CC BY
9
Владикавказский математический журнал Июль-сентябрь, 2005, Том 7, Выпуск 3
УДК 517.9
АБСОЛЮТНО ПРЕДСТАВЛЯЮЩИЕ СИСТЕМЫ ЭКСПОНЕНТ В ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ФРЕШЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ И АНАЛОГ ТЕОРЕМЫ ПЭЛИ - ВИНЕРА - ШВАРЦА
Ю. Ф. Коробейник
В статье рассматривается вопрос о существовании абсолютно представляющих систем экспонент в весовом пространстве Фреше А(Ф) функций, аналитических в выпуклой области О из Ср, р ^ 1. При некоторых довольно общих предположениях относительно последовательности весов Ф = {fn(z)}r^=1 доказывается обобщенная теорема Пэли — Винера — Шварца для А(Ф).
Введение. Основная цель работы
Пусть р ^ 1 и О — произвольная область в Ср. Отображение / : О ^ Ж := (-то, +то) называется локально ограниченным сверху в О, если для любого компакта Т области О йир{/(г) : г £ Т} < +то. Как обычно, символ А(О) обозначает пространство Фреше всех аналитических в О функций с топологией равномерной сходимости на каждом компакте из О. Положим
Af := {y € A(G) : |\y\\f := sup
|y(z)l : ^G
exp f (z) '
< +то
и обозначим символом Alf линейное нормированное пространство, которое получается введением в Af нормы ||y||f, y € Af.
Лемма 1. Если f : G ^ R локально ограничено сверху в G, то пространство Af полно, т. е. является банаховым пространством (B-пространством).
< Доказательство проводится стандартным методом. Пусть {y^— последовательность Коши в Alf, т. е. для любого е > 0 существует номер N < то такой, что ||yn — ym||f < е при n,m > N. Зафиксировав любое z из G, найдем, что числовая последовательность {ym(z)} фундаментальна и поэтому для каждого z € G существует y(z) = lim ym(z). Из локальной ограниченности сверху f (z) и известного критерия равномерной сходимости аналитических функций внутри области G легко выводим, что последовательность ym(z) сходится к y(z) равномерно внутри G и, следовательно, y € A(G). Переходя к пределу при m ^ то и фиксированных z € G, n > N в неравенстве |ym(z) — yn(z)| < еexpf(z), получаем: |y(z) — yn(z)| ^ еexpf(z). Отсюда ||y||f ^ ||y — ym|f + ||ym|f ^ е + Mm < то, для любого фиксированного m > N. Следовательно, y € Alf. При этом для любого е > 0 существует N такой, что для всякого n > N выполняется ||y — yn||f ^ е. Поэтому yn ^ y в Alf, и последнее пространство полно.
© 2005 Коробейник Ю. Ф.
Для любых z (zi,..., zp) и a (ai,..., ap) из Cp введем обычные обозначения
/ p \ 1/2 p
|z|p :=(^ |zkИ > (a,Z)p akZk• \fc=1 / k=1
Положим еще (Va G Cp) Ea := exp (a, z)p; E := {Ea : a G Cp}. Очевидно, что E С Af тогда и только тогда, когда
(Va G Cp) sup [Re(a, z)p - f (z)] < +то. (1)
z€G
Условие (1) заведомо выполняется, если справедливо такое соотношение:
(VN < +то)(ЗМ< +to)(Vz G G) N • |z|p - f (z) < M. (2)
C другой стороны, если Eo G Af, то
inf [f (z) : z G G] > -то. (3)
Ясно, что (2) ^ (1) ^ (3), т. е. условие (3) необходимо, а (2) достаточно для того, чтобы пространство Af содержало все экспоненты Ea,a G Cp.
Пусть теперь G — ограниченная область в Cp. Тогда из (3) следует (2), причем в качестве M = M(N) можно взять Nd + D, где d = sup{|z|p : z G G}, D = sup[-f (z) : z G G]. Таким образом, для ограниченной области G в Cp условие (3) необходимо и достаточно для того, чтобы E С Af.
1.2. Пусть G — по-прежнему область в Cp и пусть Ф := (fn)0=1 — невозрас-тающая (по n) последовательность локально ограниченных сверху в G отображений fn : G ^ (-то, +то). В силу невозрастания (по n) Ф каждая функция fn (n ^ 1) локально ограничена сверху в G тогда и только тогда, когда локально ограниченна сверху
оо
в G функция f1(z). Положим A(#) := Afk; A(#) := projkAfk. Тогда A(#) — про-
fe=i
странство Фреше со счетным набором норм ||y||n := \\y\\fn (n = 1, 2,...). Заметим, что Ea G A(#), a G Cp, в том и только том случае, когда условие (1) выполняется при f = f (k = 1, 2,...). Далее, для включения E С A(#) достаточно выполнения условий
(УЖ < +то)(Ук ^ 1)(ЗМ^ < С С) N Ир - / (г) < М^ (4)
и необходимо, чтобы
т/ (г): г € С] > -то (к = 1,2,...). (5)
В случае, когда область О ограничена в Ср, условия (5) необходимы и достаточны для того, чтобы Е С А(Ф).
1.3. Основное содержание данной работы составляет выяснение условий, при которых в А(Ф) имеется хотя бы одна абсолютно представляющая система (АПС) экспонент вида X = (хап€ Ср, а также связи между наличием в А(Ф) хотя бы одной такой АПС и возможностью определенной реализации сильного сопряженного к А(Ф) пространства (А(Ф)) ^ в виде внутреннего индуктивного предела весовых В-пространств
целых функций (т. е. справедливостью для А(Ф) утверждений типа теоремы Винера — Пэли — Шварца). Определение АПС дано ниже в § 2, п. 2.1.
Всюду далее в данной статье при рассмотрении пространств А(Ф) и А(Ф) предполагается, что Ф = (/n)£=i — невозрастающая последовательность отображений /n : G ^ (-то, +то), где G — область в Cp, функция /i локально ограничена сверху в G, а последовательность (/п)2=1 удовлетворяет условиям (5), когда область G ограничена в Cp, и условиям (4), когда она не ограничена в Cp. Если все эти предположения выполнены, то будем говорить, что последовательность Ф обладает свойством (y).
2. Некоторые предварительные сведения. Результат отрицательного характера о существовании в А(Ф) АПС экспонент
2.1. Приведем вначале некоторые сведения из статьи [1] и монографии [2], которые используются в дальнейшем.
Пусть H — полное отделимое локально выпуклое пространство с определяющим топологию в H набором преднорм P = {p}. Пусть, далее, ya £ H, ya = 0, а £ Л. Последовательность {yan где an £ Л, n ^ 1, называется АПС (см. [3, 4]) в H, если для
<х
любого y из H найдется хотя бы один абсолютно сходящийся в H ряд вида ^ Ckyak, где
k=i
Ck £ C, k ^ 1, и сумма ряда равна y. Предположим, что P = {pn}neBi, где Bi — или бесконечное счетное множество, или множество, содержащее только один номер. Иначе говоря, H — или небанахово пространство Фреше, или B-пространство. Пусть, далее, Ло = {an}£=i, 1л0 := {y«n : n = 1, 2,... }. Назовем, следуя [1], векторное подпространство Ho пространства H !д0-подпространством H, если
1) span Ул0 ^ Ho;
2) топология 5 в Ho определяется набором преднорм {qn}ngв1, причем (Vn £ Bi) q«(x) ^ pn(x), x £ Ho;
3) (Vn £ Bi) pn(y«n) = 9n(y«n);
4) (Ho, 5) — полное отделимое локально выпуклое пространство (которое, очевидно, будет или небанаховым пространством Фреше, или B-пространством).
Говорят [1], что H — пространство со строгой Ул0-топологией, если не существует ни одного собственного Ул0-подпространства пространства H. Частным случаем теоремы 1 из [1] является
Теорема A. Для того, чтобы последовательность {y«n }^=i была АПС в пространстве Фреше H, необходимо и достаточно, чтобы H являлось пространством со строгой Ул0 -топологией.
2.2. Пусть G — выпуклая область в Cp и / — локально ограниченное сверху отображение G в R, удовлетворяющее условию (2), если область G неограничена, и условию
(3), если она ограничена. Положим (Va £ Cp) /*(а) := sup{Re(a, z)p — /(z)}. Имеем
zeG
(Va £ Cp)(VZi £ G) /*(a) ^ Re(a, z,)p — /(z*) > —то.
С другой стороны, из условия (2) (или (3)) легко вывести, что функция /*(а) локально ограничена сверху в Cp. Кроме того, (Vq £ [0,1])(Vai,a2 £ Cp)
/* (qai + (1 — q)a2) = sup{q Re(abz)p + (1 — q)Re(a2,z)p — / (z)} ^ qsup{Re(ai,z)p — /(z)} + (1 — q) sup{Re(a2,z)p — /(z)} = q/*(ai) + (1 — q)/ >2).
Итак, /*(а) — собственная выпуклая функция в Ср (т. е., см. [2], выпуклое отображение Ср в Ж) и потому /* непрерывна в Ср. Пусть еще /**(ш) = вирабСР [Б,е(а, ш)р — /*(а)]. Как и в случае /*, находим, что /** — выпуклая функция в Ср. При этом
(Уш € С)(Уа € Ср) /*(а) ^ Ие(а, ш)р — /(ад),
откуда /(ш) ^ И,е(а, ш)р — /*(а) и /(ш) ^ вир [И,е(а, ш)р — /*(а)] = /**(ш). Кроме
а 6 СР
того, (Уш € Ср) /**(ш) ^ Яе(а, ш)р — /*(а) > —то. Следовательно, /** — выпуклое отображение Ср в (—то, +то], причем (Уш € С) /**(и) ^ /(ш) < +то.
Таким образом, /** — собственная выпуклая функция в С и потому (см. [2]) /** непрерывна в С.
2.3. Рассмотрим последовательность Ф = (/)^=1 отображений выпуклой области С из Ср в Ж со свойством (7). Положим для каждого к ^ 1
те
^(ф= /Г(*0; Ф := (^)~=1; А(Ф) := р| А^; А(Ф) := рго^А^.
В силу сделанных предположений для любого к ^ 1 имеем:
0*+1(*О < №(г), г € С; А^ С А/к; А^ ^ АЛ; А(Ф) ^ А(Ф).
При этом Аак и А/к — В-пространства, а А(Ф) и А(Ф) — пространства Фреше.
Предположим, что А(Ф) = А(Ф), т. е., что А(Ф) — собственное подпространство А(Ф), и допустим, что в А(Ф) имеется хотя бы одна АПС экспонент Ед0 := (Еак)^=1, где Ло = (а& : к = 1, 2,...). Положим
... . , . .... |ж(г)| . . |ж(г)|
(Уп ^ 1) р„(ж):= ||ж||„ = ядр ^ ^ ^; д„(ж):=8ир-
гбС ехр /п(г) ¿ее ехр (г)
Тогда (Уж € А(Ф)) рп(ж) ^ (ж). В то же время для любых к ^ 1 и п ^ 1
9«(Еак) = ехрзир[Ке(а^— 5„(г)] = ехр (¿))*(а^) = ехр/П(а^) = Рп(£«к).
Следовательно, А(Ф) — собственное Ед0-подпространство пространства Фреше А(Ф), и последнее не является пространством со строгой Ед0-топологией. По теореме А Ед0 — не АПС в А(Ф). Таким образом, доказана
Теорема 1. Пусть р ^ 1, С — выпуклая область в Ср и Ф = (/^^=1 — последовательность отображений /п области С в Ж со свойством (7). Пусть, наконец, А(Ф) = А(Ф).
Тогда в А(Ф) нет ни одной АПС экспонент.
Из приведенного в § 4 примера следует, что обращение теоремы 1 возможно лишь при некоторых дополнительных предположениях относительно последовательности Ф.
3. О реализации сильного сопряженного к А(Ф) пространства
3.1. Обратимся теперь к связи между наличием в А(Ф) хотя бы одной АПС экспонент и возможностью реализации пространства (А(Ф)) ^ в виде пространства целых функций описанной в п. 1.3 структуры.
Заметим, что эта связь в более общей ситуации исследовалась в статье [5], одним из результатов которой мы и воспользуемся.
Всюду в этом параграфе G — ограниченная выпуклая область в Cp. Предположим, что O G G, и обозначим символом A(G) пространство всех аналитических ростков (классов эквивалентности) на G, с обычной топологией v индуктивного предела ([6]).
Пусть последовательность Ф = (/n)£=i отображений /n : G ^ (-го, +го) обладает свойством (7). Тогда, как легко проверить, (A(G),v) ^ А(Ф) ^ A(G). Оценим для любого n ^ 1 величину Гп:
Pn(exp(ta, z)p) sup{exp[Re(ta, z)p - /„(z)] : z G G} r„ := sup sup —----— = sup sup ---—---—--——
«ecp ü^t^i Pn(exp(a, z)p) aeCp ü^i sup{exp[Re(a, z)p - /(z)] : z G G}
= sup sup exp{sup[Re(ta, z)p — /n(z) : z G G] — sup[Re(a, z)p — /n(z) : z G G]}
аб€Pü<t<1
sup sup exp {sup[Re(ta, z)p — Re(a, z)p] : z G G} «€Cp te[ü,i]
= sup sup exp(t — 1) sup[Re(a, z)p : z G G] = sup sup exp(t — 1)hG(a),
a€€p t6[ü,1] a€€p te[ü,i]
где he (а) := supRe(a, z)p — опорная функция области G. Так как O G G, то he(a) ^ 0,
zeG
а G Cp, откуда (t — 1)he(a) ^ 0 при t G [0,1], а G Cp. Следовательно, Гп ^ 1 при n ^ 1.
Используем теперь пример, приведенный в [5] на с. 75, сразу же после предложения 3. Положим (Vn ^ 1) Фга(а) := expsup{Re(a, z)p — /n(z) : z G G} = exp /П(а). Как показано в 2.2, функция Ф„ = /П(а) непрерывна в Cp. Предположим, что А(Ф) — правильное пространство, т. е. (см. [7, с. 699]), что (А(Ф))^ бочечно. Введем, как в [5], пространство целых функций (F, ß) := indn Fn, где для любого n ^ 1
F„ :={y G A(Cp): sup . |y(^ . , < го I «ecp Pn(exp(a, z)p)
Повторяя рассуждения, приведенные на с. 75 работы [5] (после предложения 3 и до конца § 5), приходим к такому результату.
Теорема 2. Пусть G — ограниченная выпуклая область в Cp, содержащая начало координат. Пусть, далее, Ф = {/n(z)}^=i — последовательность отображений /n : G ^ (—го, +го) со свойством (y) и такая, что А(Ф) — правильное пространство. Тогда равносильны следующие два утверждения:
1) в А(Ф) имеется хотя бы одна АПС вида {exp(^n, z)p}^=i, G Cp, n = 1, 2,... ;
2) пространство ^А(Ф)^ топологически изоморфно пространству (F, ß).
Замечание 1. Согласно ([7, гл.8, §8.4]) пространство А(Ф) правильно, если оно рефлексивно (в частности, монтелево) или если А(Ф) — B-пространство.
Замечание 2. Применяя стандартные рассуждения, легко показать, что если (Vn ^ 1) lim [/n(z) — /n+i(z)] = +го, то А(Ф) — монтелевское пространство.
z^dG
Замечание 3. Предположение о том, что O G G, обусловлено примененным здесь методом доказательства, и от него, по-видимому, можно избавиться.
3.2. Что же касается предположения о правильности пространства А(Ф), то оно вызвано существом дела, в чем нас убеждает следующий результат.
Теорема 3. Пусть G — ограниченная выпуклая область в Cp и Ф = (/n)^=i — последовательность отображений G в R со свойством (y). Пусть, далее, пространство (А(Ф))в топологически изоморфно пространству (F, ß). Тогда пространство А(Ф) правильно.
< Из предположений теоремы следует, что для любого n ^ 1 линейное нормированное пространство Fn = < y G A(Cp) : ||y||n := sup —) < то \ полно (по лемме 1), т. е.
1„ .— О up ехр fn(a)
является B-пространством. Но тогда для каждого n ^ 1 F„ — бочечное пространство. Так как любой индуктивный предел бочечных пространств также является бочечным пространством (см., например, [7, с. 595, теорема 6.3.1]), то (F, (а, следовательно, и А(Ф))в — бочечное пространство. Как уже отмечалось выше, бочечность (А(Ф))в равносильна правильности А(Ф). >
Непосредственно из теорем 2 и 3 вытекает следующий критерий справедливости теоремы Пэли — Винера — Шварца для пространства А(Ф).
Теорема 4. Пусть G — ограниченная выпуклая область в Cp, содержащая начало координат, и Ф = (/n )П=1 — последовательность отображений G в R со свойством (7). Тогда равносильны такие утверждения:
1) пространство (А(Ф))в топологически изоморфно пространству indraFra, где (Vn ^ 1)
F„ = { y е A(Cp) : IMU := sup < +то
[ a6CP exp (a)
2) пространство (А(Ф))в бочечно и в А(Ф) имеется хотя бы одна АПС экспонент.
< 1) ^ 2): Из 1) по теореме 3 следует правильность А(Ф). Но тогда по теореме 2 из 1) вытекает наличие в А(Ф) хотя бы одной АПС экспонент.
2) ^ 1): Бочечность (А(Ф))в равносильна правильности А(Ф), и остается вновь применить (в обратном направлении) теорему 2. >
3.3. В заключение этого параграфа отметим, что утверждение, совпадающее с теоремой 2, но с дополнительным исходным предположением lim /n(z) = +то, n ^ 1, было
z^dG
приведено в докладе автора на Международной школе-семинаре памяти Н. В. Ефимова в 2004 году (см. [8, теорема 1]). В теореме 2 настоящей работы показывается, что это дополнительное условие на F излишне.
4. Пример
4.1. Пусть G — ограниченная выпуклая область в Cp, /(z) = 0 (k = 1, 2,...). В данном случае последовательность Фо = {0}^= обладает свойством (7), причем для всякого k ^ 1 /£(a) = he (a), a G Cp (как и выше, he (а) — опорная функция области G). Далее, пространства
А(Ф) = {y G A(G) : ||y|U := sup[|y(z)| : z G G] < то} =: B(G)
и
(F,^) = (v(z) G A(Cp) : ||v|| = sup |v(a)] . < +то! =: K(G) t a6€p exp hG (a) J
— банаховы. Введем еще B-пространство AC(G) всех функций из A(G), непрерывных на G, с нормой ||гй||те := max{|w(z)| : z G G} = sup{|w(z)| : z G G} =: ||w||^>. Для любых k ^ 1 и a G Cp имеем
|| exp(a, z)p — exp sup Re (a, z)p — exp max Re (a, z)p — || exp(o;, z)p .
z€G z€G
Ясно, что AC(G) ^ B(G). Если при этом AC(G) — собственное подпространство B(G), то по теореме 1 в B(G) нет ни одной АПС экспонент. Далее по теореме 2 (ß(G))^ не изоморфно топологически пространству K(G), т. е. теорема типа Пэли — Винера — Шварца не имеет места для B(G) (легко убедиться в том, что теорема 2 в случае А(Ф) = B(G) справедлива и без предположения о том, что O G G).
Осталось выяснить, когда же B \ AC(G) = 0. Легко установить справедливость последнего соотношения при p = 1. Для этого достаточно определить функцию g(x, y) на ÖG, положив ее равной нулю в какой-либо фиксированной точке zo = (жо, yo) из ÖG и единице — в остальных точках ÖG. Пусть u(x, y) — решение задачи Дирихле в G с граничным условием u|dG= д(ж, у). Тогда sup[u(x, y) : (ж, y) G G] < Обозначив через v(x, y) гармоническую в G функцию, сопряженную с u и положив a(z) := exp[u(x, y) + iv(x, y)], получим: a(z) G B(G) С A(G). Допустим, что a(z) G AC(G). Тогда |a(z)| G C(G). Но последнее включение невозможно, так как, взяв любую последовательность точек {zn}n=i такую, что (Vn ^ 1) zn G ÖG, zn = z0, lim zn = z0, получим: lim |a(zn)| = e = 1 = |a(z0)|.
n^<Xi n
По-видимому, AC(G) — собственное подпространство B(G) и при p > 1.
4.2. Можно рассмотреть и вопрос о существовании АПС экспонент в B-пространстве AC(G), предполагая по-прежнему, что G — ограниченная выпуклая область в Cp. Как показали разными методами в своих дипломных работах, выполненных под руководством автора в Ростовском госуниверситете И. С. Шрайфель (1980/1981 учебный год) и Ха Зуй Банг (1981/1982 учебный год), при p = 1 в AC(G) нет ни одной АПС экспонент. Случай p > 1 ими не рассматривался, и неясно, применимы ли к нему использованные ими методы. Представляется более перспективным, на наш взгляд, для многомерной ситуации в тех случаях, когда известно представление (AC(G))^, показать, что оно не изоморфно пространству K(G), а затем использовать теорему 2 (и здесь условие O G G излишне). Весьма вероятно, что в AC(G) не имеется ни одной АПС экспонент и в случае, когда p > 1.
Литература
1. Коробейник Ю. Ф. Абсолютно представляющие семейства // Мат. заметки.—1987.—Т. 42, вып. 5.— С. 670-680.
2. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ.—М.: Мир, 1973.—469 с.
3. Коробейник Ю. Ф. Об одной двойственной задаче. I. Общие результаты. Приложения к пространствам Фреше // Мат. сб.—1975.—Т. 97, вып. 2.—С. 193-229.
4. Коробейник Ю. Ф. Представляющие системы // Успехи мат. наук.—1981.—Т. 36, вып. 1.—С. 73-126.
5. Коробейник Ю. Ф. Абсолютно представляющие семейства и реализация сопряженного пространства // Изв. вузов. Математика.—1990.—№ 2.—С. 68-76.
6. Martineau A. Sur la topologie des espaces de fonctions holomorphes // Math. Ann.—1966.—V. 63, № 1.—P. 62-88.
7. Эдвардс Р. Функциональный анализ. Теория и приложения.—М.: Мир, 1969.—1071 с.
8. Коробейник Ю. Ф. Абсолютно представляющие системы экспонент и реализация сильного сопряженного к пространству функций, аналитических в выпуклой области в Cp, с заданным ростом вблизи границы // Тр. участников Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова.—Ростов-на-Дону, 2004.—С. 116-117.
Статья поступила 29 апреля 2005 г.
Коробейник Юрий Федорович, д.ф.-м.н. г. Ростов, Ростовский государственный университет; Институт прикладной математики и информатики ВНЦ РАН Email: [email protected]
