,9 м / с

- Вологда -Ай-Петри

- Луганск Волгоград

V„

срмес VcpoOÔ = 4,8м/с

3 10 12

месяц

- Гдов Керч

- Киров

- Петрозаводск

4

8 10 12 месяц

9

7

8

6

7

5

6

4

5

4

3

3

2

2

0

0

Рис. 4. Изменение среднемесячной скорости в течение года Fig. 4. Average monthly speed modification for a year

1.2 Об определении коэффициентов Фурье функции Ую (/) на отрезке времени Т, который не согласуется с основным периодом

Как периодическая функция, функция Ую ) имеет на границах периода Тс одинаковые значения самой функции и всех ее производных. В этом случае величины коэффициентов ак и Рк её ряда Фурье зависят от природных явлений, формирующих функцию У, (?) . Рассмотрим последствия того, что при представлении результатов измерений скорости

ветра чаще всего используются отрезки времени, которые не согласуются с основным периодом функции у, ).

Пусть на произвольном отрезке времени 0 < t < Т Ф Та представлена функция УТ ) как часть функции Ую ). Теория рядов Фурье утверждает, что такую функцию можно разложить в ряд по синусам. Для построения ряда Фурье непериодической функции по синусам необходимо продолжить её в область 0 < ? <-Т как нечетную функцию. Такое периодическое продолжение непериодической функции УТ ) показано на рис. 5.

V (t )

- Jv (-t )

V (t )

vL (t ) = y + kvt

t

Рис. 5. Преобразование изменения скорости по времени Fig. 5. Transformation of speed time-modification

Новая периодическая функция на обеих границах короткого периода Т имеет разрывы ДУ первого

рода. Из теории рядов Фурье следует, что указанные разрывы вносят в величины коэффициентов возму-

isiaee

Международный научный журнал «Альтернативная энергетика и экология» № 12 (152) 2014 © Научно-технический центр «TATA», 2014

43

щения, которые замедляют сходимость ряда Фурье к порождающей его функции. С целью уменьшения влияния этих разрывов необходимо предпринимать некоторые специальные мероприятия.

Для разложения по синусам известен эффективный прием ускорения сходимости ряда Фурье [1-3]. Далее следует описание этого приема.

Определим функцию уУ (0 как разность

Использование этого приема при аппроксимации измерений скорости ветра состоит в том, что исходными данными вместо дискретных значений скорости У. (^), I = 0,1,2,..., N служат дискретные значения у следующей разности функций:

У. = У. ) - Ух (^) = £Ьк ьт.(кя^ / Т)

уу ($) = Ут Ц) - Ух Ц).

Участвующие в рассматриваемом преобразовании функции показаны на рис. 5. Линейная функция Уь ) проходит через граничные точки функции Ут ^) с координатами (0, У0) и (Т, УN) . Функция уУ (0 , показанная на этом рисунке пунктирной линией, на границах периода имеет одинаковые нулевые значения, и ее периодическое продолжение не имеет разрывов на границах периода. Ряд Фурье сходится к такой функции равномерно и быстро. Его коэффициенты убывают по асимптотическому закону Дк ~ 1/к3.

1.3 Аппроксимация дискретных значений функции У. ^) на равномерной сетке времени

Проиллюстрируем связь коэффициентов Фурье и коэффициентов аппроксимирующего многочлена на примере двух функций, коэффициенты Фурье которых убывают с различной скоростью. На рис. 6 показаны графики таких функций, которые изменяются в интервале 0 < t < 1. Одна из них - линейный отрезок. Коэффициенты Фурье этого отрезка определяются формулой

Д = (-1)к+х/(пк).

Вторая функция имеет нулевые значения на границах интервала:

у (7) = 7 (1 - 7)(1 - 37 -72).

Её коэффициенты Фурье определяются следующей формулой:

м, - е -

а. И

Ограниченное количество дискретных данных не позволяет вычислить все коэффициенты бесконечного ряда Фурье и вычислить их точным интегрированием. В этом случае для оценки коэффициентов Фурье используется аппроксимация тригонометрическим многочленом. В монографии [1] показано, что если коэффициенты тригонометрического многочлена определяются методом наименьших квадратов по дискретным значениям функции

y (xi), i = 0,1,2,..., N , которые заданы на равномерной сетке аргумента, и число точек (N +1) становится бесконечно большим, то коэффициенты Ьк многочлена стремятся к коэффициентам ряда Фурье функции y (x). Если используется разложение только по синусам, то

- при бесконечном увеличении числа точек задания функции y (x,) lim Ьк = ßk;

N

- прием ускорения сходимости сохраняет свою эффективность и для аппроксимирующего многочлена.

Ä =

8(2 + cos кя) + 24 cos кя 48(1 - cos кя)

(кя)3

(кя)5

По дискретным значениям этих функций при вариации числа точек определены коэффициенты аппроксимирующего многочлена Ьк. На рис. 6 показано изменение отношения Ьк / Д. с ростом индекса к. На графиках пунктирной линией ограничена область 1 < Ьк / Дк < 0,95 , внутри которой сравниваемые коэффициенты отличаются менее чем на 5%. Из графиков видно:

1. Увеличение скорости сходимости ряда Фурье при заданной величине отношения сравниваемых коэффициентов приводит к увеличению числа коэффициентов, лежащих в заданной области малых различий сравниваемых коэффициентов.

2. Увеличение числа дискретных значений, которыми задается функция для аппроксимации многочленом Фурье на равномерной сетке аргумента, также приводит к увеличению числа коэффициентов, лежащих в области малых различий.

I

Ol

3

к =1

International Scientific Journal for Alternative Energy and Ecology № 12 (152) 2014

© Scientific Technical Centre «TATA», 2014

У = t

i

0,8 ■ 0,6 ■ 0,4 0,2 0

y = t (1 -1 )(1 -31 -12)

0 0,2 0,4 0,6

bk / A

1 -14

0,8 0,6 0,4 0,2 0

0 -0,1

1 -0,4

bk / A

t ^

0 0,2 4 0,6 0,8 1

30 40 k 50

0,4 0,2 0

N = 5 10 20 50

Рис. 6. Сравнение коэффициентов ряда и многочлена Фурье Fig. 6. Comparison of series factor coefficients and Fourier polynomial

По дискретным значениям этих функций при вариации числа точек определены коэффициенты аппроксимирующего многочлена Ьк. На рис. 6 показано изменение отношения Ьк / Рк с ростом индекса к. На графиках пунктирной линией ограничена область 1 < Ьк / Рк < 0,95, внутри которой сравниваемые коэффициенты отличаются менее чем на 5%. Из графиков видно:

1. Увеличение скорости сходимости ряда Фурье при заданной величине отношения сравниваемых коэффициентов приводит к увеличению числа коэффициентов, лежащих в заданной области малых различий сравниваемых коэффициентов.

2. Увеличение числа дискретных значений, которыми задается функция для аппроксимации многочленом Фурье на равномерной сетке аргумента, также приводит к увеличению числа коэффициентов, лежащих в области малых различий.

1.4 Информация о высокочастотных

гармониках в дискретных значениях скорости ветра

Когда функция Ую (/) представляется дискретными точками, складывается впечатление, что спектр высоких частот с меньшим, чем А t, периодом, не представлен в результатах измерений. Рассмотрим последствия дискретного представления функции У, У) дискретными точками более подробно.

В монографии [1] приведена следующая формула, которая в явном виде даёт связь между коэффициентами аппроксимирующего многочлена, определяемого по дискретным значениям функции, и коэффициентами ряда Фурье.

Ьк = Л + (Р2^к - Р2N-к ) + (Р4^к - Л) +

+(РбN +к — РбN-к ) + (ЛN+к — РШ-к ) ".

Из этой формулы следует, что при представлении результатов измерений функции Ую (/) дискретными значениями на сетке времени с постоянным шагом А t информация о высокочастотных гармониках не исчезает. При аппроксимации этих данных тригонометрическим многочленом коэффициенты высокочастотных гармоник бесконечного ряда Фурье входят в величину соответствующих коэффициентов аппроксимирующего многочлена.

Наиболее ярко влияние высоких частот ряда Фурье на коэффициенты аппроксимирующего многочлена Ьк проявляются на примерах, когда ряд Фурье сходится медленно. На рис. 7 дается сравнение коэффициентов ряда и многочлена, которые аппроксимируют линейную функцию и(/) = t. Сравнение показывает, что влияние бесконечно большого количества высоких частот ряда Фурье наиболее сильно сказалось на коэффициентах многочлена со значением индекса к , величина которого приближается к величине N.

0,8

0,6

ISJJlli

Международный научный журнал «Альтернативная энергетика и экология» № 12 (152) 2014 © Научно-технический центр «TATA», 2014

45

ßk, К

0.4

0.3 0.2 0.1 0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4

9

N=20

*Р§

.I.'

.10«

k 25

• bk - O - ßk Фурье

Здесь 1 < к < N. Для низкочастотных гармоник т = 0. Для высокочастотных гармоник

т = 1,2,3.....со . В реальном ряде Фурье введенные в

функцию ыАВ (t) высокочастотные гармоники располагаются по обе стороны от гармоники у2ты (t) = Р2ты sin(2mN^t), что указывается в индексах коэффициентов Д. Индекс к характеризует так же слагаемые аппроксимирующего многочлена, т.к. для многочлена тоже 1 < к < N .

Для рассматриваемой функции м4Х (t) точное выражение для среднего значения даётся формулой

1

: { u,s (t ) d

"T „,* I '2ß2mN+k . t = UmT +---+

cpT Tt(2mN + k )

Рис. 7. Коэффициенты функции u(t ) = t Fig. 7. Function u(t ) = t coefficients

2 Влияние непредставительности дискретных значений функции (t ) на величину интегралов ветроэнергетики.

2.1 Математическое моделирование свойств непредставительных дискретных данных об изменении скорости ветра по времени

Исследование будем проводить на модельной функции u4S (t ), состоящей из двух слагаемых,

u4S (t) = u* (t) + A u(t).

В качестве слагаемого u*(t ) мы будем использовать функцию

u*(F) = 27(1 - Г)2 +14.

Коэффициенты многочлена, аппроксимирующего функцию u*(t ) , будем обозначать b*(k) . Для функции u4(t ) точно вычислено её среднее значение u*pT = 11/30 = 0,36666666.

Слагаемым A u (t ) будем моделировать различные гармоники ряда Фурье. При исследовании индивидуальных особенностей непредставительных данных для высокочастотных гармоник будем задавать функцию u4S (t ) на равномерной сетке времени дискретными точками u4S ( tt ). Для исследований тригонометрическое слагаемое удобно представить в следующем виде:

A u (t ) = PlmN-k sin[(2mN - k)жТ] + +PimN+k sin[(2mN + k)лТ].

+__2ß2mN±_= u* + ки

f, Ы J \ UcpT UcpT •

7T(2mN - k)

Добавку от тригонометрической части к среднему

*

значению псрТ можно выразить через сумму и раз-

ность коэффициентов ß :

AUcpT =

tTN

2m(ß2mN+k + ß2mN-k ) +

4m2 - (k / N)2

+ (k / N)(ß2-ßlmN-k )

4m2 - (k / N)2

В этих формулах к - нечетное число. Не трудно заметить, что при возрастании величины т , когда рассматриваемая пара высокочастотных гармоник все более и более удаляется от первых

N членов ряда Фурье, справедлив следующий предел:

lim upT = U*pT .

Отметим, что при четных значениях к всегда

исрТ = иср ■

При расчете дискретных значений на равномерной сетке времени с тригонометрическим выражением Аи(t) происходит удивительная метаморфоза, которая проявляется при подстановке ^ =. / N При

этой подстановке после несложных преобразований тригонометрическое слагаемое приводится к виду

А ) = (Д2тМ+к - Д2тИ-к ) вШ кЧ .

Т.е. дискретные значения функции Аи(^) которая содержит либо пару высокочастотных гармоник с индексом 2mN ± к, либо одну из них, на равномерной сетке соответствуют дискретным значениям

м, - е -

а. И

I ta

з

International Scientific Journal for Alternative Energy and Ecology №12 (152) 2014

© Scientific Technical Centre «TATA», 2014

2

одной низкочастотной гармоники с индексом

1 < к < N.

Представленная математическая модель позволяет исследовать различные виды непредставительности дискретных данных. Начнем рассмотрение влияния высокочастотных гармоник ряда Фурье на точность вычисления среднего значения с особого частного случая, когда их индекс кратен числу N.

2.2 Высокочастотные гармоники с индексом

mN

Рассматриваемые гармоники на равномерной сетке времени ^ = I / N не проявляют себя в заданных на этой сетке дискретных значениях, т.к.

УтМ ) = РтМ 5Ш(т^/ ) = 0 .

На рис. 8 показано типичное для рассматриваемого случая изменение модельной функции

иАБ (7) = и* (7) + Ртм ып^яТ).

cpT

= { Ks (t) + ßmN sin(mN к t)] dt = uCp +

KmN'

u4 (t) = 21 (1 -1 )2 +14 + ß sin(15Kt)

1 -i

0.8 ■ 0.6 ■ 0.4 ■ 0.2 ■ 0

О Ul5 (t"Xßl5 = 0,1 — Аппро4симация Nk = N -1

У15 (1~)

Рис. 8. Непредставительные данные о функции y15 (t ) Fig. 8. Unrepresentative data about y15 (t ) function

Функция при значении mN = 15 со значениями параметров ß15 = 0,1 и N = 5 задана дискретными точками на сетке с шагом Д 7 = 1/ N = 0,2. Из графика видно, что эти точки не дают представления о синусоидальном слагаемом задаваемой функции.

Тонкой линией с точками здесь показан результат аппроксимации заданных дискретных значений функции тригонометрическим многочленом. Коэффициенты Ьк многочлена при значении индекса k < N оказались равны коэффициентам многочлена, аппроксимирующего функцию u*( t).

Интегрированием определяем точное значение средней скорости.

где mN - нечетное число.

На рис. 9 показано изменение вклада рассматриваемых высокочастотных гармоник в среднее значение скорости при значении РтМ = 0,1.

и Т / и*

срТ ср 1.02^

1.015

1.01 «

1.005 •

1

Рис. 9. Вклад гармоник mN в ucp Fig. 9. Input of mN harmonics in up

Из графика видно, что вклад каждой из рассматриваемых гармоник (при заданном значении произведения mN) в среднее значение функции невелик. С увеличением произведения mN довольно быстро уменьшается. Однако, как уже отмечалось, окончательное суждение о вкладе всех гармоник бесконечного ряда Фурье в величину среднего значения можно сделать, зная все коэффициенты этого бесконечного ряда. Таким образом, первый вид непредставительности дискретных значений при четном значении произведения mN не сказывается на величине среднего значения и поэтому up = up. При нечетном значении произведения mN первый вид непредставительности дискретных значений ведет к ошибке в определении среднего значения функции как при использовании правила трапеций, так и при интегрировании аппроксимирующего многочлена.

2.3 Высокочастотные гармоники с индексом

2mN ± 1

Для рассматриваемого случая функция u4S (t) имеет следующий вид:

uAS (7) = u* (7) + ß2mN_1 sin[(2mN -1)^7] + +ßi mN+1 sin[(2mN +1)^7].

Результаты расчетов функций Дu(t), u4S (t), u* (t) и их дискретных значений при N = 10 и m = 1

ISJÄil

Международный научный журнал «Альтернативная энергетика и экология» № 12 (152) 2014 © Научно-технический центр «TATA», 2014

47

показаны на рис. 10. Из графиков функций Д и(/) видно, что для рассматриваемых высокочастотных гармоник дискретные данные не являются представительными. Такие данные образуют второй вид непредставительности дискретных значений функции. Последствия такой непредставительности зави-

сят от коэффициентов Д2тМ+1 и , т.к. дискрет-

ные значения тригонометрической части рассматриваемой функции и4Х (/) определяются формулой

Д и(%) = (Дтд,+1 - ЛтМ-1 ) вШ Л%.

А u

0,2 0,15 0,1 0,050

-0,05 i 0 -0,1 -0,15 -0,2 -i

- Аи(t)

ам(т;) 1

К

0,25-i 0,2 ■ 0,15 0,1 0,05 0

-0,05 0 -0,1 -0,15 -0,2 -0,25

ß2mN+1 = 0,1

ß2mN-1 = - 0,1

u 1

0,8 0,6 0,4 0,2 0

и45( + ), 3 = 10 ■ Аппроксимация U4S(~) u4(t")

0,2 -I

0,15 ■ 0,1 ■ 0,05 0

-0,05 J -0,1 ■ -0,15 -0,2

0,2 -I

0,15 ■ 0,1 ■ 0,05 0

-0,05 J1 -0,1 ■ -0,15 -0,2

Au(t) Au(TN 1

A u(t) Au(NJ)

bk 0,25 0,2 0,15 0,1

-0,1 -0,15 -0,2 -0,25

uk 0,25

-0,45

ß

2mN+1

= 0,1

ß2mN-1 = 0,1

1)246 8 k 10

1.......К —е—К

ß2mN+1 = - 0,1

I ß2mN-1 = 0,1

fir

4 6 8 k10

• I • - - bk*

]i bh

u 1,2 1 ■

0,8 0,6 0,4 0,2 ■

-0,2

. u4S (t i ), N = 10 —■— Аппроксимац ия

-u4S (t)

u*4(T)

0

Рис.10. Влияние коэффициентов / на представительность дискретных данных о функции u4S (t ) Fig. 10. Factors / influence on representative discrete data about u4S (t ) function

Рассмотрим три случая соотношения коэффициентов /2mN+1 и /mN-i, которые показаны в таблице 1.

48

International Scientific Journal for Alternative Energy and Ecology № 12 (152) 2014

©

itive Energy and Ecology № 12 (152) 2014 i n : 7 \ \ ;=>[ H

Scientific Technical Centre «TATA», 2014 J! )/ r,.\l Hl H

Таблица 1 Соотношение коэффициентов

Table 1 Coefficients ratio

Рассмотрим влияние такой непредставительности дискретных данных на среднее значение функции иАВ (t). Так как величины к = 2шЫ ± 1 - всегда нечетные, величина средней скорости будет

ß2mN+1 = 0,1 ß2mN-1 = -0Д ß2mN+1 = 01 ß2mN-1 = 0,1 ß2mN+1 = - 0,1 ß2mN-1 = 0,1

Д u (t¡ ) 0,2 sin ttIÎ 0 -0,2 sin ntt

ucpT = ucpT +

Указанные виды функции Ди(^.) являются следствием изменения коэффициентов Ьк (к) аппроксимирующего многочлена, которые показаны в середине рис. 10. Здесь видно, что относительно аппроксимации функции и* ^) произошло изменение только коэффициента Ь1 точно на величину разности коэффициентов (Дшу+1 -Дшм-1). Поэтому непредставительные данные рассматриваемой функции иАВ (t) восприняты как представительные данные для функции

и (О = и* (О + (Д2шМ+1 - РгшМ-1) 81П п7.

ПРи значениях Д2шм+1 = 0,1 и Р2шМ-1 = - 0,1 дискретные значения функции Д и(^.) определяются формулой

Д и( ) = 0,2 бШ я%.

Как видно из графиков на рис. 10, непредставительные дискретные значения функции иА8 (t), которые обозначены крупными черными точками, в рассматриваемом случае расположились существенно выше дискретных значений функции и*(t). Аппроксимирующий эти черные точки многочлен так же далеко отстоит от функции и* (Г).

При значениях коэффициентов

Р2 шМ+1 = Р2 шМ-1 = 0,1 дискретные значения Д и (\') = 0. В то же время функция Д и (^) - это осциллирующая функция. Дискретные значения функции иА8 (^) в рассматриваемом случае совпадают с дискретными значениями функции и*^).

При значениях коэффициентов Р2шМ+1 = - 0,1 и Р2шМ-1 = 0,1 дискретные значения функции Д и (t) равны - 0, 2бш ттТ. .

Непредставительные дискретные значения функции иАВ (^) в этом случае расположились ниже дискретных значений функции и* ^).

tTN

2m(ßmN+l + ßmN-l) , (1/ Nß+l - ßmN-l)

4m2 - (1/ N)2

4m2 - (1/ N)2

Рассмотрим результат расчета средней скорости для дискретных значений функций uAS (t), которые показаны на рис. 10. Здесь N = 10 и m = 1, и функция uAS (t) имеет вид

uAS (t) = u*s (t) + Д9 sin(19nt) + Д21 sin(21 nt).

Гармоники с индексами 19 и 21 - высокочастотные гармоники и N +1 = 11 дискретных значений для неё непредставительны.

Результаты расчетов точных значений средней скорости при различных сочетаниях коэффициентов Р и значений средней скорости, которые вычислены по непредставительным дискретным значениям, приведены в таблице 2.

Таблица 2

Влияние Р19 и Р21 на значения средней скорости

Table 2

Influence coefficients Р19 и Р21 on the average speed N=10 m = 1

ßl9 = - 0,1 ß2l = 0,1 ßl9 = 0,1 ß2l = 0,1 ßl9 = 0,1 ß2l = - 0,1

ucpT 0,366348 0,373049 0,366986

ucpМн / ucpT 1,349 0,983 0,652

ucpTp / ucpT 1,35 0,987 0,66

Сравнение данных в верхней строке таблицы показывает, что при рассмотренных вариациях коэффициентов Р точные значения средней скорости изменяются очень незначительно. В то же время (,) при представлении функции иА8 (^). N +1 = 11 дискретными значениями ошибка в средней скорости зависит от сочетаний коэффициентов р. При значениях Р19 = Р21 = 0,1 эта ошибка составляет около 1,3-1,7%. На рис. 10 этот случай соответствует находящемуся в середине горизонтальному ряду графиков. При различных знаках коэффициентов Р. ошибка в определении средней скорости составляет около 35%. На рис. 10 эти погрешности соответствуют верхнему и нижнему горизонтальным рядам графиков. Различие средних скоростей исрМн и исрТр

ISJÄ11

Международный научный журнал «Альтернативная энергетика и экология» № 12 (152) 2014 © Научно-технический центр «TATA», 2014

49

от скорости исрТ необходимо рассматривать как погрешность, вызванную непредставительностью дискретных значений скорости.

При всех значениях параметра ш дискретные значения функции иА5 (t) будут определяться одной формулой

и45 (О = и* (Т, ) + (Р2шМ+1 - Р2шМ-1 ) ЭЬ Я%

Это означает, что погрешность в величине средней скорости от рассматриваемой непредставительности дискретных значений будет приблизительно определяться следующей формулой:

Дм

1

J (ßlmN+1 -ß2 mN-l)Sm(^ ) dt =

ср ' I V Г2шМ+1 0

= 2(Р2mN +1 - Р2mN-1 ) Я

При независимых от индекса ш величинах коэффициентов Р эта погрешность практически одинаково большая для пары гармоник, расположенных как в начале ряда Фурье при значениях ш = 1, так и далеко в его бесконечно удаленной части, когда ш >> 1.

2.4 Высокочастотные гармоники с индексом

2шМ ± (N -1)

Исследование влияния непредставительности дискретных значений этих гармоник проведем при значении N = 10 . В этом случае функция иА5 (^) имеет следующий вид:

иА5 (О = и* (О + Р20ш-9 ят[(20да - 9)я7] + +Р20ш+9 зт[(20ш + 9)я7].

риваемых высокочастотных гармоник эти данные не являются представительными и образуют третий вид непредставительности дискретных значений функции. Как и прежде, последствия этой непредставительности зависят от соотношения коэффициентов Р2шN+9 и Р2шМ-9 При различных знаках коэффициентов Р2шМ+9 и Р2шМ-9 замена знаков на противоположные приводит к зеркальному отображению дискретных значений функции Д и(^).

Из графиков изменения коэффициентов Ьк (к) видно, что при аппроксимации этих непредставительных данных относительно аппроксимации функции и*^) произошло изменение только коэффициента Ь9 именно на величину разности коэффициентов (Р2шМ+9 - Р2шМ-9).. Из этого следует, что эти непредставительные данные восприняты как представительные (данные) для функции

иА5 (Т) = и* (Т) ± (Р2шМ+9 - Р2шМ-9 ) «Ш 9яТ.

При равенстве коэффициентов ß2i

и ß2,

дискретные значения Д и(t) = 0.. Дискретные значения функции иА5 ^) в этом случае совпадают с дискретными значениями функции и* (Г), и коэффициенты аппроксимирующего эти дискретные данные многочлена равны коэффициентам многочлена, который аппроксимирует дискретные данные функции и* (7).

Рассмотрим влияние этой непредставительности дискретных данных на величину среднего значения функции иА5 (^). Для нечетных значений индексов 2шN ± (N -1) = 2шN ± 9 точная величина среднего значения для рассматриваемых гармоник будет

Теперь дискретные значения тригонометрической части функции иА5 (t) даются формулой

Д и Ф = (Р20 ш+9 Р20 ш-9)Б^П9яТ> = 0.

Как и ранее, будем считать, что коэффициенты имеют одинаковые абсолютные значения Р2„N+»1 = |Р2шN-^ = 0,1 и рассмотрим три случая соотношения этих коэффициентов.

Результаты расчетов точных функций Д и (^),

иА5^), и*^) и их дискретных значений при N = 10 и ш = 1 показаны на рис. 11.

При различных знаках коэффициентов Р дискретные значения функций Д и (^) разбросаны по обе стороны оси абсцисс. В этом случае дискретные значения не воспроизводят сложного изменения ни функции Д и^), ни функции иА5 ^). Для рассмат-

UcpT = UcpT +

tTN

2m(ß2 mN +9 + ß2

4m2 - (9/ N)2

■2mN-9) + (1/ N)(ß2mN+9

ß2mN-9 )

4m2 - (9/ N)

Рассмотрим результат расчета средней скорости при ш = 1. В этом случае функция иА5 (^) имеет вид

иА5 (t ) = и(? ) + Рп я1п(1 \Я1 ) + +Р9 бш(29ЯГ).

Гармоники с индексами 11 и 29 - высокочастотные гармоники и N +1 = 11 дискретных значений для неё непредставительны. Результаты расчетов точных значений средней скорости при различных сочетаниях одинаковых по модулю коэффициентов Р и значений средней скорости, которые были вычислены по непредставительным дискретным значениям, приведены в таблице 3.

50

International Scientific Journal for Alternative Energy and Ecology № 12 (152) 2014

© Scientific Technical Centre «TATA», 2014

ISJJlil

Таблица 3

Влияние Рп и Р29 на значения средней скорости

Table 3

Influence coefficients рп и Р29 on the average speed

Сравнение данных, приведенных в верхней строке таблицы, показывает, что при рассмотренных вариациях коэффициентов р точные значения средней скорости изменяются очень незначительно. В то же время при представлении функции ыАВ (t) N +1 = 11 дискретными значениями появляется ошибка в величинах средней скорости. Она зависит от сочетаний коэффициентов р и способа интегрирования дискретных значений функции ыАВ (t¡).

N=10 m = 1

Р11 = - 0,1 Р29 = 0,1 Р1 = 0,1 Р29 = 0,1 Р1 = 0,1 Р29 = - 0,1

ИсрТ 0,363074 0,374649 0,370259

Иср Мм / ИсрТ 1,049 0,979 0,952

ИсрТр / ИсрТ 1,023 0,983 0,986

А И

0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0

-0,05 0 -0,1 -0,15 -0,2 --0,25

Ам(0

Аи()г)

"к 0,25 -i 0,2 ■ 0,15 ■ 0,1 ■ 0,05 ■ 0

-0,05 -0,1 ■ -0,15 ■ -0,2 ■ -0,25

8 к 10

И 1,2 1

0,8 0,6 0,4 0,2 0 -0,2

• M45(t¿), Л= = 10

-Аппроксимация

- «4S (О

И* (Г)

0,2 0,4

°,8 Т

АИ 0,2 ■ 0, 1 5 ■ 0,1 0,05 0

-0,05 -0,1 ■ -0,15 -0,2

Аи (t)

А и()г)

к

0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0

-0,05 ■ I -0,1 -0,15 -0,2 -0,25

2mN+9

= 0,1 = 0,1

1 0,8

» № ■ 0,6

6 8 к 0 0,4

К 0,2

ък 0

. и4+(/д Л1 = 10

- Аппроксимация

- И45(7)

° и4(t)

t 1

И

Рис.11. Влияние коэффициентов Р на представительность дискретных данных о функции u4S (t) Fig. 11. Factors Р influence on representative discrete data about u4S (t) function

ISJJlii

Международный научный журнал «Альтернативная энергетика и экология» № 12 (152) 2014 © Научно-технический центр «TATA», 2014

51

При одинаковых значениях Р19 = Р21 = 0,1 эта ошибка составляет около 2% при обоих рассмотренных способах интегрирования дискретных значений. На рис. 11 этот случай соответствует расположенному посередине горизонтальному ряду графиков. При различных знаках коэффициентов Р ошибка в определении средней скорости составляет около 2-5% в зависимости от метода интегрирования. На рис. 11 эти погрешности соответствуют верхнему и нижнему горизонтальным рядам графиков.

Различие средних скоростей ирМн и исрТр от

скорости исрТ необходимо рассматривать как погрешность, вызванную непредставительностью дискретных значений скорости.

При всех значениях параметра ш дискретные значения функции иА5 (t) будут определяться одной формулой

U4S (t) = ) + (ß2,

ß2mN-1 ) Sin knti.

Это означает, что погрешность в величине средней скорости от рассматриваемой непредставительности дискретных значений будет приблизительно определяться следующей формулой:

Ди„

ß2 mN-k )sin(k^t) dt =

= 2(Р2mN +к Р2mN-к )

кя

В силу того, что величина исрТ с увеличением параметра ш быстро стремится к величине и*рТ, эта

погрешность практически не зависит от параметра ш.. Она практически одинакова для пары гармоник, расположенных как в начале ряда Фурье при значениях ш = 1, так и далеко в его бесконечно удаленной части, когда ш >> 1.

Заметим, что в рассматриваемом случае погрешность от непредставительности дискретных данных значительно меньше, чем в предыдущем случае, когда рассматривались высокочастотные гармоники с индексом 2шN ± 1.

3. Пример оценки значений средней скорости ветра и мощности воздушной струи по непредставительным дискретным значениям функции У* (Г)

В 1957 году, обосновывая работу [5] «Методика определения параметров ветроэнергетических расчетов ветросиловых установок», Е.М.Фатеев писал: «...Зная действительную картину суточного хода энергии ветра и её связь со среднесуточной скоростью ветра, которая определена по почасовым измерениям, можно пользоваться этими данными и

для других пунктов с такими же географическими и климатическими условиями, где имеются сведения о средних скоростях ветра по 3 или А-разовым наблюдениям скоростей ветра. Расхождения при этом будут весьма незначительные. Например, по исследованиям Г.А. Гриневича, средние скорости ветра по А-разовым записям отличаются от скоростей ветра по 2А-разовым записям на один - три процента».

Результатом работы [5] является метод расчета производительности ветродвигателя. Опираясь на приведенное предположение, Е.М. Фатеев рассчитывал на достоверность расчетов энергии ветродвигателей по создаваемому методу. Аналогичный метод оценки производительности ВЭУ был в США и Западной Европе. В настоящее время фирмы, производящие рыночные ВЭУ, не используют такой метод для оценки производительности ветроустановок. По-видимому, недостоверность таких расчетов вынудила их организо(вы)вать ветромониторинг мест установки ВЭУ.

Графики на рис. 1 убедительно иллюстрируют непредставительность измерений скорости ветра на метеостанциях. В связи с этим возникает вопрос о достоверности предположения Фатеева Е.М. о том, что действительные энергетические характеристики ветра можно оценить по недостоверным 3-А разовым наблюдениям скоростей ветра в сутки.

Почасовые измерения скорости, которые приведены в работе [5], позволяют построить дискретные значения суточных функций У* (Г) на сетках с различным шагом по времени. Мы будем рассматривать в дополнение к сетке Д t = 1 час сетки с шагом Д t = 2, Д t = А и Д t = 8 часов. Примеры на рис. 12-13 показывают, как при изменении непредставительности данных на этих сетках изменяется точность оценок величин средней скорости ветра и мощности воздушной струи. На графиках функций У* (Г) и V* (Г) тонкими линиями показаны тригонометрические многочлены, интерполирующие заданные дискретные данные.

На рис. 12 вначале обратим внимание на графики, соответствующие шагу времени Д г = 8 часов. Видно, что построенные по четырем дискретным значениям эти функции смещены вниз относительно «точных» почасовых значений, что характерно для непредставительности дискретных значений второго вида. Поэтому при шаге времени Д Г = 8 часов значение средней скорости ветра отличается от точного значения на 20%, а мощности - на 50%. Это большие отличия. Из графиков функций У(ДГ)/ У(2А) и Ж (ДГ)/ Ж (2А) видно, что в рассматриваемом примере уменьшение шага времени до значений Д Г = А часа и Д Г = 2 часа уточняет величины средней скорости и средней мощности. Расположенные в левой

International Scientific Journal for Alternative Energy and Ecology №12 (152) 2014

© Scientific Technical Centre «TATA», 2014

части рис. 12 графики показывают, что здесь интерполирующие дискретные значения с шагом А Г = 2

часа функции У3 (Г) и У3(0 располагаются почти

посередине между почасовыми измерениями. Это сразу повысило точность определения средних значений скорости и мощности.

V(t) -o—dt = 2часа

16 < — измерения

14.

12.

10. 1 1 Як

•fir ■ Я

8. <§г ®

6.

4<

2< t час

45 50 55 60 65 70 75

1.2 1

0.8 0.6 0.4 0.2 0

■ V(()/V(24)

■ W(()/W(24)

dt час

V(t)

16 14 12 10 8 6 4 2 0

45

■

50

•dt = 8часов - измерения

■

55

■

60

■

65

t час

70

Рис. 12. Измерения скорости ветра в третьи сутки Fig. 12. Wind speed metering on the third day

На рис.13 показан второй пример изменения скорости ветра Vm (t).

V(t)

12 10 8 6 4 2 0

' dt=44 а са измерения

t [час]

■ ■■■■■

20 25 30 35 40 45 50

1.2 1

0.8 0.6 0.4 0.2 0

' í/(Aí)/F(24) W(A)/ W(24)

dt [час] ■ ■ ■

6

V(t)

12 10 8 6 4 2 0

20

измерения ■ dt=8часов

■

25

■

30

■

35

■

40

t [час] i

45

Рис. 13. Измерения скорости ветра во вторые сутки Fig. 13. Wind speed metering on the second day

Здесь, при шаге времени А Г = 8 часов, определенные по четырем дискретным значениям величины средней скорости и средней величины куба скорости очень хорошо соответствуют их точным значениям. Это связано с тем, что интерполирующие дискретные значения с шагом А Г = 8 часов функции У3 (Г)

и У3 (Г) располагаются почти посередине между почасовыми измерениями, что соответствует непредставительности первого вида и обеспечивает небольшую погрешность определения средних значений. В то же время из графика функций У(АГ)/ У(24) и Ж(АГ) / Ж(24) видно, что уменьшение шага времени ухудшает точность определения искомых значений.

Интерполирующие дискретные значения с шагом А Г = 4 часа функции У3 (Г) и ) оказались смещенными вниз относительно почасовых измерений, как при непредставительности дискретных значений второго вида.

Приведенные примеры показывают, что при изменении шага времени может меняться вид непредставительности дискретных значений интегрируемых функций.

На рис. 14 представлены функции У(АГ) / У(24) и Ж (АГ)/ Ж (24) для десяти случаев изменения суточной скорости ветра.

iSJJlii

Международный научный журнал «Альтернативная энергетика и экология» № 12 (152) 2014 © Научно-технический центр «TATA», 2014

53

1.2 1.1 1

0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4

- Vcp/Vcp1

- Wcp/Wcp1

1.2 1.1 1

0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4

1.2 1.1 1

0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4

1.2 1.1 1

0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4

1.2 1.1 1

0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4

- Vcp/Vcp1

- Wcp/Wcp1

1.2 1.1 1

0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4

1.2 1.1 1

0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4

1.2 1.1 1

0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4

Рис. 14. К(Д)/К(24) и W(A)/W(24) Fig. 14. К(Д)/К(24) and W(&)/W(24)

В верхнем ряду располагаются примеры, когда при вариации сетки дискретных значений предположение Е.М. Фатеева, что «средние скорости ветра по А-разовым записям отличаются от скоростей ветра по 2А-разовым записям на один - три процента» выполняется. В нижнем ряду располагаются примеры, когда при непредставительных 3-А разовых измерениях в сутки измеренные скорости ветра плохо соответствуют почасовым измерениям. Показанные примеры доказывают, что предположение Фатеева Е.М. о возможности достоверного прогноза энергии воздушной струи по непредставительным 3-А разовым измерениям в сутки представляется не обоснованным.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 12-08-01076-а.

Список литературы

1. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. М.: Наука, 1966. А6А с.

2. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа. Справочное руководство. М.:ГИФМЛ, 1961.

3. Хемминг Р.И. Численные методы для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1972. 399 с.

А. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и её приложения. М.: Мир, 1972. 318 с.

5. Старков А.Н., Ландберг Л., Безруких П. П., Бо-рисенко М. М. Атлас ветров России. М.: Можайск-Терра, 2000. 560 с.

6. Рекомендации по определению климатических характеристик ветроэнергетических ресурсов. ГГО

им. А.И. Воейкова. НПО «Ветроэн». Л.: Гидрометео-издат, 1989. 80 с.

7. Николаев В.Г., Ганага С.В., Кудряшов Ю.И. Национальный кадастр ветроэнерге-тических ресурсов России и методические основы их определения. М.: Атмограф, 2008. 58A с.

8. Фатеев Е.М. Ветродвигатели и их применение в сельском хозяйстве. М.: Машгиз, 1957.

References

1. Berezyn Y.S., Zhydkov N.P. Metodyh vyhtchyslenyj. M.: Nauka, 1966. A6A s.

2. Lantsosh K. Praktytcheskye metodyh prykladnog-ho analyza. Spravotchnoe rukovodstvo. M.:GHYFML, 1961.

3. Khemmyngh R.Y. Tchyslennyhe metodyh dlja nautchnyhkh rabotnykov y ynzhenerov. M.: Nauka, 1972. 399 s.

A. Albergh Dhzh., Nyljson Eh., Uolsh Dhzh. Teoryja splajnov y ejo prylozhenyja. M.: Myr, 1972. 318 s.

5. Starkov A.N., Landbergh L., Bezrukykh P. P., Bo-rysenko M. M. Atlas vetrov Rossyy. M.: Mozhajsk-Terra, 2000. 560 s.

6. Rekomendatsyy po opredelenyju klymatytcheskykh kharakterystyk vetroehnerghetytcheskykh resursov. GHGHO ym. A.Y. Voejkova. NPO «Vetroehn». L.: Ghy-drometeoyzdat, 1989. 80 s.

7. Nykolaev V.GH., Ghanagha S.V., Kudrjashov JU.Y. Natsyonaljnyhj kadastr vetroehnerghetytcheskykh resursov Rossyy y metodytcheskye osnovyh ykh opredelenyja. M.: Atmoghraf, 2008. 58A s.

8. Fateev E.M. Vetrodvyghately y ykh prymenenye v seljskom khozjajstve. M.: Mashghyz, 1957.

Транслитерация no ISO 9:1995

dt час

dt час

dt час

dt ча

dt час

4

4

8

4

6

8

4

6

8

dt час

dt час

dt час

dt час

dt

4

4

6

8

4

8

4

6

8

International Scientific Journal for Alternative Energy and Ecology №12 (152) 2014

© Scientific Technical Centre «TATA», 2014