CC BY
183
КОНТ TFTTT
научно-методический электронный журнал ART 14335 УДК 372.851
Вечтомов Евгений Михайлович,
Вечтомов Е. М. Знакомимся с абстрактной алгеброй: полугруппы // Концепт. - 2014. - № 12 (декабрь). -ART 14335. - 0,5 п. л. - URL: http://e-kon-
cept.ru/2014/14335.htm. - Гос. рег. Эл № ФС 7749965. - ISSN 2304-120X.
доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой фундаментальной и компьютерной математики ФГБОУ ВПО «Вятский государственный гуманитарный университет», г. Киров vecht@mail.ru
Знакомимся с абстрактной алгеброй: полугруппы
Аннотация. Статья написана на основе пленарного доклада, сделанного автором на Всероссийской научно-практической конференции «Математика и компьютерное моделирование в исследованиях студентов и школьников» (Киров, ВятГГУ, 14-15 мая 2013 г.). Выстраиваются акценты, и рассматривается порядок изучения элементов теории полугрупп студентами-математиками младших курсов и продвинутыми старшеклассниками.
Ключевые слова: ассоциативная алгебра, полугруппа, полугруппа слов, полугруппа преобразований, изучение теории полугрупп.
Раздел: (01) педагогика; история педагогики и образования; теория и методика обучения и воспитания (по предметным областям).
Я приветствую полугруппу, где бы я ее ни встретил, а встречается она повсюду.
Впрочем, от друзей я слышал,
что в математике попадаются объекты,
отличные от полугрупп.
Эйнар Хилле
Введение
Работа продолжает серию наших публикаций по развитию высшего алгебраического образования [4-11 ].
Каждому начинающему математику и информатику необходимо ознакомиться с началами теории полугрупп - с ее терминологией, исходными понятиями и фактами, методами и конструкциями, подходами и применениями.
Понятие полугруппы служит основой ассоциативной алгебры, проникающей во многие разделы современной математики и ее приложения [1, 3, 10, 15-21,2325, 30]. Теории полугрупп посвящены монографии [16-18, 24, 29, 30], обзоры [12-14, 25], научно-популярные статьи [26-28], специализированный научный журнал [31]. Монография советского украинского математика Антона Каземировича Сушкевича (1889-1961) «Теория обобщенных групп» (так сначала назывались полугруппы) 1937 г. [22] была первой книгой в мировой литературе по полугруппам.
В СССР центрами теоретико-полугрупповых исследований были города Баку, Ленинград (Санкт-Петербург), Москва, Новосибирск, Саратов, Свердловск (Екатеринбург), Харьков. Международное признание получили алгебраические школы профессора Евгения Сергеевича Ляпина (1914-2005) из Российского государственного педагогического университета (Санкт-Петербург) и профессора Льва Наумовича Шеврина (1935 г. р.) из Уральского федерального университета (Екатеринбург). Отметим, что в редколлегию журнала "Semigroup Forum” входят Л. Н. Шеврин и его ученик профессор М. В. Волков (1955 г. р.), а также американский профессор Б. М. Шайн (1938 г. р.) - выпускник Саратовского госуниверситета.
r\j Л r\j
КОНЦЕПТ
научно-методический электронный журнал ART 14335 УДК 372.851
Вечтомов Е. М. Знакомимся с абстрактной алгеброй: полугруппы // Концепт. - 2014. - № 12 (декабрь). -ART 14335. - 0,5 п. л. - URL: http://e-kon-
cept.ru/2014/14335.htm. - Гос. рег. Эл № ФС 7749965. - ISSN 2304-120X.
Одним из создателей теории полугрупп является американский алгебраист Альфред Клиффорд (1908-1992) - соавтор известного двухтомника [16]. Назовем также такие имена зарубежных математиков, внесших заметный вклад в современную теорию полугрупп и ее приложения, как Дж. Грин, Ж. Лаллеман, Г. Престон, Д. Рис, Э. Хилле, М. Шютценберже.
Определения. Примеры. Свойства
Бинарной алгебраической операцией на непустом множестве A называется произвольное отображение о: AxA^A; оно каждой упорядоченной паре элементов a, be A ставит в соответствие вполне определенный элемент aоbe A. Непустое множество A с некоторой заданной на нем бинарной алгебраической операцией о называется группоидом (при этом говорят также о паре (A, о)).
Операция о на A называется ассоциативной, если (aob)oc=ao(boc) для любых элементов a, b, ce A. Группоид с ассоциативной операцией называется полугруппой (semigroup).
Отображение a: (A, о)^(Б, ш) группоидов называется гомоморфизмом, если оно сохраняет операцию, то есть а(хоу)=а(х)ша(у) для любых х, ye A. Взаимно однозначный гомоморфизм а одного группоида на другой называется их изоморфизмом (нетрудно показать, что обратное отображение а-1 также будет изоморфизмом). Группоиды называются изоморфными, если между ними существует изоморфизм. Отношение изоморфности на классе всех группоидов является отношением эквивалентности. Изоморфные группоиды имеют одни и те же абстрактные свойства. Например, группоид, изоморфный полугруппе, сам будет полугруппой.
Дадим еще несколько исходных определений.
Полугруппа A называется:
моноидом, если в A существует нейтральный элемент, то есть такой элемент ee A, что на A тождественно хое=х=еох (легко видеть, что нейтральный элемент единственен);
коммутативной, если ее операция о коммутативна, то есть в A выполняется тождество хоу=уох;
идемпотентной (или связкой), если A удовлетворяет тождеству хох=х (такие элементы х называются идемпотентами);
полурешеткой, когда она коммутативна и идемпотентна;
сократимой слева (справа), когда удовлетворяет квазитождеству ху=хг ^ y=z (соответственно, хz=yz ^ х=у).
Для изображения группоидов применяются таблицы Кэли, названные так по имени английского математика Артура Кэли (1821-1895).
Выясним, сколько всего существует двухэлементных полугрупп. Для этого сначала найдем все двухэлементные группоиды.
Любопытно, что всего существуют 24 попарно неизоморфные трехэлементные полугруппы, 188 четырехэлементных полугрупп, 1915 пятиэлементных полугрупп, 28634 шестиэлементные полугруппы [25, с. 66].
Таблицей Кэли для группоида <{a, b}, о) служит таблица:
о a b
a aоa aоb
b bоa ЬоЬ
IV О rw
КОНЦЕПТ
научно-методический электронный журнал ART 14335 УДК 372.851
Вечтомов Е. М. Знакомимся с абстрактной алгеброй: полугруппы // Концепт. - 2014. - № 12 (декабрь). -ART 14335. - 0,5 п. л. - URL: http://e-kon-
cept.ru/2014/14335.htm. - Гос. рег. Эл № ФС 7749965. - ISSN 2304-120X.
Всего таких таблиц будет 24=16. Изобразим их:
1 a b 2 a b 3 a b 4
a a a a a a a a a a
b a a b a b b b a b
5 a b 6 a b 7 a b 8
a a b a a b a a b a
b a a b a b b b a b
9 a b 10 a b 11 a b 12
a b a a b a a b a a
b a a b a b b b a b
13 a b 14 a b 15 a b 16
a b b a b b a b b a
b a a b a b b b a b
a____b
a a
b b
a____b
a b
b b
a____b
b a
b b
a____b
b b
b b
Среди 16 представленных группоидов некоторые группоиды изоморфны друг другу при отображении a: a^b, b^a. Например, изоморфны группоиды, заданные таблицами 1 и 16. Это будем записывать как 1=16 и говорить просто о группоидах 1 и 16. Некоторые группоиды могут быть изоморфны только самим себе.
Найдем группоид (его таблицу), изоморфный группоиду 2. Используем мультипликативную запись операций. Для любых элементов х, ye {a, b} должны получить в новом группоиде
xy=a(a-1 (x)-a-1 (y))=(xa-1 -ya-1 )a,
где умножение в скобках производится в группоиде 2. Итак, имеем: aa=(aa"1-aa" 1)a=(bb)a=ba=a, ab=(ba)a=aa=b, ba=(ab)a=aa=b и bb=(aa)a=aa=b. В результате мы получаем группоид 8. Значит, 2=8. Аналогично находим, что 3=12, 4=4, 5=14, 6=6, 7=10, 9=15, 11=11 и 13=13.
Всего получаем 10 попарно неизоморфных двухэлементных группоидов 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 13. См. [3, с. 53-55].
Далее мы будем использовать мультипликативную терминологию: полугрупповая операция - умножение «», результат a b=ab - произведение, нейтральный элемент - единица 1. Наряду с мультипликативной символикой применяются и аддитивные обозначения: операция сложения «+», результат a+b - сумма, нейтральный элемент - нуль 0. Часто полугруппы задаются образующими элементами и определяющими соотношениями. Например, полугруппа, определяемая двумя образующими a, b и тремя равенствами ab=ba, a2=a и b3=b, имеет 5 элементов: a, ab, ab2, b, b2 - в лексикографической записи.
Важнейший класс полугрупп образуют группы. Группой называется такой моноид, что каждый его элемент a имеет обратный элемент a-1: aa-1=a-1a=1 (такой элемент a_1 единственен). Отметим, что кольца, полукольца, решетки являются полугруппами по обеим операциям.
Полугруппа с тождеством ху=х (xy=y) называется полугруппой левых (правых) нулей. Такие полугруппы идемпотентны. Многообразием полугрупп называется класс всех полугрупп, удовлетворяющих заданному набору тождеств. Так, идемпотентные полугруппы образуют многообразие. Многообразие полугрупп назы-
IV 3 ^
КОНЦЕПТ
научно-методический электронный журнал ART 14335 УДК 372.851
Вечтомов Е. М. Знакомимся с абстрактной алгеброй: полугруппы // Концепт. - 2014. - № 12 (декабрь). -ART 14335. - 0,5 п. л. - URL: http://e-kon-
cept.ru/2014/14335.htm. - Гос. рег. Эл № ФС 7749965. - ISSN 2304-120X.
вается тривиальным, если оно задается тождеством x=y; это класс всех одноэлементных полугрупп (изоморфных друг другу).
Укажем два интересных факта об идемпотентных полугруппах. Во-первых, существует ровно три минимальных нетривиальных многообразия идемпотентных полугрупп: класс полугрупп левых нулей, класс полугрупп правых нулей, класс полурешеток [25, с. 163]. Во-вторых, всякая конечно порожденная идемпотентная полугруппа конечна [17, с. 352].
Множество всех действительных (рациональных, целых, натуральных, комплексных) чисел является сократимой коммутативной полугруппой, как по умножению, так и по сложению. Операция вычитания на множестве целых чисел не ассоциативна и не коммутативна, так же как и операция возведения в степень (xy) на множестве натуральных чисел. В теории представлений полугрупп заметное место занимают мультипликативные полугруппы квадратных матриц с комплексными коэффициентами.
Основными модельными примерами полугрупп выступают полугруппы слов и полугруппы преобразований.
Возьмем непустое множество X, называемое алфавитом. Его элементы называют буквами, а конечные последовательности букв называются словами (можно ввести пустое слово, а также бесконечные слова). Пусть A(X) - множество всех слов в алфавите X, рассматриваемое с операцией конкатенации (приписывания) слов: к слову (aia2...am) длины m справа добавляется слово (bib2.bn) длины n с результатом словом (a1a2.amb1b2.bn) длины m+n. Получаем так называемую свободную полугруппу A(X) над X: она бесконечна и сократима с обеих сторон; ее коммутативность равносильна тому, что X одноэлементно. Любая полугруппа изоморфна фактор-полугруппе некоторой свободной полугруппы A(X). Полугруппы слов играют большую роль как в общей теории полугрупп, так и в комбинаторных приложениях. Слова в однобуквенном алфавите {1} моделируют натуральные числа:
I, II, III, 1111, . . Азбука Морзе (телеграфная азбука) имеет двухбуквенный алфавит {•, -}, в котором кодируются обычные буквы и знаки препинания, слова, предложения, сообщения.
Другой фундаментальный тип полугрупп составляют полугруппы преобразований. Обозначим через T(X) множество всевозможных отображений X^X фиксированного множества X, называемых преобразованиями X. Относительно операции композиции (суперпозиции, последовательного выполнения преобразований) T(X) становится моноидом. Действительно, для любых f, ge T(X) их композиция fg=g°f, определяемая соотношением
x(fg)=(xf)g при всех xe X,
задает ассоциативную операцию на T(X), так как для всех f, g, he T(X) и xe X:
x((fg)h)=((xf)g)h=(xf)(gh)=x(f(gh)).
Роль единицы играет тождественное отображение 1x.
fg
IV ^ rw
КОНЦЕПТ
научно-методический электронный журнал ART 14335 УДК 372.851
Вечтомов Е. М. Знакомимся с абстрактной алгеброй: полугруппы // Концепт. - 2014. - № 12 (декабрь). -ART 14335. - 0,5 п. л. - URL: http://e-kon-
cept.ru/2014/14335.htm. - Гос. рег. Эл № ФС 7749965. - ISSN 2304-120X.
В любой полугруппе выполняется
Обобщенный закон ассоциативности. Произведение aia2...an любого конечного числа элементов полугруппы не зависит от расстановки скобок.
Индукцией по числу n сомножителей доказывается, что aia2...an=(...((aia2)a3)...an-i)an. Заметим, что число расстановок скобок в произведении aia2...an есть соответствующее число Каталана. при n=3 имеем значение 2, при n=4 получаем 5, при n=5 имеем 14. В общем случае для n>3 имеем число сочетаний из 2(n-1) по n-1, деленное на n.
Представление полугрупп преобразованиями
Пусть дана произвольная полугруппа A. Для каждого ее элемента a положим
Ta: A^A, xTa=xa для всех xe A,
это правый сдвиг полугруппы A на элемент a. Рассмотрим отображение a: A^T(A), a(a)=Ta для любого ae A.
Поскольку для любых a, be A и xe A имеем
xa(ab)=xTab=x(ab)=(xa)b=(xTa)Tb=(xa(a))a(b)=x(a(a)a(b)), то a есть гомоморфизм данной полугруппы A в полугруппу преобразований T(A). Посмотрим, является ли a (изоморфным) вложением, то есть инъективным гомоморфизмом? Инъективность a означает, что Ta^Tb при неравных a, be A. Но в случае полугруппы левых нулей xa=x=xb при любых a, be A. Поэтому a не обязано быть вложением. Конечно, во многих других случаях (например, когда полугруппа A имеет левую единицу или сократима слева) a будет вложением.
Принципиальное значение полугрупп преобразований обосновывает Обобщенная теорема Кэли. Всякая полугруппа A изоморфно вкладывается в соответствующую полугруппу преобразований T(X).
Для доказательства обобщенной теоремы Кэли достаточно к полугруппе A присоединить (новую) единицу e и взять моноид Ae=A^(e}. Тогда полугруппа A изоморфно вкладывается в моноид Ae, который, в свою очередь, при помощи a, изоморфно вкладывается в полугруппу преобразований T(Ae).
Циклические полугруппы
Среди абстрактных полугрупп выделяется класс простейших полугрупп - циклические (или моногенные) полугруппы, порожденные одним элементом. Именно, полугруппа A называется циклической, если A={am: me N} для некоторого элемента ae A - ее образующего. Любая полугруппа есть теоретико-множественное объединение подполугрупп, являющихся циклическими полугруппами.
Если степени образующего элемента a с различными показателями различны, то получаем бесконечную циклическую полугруппу A={a, a2, a3, ..., am, ...}, изоморфную аддитивной полугруппе <N, +> натуральных чисел. В противном случае найдутся такие натуральные числа k и n, что ak=ak+n. Считаем k наименьшим натуральным числом с таким условием, а n - наименьшим натуральным числом со свойством ak=ak+n для указанного значения k. Получаем циклическую полугруппу типа (k, n)
A={a, ..., ak-\ ak, ..., ak+n-ij, содержащую ровно k+n-1 элементов.
Строение конечных циклических полугрупп. Конечные циклические полугруппы совпадают, с точностью до изоморфизма, с циклическими полугруппами типа (k, n), где k и n - произвольные натуральные числа.
Множество {a, ..., ak-v} называют хвостом A, а множество {ak, ..., ak+n-ij - ее циклом. При k=1 получаем циклическую группу порядка n, а при n=1 получаем хвост
(V С rw
КОНЦЕПТ
научно-методический электронный журнал ART 14335 УДК 372.851
Вечтомов Е. М. Знакомимся с абстрактной алгеброй: полугруппы // Концепт. - 2014. - № 12 (декабрь). -ART 14335. - 0,5 п. л. - URL: http://e-kon-
cept.ru/2014/14335.htm. - Гос. рег. Эл № ФС 7749965. - ISSN 2304-120X.
с добавленным поглощающим элементом ak. Любую циклическую полугруппу можно изобразить в виде простого ориентированного графа, соединяя стрелкой элемент
am с элементом ат+ при me N.
Вот как выглядит граф циклической полугруппы типа (4, 5):
а5
а ________^ а2 ______^ а3 _______^ а4
а8
а6
I
а7
Связь с другими математическими структурами
Пусть теперь X - некоторый математический объект, скажем, алгебраическая структура, упорядоченное множество или топологическое пространство. Через S(X) обозначим полугруппу всех его эндоморфизмов, рассматриваемую как подполугруппа в T(X). Эндоморфизмом математического объекта X называется преобразование множества X, сохраняющее все его структурные операции и отношения. Эндоморфизмы в случае алгебраической структуры суть гомоморфизмы в себя, в случае порядковой структуры - изотонные преобразования, в случае топологической структуры - непрерывные преобразования. Полугруппа эндоморфизмов S(X) математического объекта X несет существенную (иногда исчерпывающую) информацию о самом объекте X. В частности, достаточно активно изучались полугруппы непрерывных преобразований топологических пространств [2, § 4].
Сформулируем один результат автора на эту тему. На полугруппе S(X) непрерывных преобразований топологического пространства X введем топологию поточечной сходимости, то есть топологию подпространства, индуцированную топологией произведения на множестве X* всех преобразований пространства X. В результате получим полутопологическую полугруппу Sp(X): в ней операция композиции непрерывна по каждому из сомножителей, но не обязана быть непрерывной. Имеет место следующий результат:
Теорема определяемости [2, предложение 4.14]. Произвольные топологические пространства X и Y гомеоморфны тогда и только тогда, когда между полутопологическими полугруппами Sp(X) и Sp(Y) существует полугрупповой изоморфизм, являющийся одновременно их гомеоморфизмом.
Применения
Абстрактная теория полугрупп успешно применяется в дискретной и компьютерной математике, в теории формальных языков, в теории конечных автоматов, в теории кодирования и криптографии. Большую роль играют алгоритмические и комбинаторные аспекты и приложения теории полугрупп. Затронем только следующие сюжеты.
Пионером в теории формальных языков по праву считается норвежский математик Аксель Туэ (1963-1922). В 1912 г он решил задачи существования и строения бесквадратных слов и сильно бескубных слов. Слово или бесконечное слово в алфавите X называется бесквадратным (сильно бескубным), если оно не содержит подслов вида ww (wwa), где а - первая буква слова w. Туэ показал, что в двухбуквенном алфавите существует сильно бескубное бесконечное слово и нет бесквад-
КОНЦЕПТ
научно-методический электронный журнал ART 14335 УДК 372.851
Вечтомов Е. М. Знакомимся с абстрактной алгеброй: полугруппы // Концепт. - 2014. - № 12 (декабрь). -ART 14335. - 0,5 п. л. - URL: http://e-kon-
cept.ru/2014/14335.htm. - Гос. рег. Эл № ФС 7749965. - ISSN 2304-120X.
радратных слов длины > 4, а также построил бесквадратное бесконечное слово в трехбуквенном алфавите [21, с. 18]. См. также упражнения к главе 1 книги [21].
Английский алгебраист Уильям Бернсайд (1852-1927), являющийся одним из создателей абстрактной теории групп, поставил в 1902 г. следующий вопрос: обязана ли конечно порожденная периодическая группа быть конечной? Российский алгебраист Евгений Соломонович Голод (1935 г. р.) дал в 1964 г. отрицательный ответ на этот вопрос. Более сильная ограниченная проблема Бернсайда формулируется так: каждая ли конечно порожденная группа, удовлетворяющая тождеству xn=1 для фиксированного натурального числа n, конечна? Советские математики Петр Сергеевич Новиков (1901-1975) и Сергей Иванович Адян (1931 г. р.) построили в 1968 г. бесконечные такие группы для всех достаточно больших нечетных n. Аналогичные вопросы были поставлены и для полугрупп так называемого бернсайдов-ского типа. Именно, через B(k, m, n), m< n, обозначается полугруппа с k свободными образующими в многообразии полугрупп с одним тождеством xm=xn. Как уже отмечалось, полугруппа B(k, 1,2) конечна. Полугруппа B(2, 1,3) имеет 132 элемента. А полугруппы B(k, m, n) при k> 2 и m> 2 бесконечны [17, с. 352-353].
Исследования по полугруппам и их приложениям продолжаются. В частности, остается актуальной проблема равенства слов в некоторых полугруппах, задаваемых образующими и определяющими соотношениями. Так, построена полугруппа с двумя образующими a, b и тремя определяющими соотношениями, для которой не существует алгоритма распознавания равенства двух произвольных слов в алфавите {a, b}. Любая же конечно порожденная коммутативная полугруппа имеет алгоритмически разрешимую проблему равенства слов. См. [25, с. 167-169].
Упражнения
Студентам полезно самостоятельно прорешать следующие задачи:
1. Докажите, что всякая конечная полугруппа имеет хотя бы один идемпотент.
2. Найдите с точностью до изоморфизма все двухэлементные полугруппы. Что значит «описать с точностью до изоморфизма»?
3. Что такое левая (правая) единица в полугруппе? Левый (правый) нуль?
4. Покажите, что если полугруппа обладает левой единицей и правой единицей, то она является моноидом.
5. Докажите, что конечные сократимые слева и справа полугруппы будут группами.
6. Проверьте, что в любом конечном моноиде справедливо соотношение xy=1 ^ yx=1.
7. Если допустить пустое слово, то A(X) будет моноидом. Почему?
8. Докажите, что множество всех обратимых элементов произвольного моноида A образует группу A* - подполугруппу в A.
9. Что представляет собой группа T(X)*? Если X - n-элементное множество (ne N), то группа T(X)* изоморфна симметрической группе Sn - группе всех подстановок n-й степени. Убедитесь в этом.
10. Докажите, что любая конечная циклическая полугруппа изоморфна гомоморфному образу полугруппы (N, +).
11. Постарайтесь доказать, что любая полугруппа с тождеством xyx=x изоморфна прямому про-
изведению полугруппы левых нулей и полугруппы правых нулей.
12. Покажите, что на любой полурешетке A можно определить отношение порядка по формуле: a< b » ab=a, причем ab=inf (a, b) для всех a, be A.
13. Постройте свободную коммутативную полугруппу с тремя свободными образующими (над трехэлементным множеством X).
14. Найдите свободную идемпотентную полугруппу с двумя свободными образующими.
15. Что представляет собой свободная полурешетка с n свободными образующими?
(V Т rw
КОНТ ТЕПТ
научно-методический электронный журнал ART 14335 УДК 372.851
Ссылки на источники
Вечтомов Е. М. Знакомимся с абстрактной алгеброй: полугруппы // Концепт. - 2014. - № 12 (декабрь). -ART 14335. - 0,5 п. л. - URL: http://e-kon-
cept.ru/2014/14335.htm. - Гос. рег. Эл № ФС 7749965. - ISSN 2304-120X.
1. Биркгоф Г., Барти Т. Современная прикладная алгебра / пер. с англ. - М.: Мир, 1976. - 400 с.
2. Вечтомов Е. М. Вопросы определяемости топологических пространств алгебраическими системами непрерывных функций // Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия. Т. 28. - М.: ВИНИТИ, 1990. - С. 3-46.
3. Вечтомов Е. М. Основные математические структуры. - Киров: ВятГГУ, 2013. - 292 с.
4. Вечтомов Е. М. Изучение начал теории групп // Труды Международной научной конференции «Образование, наука и экономика в вузах. Интеграция в международное образовательное пространство». - Плоцк (Польша), 2010. - С. 91-100.
5. Вечтомов Е. М. Алгебраические аспекты логики высказываний // Материалы III Всероссийской научно-практической конференции «Настоящее и будущее физико-математического образования: Формирование методологической культуры». - Киров: ФМЛ г. Кирова, 2012. - С. 90-96.
6. Вечтомов Е. М. Тестовые задачи по абстрактной алгебре // Материалы IV Всероссийской научнопрактической конференции «Преподавание математики в школах и вузах: проблемы содержания, технологии и методики». - Глазов: ГГПИ, 2012. - С. 8-15.
7. Вечтомов Е. М. О преподавании абстрактной алгебры магистрантам-математикам // Всероссийская научно-методическая конференция с международным участием «Проблемы совершенствование математической подготовки в школе и вузе». - М.: МПГУ, 2012. - С. 243-245.
8. Вечтомов Е. М. Курс «Современная алгебра» для магистрантов математических профилей // Сб. статей по материалам Всерос. науч.-практ. конф. преподавателей, аспирантов, магистрантов и учителей. - Н. Новгород: НГПУ им. К. Минина, 2013. - С. 47-52.
9. Вечтомов Е. М. Алгебраическое образование и алгебраические исследования в ВятГГУ // Проблемы математического образования в вузах и школах России в условиях его модернизации: сб. материалов IV Всерос. науч.-методич. конф. - Сыктывкар: СыктГУ, 2014. - С. 148-155.
10. Вечтомов Е. М., Сидоров В. В. Абстрактная алгебра. Базовый курс: учеб. пособие. - Киров: Изд-во ВятГГУ, ООО «Радуга-ПРЕСС», 2014. - 260 с.
11. Вечтомов Е. М., Чермных В. В. Изучение алгебраической структуры // Вестник ВятГГУ. - 2012. -№ 1(3). - С. 41-48.
12. Глускин Л. М. Полугруппы // Итоги науки. Алгебра. Топология. - М.: ВИНИТИ, 1962 (1963). - С. 33-58.
13. Глускин Л. М. Полугруппы // Сер. Математика. Итоги науки. Алгебра. - М.: ВИНИТИ, 1964 (1966). - С. 161-202.
14. Глускин Л. М., Шайн Б. М., Шеврин Л. Н. Полугруппы // Сер. Математика. Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия. - М.: ВИНИТИ, 1966 (1968). - С. 9-56.
15. Замятин А. П., Шур А. М. Языки, грамматики, распознаватели. - Екатеринбург: Изд-во Урал. унта, 2007. - 248 с.
16. Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп: в 2 т. / пер. с англ. - М.: Мир, 1972. -Т. 1. - 286 с.; Т. 2. - 422 с.
17. Лаллеман Ж. Полугруппы и их комбинаторные приложения / пер. с англ. - М.: Мир, 1985. - 440 с.
18. Ляпин Е. С. Полугруппы. - М.: Физматгиз, 1960. - 592 с.
19. Ляпин Е. С., Евсеев А. Е. Частичные алгебраические действия. - СПб.: Образование, 1991. - 164 с.
20. Марков Ал. А. Теория кодирования. - М.: Наука, 1982. - 192 с.
21. Саломаа А. Жемчужины теории формальных языков / пер. с англ. - М.: Мир, 1986. - 160 с.
22. Сушкевич А. К. Теория обобщенных групп. - Харьков; Киев: Гос. науч.-техн. изд-во Укр., 1937. - 176 с.
23. Фрид Э. Элементарное введение в абстрактную алгебру / пер. с венг. - М.: Мир, 1979. - 260 с.
24. Хилле Е., Филипс Р. Функциональный анализ и полугруппы / пер. с англ. - М.: Ил, 1962. - 830 с.
25. Шеврин Л. Н. Полугруппы // Общая алгебра. Т. 2 / под общ. ред. Л. А. Скорнякова. - М.: Наука, 1991. - С. 11-191.
26. Шеврин Л. Н. Тождества полугрупп // Соросовский образовательный журнал. - 1996. - № 7. -С. 111-118.
27. Шеврин Л. Н. Что такое полугруппа // Соросовский образовательный журнал. - 1997. - № 4. -С. 99-104.
28. Шеврин Л. Н. Как возникают группы при изучении полугрупп // Соросовский образовательный журнал. - 1997. - № 11. - С. 114-119.
29. Шеврин Л. Н., Овсянников А. Я. Полугруппы и их подполугрупповые решетки: в 2 ч. - Свердловск: Изд-во Урал. ун-та, 1990. - Ч. 1. - 238 с.; 1991. - Ч. 2. - 246 с.
30. Howie J. M. Fundamentals of semigroup theory. - Oxford: London mathematical society, Clarendon press, 1995. - 361 p.
31. Semigroup Forum: американский журнал издательства Springer, выходит с 1970 г.
~ 8
КОНТ ТЕПТ
Вечтомов Е. М. Знакомимся с абстрактной алгеброй: полугруппы // Концепт. - 2014. - № 12 (декабрь). -ART 14335. - 0,5 п. л. - URL: http://e-kon-
cept.ru/2014/14335.htm. - Гос. рег. Эл № ФС 77-
научно-ллетодический электронный журнал 49965. - ISSN 2304-120X.
ART 14335 УДК 372.851
Evgeny Vechtomov,
Doctor of Physic-Mathematical Sciences, Professor, head of the chair of Fundamental and Computer Mathematics, Vyatka State University of Humanities, Kirov vecht@mail.ru
Acquaintance with the abstract algebra: semigroups Abstract. The paper is written on the basis of the plenary report, made by the author at the All-Russian Scientific-Practical Conference “Mathematics and Computer Modeling in studies of students and pupils” (Kirov, 14-15 May 2013). The paper places accents on the process of explaining elements of Semigroup Theory to students of junior courses, studying Mathematics, and to advanced high school pupils.
Key words: associative algebra, semigroup, semigroup of words, semigroup of transformations, study of Semigroup Theory.
References
1. Birkgof, G. & Barti, T. (1976) Sovremennaja prikladnaja algebra /per. s ang1ю, Mir, Moscow, 400 p. (in Russian).
Vechtomov, E. M. (1990) “Voprosy opredeljaemosti topologicheskih prostranstv algebraicheskimi siste-mami nepreryvnyh funkcij”, Itogi nauki i tehniki. Algebra. Topologija. Geometrija. T. 28, VINITI, Moscow, pp. 3-46 (in Russian).
Vechtomov, E. M. (2013) Osnovnye matematicheskie struktury, VjatGGU, Kirov, 292 p. (in Russian). Vechtomov, E. M. (2010) “Izuchenie nachal teorii grupp”, in Trudy Mezhdunarodnoj nauchnoj konfer-encii “Obrazovanie, nauka i jekonomika v vuzah. Integracija v mezhdunarodnoe obrazovatel'noe pros-transtvo”, Plock (Pol'sha), pp. 91-100 (in Russian).
Vechtomov, E. M. (2012) “Algebraicheskie aspekty logiki vyskazyvanij”, in Materialy III Vserossijskoj nauchno-prakticheskoj konferencii “Nastojashhee i budushhee fiziko-matematicheskogo obrazovanija: Formirovanie metodologicheskoj kul'tury”, FML g. Kirova, Kirov, pp. 90-96 (in Russian).
Vechtomov, E. M. (2012) “Testovye zadachi po abstraktnoj algebre”, in Materialy IV Vserossijskoj nauch-no-prakticheskoj konferencii “Prepodavanie matematiki v shkolah i vuzah: problemy soderzhani-ja, tehnologii imetodiki”, GGPI, Glazov, pp. 8-15 (in Russian).
Vechtomov, E. M. (2012) “O prepodavanii abstraktnoj algebry magistrantam-matematikam”, Vserossij-skaja nauchno-metodicheskaja konferencija s mezhdunarodnym uchastiem “Problemy sovershenstvo-vanie matematicheskojpodgotovki v shkole i vuze”, MPGU, Moscow, pp. 243-245 (in Russian). Vechtomov, E. M. (2013) “Kurs ‘Sovremennaja algebra’ dlja magistrantov matematicheskih profilej”, in Sb. statej po materialam Vseros. nauch.-prakt. konf. prepodavatelej, aspirantov, magistrantov i uchitelej, NGPU im. K. Minina, N. Novgorod, pp. 47-52 (in Russian).
Vechtomov, E. M. (2014) “Algebraicheskoe obrazovanie i algebraicheskie issledovanija v VjatGGU”, in Problemy matematicheskogo obrazovanija v vuzah i shkolah Rossii v uslovijah ego modernizacii: sb. materialov IV Vseros. nauch.-metodich. konf., SyktGU, Syktyvkar, pp. 148-155 (in Russian).
10. Vechtomov, E. M. & Sidorov, V. V. (2014) Abstraktnaja algebra. Bazovyj kurs: ucheb. posobie, Kirov, Izd-vo VjatGGU, OOO “Raduga-PRESS”, 260 p. (in Russian).
Vechtomov, E. M. & Chermnyh, V. V. (2012) “Izuchenie algebraicheskoj struktury”, Vestnik VjatGGU, № 1(3), pp. 41-48 (in Russian).
Gluskin, L. M. (1962 (1963)) “Polugruppy”, Itogi nauki. Algebra. Topologija, VINITI, Moscow, pp. 33-58 (in Russian).
Gluskin, L. M. (1964 (1966)) “Polugruppy”, Ser. Matematika. Itogi nauki. Algebra, VINITI, Moscow, pp. 161-202 (in Russian).
Gluskin, L. M., Shajn, B. M. & Shevrin L. N. (1966 (1968)) “Polugruppy”, Ser. Matematika. Itogi nauki. Algebra. Topologija. Geometrija, VINITI, Moscow, pp. 9-56 (in Russian).
15. Zamjatin, A. P. & Shur, A. M. (2007) Jazyki, grammatiki, raspoznavateli, Izd-vo Ural. un-ta, Ekaterinburg, 248 p. (in Russian).
Klifford, A. & Preston, G. Algebraicheskaja teorija polugrupp: v 2 t. /per. s angl., Mir, Moscow, 1972, t. 1,286 p.; t. 2, 422 p. (in Russian).
Lalleman, Zh. (1985) Polugruppy i ih kombinatornye prilozhenija /per. s angl., Mir, Moscow, 440 p. (in Russian).
Ljapin, E. S. (1960) Polugruppy, Fizmatgiz, Moscow, 592 p. (in Russian).
Ljapin, E. S. & Evseev, A. E. (1991) Chastichnye algebraicheskie dejstvija, Obrazovanie, St. Peterburg, 164 p. (in Russian).
Markov, Al. A. (1982) Teorija kodirovanija, Nauka, Moscow, 192 p. (in Russian).
Salomaa, A. (1986) Zhemchuzhiny teorii formal'nyh jazykov/per. s angl., Mir, Moscow, 160 p. (in Russian). Sushkevich, A. K. (1937) Teorija obobshhennyh grupp, Gop. nauch.-tehn. izd-vo Ukr., Har'kov; Kiev, 176 p. (in Russian).
2.
5.
6.
7.
8.
9.
11.
12.
13.
14.
16.
17.
18.
19.
20. 21. 22.
(V Q (V
полугруппы // Концепт. - 2014. - № 12 (декабрь). -ART 14335. - 0,5 п. л. - URL: http://e-kon-
cept.ru/2014/14335.htm. - Гос. рег. Эл № ФС 7749965. - ISSN 2304-120X.
Вечтомов Е. М. Знакомимся с абстрактной алгеброй:
научно-методический электронный журнал
ART 14335
УДК 372.851
23. Frid, Je. (1979) Jelementarnoe vvedenie v abstraktnuju algebru /per. s veng., Mir, Moscow, 260 p. (in Russian).
24. Hille, E. & Filips, R. (1962) Funkcional'nyj analiz ipolugruppy/per. s angl., IL, Moscow, 830 p. (in Russian).
25. Shevrin, L. N. (1991) “Polugruppy”, in Skornjakov, L. A. (ed.) Obshhaja algebra. T. 2, Nauka, Moscow, pp. 11-191 (in Russian).
26. Shevrin, L. N. (1996) “Tozhdestva polugrupp”, Sorosovskij obrazovatel'nyj zhurnal, № 7, pp. 111-118 (in Russian).
27. Shevrin, L. N. (1997) “Chto takoe polugruppa”, Sorosovskij obrazovatel'nyj zhurnal, № 4, pp. 99-104 (in Russian).
28. Shevrin, L. N. (1997) “Kak voznikajut gruppy pri izuchenii polugrupp”, Sorosovskij obrazovatel'nyj zhurnal, № 11, pp. 114-119 (in Russian).
29. Shevrin, L. N. & Ovsjannikov A. Ja. Polugruppy i ih podpolugruppovye reshetki: v 2 ch., Izd-vo Ural. un-ta, 1990, ch. 1,238 p.; 1991, ch. 2, Sverdlovsk 246 p. (in Russian).
30. Howie, J. M. (1995) Fundamentals of semigroup theory, London mathematical society, Clarendon press, Oxford, 361 p. (in English).
31. Semigroup Forum / Amerikanskij zhurnal izdatel'stva Springer, vyhodit s 1970 g. (in English).
Рекомендовано к публикации:
Зиновкиной М. М., доктором педагогических наук, профессором, членом редакционной коллегии журнала «Концепт»
10 ~
