CC BY
76
УДК 381.31.00
В. О. Борознов Астраханский государственный технический университет
АДАПТАЦИЯ ГЕНЕТИЧЕСКИХ АЛГОРИТМОВ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ТРАНСПОРТНОЙ ЗАДАЧИ
Введение
Многие практические задачи железнодорожного транспорта сводятся к транспортным задачам с рядом специфических особенностей. Одной из них является задача технического нормирования работы железной дороги. Техническое нормирование эксплуатационной работы -важнейшее средство дорог, отделений, станций и других линейных предприятий, применяемое для рациональной организации перевозочного процесса с наименьшими материально-техническим затратами.
Для разработки технических норм эксплуатационной работы дорог ОАО «Российские железные дороги» должно иметь план перевозок, т. е. план погрузки, распределенный по станциям, отделениям и дорогам назначения.
Управления дорог на основе развернутых планов перевозок и норм занятия отдельных видов подвижного состава под погрузку грузов составляют таблицы погрузки в вагонах по дорогам назначения.
Объемы погрузки грузов по дорогам назначения и по роду подвижного состава планируемого месяца управления дорог используют для разработки сводного сетевого плана перевозок, или, как его называют, «шахматки». По данным развернутых планов перевозок с указанием станций назначений или нарядов на поставку продукции, используя ЭВМ, определяют поучастковые размеры груженых вагонопотоков [1].
Постановка задачи
Данная задача может быть формализована как транспортная задача (ТЗ) линейного программирования. Однако в этой задаче имеются существенные дополнительные ограничения, которые специфичны для каждой дороги. Например, отличительной особенностью является запрет перевозки по главной диагонали, поскольку распределение транзита не может быть произведено со стыка на этот же стык. Отсюда следует, что применение классических методов для решения данной задачи крайне ограничено, если вообще возможно. В данной статье предлагается использовать для решения подобного рода задач генетические алгоритмы. Классическая постановка транспортной задачи заключается в следующем.
Имеется т пунктов отправления: А1, А2, ... , Ат, в которых сосредоточены запасы какого-то однородного товара (груза) в количестве соответственно а1, а2, ..., ат единиц. Кроме того, имеется п пунктов назначения: В1, В2, ... , Вп, подавших заявки соответственно на Ь1, Ь2, ... , Ьп единиц товара.
Пункты отправления Пункты назначения
В1 В2 ... Вп
А1 С11 С12 С1п а1
А2 С21 С22 С2п а1
...
Ат Ст1 Ст2 Стп ат
Ь1 Ь2 Ьп
Предполагается, что сумма всех заявок равна сумме всех запасов:
т п
X а = X Ь1.
2=1 1=1
(1)
Известна стоимость Су перевозки единицы товара от каждого пункта отправления А2 до каждого пункта назначения Ву. Таблица (матрица) стоимостей перевозки Су задана:
С21 С22
'2п
Требуется составить такой план перевозок, при котором все заявки были бы рассмотрены и при этом общая стоимость всех перевозок была бы минимальной. Обозначим Ху - количество груза, отправляемого из пункта отправления А2 в пункт назначения Ву (2 = 1, ., т; у = 1, ., п). Не-
отрицательные переменные х11 , Х12 виям (2) - (4) [2].
V
X Х1 у
1=1
■ а,
у=1
Хтп должны удовлетворять усло-
^х = а .
ту т
у=1
С11 С12
С
1п
С
С
С
т 2
Ь =
= Ьі,
з Е Х 2 Т=1 = Ь
з Е ХТП Т=1 = Ьп
т п Е Е Т=1 1=1 їхї =
(3)
(4)
Для решения классической транспортной задачи существует множество различных методов, дающих как оптимальное решение, так и близкое к нему. Наиболее распространенным является метод потенциалов, поскольку он прост в понимании и позволяет накладывать на решаемую задачу ряд ограничений, таких как пропускная способность и др.
В нашем случае решение методом потенциалов крайне ограничено, поскольку может существовать такой набор ограничений, который не позволит образовать цикл, а в последствии - решить задачу. В настоящее время данная задача на железодорожном транспорте решается посредством эвристико-переборных алгоритмов.
Описание метода
Для решения ТЗ посредством генетических алгоритмов (ГА) требуется их адаптация, аналогичная адаптации ГА к задаче коммивояжёра (ЗК). Наиболее приемлемой формой представления данных для ГА для данной задачи будет матрица-хромосома, которая представляет собой одно из множества решений. Поскольку вести количественный учёт перевозимого груза для каждой ячейки очень затруднительно, то предлагается определить лишь порядок перевозок, т. е. последовательность их осуществления.
Переход от привычной формы к форме ГА выполним следующим образом. Пусть задана задача (рис. 1) и имеется какое-либо её решение (рис. 2, а). Тогда данное решение для ГА можно представить так, как это показано на рис. 2, б.
Ві В2 Вз В4 В5 Вб В7
Аі 7 16 5 2 1 10 19 90
А2 8 5 8 14 13 16 18 100
Аз 16 10 3 10 5 17 9 90
А4 7 13 20 19 19 18 17 120
А5 15 3 10 14 20 20 18 80
80 120 70 40 70 20 80
Рис. 1. Транспортная задача размерностью т = 5, п = 7
В1 В2 Вз В 4 В5 Вб В7
А1 0 0 0 40 50 0 0 90
А2 0 40 60 0 0 0 0 100
А3 0 0 10 0 20 0 60 90
А4 80 0 0 0 0 20 20 120
А5 0 80 0 0 0 0 0 80
80 120 70 40 70 20 80
Ь = 2 980 а
В1 В2 В3 В4 В5 Вб В7
А1 5 4 5 1 1 5 4
А2 3 2 1 5 4 4 3
А3 4 5 2 3 2 3 1
А4 1 3 4 4 3 1 2
А5 2 1 3 2 5 2 5
Ь = 2 980 б
Рис. 2. Частное решение транспортной задачи: а - размерность т = 5, п = 7, матрица стоимости показана на рис. 1; б - размерность т = 5, п = 7, представлено для ГА
Таким образом, решением в ГА является матрица (хромосома), в которой по столбцам (генам) прописан порядок осуществления перевозки. Так, например, для ячейки (2:2) сказано, что данную перевозку осуществить между станциями А2 и В2, но перед этим осуществить перевозку, которой соответствует ячейка (5:2). Количество перевозимого груза определяется как максимально возможная разница между запасами станции А и потребностями станции В, т. е. для нашего примера (5:2) максимально возможная разница составит тт (120, 80) = 80, а для (2:2) тт (40, 100) = 40.
Формирование начальной популяции для данной задачи в ГА сведётся к случайному заполнению хромосомы по столбцам цифрами от 1 до т. 1 ... т - означает наличие перевозки между А и В в соответствии с их индексами.
Подсчёт целевой функции для каждой хромосомы будем осуществлять на основе хромосомы, матрицы стоимости, а также массивов А и В. Осуществляем проход по столбцам хромосомы (генам), последовательно выполняя перевозки: когда столбец (ген) «погашен», переходим к следующему столбцу (гену) и т. д.
Оператор мутации будет использовать лишь часть хромосомы, её столбец (ген), т. е. осуществлять перестановки внутри столбца (внутри-генная мутация), изменять порядок перевозки.
Оператор кроссинговера будет работать со всей хромосомой, используя в качестве структурной единицы столбец (ген), и будет аналогичен оператору кроссинговера для ЗК.
Поскольку наши договорённости базировались на условии работы со столбцами, то целесообразно привести задачу к виду с минимальным количеством столбцов, т. е. при необходимости перевернуть её.
Результаты исследования
Оценим результативность данного метода, сравнивая его с методом потенциалов для решения ТЗ. Поскольку размерность для ГА берется по наименьшей стороне матрицы, то примем п = т. Для каждой задачи п размерности производилось по 33 испытания, что соответствует доверительной вероятности 0,75 и ошибке 0,1. Случайным образом строилась матрица расстояния заданной размерности п, а также матрица потребности в грузе и наличия груза для всех станций А и В, после чего задача решалась двумя методами. Условие транспортной задачи было взято классическим, задача замкнутая. ГА были взяты с параметрами: вероятность крос-синговера 0,75, вероятность мутации - 0,15, критерий окончания эволюции следующий: за последние 10*п поколений целевая функция не улучшилась. Результаты испытаний приведены в таблице.
Результаты испытаний
п Среднее время метода потенциалов, мс Среднее время ГА, мс Средняя погрешность, %
4 42 12 0,97
8 145 77 2,41
12 337 498 4,5
16 771 1 431 8,68
20 1 207 3 180 17,63
24 1 628 5 801 21,12
Для того чтобы оценить эффективность разработанного метода, построим зависимости времени (рис. 3) и абсолютной погрешности (рис. 4) от размерности задачи. Как видно из рис. 3, с ростом размерности задачи временная сложность ГА «опережает» метод потенциалов, но тем не менее временная сложность ГА лишь незначительно больше.
7000 6000 5000 о 4000 2 3000 2000 1000 о
4 8 12 п 16 20 24
——•Метод потенциалов га
Рис. 3. Временная зависимость от размерности задачи
25.00
20.00
15.00
10.00 5,00
0,00
12
16 20
24
Рис. 4. Абсолютная погрешность от размерности задачи
Для того чтобы выяснить причину, обратимся к рис. 5, на котором представлена хронология решения задачи. Поскольку средний показатель популяции не равен «лучшему», можно исключить вырождение генофонда. Как видно из рис. 5, приближение к оптимальному значению идёт асимптотически, это свидетельствует о снижении эффективности операторов ГА, а именно о мутации и увеличении времени поиска решения. Абсолютная погрешность от размерности задачи (см. рис. 4) говорит о том, что процесс поиска решений заканчивается критическим временем, а не достижением условия конца поиска.
Рис. 5. Абсолютная погрешность от размерности задачи
4
8
Описанные выше эксперименты проводились для классической транспортной задачи. Чтобы наложить ограничения в виде запрета перевозки по главной диагонали, достаточно: поставить в матрице С заведомо большое число либо исключить перевозку путём проверок при применении операторов ГА. Поскольку ГА является гибким механизмом поиска решений, можно накладывать и другие ограничения: пропускная способность и др.
Заключение
Несмотря на то, что абсолютная погрешность достаточно велика -4-8 %, для решения практических задач, размерность которых колеблется в пределах 12-16, данный метод является практически пригодным. К тому же стоит принять во внимание тот факт, что для подобного рода задач на данный момент не существует более эффективных алгоритмов.
Для повышения «качества» решений ТЗ по средствам ГА требуется более тщательное исследовании метода: подбор параметров ГА, разработка стратегий: формирование начальной популяции, конца эволюции; возможно также дополнение классического ГА более сложными операторами, в том числе и эвристиками [3]. Так, например, на определённых этапах можно «подбрасывать» в популяцию эвристические решения ТЗ либо устраивать социальные катастрофы в случае «застоя».
СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ
1. Сметанин М. И. Техническое нормирование и эксплуатация железных дорог. -М., 1984.
2. Букатова И. Л. и др. Эвоинформатика. Теория и практика эволюционного моделирования. - М.: Наука, 1991.
3. Курейчик В. М. Применение генетических алгоритмов для решения комбинаторно-логических задач оптимизации // Интеллектуальные САПР: Между -вед. темат. науч. сб. - Вып. 5. - Таганрог, 1995. - С. 132-133.
Получено 19.09.05
ADAPTATION OF GENETIC ALGORITHMS FOR SOLVING TRANSPORT PROBLEM
V. O. Boroznov
Many practical problems of railway transport are transport problems having specific features. One of them is the problem of engineering and control of the railway service. It is one of the most important operational tasks in railway service, because it concerns cargo transportation scheduling, i. e. plan of loading which takes into account railway stations, departments, and roads of destination. It is necessary to draw up best profitable summary transportation schedule for all stations of one certain railroad. Specific features of cargo, the type of rolling stock at the railway stations, capacities available and ways of cargo transportation are given. Effective algorithm of drawing summary plan for cargo transportation is obtained on the base of genetic algorithms adapted to the given problem.
