CC BY
35
В случае 1) q(a) =
R
R(aM — 1)
RM
at — R a—><x t
at — R
. В случае 2) q(a) =
R(aM — 1) at — R
. Причем легко видеть, что
< 1.
□
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 10-01-00139-а). Библиографический список
1. Половинкин Е. С., Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. М. : Физматлит, 2007. 440 с. [Polovinkin E. S. Balashov M. V. Elements of convex and strongly convex analysis. Moscow : Fizmatlit, 2007. 440 p.]
2. Поляк Б. Т. Теоремы существования и сходимость минимизирующих последовательностей в задачах на экстремум при наличии ограничений // Докл. АН СССР. 1966. Т. 166, №2. С. 287-290. [Polyak B. T. Existence theorems and convergence of minimizing sequences in extremal problems with restrictions // Soviet Math. Dokl. 1966. Vol. 7. P. 72-75.]
3. Поляк Б. Т., Левинтин Е. С. Сходимость минимизирующих последовательностей в задачах на условный экстремум // Докл. АН СССР. 1966. Т. 168, №5. С. 997-1000. [Polyak B. T., Levintin E. S. Convergence of minimizing sequences in conditional extremum problems // Soviet Math. Dokl. 1966. Vol. 7. P. 764-767.]
4. Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач. М. : Наука, 1980. 520 с. [Vasilyev F. P. Numerical methods for solving extremal problems. Moscow : Nauka, 1980. 520 p.]
5. Нестеров Ю. Е. Введение в выпуклую оптимизацию. М. : МЦНМО, 2010. 279 с. [Nesterov Yu. E. Introduction to convex optimization. M. : MCCME, 2010. 279 p.]
6. Поляк Б. Т. Введение в оптимизацию. М. : Наука, 1983. 384 с. [Polyak B. T. Introduction to optimization. Moscow : Nauka, 1983. 384 p.]
7. Сухарев А. Г., Тимохов А. В., Федоров В. В. Курс методов оптимизации. М. : Физматлит, 2005. 368 с. [Sukharev A. G., Timokhov A. V.Fedorov V. V. Course of optimization methods. Moscow : Fizmatlit, 2005. 368 p.]
8. Abatzoglou T. J. The Lipschitz continuity of the metric projection // J. of Approx. Theory. 1979. Vol. 26. P. 212218.
9. Балашов М. В., Голубев М. О. Об условии Липшица для метрической проекции в гильбертовом пространстве // Тр. 54-й науч. конф. МФТИ. М. : МФТИ, 2011. Т. 1. C. 34. [Balashov M. V. Golubev M. O. Lipschitz condition for the metric projection in a Hilbert space // Proc. of the 54th Conf. of MIPT. Moscow : MIPT, 2011. Vol. 1. P. 34.]
10. Голубев М. О. Метрическая проекция в гильбертовом пространстве и сильная выпуклость // Современные проблемы теории функций и их приложения : материалы 16-й Сарат. зимней шк. Саратов : Научная книга, 2012. C. 55-56. [Golubev M. O. Metric projection in a Hilbert space and strong convexity // Modern problems of function theory and their applications : Proc. of the 16th Saratov Winter School. Saratov, 2012. P. 55-56.]
УДК 517.51
АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ, СВЯЗАННЫХ С РЯДАМИ ФУРЬЕ-ВИЛЕНКИНА
Н. В. Егошина
Саратовский государственный университет E-mail: [email protected]
Две теоремы О. П. Гойяла, касающиеся абсолютной сходимости некоторых тригонометрических рядов, распространяются на случай систем Виленкина и Lp-модулей непрерывности.
Ключевые слова: мультипликативные системы, положительные коэффициенты Фурье-Виленкина, абсолютная сходимость.
Absolute Convergence of Some Series, Connected with the Fourier-Vilenkin Series
N. V. Egoshina
Two theorems of O. P. Goyal concerning absolute convergence of some trigonometric series are extended to the case of Vilenkin systems and Lp-modulus of continuity.
Key words: positive Fourier-Vilenkin coefficients, absolute convergence.
ВВЕДЕНИЕ
Пусть Р={р— последовательность натуральных чисел такая, что 2 < р^ < N при всех j е N и Щ = {0,1,... — 1}. По определению полагаем т0 = 1, тп = р1.. .рп при п е N. Тогда каждое число х е [0,1) имеет разложение
=
х^ m
-i
j"j
xj G Zj.
(1)
j=l
© Егошина Н. В., 2013
H. В. Егошина. Абсолютная сходимость рядов, связанных с рядами Фурье-Впленкпна__
Это разложение определяется однозначно, если при x = k/mn, 0 < k < mn, k e Z, брать разложение с конечным числом ненулевых Xj. Если y e [0,1) записано в виде (1), то по определению
оо
x © y = z = zjm-1, Zj e Zj, где Zj = Xj + yj (mod pj). Аналогично определяется операция x Q y, j=i
которая является обратной к операции x © y.
Каждое k e Z+ однозначно представимо в виде
оо
k = kj mj-1, kj e Zj. (2) j=1
Аналогично xQy, x©y, для k, l e Z+ можно определить операции k©l и kQl. Для чисел x e [0,1) вида
/ ОС \
(1) и k e Z+ вида (2) положим по определению xk (x) = exp 2ni xj kj /pj . Система {xk (x)}£=0
j=1
ортонормирована и полна в L[0,1) .
Из определения следует, что при k < mn, n e Z+, функции xk(x) постоянны на /n = [(i — 1)/mn, i/mn), i = 1, ...,mn. Также известно, что при фиксированном y e [0,1) для почти всех x e [0,1) и всех k e Z+ верно xk(x © y) = xk(x)xk(y), а для всех x e [0,1), k, l e Z+ верны равенства Хк(x)xi(x) = Xk®i(x), Xk(x)xi(x) = Xkei(x). Все эти факты можно найти в [1, гл. 1, §1.5]. ^ Для f e L1 [0,1) коэффициенты Фурье и частичная сумма Фурье задаются формулами f(i) =
1 __n —1 Л
= /о f (t)Xi(t) dt, i e Z+, Sn(f) = f(k)xk, n e N. Как обычно, пространство Lp[0,1), 1 < p < го,
k=0
/1 \ 1/P
снабжено нормой ||f ||p = ( f0 |f (t)|p dtl и модуль непрерывности первого порядка задается в нем равенством w(f,5)p = sup (f01—h |f(t + h) — f(t)|pdt)1/P. Пусть Pn = {f e L[0,1) : f(i) = 0, i > n},
n e N. Определим наилучшее приближение и дискретный модуль непрерывности для f e Lp[0,1), 1 < p < го,
En(f)p = inf{||f — Q||p : Q ePn}, n e N; ^(f)p = sup ||f (x © h) — f (x)||p, n e Z+.
he[0,1/m„)
Известно, что эти величины связаны неравенствами А. В. Ефимова (см. [1, §10.5]) 2—1o>n(f)p < < Emn (f)p < (f)p. В случае равномерной метрики En(fопределяется аналогично, тогда как ^n(f= sup{|f(x) — f (y)| : x,y e /n,k e ZП[0,mn)}, n e Z+. Если lim ^k(f= 0, то f e C*[0,1).
n—t-^o
Для {^n}n=0 I 0 пусть Я- = {f e Lp[0,1) : ^(f)p < C^n,n e Z+}.
Сверткой функций f, g e L1 [0,1) называется функция h(x) = f * g(x) = /0 f (x Q t)g(t) dt, которая существует п.в. на [0,1) и также принадлежит L1 [0,1). Известно, что (f * g)(k) = /(k)<7(k), k e Z+.
Целью нашей работы является получение аналогов двух теорем О. П. Гойяла из [2] и [3] для систем Виленкина {xk(x)}^=0 (см. теоремы 1 и 2). Кроме того, теорема 2 для равномерного модуля непрерывности распространяется на случай пространства Lp[0,1), 1 < p < го.
I. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ
n—1
Пусть Dn(x) = Xk(x). Легко видеть, что Sn(f)(x) = f * Dn(x).
k=0
Лемма 1. 1) Dmn (x) = mnX[0>1/TOn) (x), где n e Z+ и — индикатор множества E. 2) Пусть n e N и x e [0,1). Тогда |Dn(x)| < Nx—1, где 2 < pn < N. Отсюда следует, что ||Dn ||1 = O(ln(n + 1)), n e N.
Утверждение 1) леммы 1 установлено в [1, §1.5], а утверждение 2) — в [4, с. 98-100].
Лемма 2 (см. [5, лемма 10]). Пусть 1 < p < го, {wn}n=0 I 0 такова, что < Cwn+1, n e Z+, и
lim suppn+1(^n+1/^n)p > 1. (3)
n
n—^
Тогда для / е Я^ имеем /01/т" |/(Л)|р^ = О«) п е N.
Замечание 1. При = т-а, а > 0, условие (3) выполнено при ар < 1.
Лемма 3. (см. [1, §10.4, теорема 10.4.1) Если / е Ьр[0,1), 1 < р < ж, то при 0 < а,Ь < 1 справедливо неравенство
Ь гЪ г-Ь—а
|/(х) - /(у)|р СхСу < 2 И/,£)Р]Р ¿1.
' а а
2. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Теорема 1. Пусть / е Ь1[0,1) такова, что 1) /(п) = 0(п—а), а > 0; 2) |^ 1 (/(х 0 £) —
те
— /(х))| 1п2ДС£ < ж. Тогда ряд ^ (Бп(/)(х) — /(х))/п сходится абсолютно на [0,1).
п=1
Доказательство. Пусть 0 < 5 < а (можно считать 5 < 1). Для каждого п е N найдется к = к(п) е такое, что т—_ < п—5 < т—1. Обозначим /(х 0 £) — /(х) через ^х(£). Используя равенство Бп(/)(х) — /(х) = (£)Бп(£) имеем:
^|£п(/)(х) — /(х)| 1
/.-с п _ ^ п
п=1 п=1
Г1/''к(п)
/ <^х(£)Бп(£)
>о
те 1
+ Е1
п
п=1
[ <рх (£)Бп (£)
1/'к(П)
=: I +
Сначала оценим I с помощью леммы 1 и перестановки порядка суммирования:
те Г 1/'к(п) те те Г 1/г
I п—Ч |^х(£)||^п (£)| А < 1 ^ / |£—1^х (£)| А =
п=1 п=1 г=тк(п)^ 1/(г+1)
те л 1/г те г- 1/г
= / |£—1^х(£)| X] п—1 < ^^ / |£—1 ^х(£)| X] п—1 =
¿ = ^1/(г+1) Шк(п) <г /(г+1) 1<п«
= 0|У // |£—1 ^х (£)| 1п(г + 1) сИ = о( [ |£—1 ^х (£)| 1п(2/£) ¿г) .
Таким образом, I конечно в силу условия 2) теоремы. Далее, пусть
7п(х) = / ^х(£)^п(£) = / ^х(£)Х[1/Шк,1)(£)Бп(£)
Тогда Х[1/ткд) е Ртк, и поэтому произведение Х[1/Ток>1) и Бп при п = ^'тк + г, ^ е N, 0 < г < тк, принадлежит Р(^-+1)ТОк. Считая для простоты /(х) = 0, получаем, что 7п(х) есть свертка / и БпХ[1/Ток>1), откуда по формуле (д * ^)1(к) = д(к)Л,(к), к е имеем:
(^ + 1)Шк —1 „ 1
7п (х)= X] /(*) / Бп С£х^(х).
5 = ° -'1/'к(п)
3 — 1
Здесь и далее п = ^т^ + г, ^, г — как выше. Тогда Бп(£) = 5] Хгтк (£)Бтк (£) + Хзтк (£)Б(£), причем
г=°
Бтк (£) =0 на [1/тк, 1) по лемме 1. Поэтому
(3 + 1)Шк — 1 1
7п(х) = Е /Л (5) / ХЗ'к Бг (£)Х5(£) С£Х5(х).
5 = ° -'1/'к(п)
Если 5 < , то 0 5 > тк, и тогда функция Хзтк (х)%в(х) = Х3'к е^ (х) ортогональна Бг (£)Х[1/тк ;1) (£). В итоге получаем
(з + 1)Шк—1 1
7п(х) = ^ / (5М ХЗ'к (£) С£Х^(х). (4)
5=3Шк •/1/'к(п)
В силу условия 1) имеем |/(з)| < С15 а < 2аС1/па при < 5, п < (^ + 1)тк. Сумма из (4) содержит не более т^ ненулевых слагаемых, поэтому в силу неравенства т^ < п5 и леммы 1 находим, что
|7п(х)| < тк2аС1 п—а ||БГ II1 < С2п5—а 1пт^ < С25п5—а 1пп.
Н. В. Егошина. Абсолютная сходимость рядов, связанных с рядами Фурье-Впленкпна__
те те
Теперь J = £ п-1|7п(х)| < С2б £ п-1+$-а п < ж и поскольку I < ж, то получаем, что
П=1 П=1
те
£ ПI^п(/)(х)| < ж при /(х) = 0. Если же /(х) = а = 0, то рассмотрим функцию /1 (г) = /(г) — а.
п=1
Тогда /1 (х) =0 и |/(х 0 г) — /(х)| = |/1 (х 0 г) — /1(х)|, т. е. оба условия 1) и 2) выполнены для /1 и утверждение теоремы доказано для нее. Так как Бп(/)(х) — /(х) = Бп(/1)(х), то теорема доказана.
те
Теорема 2. Пусть / е С*[0,1), /(к) > 0 для всех к е Ъ+, 7 е К и ряд £ тПип(/)те сходится.
п=1
Тогда £ к7/(к) < ж. к=1
Доказательство. Легко видеть, что
тп-1 * 1 * 1 / тп
/(к) = /„ /(*)в™п (г) ¿1 = тп [ /(г) ¿1, п е N. (5)
к=0
'0
Тогда
Шп + 1 1 г- 1/ш„ +1 г- 1/ш„
V /(к) = тп+1 /(г) ¿г — тп /(г) ¿г =
к=тп -)о -)о Г 1/тп + 1 / Г1/тп \ Г 1/ш„ + 1 1/ш„
= тп+1 / /(г) — тп /(и) ¿и) ¿г < тп+1тп / |/(г) — /(и) ¿и ¿г <
Jо \ ^0 ) Jо ^0
г 1/тп 1/ш„
< Мт2п / 1/(г) — /(и)1 ¿и ¿г < Мт2пт-2Шп(/)те = ^п(/)те. (6)
00
Из (6) легко следует, что
Ш„ + 1-1 / ш„ + 1 -1 \
к7/(к) = Ытп^ / (к))= от ип (/)те). (7)
к=тп \ к=тп /
те
Суммируя соотношения (7) по п е Ъ+, получаем сходимость ряда £ к7/(к). Теорема доказана.
к=1
Следствие 1. Пусть /,д е С * [0,1), причем / удовлетворяет условиям теоремы 2. Если
те
1) ип(д)те < Сип(/)те, п е Ъ+; 2) д (к) > —/(к) при к е Ъ+, то ряд £ к7/(к) также сходится.
к=1
Доказательство. Рассмотрим Н = / + д. Тогда ип(Н)те < ип(/)те + ип(д)те < (1 + С1)ип(/)те и
к(п) = /(п)+ д(п), п е Ъ+. Поэтому функция Н удовлетворяет условиям теоремы 2 и ^ к7Н(к) < ж.
к=1
Но 1д(к)1 < 1Н(к)1 + I/(к)|, к е Ъ+, откуда вытекает утверждение следствия.
те
Следствие 2. Пусть / е С*[0,1), /(к) > 0 для всех к е Ъ+, 7 е К и ряд ^ п7-1 Еп(/)те
п=1
те
сходится. Тогда к7/(к) < ж. к=1
Доказательство следствия 2 вытекает из неравенства А. В. Ефимова и известных оценок для сумм рядов (см., например [6, лемма 6]).
те
Замечание 2. Согласно [4, с.95] для сходимости ряда ^ I/(к) достаточными являются усло-
к=1
те те . ,„
вия £ п-1/2Еп(/)те < ж или £ тп ип(/)те < ж. Теорема 2 и следствие 2 дают более слабое
п=1 п=1
достаточное условие, но при /(к) > 0, к е Ъ+.
Теперь получим аналогичные теореме 2 утверждения для Ьр-модулей непрерывности. Теорема 3. 1. Пусть 1 < р < ж, ^ > —1/р, для {ип }те=0 I 0 выполнены условия лем-
те +1/
мы 2, / е Ьр [0,1), / (к) > 0 для всех к е Ъ+ и / е И^. Если ряд £ тп ип сходится, то
п=1
те
£ к1/(к) < ж; к=1
те
Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2013. Т. 13. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 1, ч. 2 2. Пусть 1 < р < ж, 7 > — 1/р, / е 1), /(к) > 0 для всех к е и сходится ряд
ж / ^
X) тП /ро>(/, 1/ш„)р. Тогда ^ к7/(к) < ж.
П=1 к = 1
Доказательство. 1. Аналогично (5) с помощью леммы 2 и неравенства Гельдера получаем:
f (t) dt <
-1 m„-1 „ 1/mn
J] kY f (k) < m^ f (k) = шП+1 /
k=mn-1 k=0
( r 1/mn \ 1/P
< m1+Y / |f(t)|pdt (m-1 )1-1/p = 0(тГ1/р^п), n e N.
(8)
Суммируя соотношения (8) по п е М, получаем утверждение 1. 2. Аналогично (6) имеем благодаря лемме 3 и неравенству Гельдера:
mn+1-1
"1/mn г- 1/mn
£ f (k) < Nm2n / / |f (t) - f (u)| du dt <
k=m„ J0 J0
\ 1/P
-1/m„ f 1/m„
< Nmn (m-2)1-1/p(/ I |f(t) - f (u)|p du dt) <
00 \ 1/p
/ /• 1/mn \ 1/P
< Nmn/p21/M у0 ^p(f, t)p dt j = O(w(f, 1/mn)pтП/р),
n e Z
+ •
(9)
Из (9), как и ранее, следует, что
Ш„ + 1-1
£ kYf(k) = O(mn+1/pw(f, 1/mn)P), n e Z+.
k=mn
(10)
Суммируя (10) по n G Z+, получаем утверждение 2) теоремы. Теорема доказана.
Замечание 3. Поскольку o>n(/)p и о>(/, 1/mn)p в общем случае не сравнимы друг с другом, результаты частей 1 и 2 теоремы 3 независимы друг от друга.
Следствие 3. Пусть / G Lip(a,p), 0 < a < 1, 1 < p < ж, т.е. w(/, = O(5a), и / (k) > 0 для
те л
всех k G Z+. Тогда Y^ kY/(k) сходится при y < a — 1/p. k=1
Библиографический список
1. Голубов Б. И., Ефимов А. В., Скворцов В. А. Ряды и преобразования Уолша. М. : Наука, 1987. 344 с. [Golubov B. I., Yefimov A. V., Skvortsov V. A. Walsh series and transforms. Moskow : Nauka, 1987. 344 pp.]
2. Goyal O. P. On the absolute convergence of a series associated with a Fourier series // Mat. vesnik. 1965. Vol. 2(17). P. 85-88.
3. Goyal O. P. On the absolute convergence of Fourier series // Mat. vesnik. 1965. Vol. 2(17). P. 88-91.
4. Агаев Г. Н., Виленкин Н. Я., Джафарли Г. М, Рубинштейн А. И. Мультипликативные системы функций и гармонический анализ на нуль-мерных группах. Баку : Элм, 1981. 180 с. [Agayev G. N., Vilenkin N. Ya, Dzhafarli G. M., Rubinshteyn A. I. Multiplicative Systems of Functions and Harmonic Analysis on Zero-
Dimensional Groups. Baku : Elm, 1981. 180 pp.]
5. Волосивец С. С. Модифицированные операторы Хар-ди и Харди-Литтлвуда и их поведение в различных пространствах // Изв. РАН. Сер. матем. 2011. Т. 75, № 1. С. 29-52. [Volosivets S. S. Modified Hardy and Hardy-Littlewood operators and their behaviour in various spaces // Izvestiya : Mathematics. 2011. Vol. 75, № 1. P. 29-51.]
6. Волосивец С. С. Приближение функций ограниченной p-флуктуации полиномами по мультипликативным системам // Analysis Math. 1995. Vol. 21, no 1. P. 61-77. [Volosivets S. S. Approximation of Functions of bounded p-fluctuation by means of polynomials with respect to Multiplicative Systems // Analysis Math. 1995. Vol. 21, № 1. P. 61-77.]
