Абсолютная сходимость простых и двойных рядов Фурье по мультипликативным системам Текст научной статьи по специальности «Математика»

где g — функция, отображающая множество {2,..., m} во множество {0,... , n}. Поэтому

* * 3 ** * 7 *** * 6'10

pi = а* ... a*naо — а*а* ... аПао — а*а0а* ... аПао —

17

-а*а*(2) ... а*(т)ао = (^îAi)* (^2в2А2)* ... (^швтАт)*Дово --в** (^2вк )* . . . (Дт вт )* До во - в** в* . . . вШДово - в** в2* . . . вШ во = Р2.

Таким образом, тождество р < р2 принадлежит Е, т. е. VI} С Е. Теорема доказана.

Следствия 1, 2 непосредственно вытекают из теорем 1, 2 и следствия 2 работы [5].

Библиографический список

1. Вагнер В.В. Теория отношений и алгебра частичных преобразований // Теория полугрупп и ее приложения. Саратов, 1965. Вып. 1. С. 3-197.

2. Tarski A. On the calculus of relations // J. Symbolic Logic. 1941. V. 6. P. 73-89.

3. Henkin L, Monk J.D., Tarski A. Cylindric Algebras. North-Holland, Amsterdam, 1971. 311 p.

4. Schein B.M. Relation algebras and function semigroups // Semigroup Forum. 1970. V. 1. P. 1-62.

5. Бредихин Д.А. Эквациональная теория алгебр отношений с позитивными операциями // Изв. вузов. Математика. 1993. № 3. С. 23-30.

6. Andreka H, Bredikhin D.A. The equational theory of

union-free algebras of relations // Alg. Univers. 1994. V. 33. P. 12-25.

7. Бредихин Д.А. О квазитождествах алгебр отношений с диофантовыми операциями // Сибирск. мат. журн. 1997. Т. 38. С. 29-41.

8. Бредихин Д.А. Об алгебрах отношений с диофантовыми операциями // Докл. АН. 1998. Т. 360. С. 594595.

9. Bredikhin D.A. On varieties of semi-groups of relations with operations of cylindrofication // Contributions to General Algebra. 2005. V. 16. P. 1-6.

10. Boner F, Poschel F.R. Clones of operations on binary relations // Contributions to general algebras. 1991. V. 7. P. 50-70.

УДК 517.518

АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ ПРОСТЫХ И ДВОЙНЫХ РЯДОВ ФУРЬЕ ПО МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫМ СИСТЕМАМ

С.С. Волосивец

Саратовский государственный университет, кафедра теории функций и приближений E-mail: [email protected]

Устанавливаются двумерные аналоги известных условий Зигмунда и Саса для абсолютной сходимости рядов Фурье - Ви-ленкина. Также доказывается, что двумерное условие Саса является неулучшаемым в определенном смысле.

Ключевые слова: абсолютная сходимость, ряды Фурье -Виленкина, модуль непрерывности, функции ограниченной p-флуктуации.

Absolute Convergence of Single and Double Fourier Series on Multiplicative Systems

S.S. Volosivets

Saratov State University,

Chair of Theory of Functions and Approximations E-mail: [email protected]

Two-dimensional analogs of famous Zygmund and Szasz tests for absolute convergence of Fourier - Vilenkin series are established. Also it is proved that two-dimensional Szasz test is the best possible in the certain sense.

Key words: absolute convergence, Fourier - Vilenkin series, modulus of continuity, functions of bounded p-fluctuation.

ВВЕДЕНИЕ

Пусть Р={р }|=1 — последовательность натуральных чисел, такая что 2 < р^ < N при всех ] е N и = {0,1,... — 1}. По определению полагаем т0 = 1, тп = р1.. .рп при п е N. Тогда каждое число х е [0,1) имеет разложение

те

х = 1] X, X е Щ. (1)

¿=1

„Известия Саратовского университета.2009. Т.9. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып.3 Это разложение определяется однозначно, если при х = к/тп, 0 < к < тп, к е Ъ, брать разложение

n > те

с конечным числом ненулевых Xj. Если y е [0,1) записано в виде y = Y^ Vjт- , Vj е Z, то по

j=1 j

те

-1

определению x © y = z = Zjm,- , Zj e Zj, где Zj = Xj + yj (modpj). Аналогично определяется

j=i

операция x 0 y, которая является обратной к операции x © y. Каждое к e Z+ однозначно представимо в виде

те

к = кmj-1' к 6 Zj • (2) j = 1

Для чисел x e [0,1) вида (1) и к e Z+ вида (2) положим по определению

Xk(x) = exp xj kj /pj

Система {xk(x)};iL0 ортонормирована и полна в L[0,1) [1, гл. 1, §1.5]. Из определения почти сразу следует, что при к < mn, n e Z+, функции xk(x) постоянны на If = [i/mn, (i + 1)/mn), i = 0,1, • • • mn — 1. Также известно, что при фиксированном y e [0,1) для почти всех x e [0,1) верно Xk(x © y) = Xk(x)Xk(y), k e Z+. Пусть /(x) ограничена на [0,1) и osc(/,/n) = sup{|/(x) — /(y)| : x,y e If}. Тогда p-флуктуация функции / задается формулой

(mn-1 \ 1/p

F1P (/) = sup £ oscp (/, If ) , 1 < P < \ i=0 /

Для / e L[0,1) коэффициенты Фурье задаются формулой /(i) = J0)1 /(t)xi(t) dt, i e Z+. Как обыч-

/1 \ 1/p

но пространство Lp[0,1), 1 < p < го, снабжено нормой ||/||p = (f0 |/(t)|p dt) . Если ||/||те =

= sup |/(x)|, то пространство C*[0,1) P-непрерывных функций, состоящее из измеримых огра-

же[0,1)

ниченных функций / со свойством lim ||/(x © h) — /^)||те = 0, полно относительно этой нормы.

h^0

Пусть Pn = {/ e L[0,1) : /(i) = 0, i > n}, n e N. Определим наилучшее приближение и модуль непрерывности для / e Lp[0,1), 1 < p < го, или / e C*[0,1):

En(/)p = inf{||/ — Q||p : Q e Pn}, n e N,

^n(/)p = sup ||f (x © h) — / (x)||p, n e Z+.

h€[0,1/mn)

Известно, что эти величины связаны неравенством А.В. Ефимова [1, § 10.5]:

2-1 (/)р < Emn (/)р < (/)p • (3)

Система {Xi(x)Xj(y)}£j=0 также ортонормирована и полна в L[0,1)2, что позволяет определить для / e L[0,1)2 коэффициенты Фурье

1 г 1

/(i,jН/ / /(x,V)Xi(x)Xj(V) dxdV, е

./0 70

и частичную сумму Фурье

m —1n —1

Smn(/)(x,y) = ^ («,j)xi(x)xj(y), e N.

i=0 j=0

/11 \ 1/p

Пространство Lp[0,1)2 снабжено нормой ||/||p = ( f0f0 |/(x,y)|p dxdy) , а C*[0,1)2 состоит из

измеримых ограниченных функций / со свойством lim ||/(x © h,y ф k) — /(x,y)||^ = 0,

(h,fc) —> (0,0)

где ||/= sup |/ (x, y)|. Пространство C* [0,1)2 полно относительно этой нормы. Для

x,ye[ü,i)2

/ е Lp[0,1)2, 1 < p < го, также верно, что lim ||/(x © h,y © k) — /(x,y)||p = 0. Пусть

(h,k)^(0,0)

Auv/(x, y) = /(x © u, y © v) — /(x © u, y) — /(x, y © v) + /(x, y). Ясно, что из условия / е Lp[0,1)2 следует, что ||Auv/(x,y)||p ^ 0 при u,v ^ 0 и такое же свойство верно для C*[0,1)2. Поэтому мы можем ввести два модуля непрерывности

Wki(/)p = sup{||/(x © u,y © v) — /(x,y)|p : u е /q ,v е /(}, 1 < p< го, k, l е Z+,

)p = sup{|| AUv/(x, y)||p : u е /ok,v е /0}, 1 < p< го, k, l е Z+.

Ясно, что (/)p < (/)p. Если Pmn = {/ е L1 [0,1)2 : /(i,j) = 0приi > mилиj > n}, то Emn(/)p = inf{||/ — Q||p : Q е Pmn}, m,n е N. По поводу аналога неравенства А.В. Ефимова см. [2] и лемму 2.

Пусть /j = /k х /j, k, l е Z+, i = 0,1, ...,mk — 1, j = 0,1,...,тг — 1, и osc (/, /kj) = = sup{| Auv/(x,y)| : x, y е / j u, v е /Qq}. По определению p-флуктуацией функции /(x,y) называется

1 1 V 1/P

mfc — 1 m; — 1

FlP2) (/)= sup ( £ £ oscP(/,/jj) fc>1eZ+ \ i=0 j=0

Целью настоящей работы является получение двумерных аналогов классических условий абсолютной сходимости А. Зигмунда [3, гл. 6, теорема (3.6)] и О. Саса [4, теорема 3.6]. В условии Зигмунда присутствовали ограниченная вариация и равномерный модуль непрерывности, у нас же будут использоваться ограниченная p-флуктуация и интегральные модули в соответствующем пространстве.

Аналоги большинства классических результатов об абсолютной сходимости для мультипликативных систем можно найти в монографии [5, гл. 4, § 2]. Двумерные аналоги теоремы Зигмунда для системы Уолша ({х}°=0 при pj = 2), использующие ограниченную вариацию по Витали и Харди, а также равномерный модуль непрерывности, принадлежит И.А. Схиртладзе [6]. В другой работе [7] им же были даны аналоги результатов О. Саса с использованием конструкции, близкой к (/). В работе Дж. Татеока [8] в числе прочих результатов был доказан двумерный аналог классической теоремы Стечкина об абсолютной сходимости (одномерный аналог см. в работе [5, гл. 4, теорема 4.8]). Следуя [8] мы будем использовать при получении аналога теоремы О. Саса неравенства типа А.В. Ефимова (см. лемму 2).

1. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

n — 1

Лемма 1 ([1, гл. 1, § 1.5]). Пусть Dn = %k(x), n е N. Тогда Dmn(x) = mnX[01/mn), n е Z+,

k=0

где — индикатор множества E. В качестве следствия получаем, что ||Dmk(x)||p = mk—1/p и ||Dmfc (x)Dm; (y)||p = m1k—1/pm]—1/p, k,l е Z+.

При pj = 2 неравенство (4) леммы 1 доказано Ф. Морицем [2].

Лемма 2. Пусть / е Lp[0,1)2, 1 < p < го, или / е C*[0,1)2. Тогда при k,l е Z+ справедливы неравенства

2 — 1 (/)p < Emfc ,m; (/)p < ||/ — Smfc ,m; (/)|p < (/)p, (4)

(/)p < 4E mfc ,m; (/)p. (5)

Доказательство. Как легко видеть,

Smfc,mi (/)(x, y) = I / /(x © u,y © v)Dmfc (u)Dm, (v) dudv. 00

В силу леммы 1 и обобщенного неравенства Минковского получаем

||Smfc ,m; (/) — /||p < / / ||/(x © u,y © v) — /(x,y)||pDmfc (u)D m; (v) du dv =

00

„Известия Саратовского университета.2009. Т.9. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып.3

г l/m-fc г 1/mi

= mtmi / ||f(x 0 u,y 0 v) - f(x,y)||pdudv < (f)p. (6)

./о J0

Из (6) следует правое неравенство (4). С другой стороны, если Q е Pmfc, mi таков, что ||f — Q||p = = Emk,mi (f )p, то при (u, v) е /00 имеем Q(x © u,y © v) = Q(x ф u,y) = Q(x, y © v) = Q(x,y) и, как следствие,

||Auvf(x,y)|p = ||Att„(f — Q)(x,y)|p < 4||f — Q|p.

Отсюда следует (5). Здесь использована инвариантность интеграла относительно P-ичного сдвига (см. [1, § 2.1] при pi = 2). Левое неравенство (4) доказывается аналогично (5). Лемма доказана. Для формулировки следующей леммы напомним некоторые определения.

те

Пусть AQ = (а + 1) ••• (а + n)/n!, n е N, AQ =1, а > —1. Для ряда an определим

n=0

n тете

ctQ = XXAQ)-1 AQ-iai. Пусть теперь для двойного ряда ^ amn имеет место равенство

i=0 m=0 n=0

тете тете

£ £ sm,enxmyn = (1 — x)—a—1 (1 — y)—в—1 £ £ amnxmyn.

m=0 n=0 m=0 n=0

тете

Тогда 0-m в = (AOA^)-1 SO,' в. Ряд ^ amn называется |C, а, в|-суммируемым, если

m=0 n=0

тете

"V^ "V^ — aa'e — aa'e + aa'e I < те

/ y / y ^m,n "m,n —1 "m —1,n + °m —1,n —11 < те, m=1 n=1

те в те e

Y^ WOen — °m'—1 nI < те при фиксированном n е Z+ и Y! I^OO в — °m' 'n—11 < те при фиксированном

m=1 n=1

тете

m е Z+. Соответственно ряд an суммируем |C, а|, если |aQ — 1| < те.

n=0 n=l

тете

Лемма 3. 1) Пусть ряд |an| сходится, тогда ряд (AQ)—1 an суммируем |C, —а| при

n=0 n=0

0 < а < 1.

те те те те

2) Пусть |amn| < те. Тогда ряд (AOA)—1 amn суммируем |C, —а, —в|, где

m=0 n=0 m=0 n=0

0 < а, в < 1.

Доказательство утверждения 1) содержится в работе [9], утверждения 2) — в работе [10, § 3, теорема 4].

2. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Теорема 1. Пусть 1 < p < те, 1 < r < 2p, 1/p + 1/q = 1, 0 < в < 2, y + 1 — в/2 — в/2р > 0. Если

те

Flr(f) < те и сходится ряд £ mn+1—в/2—e/2p(^n(f)r+(2—r)q)в—вг/2р, т^ (i + 1)y|f(i) |в < те.

n=0 i=0

Доказательство. Аналогично [11] запишем согласно равенству Парсеваля:

II/(x ® m-i) - / (x)||2 = £ |/(i)|2|Xi(m-+i) - 1|2

i=mfc

и отметим, что при i е [mk,mk+1) верно неравенство (m^^) —1|2 > 2—2Reх(m-_|L1) > 4sin2(n/N), где pk+1 < N. Поэтому, записывая 2 = r/p + ((2 — r)q + r)/q и применяя интегральное неравенство Гельдера с показателями p и q, получаем

/mfc + x-1 \ p

|2 \ ^ ^ /дпи JV™ ^ ™-1

Е ^П < Ci(N)У/(x ф ш-^!) - f (x)||2p <

\ i=mfc /

mfc — 1 ^ „ i ч

CiШ—1 j=0 If (x ф (jPk+1 + 1)ш—) - f (x ф jm—1 )|2 dxj

j=0

mfc — 1 „ 1

< C1 m—11 V / If (x ф (jpk+1 + 1)m—+1) - f (x ф jm—1 )|r dxx j=o -70

Х (Г 1;(X Ф + - /(X © М-1)!^2"^ ^ < Сш"1 (Лг(/к ,

где г1 = г + (2 — г)д. Здесь в силу равенства q = р/(р — 1) имеем (г + (2 — г)д)(р — 1) = гр — г + 2р — — рг = 2р — г. Таким образом,

m-fc + i-1

,—1/p , .2 —г/Р/ lk ^k

£ |/(i)|2 < C2(/)m—1/p^—r/p(/)ri.

i=mfc

Используя полученную оценку, находим, что

те те mfc + i —1

£(« + 1)Y|/(i)|e < mk E |/(i)|e <

i=1 k=0 i=mfc

те /mfc + i —1 \ в/2 те

< C4 (N)£ mk £ |/(i)|2 mk—e/2 < C6(/,N)£ mk+1—в/2—e/2p (^k (/k )в—вг/2р.

k=0 \ i=mk J k=0

Теорема доказана.

Замечание 1. Для тригонометрической системы и функций ограниченной r-вариации при y = 0, в =1 аналогичный результат был получен М. Изуми и Ш. Изуми [12].

Следствие 1. Пусть Y,p, r, в такие же, как в теореме 1, r1 = r + (2 — r)q, Flr (/) < го. Тогда из

тете

сходимости ряда £ kY—в/2—e/2p(Ek (/)ri )в—вг/2р следует сходимость ряда £ (i + 1)71/(i)|e.

k=1 г=0

Для доказательства следствия 1 используется неравенство (3) и убывание Ek(/)ri.

те 1/2 те

Следствие 2. 1) Если Fl2(/) < го и £ k—3/4Efc/ (/)2 < го, то £ |/(i)| < го.

k=1 г=0

тете

2) Если Яз(/) < го и £ 3/4e1/4(/)i < го, то £ |/(i)| < го.

k=1 г=0

Для доказательства в случае 1) надо положить в = 1, r = p = q = 2, ав случае 2) — в = 1, r = 3, p = q = 2.

Следствие 3. Пусть 1 <p< го, 1 < r< 2p, 1/p + 1/q = 1, 0 <в< 2, 7 + a > в/2 + в/2р — 1,

тете

0 < a < 1. Если (/) < го и ряд £ ka+Y—в/2—e/2p(Ek(/)ri)в—вг/2р сходится, то ряд £ |/(i)|e

k=1 i=1

суммируем |C, —a|.

Доказательство. Как известно [3, гл. 3, § 1], при a > —1 и n G N имеет место соотношение 0 < Cina < Af < C2na. По следствию 1 из условия следствия 3 вытекает сходимость ряда

те Л те л те л

£ ia+Y|/(i)|e, что равносильно сходимости ряда £ Af |/(i)|e. По лемме 3 ряд £ |/(i)|e сумми-i=1 i = 1 i=1 руем |C, —a| .

Теорема 2. Пусть 1 < p < го, 1 < r < 2p, 1/p + 1/q = 1, 0 < в < 2, 5 — в/2 — в/2р > — 1, Y — в/2 — в/2p > —1, r1 = r + (2 — r)q и Fl^2 (/) < го. Если сходится ряд

тете

£5>km?(mkmi)1—в/2—e/2p (^(/к)в—er/2p , k=01=0

то £ 5|/(м)|в < го.

¿=1¿=1

Доказательство. Рассмотрим при 0 < г < шк, 0 < ] < шг, г, ^ е е , величину

У) = /(х © (гРк+1 + 1)ш"-+1, У © С?Рг+1 + 1)ш"+11) — /(х © (гРк+1 + 1)ш"-+1, У © ^шГ1 )— —/(х ф гш"1,у ф (^'рг+1 + 1)ш"[11) + /(х © гш"1 ,у ф ^ш"1). В силу равенства Парсеваля имеем

\ р

тете 2

ЕЕ )(x¿(ш"+1) — 1)(Х(ш"+11) — 1)

¿=о ¿=о

„Известия Саратовского университета.2009. Т.9. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып.3 = II/(х Ф ш—+1,у Ф ш+) - /(х Ф у) - /(х, у Ф т^;1!) + /(х, у)\\1Р <

mfc —1 ш; —1 / ^ 1 1 < ш—1ш—1 ^ ^

г=0 3=0 Ч>/0 ^

(х,У)

Аналогично доказательству теоремы 1 неравенство |(Хг(ш—+11) — 1)(х3 (ш—[11) — 1)|2 > С1(Ы) справедливо при % е [шк, шк;1), 3 е Ш, ш1;1). Поэтому, используя равенство 2 = г/р +((2 — г)д + т)/д и неравенство Гельдера, получаем

+ 1 —1 Ш; + 1 1 ^ Р Шfc —1 ш; —1 г 1 г 1

¿х ¿ух

£ £ 1/(м)12 <С2Ш—1ш—^ у А>(х,у)

ч !=т^ г=ш; / г=0 3=0 0 0

/ Г1 Г1 Г+(2—Т)а \ р— 1

Ц У0 43,(х,у) ёхёу) < С2ш—1 ш—1 (.ЯТ2)(/))Т№(/)г1 )2р—т. (7)

Далее,

тете тете + 1 1 ш; + 1 —1

££%7/|/(%,3)1в <Сз££ш^ш? £ £ 1/3 <

г = 1 3 = 1 к=0 1=0 г=шь г=ш;

те те /тк +1 — 1 ш; + 1 1 \ в/2

< Сз££ш>? £ £ |/(%,3)|2 (шк+1 ш,+1 )1—в/2 <

к=0 1=0 \ г=шь г=ш; /

тете

< С4££ш1 ш?(шкш,)1—в/2—в/2рК,(/)п)в—вт/2р. к=01=0

Теорема доказана.

Следствие 4. Пусть кроме условий теоремы 2 известно, что Т1Т(/1) < ж, Т1Т(/2) < ж, а также

тете

в/2—в/2р 10—рт/2р(,. ) < ж ^ш?+1—в/2—в/2р в—вт/2р(/ ) < ж (8)

к ик (/1 )г 1 < ик (/2)Г1 < ж, (8)

к=0 1=0

1 1 тете Л

гае /1(х) = /01 /(х,у) ¿у, /2(у) = ^ /(х,у) ¿х. Тогда £ £ (% + 1)т(3 + 1)?|/(%,3)|в < ж.

г=03=0

Доказательство. Ясно, что /(%, 0) = /1(%), /(0,3) = /2(3), %,3 е Ъ+, поэтому из (8) по теореме 1

тете

вытекает сходимость рядов £ %71/(%, 0)|в и £ 3?|/(0,3)|в. Отсюда по теореме 2 легко получаем

г=1 3=1

утверждение следствия.

Замечание 2. В условиях (8), а также в условиях ограниченности г-флуктуации, можно варьировать г и р, требуя выполнения неравенств 1 < р < ж, 1 < г < 2р.

Следствие 5. Пусть р,г,д, в — такие же как в теореме 2, Т/Т2) (/) < ж, Т\Т (/1) < ж, Т1т (/2) < ж и сходятся ряды

те те те

£ £ (%3)—в/2—в/2Р(Егз (/)Т1 )в—вт/2Р, £ %7—в/2—в/2Р(Ег (/1 ^ )в—вт/2Р,

г=1 3=1 г=1

те

£3?—в/2—в/2Р(Ез (/2)т1 )в—вт/2р.

3

3=1

Тогда

£ Е(% + 1)7(3 + 1)? 1/(%,3)1в < ж.

г=03=0

При доказательстве используется неравенство (5) и монотонность Ег3- (/)Т1 по каждому индексу. Следствие 6 (аналог теоремы Зигмунда). Если Т7(2)(/) < ж и £ )—1Е1/2(/)те < ж, то

г=1 3=1

£ £%73? /(%,3)1в < ж.

г=1 3=1

р

2

Доказательство. Формально следствие 6 не вытекает из теоремы 2, поскольку в последней требуется 1 < р < го. На самом деле, для доказательства в (7) вместо неравенства Гельдера надо записать

т^-1 т,-1 2 (-1 (-1 ^-1 тг-1

ЕЕ А* (х,у) ¿хйу < Е № (х, у) ¿х ¿у < я12)(/).

¿=0 ¿=0 ^ 70 ./0 70 ¿= ¿=0 '

Далее рассуждения аналогичны доказательству теоремы 2 и следствия 5.

Следствие 7. Пусть 7, р, г, д, в _ такие же как в теореме 2, причем 7,5 е (0,1),

, . тете те те Л

Л(2)(/) < го, и сходится ряд Е Е ¿775(¿7)-в/2-в/2р(^(/)Г1 )в-вг/2р. Тогда ряд £ Е I/(¿,7)1в

¿=1 ¿ = 1 ¿=1 ¿ = 1

суммируем |С, —7, —5|.

Доказательство. Аналогично следствию 5 из условия выводим сходимость ряда

тете

Е Е ¿7751/(¿,7) Iе, что в силу отмеченного при доказательстве следствия 3 неравенства рав-¿=1¿=1

тете

носильно сходимости ряда Е Е А7А51/(¿,7)|в. Результат следствия получается с помощью

¿=1 ¿=1

леммы 3.

Теперь дадим признак сходимости рядов из коэффициентов Фурье, в котором участвует модуль непрерывности .кг (/)р при к = 1. Введем множество индексов

Яг = {(¿,7) : 0 < 7 < т,} \ {(¿,7) : 0 < 7 < т,-}, 1 е N.

Теорема 3. Пусть / е [0,1)2, 1 <р < 2, 1/р + 1/д = 1, 0 < в < д, 7 + 5 + 2 — 2в/д > 0. £сли

те \ х \ о оа / а тете Л

сходится ряд Е тк ^(/)р, то Е £(« + 1)7(7 + 1)51/(¿,7)1в < го.

к=0 ¿=0¿=0 Доказательство. С помощью неравенства Хаусдорфа - Юнга и (4) имеем при 1 е N

/ \ 1-в/^ ✓ \ в/9

£ (* + 1)7(7 + 1)51/(¿,7)1в ^ Е ((* + 1)7(7 + 1)5)9/(9-в) Е I/(¿,7)М <

(¿.¿)едг х^Яед, / х^Яед, /

/ \ 1-в/9

< т(7+5)9/(9-в) £ 1 И^.т, (/) — 5т,_1,т1_1 (/)||? < С т«^9^-^9^^ (/)р.

\ (¿¿)ед, /

В итоге получаем

те те те

Е £(* +1)7(7 +1)51/(¿,7)1в = 1/(0,0)1в + £ Е (* +1)7(7 +1)51/(¿,7)1в <

¿=0 ¿=0 г=1 (¿.¿)едг

те

< I/ (0, 0)Iе + С2 Е т/+5+2-2в/9Ет,,т, (/)р. г=0

В силу (4) ясно, что сходимость последнего ряда вытекает из условия теоремы. Теорема доказана. Следствие 8 (аналог теоремы Саса). Пусть / е £р[0,1)2, 1 < р < 2, и сходится ряд

те , те те Л

Е т^(/)р. Тогда Е Е I/(¿,7)I < го. В частности, это верно, если сходится ряд к=0 ¿=0¿=0 те

Е тк.кк(/)2.

к=0

Теорема 4. Пусть 7, 5, в, р, 9 _ такие как в теореме 3, а {.,}те=0 убывает к нулю и удовлетворяет условию Бари Е = 0(.г). £сли расходится ряд Е т/+5+2-2в/9.в, то существует

к=г+1 г=0

тете

/ е [0,1)2, такая что (/)р = 0(.г) и при этом ^ Е (^ + 1)7(7 + 1)51/(¿, 7)Iе = го.

¿=0¿=0

те

Доказательство. Рассмотрим функцию /0(х, у) = Е т- /9Е X(х)х(у). Тогда согласно

г=1 (¿.¿)едг

(4), лемме 1 и условию Бари мы находим, что

„Известия Саратовского университета.2009. Т.9. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып.3

wii (

(/о)Р < 2Ешьшг(/o)p < 2||/ — 6Щ,г>ТОг(/q< 2 ^ ||D

— D II <

'mfc ,mfc Dmfc_i,mfc_i Hp <

< 4 £ m—2/qmk/q < C^. k=i+i

С другой стороны, в силу условия теоремы

тете те Ш;—1 Ш; —1

££(i + 1)Y(j + 1)'l/(M)1в >£(m-2/q^)в £ £ (i + 1)Y(j + 1)' >

г=0 j=0 l = 1 i=m;_i j=m;_i

те Ш; —1 Ш; — 1 те

>£ m—2e/qwf N—2mY+5 £ E 1 > C^ m7+5+2—2e/qwf -

l = 1 г=ш;-1 j=m;_1 l=0

W7 —

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ для государственной поддержки ведущих научных школ РФ (проект НШ-2970.2008.01).

Библиографический список

1. Голубов Б.И., Ефимов А.В., Скворцов В.А. Ряды и преобразования Уолша. М.: Наука, 1987.

2. Moricz F. Approximation by double Walsh polynomials // Intern. J. Math. Math. Sci. 1992. V. 15, № 2. P. 209220.

3. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 1. М.: Мир, 1965.

4. Szasz O. Fourier series and mean moduli of continuity // Trans. Amer. Math. Soc. 1937. V. 42, № 3. P. 366395.

5. Агаев Г.Н., Виленкин Н.Я., Джафарли Г.М., Рубинштейн А.И. Мультипликативные системы функций и гармонический анализ на нуль-мерных группах. Баку: Элм, 1981.

6. Схиртладзе И.А. Об абсолютной сходимости рядов Фурье - Уолша // Сообщ. АН ГССР. 1971. Т. 64, № 2. С. 273-276.

УДК 517.977

7. Схиртладзе И.А. Об абсолютной сходимости и суммируемости простых и кратных рядов Фурье - Уолша // Сообщ. АН ГССР. 1973. Т. 69, № 1. С. 17-20.

8. Tateoka J. Absolute convergence of double Walsh -Fourier series // Acta Sci. Math. (Szeged). 2006. V. 72, № 1-2. P. 101-115.

9. Sunouchi G.I. Notes on Fourier analysis. XI. On the absolute summability of Fourier series // J. Math. Soc. Japan. 1949. V. 1, № 2. P. 122-129.

10. Жак И.Е., Тиман М.Ф. О суммировании двойных рядов // Мат. сб. 1954. Т. 35(77), № 1. С. 21-56.

11. Волосивец С.С. Приближение функций ограниченной p-флуктуации полиномами по мультипликативным системам // Analysis Math. 1995. V. 21, № 1. P. 61-77.

12. Izumi M, Izumi S. On absolute convergence of Fourier series // Arkiv for Matematik. 1967. V. 7, № 12. P. 177-184.

ОБ ИТЕРАЦИОННОМ МЕТОДЕ ПОСТРОЕНИЯ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫМИ СИСТЕМАМИ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

И.В.Гребенникова

Уральский государственный университет, Екатеринбург, кафедра прикладной математики E-mail: [email protected]

Рассматривается задача управления по минимаксному критерию для сингулярно возмущенной системы с запаздыванием. Предлагается итерационная процедура построения управляющего воздействия, аппроксимирующего оптимальное решение с заданной степенью точности относительно малого положительного параметра.

Ключевые слова: сингулярно возмущенная система с запаздыванием, оптимальное управление, фундаментальная матрица.

On Iterative Method of Constructing Optimal Control for Singularly Perturbed Systems with Delay

I.V. Grebennikova

Ural State University, Ekaterinburg, Chair of applied mathematics E-mail: [email protected]

The control problem for the singularly perturbed system with delay according to the minimax criterion is considered. Iterative procedure of constructing control response that approximates the optimal solution with given accuracy with respectto a small positive parameter is proposed.

Keywords: singularly perturbed system with delay, optimal control, fundamental matrix.

те