О равенстве нулю группы Hom(−, c) Текст научной статьи по специальности «Математика»

Серия «Математика» 2014. Т. 7. С. 46—51

Онлайн-доступ к журналу: http://isu.ru/izvestia

ИЗВЕСТИЯ

Иркутского государственного университета

УДК 512.541

О равенстве нулю группы Нош(—, С) *

В. М. Мисяков

Томский государственный университет

Аннотация. Хорошо известно, что множество гомоморфизмов из фиксированной абелевой группы А в фиксированную абелеву группу В образует абелеву группу по сложению, обозначаемую через Иош(А, В). Группы гомоморфизмов абелевых групп обладают многими замечательными свойствами. Так, например, они ведут себя как функторы в категории абелевых групп. В некоторых важных случаях можно выразить инварианты группы Нош(А, В) через инварианты групп А и В. Например, если А — периодическая или если В — алгебраически компактная абелевы группы. Если А = В, то группа Нош(А, В) = Епс!(А, В) называется группой эндоморфизмов группы А, которую можно превратить в кольцо, обозначаемое Е(А). Изучение групп гомоморфизмов и колец эндоморфизмов является важной задачей теории абелевых групп. В частности, описание абелевых групп таких, что Нош(А, В) = 0 является одной из открытых проблем в теории абелевых групп. Группа Нош(А, В) = 0 в следующем, например, случае. Пусть абелева группа О разлагается в прямую сумму своих подгрупп А и В, причём А — вполне характеристическая подгруппа в группе О, т. е. А отображается в себя при любом эндоморфизме группы О. Тогда Нош(А, В) = 0. Вполне характеристической подгруппой является, например, её периодическая часть. В статье рассматривается условие, эквивалентное равенству нулю группы гомоморфизмов произвольной группы в группу без кручения.

Ключевые слова: абелева группа; группа гомоморфизмов.

В [1] С. Я. Гриншпоном сформулирована проблема 2: «Выяснить, для каких групп А группа гомоморфизмов Нош(А, С) равна нулю, где С — вполне разложимая группа без кручения». Для периодической абелевой группы С эта задача была решена в работе [2]. Близкие вопросы рассматривались также в работах [5], [6], [7], [8], [9]. В данной заметке даются некоторые необходимые и достаточные условия равенства нулю группы Нош(А, С) для произвольной группы без кручения С. В работе под словом «группа» понимается абелева группа. Все стандартные определения и обозначения можно найти в [10], [11].

* Исследование выполнено при поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации, соглашение 14.B37.21.0354 «Сохранение алгебраических и топологических инвариантов и свойств отображениями».

Введем некоторые обозначения: Нот(А, С) — группа гомоморфизмов из группы А в группу С; ш(/) (кег(/)) — образ (ядро) гомоморфизма /; < с > — циклическая группа, порождённая элементом с; ¿(с) (¿(С)) — тип элемента с (группы С); о(а) — порядок элемента а; Гш — свободная группа с т свободными образующими; 2 — группа целых чисел; Т(А) — периодическая часть группы А.

В следующей лемме описание группы А, для которой выполняется равенство Нот(А, С) = 0, в случае когда С — группа без кручения, сводится к случаю, когда А — непериодическая, неделимая группа.

Лемма. Пусть С — ненулевая группа без кручения. Группа Нот(А, С) = 0 тогда и только тогда, когда группа А удовлетворяет одному из следующих условий:

1) А — периодическая группа;

2) А — непериодическая группа, С — редуцированная группа, причём либо А — делимая группа, либо Нот(А, С) = 0, если А — непериодическая, неделимая группа.

Доказательство. Пусть Нот(А, С) = 0. Для группы А возможны следующие случаи: 1) А — периодическая группа и 2) А — непериодическая группа. Если выполняется случай 1), то из [10, с.213] следует обратное утверждение, т. е. Нот(А, С) = 0.

Пусть выполняется 2), т. е. пусть А — непериодическая группа. Допустим, что С содержит делимую подгруппу В, тогда Нот(< а >, < б >) = 0, где а Е А, о(а) = те и б Е В. Поскольку В — делимая группа, то любой ненулевой гомоморфизм из < а > в В будет продолжаться до ненулевого гомоморфизма из А в В, что приводит к противоречию. Таким образом, С — редуцированная группа.

Если А — делимая, то из [10, с.213] следует обратное утверждение, т. е. Нот(Д С) = 0. □

Теорема. Пусть С — ненулевая редуцированная группа без кручения и А — непериодическая, неделимая группа. Группа Нот(А, С) = 0 тогда и только тогда, когда для редуцированной части А' = 0 группы А выполняется:

а) если Т(А') = 0, то справедливо одно из условий:

г) А' не содержит прямого слагаемого, изоморфного 2, и выполняется одно из условий:

г\) для любого / Е Нот(А', С) существует 0 = с Е С такой, 'что \т(/) С< с >;

48 в. м. мисяков

г2) для любого гомоморфизма в : Л' — С найдётся гомоморфизм а : Л — ¥т такой, что па = в, т. е. следующая диаграмма

1 т

коммутативна, где Гт — свободная группа и п — эпиморфизм;

]) для любого гомоморфизма р € Нот(Л', С) следует:

существует сервантная подгруппа С' ранга 1 типа ¿(С') в группе С, содержащая ш(р); '2) для любого элемента а € Л такого, что ¿(а) < ¿(С'), следует, что а € кег(р); 'з) группа Л не содержит прямого слагаемого ранга 1, изоморфного С';

Ь) если Т(Л') = 0, то факторгруппа Л/Т(Л) является либо непериодической делимой группой, либо удовлетворяет условию а).

Доказательство. Пусть Л = Л ® Б — непериодическая, неделимая группа, где Л' — редуцированная и Б — делимая части группы Л. Пусть Т(Л') = 0. Так как Нот(Л, С) = Нот(Л', С) ® Нот(Б, С) и, как показано выше, Нот(Б, С) = 0. Тогда из Нот(Л, С) = 0 следует, что Нот(Л', С) = 0, группа Л при этом не содержит прямого слагаемого, изоморфного Z, и справедливость условий г1), '4), ') также очевидна.

Пусть выполняется условие ¿1) и Л не содержит прямого слагаемого, изоморфного Z. Допустим противное, т. е. пусть Нот(Л, С) = 0. Поскольку С — редуцированная группа, то Нот(Л, С) = Нот(Л', С). Таким образом, существует 0 = / € Нот(Л', С), т. е. найдется элемент 0 = с € С такой, что ш(/) С< с >= Z. Следовательно, т(/) = Z. Так как / будет расщепляться, то в группе Л' найдется прямое слагаемое, изоморфное Z, что противоречит допущению.

Докажем, что выполняется условие ¿2). Пусть для определённости группа С содержит систему образующих мощности т, тогда существует эпиморфизм п : — С, [10, следствие 14.3], где = фZ. Так как

т

Нот(Л', ®Z) С Нот(Л,Y\Z) = ПНот(Л', Z) и Нот(Л', Z) = 0 [4,

т т т

теорема 3], то Нот(Л', ®Z) = 0. Таким образом, следующая диаграмма

Я *

коммутативна, где а = в = 0.

Обратно. Пусть Л/ не содержит прямого слагаемого, изоморфного И, и диаграмма в условии теоремы коммутативна, т. е. па = в, где = фИ. Тогда Иош(Л/, 2) = 0 [4, теорема 3] и, следовательно,

ш

Нош(Л/, фИ) = 0, т. е. а = 0. Тогда в = 0.

ш

Необходимость условия ]з) очевидна, докажем его достаточность. Пусть выполняется условие ]) и допустим противное, т. е. пусть Нош(Л, С) = 0. Поскольку С — редуцированная группа, то Нош(Л/, С) = 0. Следовательно, существуют 0 = р € Нош(Л/, С) и С/ — сервантная подгруппа ранга 1 группы С такие, что ш(р) С С/. Так как при гомоморфизме типы элементов не уменьшаются и для любого элемента б € Л/ такого, что ¿(б) < ¿(С/), имеем б € кег(р). Поэтому для любого элемента а € Л такого, что р(а) = 0 получим ¿(р(а)) = ¿(С/), т. е. ¿(1ш(р)) = ¿(С/). Так как г(1ш(р)) = г (С/) = 1 и ¿(т(р)) = ¿(С'), то т(р) = С/. Следовательно, Л// кег(р) = С/ и все элементы Л/\ кег(р) имеют тип ¿(С/). Поскольку кег(р) — сервантная подгруппа в группе Л/, то кег(р) — прямое слагаемое группы Л/ [6, предложение 86.5], имеющее дополнительное прямое слагаемое, изоморфное С/, что противоречит допущению.

Ь) Пусть Т(Л/) = 0 и Нош(Л, С) = 0, тогда Нош(Л/, С) = 0. Рассмотрим точную последовательность

0 Т(Л/) Л/ Л//Т(Л/) 0, которая индуцирует точную последовательность

0 Нош(Л//Т(Л/), С) Нош(Л/, С) Нош(Т(Л/), С). (1)

Так как Нош(Л/, С) = 0, то в* — изоморфизм и, следовательно, Нош(Л//Т(Л/), С) = 0, т. е. группа Л//Т(Л/) является либо непериодической делимой группой, либо удовлетворяет условию а) данной теоремы.

Обратно. Пусть группа Л//Т(Л/) является либо непериодической делимой группой, либо удовлетворяет условию а) данной теоремы, тогда Нош(Л//Т(Л/), С) = 0. Поскольку Т(Л/) — периодическая группа, а С — группа без кручения, то Нош(Т(Л/), С) = 0 и, как следует из точности последовательности (1), Нош(Л/, С) = 0. Тогда из изоморфизма Нош(Л, С) = Нош(Л/, С) ф Нош(Д С) и равенства Нош(Д с) = 0 следует, что Нот(Д С) = 0. □

Список литературы

1. Гриншпон С. Я. Проблема 2 / С. Я. Гриншпон // Абелевы группы : тр. Всерос. симп., 22-25 августа 2005 г. - Бийск : РИО БПГУ, 2005. - С. 60.

50

В. М. МИСЯКОВ

2. Гриншпон С. Я. О равенстве нулю группы гомоморфизмов абелевых групп / С. Я. Гриншпон // Изв. вузов. Математика. - 1998. - №9. - C. 42-46.

3. Schultz P. Annihilator classes of torsion-free abelian groups / P. Schultz // Lect. Notes Math. - 1978. - Vol. 697. - P. 88-94.

4. Dimitric R. On coslender groups / R. Dimitric // Glasnik Matem. - 1986. - Vol.21, №2. - P. 327-329.

5. Крылов П. А. Группа Hom(A, B) как артинов E(B)- или Б(А)-модуль / П. А. Крылов, Е. И. Подберезина // Фундамент. и прикл. математика. - 2007. - Т. 13, вып. 3. - С. 81-96.

6. Мишина А. П. Об автоморфизмах и эндоморфизмах абелевых групп / А. П. Мишина // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. - 1962. - №4. -С. 39-43.

7. Гриншпон С. Я. Гомоморфные образы абелевых групп / С. Я. Гриншпон, Т. А. Ельцова // Фундамент. и прикл. математика. - 2007. - Т. 13, вып. 3. - С. 17-24.

8. Чехлов А. Р. Об абелевых группах, близких к E-разрешимым / А. Р. Чехлов // Фундамент. и прикл. математика. - 2012. - Т. 17, вып. 8. - С. 183-219.

9. Куликов Л. Я. Обобщенные примарные группы. II / Л. Я. Куликов // Тр. ММО. - 1953. - Т. 2. - С. 85-167.

10. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы / Л. Фукс. - М. : Мир, 1974. - Т. 1. -336 с.

11. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы / Л. Фукс. - М. : Мир, 1977. - Т. 2. -415 с.

Мисяков Виктор Михайлович, кандидат физико-математических наук, доцент, Томский государственный университет, 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36 тел.: (3822)460369 (e-mail: [email protected])

V. Misyakov

On Vanishing of the Group Hom(—, C)

Abstract. It is well known that the set of homomorphisms from a fixed abelian group A to a fixed abelian group B forms an additive abelian group denoted as Hom(A, B). Homomorphism groups of abelian groups possess many remarkable properties. For example, they behave like functors in the category of abelian groups. In some important cases, one can express invariants of the group Hom(A, B) in terms of invariants of the groups A and B, e.g., if A is a torsion abelian group or if B is an algebraically compact abelian group. If A = B, the group Hom(A, B) = End(A, B) is called the endomorphism group of the group A; it can be turned into a ring denoted as E(A). Studying homomorphism groups and endomorphism rings is an important problem of the theory of abelian groups. In particular, describing abelian groups such that Hom(A, B) = 0 is one of open problems in this theory. For example, the group Hom(A, B) is zero in the following case. Let an abelian group G be decomposed into a sum of its subgroups A and B, A being a fully invariant subgroup in the group G, i.e., A is mapped into itself under any endomorphism of the group G. Then, Hom(A, B) = 0. The torsion subgroup of a group, for example, is its fully invariant subgroup. In this paper, a criterion of vanishing is presented for an arbitrary homomorphism from an arbitrary abelian group to an arbitrary torsion free group.

Keywords: abelian group, group homomorphisms.

O PABEHCTBE HY^ro rPYnnbl Hom(-, C)

51

References

1. Grinshpon S.Ya. Problem 2 [Problema 2]. Abelevy gruppy: Trudy Vserossijskogo simpoziuma [Abelian Groups: Transaction All-Russian Symposium]. Biysk, 2005, p. 60.

2. Grinshpon S.Ya. On the Equality to Zero of the Homomorphism Group of Abelian Groups [O ravenstve nulju gruppy gomomorfizmov abelevyh grupp]. Izvestiya VUZ. Matematika [Izvestija vysshih uchebnyh zavedenij. Matematika], 1998, vol. 42, no. 9, pp. 39-43.

3. Schultz P. Annihilator Classes of Torsion-free Abelian Groups. Lect. Notes Math, 1978, vol. 697, pp. 88-94.

4. DimitriC R. On Coslender Groups. Glasnik Matem, 1986, vol.21, no 2, pp. 327-329.

5. Krylov P.A., Podberezina Ye.I. The Group Hom(A, B) as an Artinian E(B)- or E(A)-module. Journal of Mathematical Sciences, 2008, vol. 154, issue 3, pp. 333343.

6. Mishina A.P. On the Automorphism and the Endomorphism of Abelian Groups [Ob avtomorfizmah i jendomorfizmah abelevyh grupp]. Moscow University Bulletin. Series 1. Mathematics. Mechanics [Vestnik Moskovskogo Universiteta. Serija 1. Matematika i mehanika], 1962, no 4. pp. 39-43.

7. Grinshpon S.Ya., Yeltsova T.A. Homomorphic Images of Abelian Groups. Journal of Mathematical Sciences, 2008, vol. 154, issue 3, pp. 290-294.

8. Chekhlov A.R. On Abelian Groups Close to E-solvable Groups [Ob abelevyh gruppah, blizkih k E-razreshimym gruppam]. Fundam. Prikl. Mat. [Fundamental'naja i prikladnaja matematika], 2012, vol. 17, issue 8, pp. 183-219.

9. Kulikov L.Ya. Generalized Primary Groups. II [Obobshhenno primarnye gruppy. II]. Tr. Mosk. Mat. Obs. [Trudy moskovskogo matematicheskogo obshhestva], 1953, vol. 2, pp. 85-167.

10. Fuchs L. Infinite Abelian Groups. Pure and Applied Mathematics. 36. Academic Press., New York; London, 1970, vol. I.

11. Fuchs L. Infinite Abelian Groups. Pure and Applied Mathematics. 36. Academic Press, New York; London, 1973, vol. II.

Misyakov Viktor, Candidate of Sciences (Physics and Mathematics), Associate Professor, Tomsk State University, 36, Lenin Prospekt, Tomsk, 634050, tel.: (3822)460369 (e-mail: [email protected])