Абелевы группы как артиновы или нетеровы модули над кольцами эндоморфизмов. Ч. 3 Текст научной статьи по специальности «Математика»

Естественные науки

УДК 512.541

АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ КАК АРТИНОВЫ ИЛИ НЕТЕРОВЫ МОДУЛИ НАД КОЛЬЦАМИ ЭНДОМОРФИЗМОВ. Ч. 3

П.А. Крылов*, Е.И. Подберезина

*Томский государственный университет

Томский политехнический университет E-mail: [email protected]

Описаны абелевы группы A и B такие, что группа гомоморфизмов Hom(A,B) является артиновым модулем над кольцом эндоморфизмов группы B. Описание групп A и B, для которых группа Hom(A,B) является артиновым модулем над кольцом эндоморфизмов группы A, сведена к случаю, когда группа A не имеет кручения, а группа B - либо квазициклическая группа, либо делимая группа без кручения. Охарактеризованы абелевы группы A и B, для которых группа Hom(A,B) есть нётеров модуль над кольцом E(A) или E(B). Исследование произвольной абелевой группы с нётеровым слева кольцом эндоморфизмов сведено к исследованию группы без кручения с нётеровым слева кольцом эндоморфизмов. Исследование группы с нётеровым справа кольцом эндоморфизмов осталось незавершённым. Описаны сепарабельные абелевы группы без кручения с нётеровыми слева или справа кольцами эндоморфизмов.

Проблема описания групп А и В таких, что Е(В)-модуль Иош(А,В) нётеров, в определённом смысле сведена к случаям циклической группы А простого порядка и групп А и В без кручения (теорема 5 [1. С. 69]).

Предложение 9. Если Е(В)-модуль Иош(А,В) нё-теров, то

____т

А = Н ©X® Z (р™) © О,

п 1=1

где Н - конечная группа, О - редуцированная группа без кручения, п,теЫ,

к

^=с ©£®е ©£®Е® z (р1) ®о ',

П '=1 п

где С - ограниченная, О' - редуцированная группа без кручения, кеЫ, п, П - некоторые кардиналы.

Отметим большое значение следствия 27.3 из [2] для доказательства этого предложения. Из предложения 9 вытекает, что нётеровость изучаемого модуля эквивалентна нётеровости следующих четырёх Е(В)-модулей: Иош(Н,В), Иош(^(р"),В), Иош(О,В), Иош(0,В), где Н - конечная группа, О - редуцированная группа без кручения.

Предложения 10, 11 дают ответ на вопрос: когда Е(В)-модуль Иош(0,В) нётеров?

Предложение 10. Пусть !®7(р") - делимая р-компонента группы В. Тогда Е(В)-модуль Иош(б,£®/(р™)) не нётеров.

Предложение 11. Допустим, что группа В не содержит квазициклических групп. Тогда Е(В)-мо-дуль Иош(б,]С®0) нётеров.

В предложении 12 установлена нётеровость Е(В)-модуля Иош(7(р"),В).

Предложение 12. Пусть 1®7(р") - делимая часть р-компоненты группы В. Тогда Е(В)-модуль Иош^р^^УЧр')) нётеров.

Интересно доказательство этого предложения: построена убывающая цепочка его подмодулей и доказано, что других собственных подмодулей у этого модуля нет.

Что касается Е(В)-модуля Иош(Н,В), то его нё-теровость, понятно, равносильна нётеровости Е(В)-модулей вида Иош(1(рк),В) для чисел р, относящихся к группе Н (напомним, что Н - конечная группа). Нётеровость же Е(В)-модулей такого вида равносильна нётеровости Е(В)-модуля Иош(1(р),В) согласно предложению 13.

Предложение 13. Е(В)-модуль Иош(1(рк),В) нётеров тогда и только тогда, когда нётеров модуль Иош(Др),В).

Известно, что справедлив канонический изоморфизм Е(В)-модулей:

Иош(7(р),В)=В[р].

Следовательно, в связи с изучением Е(В)-моду-ля Иош(Др),В) возникает задача о нётеровости нижнего слоя В[р] как Е(В)-модуля. Иными словами, когда всякая возрастающая цепь вполне характери-

стических подгрупп группы В, лежащих в B[p], стабилизируется?

Предложение 14. Пусть Dp - делимая p-компо-нента группы В, G - редуцированная группа без кручения. Е(В)-модуль Hom(G, Dp) не нётеров.

Этот факт используется при изучении смешанной группы с нётеровым слева кольцом эндоморфизмов.

Теорема 5 является основным результатом исследования групп A и В таких, что Е(В)-модуль Hom(A,B) нётеров.

Теорема 5. Пусть A и В - группы. Е(В)-модуль Hom(A,B) нётеров тогда и только тогда, когда

____m

A = H ©X©Q ©X®Z (Pj ) © G,

n j=l

где H - конечная группа, G - редуцированная группа без кручения, n,meN,

k

S = C ©X©Q ©X©DPi © G ',

n i=1 '

где C - ограниченная группа, Dp - делимая р,-ком-понента группы S, G' - редуциро ванная группа без кручения, keN, n - некоторый кардинал; для любого p, относящегося к группе H, Е(В)-модуль Нот(1(р),В) нётеров, причём:

а) если k^0, то

__m k

A = H©X®z(Pj), S = C©X©DPi;

j=i ¡=1 '

б) если k=0, но n^0, то

A = H ©X©Q © G, S = C ©X©Q © G ',

n n

где r(G)<co и Е(В)-модуль Hom(G,S/M) нётеров, где M=C©I©Q;

n

в) если k=n=0, то

-=H©G, S=C©G', для любого p, относящегося к группе S, rp(G)<co и Е(В)-модуль Hom(G,S/C) нётеров.

Основная идея её доказательства та же, что и теоремы 3: построение индуцированных точных последовательностей Е(В)-модулей. Доказательство необходимости теоремы 5 также опирается на предложения 9, 13. Если обе группы A и В не имеют кручения, то в вопросе о нётеровости Е(В)-мо-дуля Hom(A^) можно лишь надеяться на некоторые частичные результаты.

Приведём некоторые следствия теоремы 5. Следствие 14. Пусть A и В - периодические группы. Е(В)-модуль Hom(A^) нётеров тогда и только тогда, когда

__m k

A = H©X©Z(pJ), S = C©X©Dp ,

j=1 ¡=i '

где m,keN, H - конечная группа, C - ограниченная группа, Dp - делимая р,-компонента группы S, для любого p, ' относящегося к группе H, Е(В)-модуль HomZ^)^ нётеров.

Следствие 15. Пусть А и В - делимые группы. Е(В)-модуль Нот-А,В) нётеров тогда и только тогда, когда группы А и £ либо обе периодические, либо обе не имеют кручения, причём: в первом случае

_ т к

А = Х®), £=Х®^;

1=1 1=1

во втором случае

А=х®е, £=1®а

п п

где т,п,кеЫ, п - некоторый кардинал.

Следующие три следствия вытекают из предложения 14 и теоремы 5.

Следствие 16. Пусть А - редуцированная группа без кручения, В - периодическая группа. Е(В)-мо-дуль Нот(А,В) нётеров тогда и только тогда, когда след £ есть ограниченная группа и для любого р, относящегося к группе А, гр(А)<со.

Следствие 17. Пусть А - редуцированная группа без кручения, В - делимая группа. Е(В)-модуль Нот(А,В) нётеров тогда и только тогда, когда след £ не имеет кручения и г(А)<со.

Следствие 18. Пусть А - редуцированная группа без кручения, а группа В такова, что её часть без кручения является делимой группой. Е(В)-модуль Нот(А,В) нётеров тогда и только тогда, когда след £ равен прямой сумме ограниченной группы и делимой группы без кручения, причём: а) если след £ содержит хотя бы одну группу 0, то г(А)<со; б) если след £ - ограниченная группа, то для любого р, относящегося к группе £, гр(А)<со.

Из теорем 3 и 5 можно вывести условия, при которых Е(В)-модуль Нот(А,В) артинов и нётеров одновременно.

Следствие 19. Пусть А и В - периодические группы. Е(В)-модуль Нот(А,В) артинов и нётеров тогда и только тогда, когда след £ есть ограниченная группа, причём для любого р, относящегося к группе £, редуциров-нная р-компонента группы В ограничена. Группа А является кон-чной и для любого р, относящегося к группе А, Е(В)-модуль Нот(^р),В) нётеров.

Следствие 20. Пусть А и В - делимые группы. Е(В)-модуль Нот(А,В) арти-ов и нётеров тогда и только тогда, когда группы- А и £ не имеют кручения, причём ранг группы А конечен.

Следствие 21. Пусть А - редуцированная группа без кручения, В - периодическая группа. Е(В)-мо-дуль Нот(А,В) артинов и нётеров тогда и только тогда, когда след £ является ограниченной группой; для любого р, относящегося к группе £, редуцированная р-компонента группы В ограничена и для любого р, относящегося к группе £, гр(А)<со.

Следствие 22. Пусть А - редуцированная группа без кручения, В - делимая группа. Е(В)-модуль Нот(А,В) артинов и нётеров тогда и только тогда, когда след £ не имеет кручения и ранг группы А конечен.

Следствие 23. Пусть А - редуцированная группа без кручения, а группа В такова, что её часть без кручения является делимой группой. Е(В)-модуль Иош(А,В) артинов и нётеров тогда и только тогда, когда след £ равен прямой сумме ограниченной группы и делимой группы без кручения; для любого р, относящегося к группе £, редуцированная р-ком-понента группы В ограничена, причём: а) если след £ содержит хотя бы одну группу 0, то г(А)<ао, б) если след £ является ограниченной группой, то для любого р, относящегося к группе £, гР(А)<оо.

Описание групп А и В, таких, что Е(А)-модуль Иош(А,В) нётеров, сведено к случаям группы А с неограниченной р-компонентой хотя бы для одного р, относящегося к следу группы А в группе В и групп без кручения А и В (теорема 49 [3. С. 69]).

Теорема 6. Пусть А и В - некоторые группы и пусть редуцированная р-компонента группы А ограничена для любого р, относящегося к следу £ группы А в группе В. Е(А)-модуль Иош(А,В) нёте-ров тогда и только тогда, когда

_ п _

А = ^©БР1 ©Е©0 © С ©

£=£©z р) ©х®е © н ©о',

1=1 т

где п,теЫ, п - некоторый кардинал, Бр - делимая р,-компонента группы А, С - ограничен^ая группа, Н - конечная группа, О и О' - редуцированные группы без кручения, причём:

а) если п^0, то

А = ]Г ©Бр © С © О,

I=1 '

п

£ = £©Z (р1) ©Х©б © Н © О',

1=1

и Е(А)-модуль Иош(А/М,£), где М=©БР©С, нётеров;

б) если п=0, но т^0, то

А = Х©6 © С © О,

п

£ = ^ ©0 © н © о',

т

и Е(А)-модуль Иош(А/Х,£), где Ь=|?0©С, нётеров;

в) если п=т=0, или

£=Н©О', то -=С©О

и Е(А)-модуль Иош(А/С,£) нётеров.

Доказательство теоремы 6, которая относится к основным результатам работы, опирается на построение индуцированных точных последовательностей Е(А)-модулей, теорему 1 и следующие предложения.

Предложение 15. Пусть Е(А)-модуль Иош(А,В) нётеров. Тогда группа £ есть прямая сумма конечного числа слагаемых:

£ = £©z р) ©х©0 © н ©о ',

1 =1 т

где п,теЫ, Н - конечная группа, О' - редуцированная группа без кручения.

Предложение 15 даёт информацию о строении следа группы А в группе В для нётерова Е(А)-мо-дуль Иош(А,В). Подчеркнём значительную роль следствия 27.3 из книги [2] в его доказательстве. Из предложения 15 (если учесть вид некоторых подмодулей Е(А)-модуля Иош(А,В)) вытекает, что нё-теровость Е(А)-модуля Иош(А,В) равносильна нё-теровости следующих его подмодулей: Иош(А,2|Р)), Иош(А,0), Иош(А,г(р«')), Иош(А,О), где О' - редуцированная группа без кручения. Кроме того, зная строение следа группы А в группе В, легко сделать вывод о строении коследа группы В в группе А.

Предложение 16. Пусть Бр - делимая р-компо-нента группы А. Е(А)-модуль Иош(Бр,1(р"")) нётеров.

Интересна идея доказательства предложения 16: выписана убывающая последовательность подмодулей Е(А)-модуля Иош(Бр^(р)), существованием которой ранее была обоснована неартино-вость этого модуля, и показано, что других собственных подмодулей у этого модуля нет.

Предложение 17. Пусть Г=2?0, где п - некоторый кардинал. Е(Р)-модуль Иош(У,1(р'°)) не нёте-ров и не артинов.

Предложение 18. Пусть след £ группы А в группе В содержит хотя бы одну квазициклическую группу, - делимая часть без кручения группы А, п -некоторый кардинал, Бр - делимая р-компонента группы А и Б=БР©Е®0. Е(А)-модуль Иош(Б,1(р")) не нётеров и не артинов.

Предложение 19. Пусть Б - делимая часть группы А, Бр - периодическая часть группы Б, то есть Б=Бр©!©0 для некоторго кардинала п. Е(А)-мо-дуль Иош(Б,0) нётеров и артинов.

Приведём следствие теоремы 6.

Следствие 24. Пусть А и В - делимые группы. Е(А)-модуль Иош(А,В) нётеров тогда и только тогда, когда след £ группы А в группе В является делимой группой конечного ранга, причём:

а) если след £ содержит квазициклическую группу,

то А является периодической группой с конечным числом р-компонент;

б) если след -£ не содержит квазициклическую

группу, то А есть группа без кручения.

Следствие 25. Пусть А и В - периодические

группы и пусть редуцированная р-компонента группы А ограничена для любого р, относящегося к следу £. Е(А)-модуль Иош(А,В) нётеров тогда и только тогда, когда след £ равен прямой сумме конечной группы и делимой периодической группы конечного ранга, а А есть прямая сумма ограниченной группы и делимой периодической группы с конечным числом р-компонент.

=1

Из теоремы 6 и следствия 15 вытекает следствие.

Следствие 26. Пусть А и В _ делимые группы. Группа Иош(А,В) является нётеровым Е(А)-моду-лем и нётеровым Е(В)-модулем тогда и только тогда, когда группы А и £ имеют конечный ранг, причём либо они обе периодические, либо обе без кручения.

Следующее следствие вытекает из теоремы 6 и следствия 14.

Следствие 27. Пусть А и В _ периодические группы и редуцированная р-компонента группы А ограничена для любого р, относящегося к следу £. Группа Иош(А,В) является нётеровым Е(А)-моду-лем и одновременно нётеровым_Е(В)-модулем тогда и только тогда, когда группы А и £ равны прямой сумме конечной группы и делимой пер-иодической группы конечного ранга (ранги групп А и £ конечны, но совпадать не обязаны) и для любого-, относящегося к редуцированной части группы А, нете-ровым является Е(В)-модуль Иош(Др),В). Приведём следствия теорем 6 и 4. Следствие 28. Пусть А и В _ делимые группы. Е(А)-модуль Иош(А,В) арти_ов и нётеров тогда и только тогда, когда группы А и £ не имеют кручения и ранг группы £ конечен.

Следствие 29. Пусть А и В _ периодические группы. Е(А)-модуль Иош(А,В) артинов и нётеров тогда и только тогда, когда след £ равен прямой сумме конечной группы и делим-ой периодической группы конечного ранга, группа А является ограниченной и для любого р, относящегося к группе В, редуцированная р-компонента группы А ограничена.

Следствие 30. Пусть группы А и В таковы, что их части без кручения являются делимыми группами. Е(А)-модуль Иош(А,В) артинов и нётеров тогда и только тогда, когда для любого р, относящегося к группе В, редуцированная р-компонента группы А ограничена; след £ равен прямой сумме конечной группы и делимой группы конечного ранга, причём:

а) если группа £ содержит квазициклическую груп-пу, то она является периодической, а группа А является ограниченной;

б) если группа £ не содержит квазициклическую группу, но содержит конечное число копий группы 0, то она равна прямой сумме конечной группы и делимой г-руппы без кручения конечного ранга, а группа А есть прямая сумма ограниченной группы и делимой группы без кручения;

в) е-сли же след £ есть конечная группа, то группа А является ограниченной.

Известно строение произвольных абелевых групп с артиновыми кольцами эндоморфизмов. Кольцо эндоморфизмов Е(А) группы А артиново слева (или справа) тогда и только тогда, когда А=В®Б, где В _ конечная группа, Б _ делимая группа без кручения конечного ранга (теорема

111.3 из [4]). Описаны также периодические абеле-вы группы с нётеровыми справа (или слева) кольцами эндоморфизмов. Кольцо Е(А) периодической группы А нётерово справа (или слева) тогда и только тогда, когда А - прямая сумма конечного числа коциклических групп (предложение 111.4 из [4]). Напомним, что коциклическая группа _ это или циклическая р-группа, или квазициклическая группа. В противоположность условию минимальности условие максимальности, наложенное на кольцо эндоморфизмов, не слишком ограничивает групповую структуру.

Лемма 6. Пусть А _ смешанная абелева группа с нётеровым кольцом эндоморфизмов. Тогда А=Ш>0, где Т _ прямая сумма конечного числа коцикличе-ских групп, О _ группа без кручения.

Из этой леммы вытекает, что если кольцо эндоморфизмов смешанной группы А нётерово, то его можно представить кольцом матриц:

Е (А) =

Е (Т) Иош(О ,Т)

0

Е (О)

где О и Т - такие группы, как в лемме 6. Согласно упр. 6 [5. С. 165] такое кольцо матриц нётерово слева (соответственно справа) тогда и только тогда, когда кольца Е(Т) и Е(О) нётеровы слева (соответственно справа) и Е(Т)-модуль Иош(О,7) нётеров (соответственно Е(О)-модуль Иош(О,Т) нётеров).

Таким образом, изучение группы А с нётеровым кольцом эндоморфизмов Е(А) тесно связано с изучением нётерова модуля Иош(О,7) над кольцами эндоморфизмов групп О и Т, где группы О и Т такие, как в лемме 6.

Исследование произвольных абелевых групп с нётеровым слева кольцом эндоморфизмов удалось полностью свести к исследованию групп без кручения с нётеровым слева кольцом эндоморфизмов [6].

Предложение 20. Пусть О _ группа без кручения, Т _ прямая сумма конечного числа коцикли-ческих групп. Е( 7)-модуль Иош(О, Т) нётеров тогда и только тогда, когда Т _ редуцированная группа и для любого р, относящегося к Т, гр(О) конечен.

Теорема 7. Пусть А _ смешанная группа. Кольцо Е(А) нётерово слева тогда и только тогда, когда А=Т§О, где Т _ конечная группа, О _ группа без кручения такая, что кольцо Е(О) нётерово слева и для любого р, относящегося к Т, гр(О) конечен.

Исследование смешанных групп с нётеровыми справа кольцами эндоморфизмов осталось незавершённым; свести их изучение к изучению групп без кручения с нётеровыми справа кольцами эндоморфизмов не удалось. Это связано с тем, что не удалось в общем случае ответить на вопрос о нёте-ровости правого Е(О)-модуля Иош(О,Т), где О _ редуцированная группа без кручения, Т - прямая сумма конечного числа коциклических групп. Ответ получен при некоторых ограничениях на группу О ([6]).

Предложение 21. Пусть О - группа без кручения, р - простое число, Б - делимаяр-группа. Если О - либо не р-делимая группа, либо О - р-делимая группа и кольцо Е(О) счётно, то Е(О)-модуль Иош(О,Б) не является нётеровым.

Предложение 22. Пусть О - группа без кручения, Т - конечная группа. Если гр(О) конечен для каждого р, относящегося к группе Т, то Е(О)-мо-дуль Иош(О,7) нётеров.

Предложения 21 и 22 позволяют сделать некоторые выводы о строении смешанных групп с нёте-ровыми справа кольцами эндоморфизмов.

Следствие 31. Пусть группа Л=Т®О, где О -группа без кручения с нётеровым справа кольцом Е(О), Т - конечная группа, причём гр(О) конечен для всякого р, относящегося к группе Т. Тогда кольцо Е(Л) нётерово справа.

Следствие 32. Пусть группа Л=Т®О, где О -группа без кручения со счётным кольцом Е(О) (например, группа О имеет конечный ранг), Т - прямая сумма конечного числа коциклических групп. Если кольцо Е(Л) нётерово справа, то Т - редуцированная группа (или, что здесь равносильно, Т -конечная группа).

Следствие 33. Пусть Л - смешанная группа конечного ранга без кручения. Кольцо Е(Л) нётерово справа в том и только в том случае, когда Л=Т®О, где О - группа без кручения конечного ранга с нё-теровым справа кольцом Е(О), Т - конечная группа.

Напомним, что группа без кручения Л называется сепарабельной, если каждое конечное подмножество элементов из Л содержится в некотором вполне разложимом прямом слагаемом группы Л.

Получено исчерпывающее описание сепара-бельных абелевых групп без кручения с нётеровы-ми слева или справа кольцами эндоморфизмов [7].

Теорема 8. Кольцо эндоморфизмов сепарабель-ной группы без кручения О нётерово справа тогда и только тогда, когда О является вполне разложимой группой конечного ранга и типы её однородных компонент попарно несравнимы.

Теорема 9. Пусть О - сепарабельная группа без кручения. Кольцо Е(О) нётерово слева тогда и только тогда, когда группа О является вполне разложимой группой конечного ранга и типы её различных однородных компонент или несравнимы, или сравнимы за счёт бесконечностей.

Это описание существенно опирается на исследование группы Иош(Л,В), где Л и В - группы без кручения ранга 1, как нётерового Е(В)-модуля или Е(Л)-модуля.

Приведём следствия теорем 8 и 9.

Следствие 34. Кольцо эндоморфизмов сепара-бельной группы без кручения конечного ранга, типы всех прямых слагаемых ранга 1 которой идем-потентны, нётерово слева.

Следствие 35. Если кольцо эндоморфизмов се-парабельной группы без кручения нётерово справа, то оно нётерово слева.

Из теоремы 8 и следствия 34 вытекает хорошо известный факт, что кольцо эндоморфизмов группы 2® 0, изоморфное кольцу матриц

нётерово слева, но не нётерово справа. То же верно для групп бр©е, 2® 0р.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Подберезина Е.И. Группа Иош(Л,В) как нётеров модуль над кольцом эндоморфизмов группы в // Абелевы группы и модули. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 2000. - Вып. 15. - С. 190-199.

2. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. - М .: Мир, 1974. - Т. 1. - 335 с.

3. Крылов П.А., Подберезина Е.И. Группа Иош(Л,В) как нётеров модуль над кольцом эндоморфизмов группы в // Исследования по математическому анализу и алгебре / Под ред. член-корр. РАО, проф. И.А. Александрова, проф. П.А. Крылова. -Томск: Изд-во Том. ун-та, 2000. - С. 63-76.

4. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. - М.: Мир, 1977. - Т. 2.

- 416 с.

5. Каш Ф. Модули и кольца. - М.: Мир, 1981. - 368 с.

6. Крылов П.А., Подберезина Е.И. Строение смешанных абеле-вых групп с нетеровыми кольцами эндоморфизмов // Абелевы группы и модули. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 1994. -Вып. 11-12. - С. 121-129.

7. Подберезина Е.И. Строение сепарабельных абелевых групп без кручения с нётеровыми кольцами эндоморфизмов // Абелевы группы и модули. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 1990. - Вып. 9.

- С. 77-83.