CC BY
52
УДК 519.34
Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2010. № 4(78).
73
АДАПТИВНЫЙ ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД НА ОСНОВЕ СИСТЕМЫ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ФИНИТНЫХ
ФУНКЦИЙ
© 2010 Г.Ю. Северин1
В этой статье описан новый алгоритм построения системы ортогональных финитных функций для решения уравнения Бюргерса методом конечных элементов. Результат проектирования на соответствующее конечномерное подпространство — система обыкновенных дифференциальных уравнений с диагональной матрицей.
Ключевые слова: метод конечных элементов, ортогональные финитные функции, условие Стренга — Фикса.
Введение
При построении приближенных решений уравнений с частными производными с помощью метода конечных элементов (МКЭ) исходное уравнение сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Функции, используемые в МКЭ, должны обладать некоторыми свойствами, чтобы получить достаточную точность и, по возможности, максимально сократить количество вычислений. Эти функции должны быть финитными или хотя бы иметь хорошую локализацию. Гладкость таких функций должна соответствовать гладкости точного решения. Система функций, используемая в МКЭ, должна обладать хорошими аппрокси-мационными свойствами. Точности порядка h иногда недостаточно. В этом случае приходится уточнять приближение, например, с помощью экстраполяции Ричардсона [9], что бывает не всегда возможно. Кроме того, после проектирования на тестовое пространство полученная система обыкновенных дифференциальных уравнений должна быть максимально простой, то есть линейной, с ленточной матрицей, желательно с диагональным преобладанием [1]. Чаще всего получается плохо обусловленная матрица.
Классический выбор функций с компактным носителем для применения в МКЭ — сплайны [1, 8, 13]. После появления в конце 80-х годов прошлого века вейвлетов [2, 10] многие специалисты по численным методам возлагают большие надежды на появление качественно новых функций типа wavelet, предназначенных для численных методов решения дифференциальных уравнений. Но и при использовании всплесков в МКЭ [3, 4], как и при использовании ир-функций, сохранилась основная трудность - после проектирования на тестовое пространство
1 Северин Григорий Юрьевич ([email protected]), кафедра математического и прикладного анализа Воронежского государственного университета, 394006, Россия, г. Воронеж, Университетская пл., 1.
все равно необходимо решать систему обыкновенных дифференциальных уравнений большой размерности (вообще говоря, нелинейную), как и в случае применения сплайнов.
В этой работе предлагается способ избежания этой трудности — непосредственное построение системы ортогональных финитных функций вида Х ^ ) } . —
сдвигов одной функции /(ж/Л.), построенной для конкретного уравнения таким образом, что после проектирования матрица Грамма получается диагональной. Описывается алгоритм построения системы функций, адаптированной для уравнения Бюргерса. Тем не менее, на этом простом примере видно, как строить такую систему для решения очень широкого класса задач с частными производными. Функция /(ж) дважды непрерывно дифференцируема и четная (четность сильно упрощает ее построение). Описанная ниже конструкция ОФФ имеет два существенных отличия от ОФФ В.Л. Леонтьева. Построенная в этой статье функция /(ж) удовлетворяет не одному, а нескольким условиям ортогональности, благодаря чему сразу после проектирования на тестовое пространство матрица системы для функций-амплитуд имеет диагональный вид. Платой за несколько дополнительных условий ортогональности выступает замена классического условия Стренга — Фикса на приближенное, естественно, с некоторой потерей точности аппроксимации. Но эта потеря щедро окупается диагональностью матрицы Грамма.
Так как при таком подходе для более мелкого Н не нужно заново решать систему обыкновенных дифференциальных уравнений больших размеров (эта система расщепляется вследствие своей линейности и диагональности), можно ограничиться точностью аппроксимации порядка Н, даже, вообще говоря, точностью На (а > 0).
Некоторую вычислительную трудность при предложенном здесь подходе имеет синтез функции /(ж), обладающей перечисленными свойствами. Ее коэффициенты ах,..., а; определяются приближенно (один раз приближенно решается нелинейная алгебраическая система), так как вместо классического [8, 10, 12] условия Стренга — Фикса - приближенное условие (в некоторых узлах). Пока не решены два вопроса: об оптимальном расположении узлов у к, на которые налагается приближенное условие Стренга — Фикса /(у&) + /(у& — 1) = 1 для получения наилучшей точности, а также вопрос стратегии выбора метода численного решения нелинейной алгебраической системы для коэффициентов ах,..., а; функции / (ж).
1. Построение специальной системы ортогональных финитных функций, адаптированной для уравнения Бюргерса
Построим функцию /(ж) с носителем [—1,1], порождающую систему функций {/(Х Тг 3) } . , на основе которой далее методом конечных элементов будет строиться приближенное решение уравнения Бюргерса. Пусть
/ ( )= / а;ж2; + а;_1ж2;-2 + ... + ахж2 + 1, ж € [—1, 1], т
1 (ж) =\ 0, ж € (—те,-1)и(1, гс). (1)
Неизвестные коэффициенты ах, ...,а; многочлена определим далее из условий гладкости, ортогональности и приближенных условий Стренга — Фикса.
Потребуем выполнения трех условий гладкости в правом конце отрезка
/ (1) = /' (1) = / "(1)=0. Пусть также выполнены следующие 4 условия ортогональности в смысле ¿2(К):
(/(х),/(х - 1)) =0, (2)
(/''(х),/(х - 1)) =0, (3)
(/(х - 1)/'(х),/(х - 1)) =0, (4)
(/(х)/'(х),/(х - 1)) =0. (5)
Легко проверить интегрированием по частям, что (4) эквивалентно
(/(х)/'(х - 1),/(х - 1)) =0. (6)
Из четности /(х) следует, что в (2)—(5) можно заменить аргумент х -1 на х +1:
(/(х),/ (х + 1)) = (/'' (х),/ (х + 1)) = = (/(х + 1)/'(х), /(х + 1)) = (/(х)/'(х), /(х +1)) =0 (7)
Известно [8, 10, 12], что если функция /(х) с носителем [-1,1] принадлежит ЖР+1, то эквивалентны следующие условия:
1) /(0) = 0, но / имеет нули порядка р в других точках, кратных 2п, т. е.
(2п;/)=0, 0= € Z, |а| < р;
2) если |а| ^ р, то
Е (* - •)
jez
является полиномом от ¿1,...,^ с главным членом с£а, с = 0;
3) для каждой функции и(х) € +1(К") существуют такие коэффициенты Wj, что при Н —> 0+ выполнены неравенства
\\и - Е Wj/jУ™? < с3НР+1-3Н<+1, Е |wj|2 < СМ^, 0 < * < р, j j
где постоянные ся и с не зависят от и(х) и от Ь. Показатель р +1 - в является наилучшим для рассматриваемых классов и
В предложенной выше конструкции (1) даже условие /(х) + /(х - 1) = 1, необходимое для точности порядка Н, накладывает на коэффициенты а1 , ...,а; ровно I условий, то есть с учетом условий гладкости и ортогональности для коэффициентов а1 , ...,а; система окажется переопределенной.
Потребуем, чтобы финитная функция /(х) удовлетворяла приближенному условию Стренга — Фикса на отрезке [0,1]:
/(х) + /(х - 1) « 1.
Пусть
/(Л + /(У - 1) = 1, * = 1,...,?,
где у1,...,у9 — сетка (необязательно равномерная) на отрезке [0,1].
Итак, объединяя 3 условия гладкости, 4 условия ортогональности и последние ? условий, получим алгебраическую систему уравнений для а1,..., а;, то есть I нужно положить равным 7+?. Численно решая полученную систему, в которой только 4 уравнения нелинейные (два квадратичных и два кубических), находим неизвестные коэффициенты а1,...,а;. Наконец, нормируем найденную функцию в смысле
¿2(К) : II/(ж)||ь2 = 1. Функция /(ж), адаптированная для уравнения Бюргерса, построена (с точностью до знака).
Рассмотрим уравнение Бюргерса с начальным условием:
и + иихх = ^Мхх, (8)
и(0, ж) = и0(ж), ж € [0,Т]. (9)
На отрезке [0, Т] введем равномерную сетку с шагом Ь и узлами жк, к = = 0, ...,т, жо = 0, жк = Т. Приближенное решение задачи (8)-(9) будем искать в виде суммы
т
и(*,ж,Н) = £ Ак . (10)
к=0
Подставим приближенное решение (10) в начальное условие (9) и умножим скалярно в смысле ¿2 обе части полученного равенства на /^ХХ-Хг^ (? = 0, ...,т). Благодаря финитности и четности /(ж), а также условию ортогональности (2) и тому, что ||/(ж)||ь2 = 1, получим
Хк + Т / \ 1 / ио(ж)Дх-х^¿ж / ио(жк + Не)/(в)^
А(0) = -хз—-— = --
/ ио(ж)/2( И)¿ж / ио(жк + Н5)/2(5)^
2ио(жк) / /(в)^ + Н2ио'(жк) } в2/(в)^ + 0(Н4)
-1 -1
2ио(жк) + Н2<(жк) } в2/2(в)^ + 0(Н4)
-1
(11)
Подставим приближенное решение (10) в уравнение Бюргерса (8) и умножим скалярно в смысле ¿2 обе части полученного равенства на /^ХХ-Х(^ = 0, ...,т). Исходя из финитности /(ж) и ортогональности (2)-(7), получим
2
откуда
¿к(*) = - Н2 Ь2 Ак(*),
Ак (*) = Ак (0) ехр Л- *).
Итак, приближенное решение, соответствующее сетке шага Н, построено. и(£, ж, Н) =
1 1
2
2ио(жк) / /+ Н2ио'(жкИ в2/+ 0(Н4)
2
Е---^-ехр (-/() -
к=о 2ио(жк) + Н2<(жк) / в2/2(в)^ + 0(Н4)
1
При практической реализации предложенного метода компьютер нужен только для однократного приближенного синтеза функции /.
Выражаю глубокую благодарность проф. И.Я. Новикову и проф. В.В. Стры-гину за конструктивные замечания при подготовке этой статьи.
Литература
[1] Блатов И.А., Стрыгин В.В. Элементы теории сплайнов и метод конечных элементов для задач с погранслоем. Воронеж.: Изд-во ВГУ, 1997. 406 с.
[2] Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. Ижевск, 2001. 461 с.
[3] Захаров В.Г. Решение уравнения Бюргерса с использованием вейвлет-бази-сов // Математическое моделирование систем и процессов. 1995. № 3. C. 24-33.
[4] Каттани К., Кудрейко А.А., Мигранов Н.Г. Гармоническое вейвлет-решение уравнения типа Кортевега-де-Фриза // Вестник Челябинского государственного университета. 2009. № 8(146). Сер.: Физика. Вып. 4. С. 28-31.
[5] Лаевский Ю.М. Метод конечных элементов. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1999. 165 с.
[6] Ильин В.П. Методы и технологии конечных элементов. Новосибирск, 2007. 369 с.
[7] Леонтьев В.Л. Ортогональные финитные функции и численные методы. Ульяновск: УлГУ, 2003. 178 с.
[8] Агошков В.И., Марчук Г.И. Введение в проекционно-сеточные методы. M.: Наука, 1981. 416 с.
[9] Марчук Г.И., Шайдуров В.В. Повышение точности решений разностных схем. M.: Наука, 1979. 320 с.
[10] Новиков И.Я., Протасов В.А., Скопина М.А. Теория всплесков. M.: Наука, 2005. 612 с.
[11] Рвачев В.А. Теория приближений и атомарные функции. M.: Знание, 1978. 64 с.
[12] Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977. 349 с.
[13] Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. M.: Наука, 1976. 248 с.
Поступила в редакцию 6//V/2010; в окончательном варианте — 6//V/2010.
ADAPTIVE NUMERICAL METHOD ON THE BASIS OF THE SYSTEM OF ORTOGONAL COMPACT FUNCTIONS
© 2010 G.Yu. Sewerin2
In the article the new algorithm of construction of the system of orthogonal compact functions for the solution of Burgers equation by a finite element method is described. The result of designing on corresponding subspaces is the system of ordinary differential equations with a diagonal matrix.
Key words: finite element method, orthogonal compact type functions, Streng — Fix condition.
Paper received 6//V/2010. Paper accepted 6/1V/2010.
2Sewerin Grigoriy Yurievich (akg.77Smail.ru), Dept. of Mathematics and Applied Analysis, Voronezh State University, Voronezh, 394006, Russia.
