CC BY
11
МОДЕЛЮВАННЯ I УПРАВЛ1ННЯ
УДК 519.657:004.021 Л.П. ВАКАЛ*, е.С. ВАКАЛ**
ЗНАХОДЖЕННЯ ОПТИМАЛЬНИХ ПАРАМЕТР1В ЕМП1РИЧНИХ ФОРМУЛ ДЕКШЬКОХ ЗМ1ННИХ ЗА ДОПОМОГОЮ ЕВОЛЮЦ1ЙНИХ АЛГОРИТМ1В
1нститут к1бернетики 1меш В.М. Глушкова НАН Украши, м. Ки1в, Украша Кшвський нацюнальний ушверситет 1меш Тараса Шевченка, м. Ки1в, Укра1на
Анотаця. Розглянуто задачу побудови емтричних формул декыькох змгнних для наближеного представления експериментальних даних. Для знаходження оптимальних значень параметр1в емтричних формул запропоновано адаптувати алгоритм диференщальног еволюцИ. Це один 7з кра-щих еволюцШних алгоритмгв, який стабыьно знаходить глобальний оптимум функцИ за мгтмаль-ний час. Еволющйний процес в алгоритм7 починаеться з генерацИ популяцИ випадкових вектор1в, координати яких представляють собою можлив1 значення шуканих параметр1в. Дал1 з викорис-танням оператор1в схрещування, мутацИ та селекцИ вектори пост1йно модиф1куються з метою зменшення похибки наближення експериментальних даних емтричною формулою. Алгоритм заве-ршуеться, якщо вичерпано максимальне число покол1нь популяцИ або в1дбуваеться стагнащя ево-лющйного процесу. Запропонований алгоритм дозволяе знаходити оптимальм значення парамет-р1в емтричних формул р1зних титв (лшйних 7 нелттних в1дносно параметр1в) з використанням р1зних норм: квадратичног, р1вном1рног та т. Визначено найкращ1 значення параметр1в налашту-вання алгоритму: розм1ру популяцИ, сили мутацИ, ймов1рност1 схрещування. Розглянуто приклади побудови лМйног емтричног формули чотирьох зм1нних для обчислення вм1сту оксиду зал1за за показниками рентгешвського емгсШного датчика та нелгшйно! емтричног формули двох змгнних для наближеного подання експериментальних даних щодо густини розбавленого сольового розчину в залежност1 в1д температури 7 концентрацИ сол1. Отримаш результати наближення експериментальних даних з р1зних областей науки 7 техмки дозволили зробити висновок про ефективтсть запропонованого алгоритму. Кр1м того, в1н простий у реал1зацИ та використанн (м1стить мало параметр1в, що потребують налаштування).
Ключовi слова: емтрична формула декыькох зм1нних, експериментальн дам, диференщальна еволю-ц\я, квадратичне наближення, р!вном!рне наближення.
Аннотация. Рассмотрена задача построения эмпирических формул нескольких переменных для приближенного представления экспериментальных данных. Для нахождения оптимальных значений параметров эмпирических формул предложено адаптировать алгоритм дифференциальной эволюции. Это один из лучших эволюционных алгоритмов, стабильно находящий глобальный оптимум функции за минимальное время. Эволюционный процесс в алгоритме начинается с генерации популяции случайных векторов, координаты которых представляют собой возможные значения искомых параметров. Далее с использованием операторов скрещивания, мутации и селекции векторы постоянно модифицируются в целях уменьшения погрешности приближения экспериментальных данных эмпирической формулой. Алгоритм заканчивается, если исчерпано максимальное число поколений или происходит стагнация эволюционного процесса. Предложенный алгоритм позволяет находить оптимальные значения параметров эмпирических формул разных типов (линейных и нелинейных относительно параметров) с использованием различных норм: квадратичной, равномерной и др. Определены наилучшие значения параметров настройки алгоритма дифференциальной эволюции: размера популяции, силы мутации, вероятности скрещивания. Рассмотрены примеры построения линейной эмпирической формулы четырех переменных для вычисления содержания оксида железа по показаниям рентгеновского эмиссионного датчика и нелинейной эмпирической формулы двух переменных для приближенного представления экспериментальных данных о плотности разбавленного солевого раствора в зависимости от температуры и концентрации соли. Полученные результаты приближений экспериментальных данных из разных областей науки и техники позволили сделать вывод об эффективности предложенного алгоритма.
© Вакал Л.П., Вакал £.С., 2018
ISSN 1028-9763. Математичш машини i системи, 2018, № 3
Кроме того, он прост в реализации и использовании (содержит мало параметров, требующих настройки).
Ключевые слова: эмпирическая формула нескольких переменных, экспериментальные данные, дифференциальная эволюция, квадратичное приближение, равномерное приближение.
Abstract. The problem of constructing empirical formulas of several variables for experimental data approximation is considered. It is proposed to adapt a differential evolution algorithm for finding optimal parameters of the empirical formulas. It is one of the best evolutionary algorithms stably finding function global optimum in minimum time. In the algorithm the evolutionary process begins with a generation of random vectors population. Coordinates of the vectors are the possible values of the required parameters. Further, the vectors are constantly modified using operators of crossover, mutation and selection in order to decrease an approximation error of experimental data by an empirical formula. The algorithm is ended if maximum number of population generations is exhausted or the evolutionary process stagnates. The algorithm permits to find optimal values of parameters for linear and nonlinear (with respect to the parameters) empirical formulas using different norms: quadratic, uniform, etc. The best values of setting parameters of the differential evolution algorithm such as a population size, a mutation force, a crossing probability are determined. Two examples of constructing a linear empirical formula offour variables for calculating the iron oxide content from indications of an X-ray emission sensor and constructing a nonlinear empirical formula of two variables for approximation of experimental data on density of dilute solution as a function of temperature and salt concentration are considered. The obtained results of approximations for experimental data from different fields of science and technology permit to conclude that the proposed algorithm is effective. It is already simple for programming and using (it contains few setting parameters requiring customization).
Keywords: empirical formula of several variables, experimental data, differential evolution, quadratic approximation, uniform approximation.
1. Вступ
Сучасний piBeHb розвитку науки передбачае проведення широкомасштабних експеримен-TiB з метою вивчення закономiрностей рiзних фiзичних явищ. При експериментальному вивченш функщонально'1 залежносп величиниy вщ x1,...,xs виконують сер^ з m вимь
рюваньy при рiзних значеннях величин x>.■■>X• Отримаш результати, як правило, пода-ються у випщщ таблищ або гранично. Точна функциональна залежшсть^ вщ xl,...,xs невь дома i через обмежену кшькють значень, а також наявшсть випадкових помилок, однозначно вщтворити i"i на основi експериментальних даних неможливо. Тому намагаються побу-дувати емшричну формулу (функщю, модель), яка б достатньо добре наближала значения ук, к = \,...,т [1-5]. Велика кшыасть формул, що застосовуються в наущ та техшщ, е емтричними. Вiдомо багато прикладiв того, як отримання вдало'1 емтрично'1 функци стало важливою вiхою на шляху до великих наукових вщкритпв [2, 3].
Емпiрична формула мютить низку параметрiв, якi тдлягають визначенню. Знахо-дження оптимальних значень параметрiв формули декiлькох змiнних, особливо в нелшш-ному вiдносно невщомих параметрiв випадку, досить непроста задача. Ё розв'язання пот-ребуе застосування чисельних методiв i громiздких алгоршмв. Тому актуальним е ство-рення ефективних i водночас нескладних алгоритм! в для розв'язання вказано'1 задачг
Мета робота - розробити ефективний i водночас нескладний у реал1зацп алгоритм знаходження оптимальних параметрiв лiнiйних i нелiнiйних емпiричних формул декiлькох змшних для наближеного представлення експериментальних даних з використанням рiз-них норм наближення (квадратично:!, рiвномiрноi та ш.).
3 ще! точки зору перспективним е шдхщ, що грунтуеться на використанш еволю-щйних алгоритм! в (ЕА) - нов1тнього ефективного ¡нструменту розв'язання оитим1зацшних задач [6-10]. До групи ЕА належать генетичш алгоритми, еволющйш стратеги, алгоритм оптимiзацii мурашино'1 колони, диференцiальна еволюцiя тощо. У статп для знаходження
оптимальних значень параметр!в емшричних формул пропонуеться адаптувати один ¡з кра-щих ЕА - алгоритм дифереищально! еволюцп (ДЕ) [11], який стабшьно знаходить оптимум функци за мшмальний час. Крiм того, вiн простий у реалiзащi та використаннi (мю-тить мало параметрiв, що потребують налаштування).
2. Постановка задач1 та анал1з метод1в 11 розв'язання
Нехай при експериментальному вивченш невщомох' функщональнох' залежностi у вiд хх,...,х у результатi т вимiрювань отримано таблицю вiдповiдних значень х1к,...,хак,ук {к — 1,...,т). Задача побудови емтрично! формули для наближеного представления екс-периментальних даних х1к,...,хк,ук полягае у знаходженш формули
у = /(х1,...,х3-,а1,...,ап), (1)
значения яко! при хх = х1к,..., х3 =х!,к якомога менше вщр1знялися б вщ ук, к — 1,...,т. Невiдомi величини а^...,ап називаються параметрами (коефiцiентами) емтричнох' формули. Побудова емтрично'1' формули складаеться з двох етапiв: вибору типу формули та ви-значення найкращих значень 1! параметрiв. Будемо вважати, що на основi теоретичних мь ркувань щодо характеру дослщжуваноУ функцюнально! залежносп або за допомогою спе-щальних прийом1в [2, 3, 5] тип формули вибрано, 1 перейдемо до другого етапу - знахо-дження найкращих значень параметрiв ах,...,ап.
Позначимо через ек вщхилення ук вщ значень, обчислених за формулою (1)
£к(ах,. ..,ап) = м>(Хи,. ■ .,х,к) • [ук - ..,х5к,а1,...,ап)'\, к-1,...,т, (2)
де 'ю^^.^х^фО - деяка задана вагова функщя. При маемо абсолютне
вщхилення, при м>(х1к,.. .,хзк) — \/ук - вщносне вщхилення. Найкращими або оптималь-ними називаються такi значення параметрiв ах,...,ап, для яких вибрана норма вщхилення буде мш1мальною. На практищ найчаспше використовуються таю норми: квадратична
т
4(я1>->ал) = 2>»2; (з)
к=1
- рiвномiрна або чебишовська
Ас(а1,...,ап) = тах| е*|; (4)
\<к<т
- норма 11
т
к=1
Оскiльки реальнi фiзичнi процеси здебiльшого мають нелiнiйний характер, то для адекватного 1х представлення доцшьно використовувати нелiнiйнi емпiричнi формули. Ро-зрiзняють два типи нелшшних формул. До першого вiдносяться формули, нелшшш вщно-сно змiнних хX, але лшшш вiдносно шуканих параметрiв ах,...,аи . Такi формули називаються суттево лiнiйними i можуть записуватися у виглядi
п
/{х1,...,х3-,а1,...,а„) = ^а,<р,{х1,...,х3), (6)
¡=1
де <р1 — нелшшш функцп змшних х,,..., хх. До другого типу належать емшричш формули,
нелшшш вiдносно параметрiв ах,...,ап. Вони називаються суттево нелшшними. Серед них
можна видiлити формули, яю вiдповiдним перетворенням змiнних зводяться до лшшних вiдносно параметрiв формул. Ц нелiнiйнi емпiричнi формули разом iз суттево лiнiйними називаються внутршньо лiнiйними формулами. Суттево нелiнiйнi емшричш формули, яю до лiнiйного вщносно параметрiв вигляду не приводяться, називаються внутршньо нель нiйними.
У випадку квадратично! норми (3) параметри внутршньо лiнiйних формул знахо-дяться за методом найменших квадрат!в досить просто з нормально! системи лшшних рiв-нянь. Однак слщ пам'ятати, що у загальному випадку перетворення змшних порушуе принцип найменших квадратiв, тобто шсля повернення до старих змшних можна прийти до неадекватно! формули. Оптимальш параметри суттево нелшшних емшричних формул можуть визначатися iтерацiйними методами з системи нелшшних рiвнянь. Оскшьки така система часто мае декшька розв'язкiв, то при невдалому виборi початкових значень можна взагалi не отримати задовшьний за точнiстю результат.
У випадку рiвномiрноi норми (4) знайти параметри емтрично! формули складшше, нiж у методi найменших квадрат1в. Зокрема, для знаходження параметрiв емтрично! формули виду (6) можна застосовувати алгоритми найкращо! рiвномiрноi апроксимацп функцп декiлькох змiнних узагальненим многочленом, яю здебiльшого зводяться до розв'язання задачi лiнiйного програмування модифшованим симплекс-методом [1, 4, 12, 13]. Слщ зазначити, що використання норми (4) в задачах наближення експериментальних даних мае важливе значення з методолопчно! точки зору. Ще Лаплас писав, що тшьки наближення за критерiем найкращо! рiвномiрноi апроксимацп дозволяють строго ставити i виршувати питання про те, чи вкладаються отриманi експериментальнi данi в емтричну формулу того або iншого типу [14, с. 11].
Далi описуеться алгоритм ДЕ, який дозволяе знаходити оптимальш значення пара-метрiв як внутршньо лiнiйних, так i внутршньо нелiнiйних емпiричних формул декiлькох змшних. Алгоритм простий у реалiзацii та не потребуе використання чисельних методiв.
3. Алгоритм
В алгоритмi ДЕ моделюються базовi процеси бюлопчно! еволюцп: схрещування, мутацiя, вiдбiр [11]. Еволюцшний процес починаеться з генерацп популяцп випадкових векторiв, координати яких представляють собою можливi значення параметрiв а15..., ап емтрично! формули (1). Дaлi для кожного вектора поколшня, який називаеться базовим, створюеться мутантний вектор. Над остaннiм виконуеться операщя схрещування, в ходi яко! деякi його координати зaмiщуються координатами базового вектора. Отриманий шсля схрещування вектор називаеться пробним. Якщо вш виявляеться кращим за базовий, тобто його значення цшьово! функцп (критерiю оптимiзaцii) менше, то в новому поколшш базовий вектор замшюеться на пробний, у протилежному випадку в новому поколшш збер^аеться базовий вектор. Такий оператор вщбору гарантуе, що найменше значення цшьово! функцп не буде пропущено, що приводить до швидко! збiжностi алгоритму. Еволюцшний процес в алгоршм ДЕ завершуеться, якщо виконуеться одна з термшальних умов (вичерпано мак-симальне число популяцш та iн. [11]).
Дaлi наводиться покроковий опис алгоритму ДЕ для знаходження оптимальних значень параметр!в емтрично! формули декшькох змшних.
1. Генеруеться початкове поколшня вектор1в =(уи,...,Уп1), /=1 ,...,№, де ИР -
розм1р популяцп. Координати У г ( / = ],..., п) вектора 1) - випадков1 числа з штервалу
[-1,1]. Слщ зазначити, що межi цього штервалу мають значення лише на крощ початково! генераций в подалышй еволюци проспр пошуку, у принциш, е необмеженим.
2. Для базового вектора У1 (/ = 1,..., М' ) з поточного поколшня вибираються три ви-
падкових вектори У,1, У,, Ус/ (Ь ^ с ^ с/ ^ ¡ ) \ створюеться мутантний вектор Уь:
I:>Ь=ГЬ+Ш(ус-Га),
де РМ - деяка додатна дшсна константа з промiжку [0,2], яка називаеться коефщентом або силою мутацп i визначае aмплiтуду збурень, що вносяться в вектор Уь.
3. Обчислюються координати пробного вектора и:
¡V , якщо гапё(ОД) < СЯ V у - ]гапй и . -<
]' ,, якщо гапё(0,1 )>СЯа/ф ]гапй
де гап<1(0,1) - випадкове число з штервалу (0,1), СЯ - задана ймов1ршсть схрещування.
4. Для включення в нове поколшня вибираеться той iз векторiв и1 i У^, значення цi-льово! функцii якого менше. Цшьова функцiя Р обчислюеться за формулою
Е(У1) = Л(У1),
де Л (У,) визначаеться з формул (2) 1 (3) у випадку квадратично! норми, з формул (2) 1 (4) -для чебишовсько! норми та з формул (2) i (5) - у випадку норми 11. Чим ближче значення цшьово! функцп вектора до нуля, тим ближче закодоваш у цьому векторi значення параме-трiв до оптимальних.
5. Алгоритм ДЕ завершуе роботу, якщо виконуеться одна з умов:
1) вичерпано максимальне число поколшь ртах (за умовчанням ртах = 200);
2) в1дбуваеться стагнащя еволющйного процесу, тобто в1дносний розкид значень цшьово! функцп в популяцп менше задано! величини д (за умовчанням 3 -10~3):
тах ^(К)- шш Г(У,)<8 шт .
Якщо жодна з цих умов не виконуеться, то вщбуваеться перехiд до п. 2. Розмiр популяцii ЫР, сила мутaцii ЕМ та ймовiрнiсть схрещування СЯ е параметрами налаштування алгоритму ДЕ. За результатами тестування рекомендуеться вибирати значення вказаних параметр1в у таких д1апазонах: 5п<ЫР<\0п, 0,4 <РМ <0,6, 0,8 < СЯ < 1. Зазначимо також, що через стохастичний характер алгоритму ДЕ для отри-мання прийнятного результату потрiбно зробити декшька його запусюв.
4. Результати обчислювальних експеримент1в
Виконано серiю обчислювальних експеримешив по наближенню експериментальних даних з рiзних областей науки i технiки емпiричними формулами декiлькох змшних з викорис-танням алгоритму ДЕ. Отримаш результати пiдтвердили ефективнiсть цього алгоритму для знаходження оптимальних значень пaрaметрiв як суттево лiнiйних, так i суттево нелi-нiйних (у тому чист, внутрiшньо нелiнiйних) емтричних формул, побудованих з викорис-танням рiзних норм наближення. Нижче наведено декшька приклaдiв.
Приклад 1. Рентгешвський емiсiйний датчик мае чотири канали для вимiрювaння у дослiджувaному мaтерiaлi оксидiв кремнiю, aлюмiнiю, зaлiзa та кальщю, при цьому прису-тшсть одного компонента впливае на покази датчика, пов'язаш з iншими компонентами. В ходi експерименту знiмaлися покази кожного з чотирьох кaнaлiв по низщ спроб, пiсля чого
шляхом хiмiчного аналiзу спроб у мокрому виглядi встановлювався «справжнш вмют» цих компонент. За наведеними у табл. 1 даними експерименту щодо вмюту оксиду залiза БегОз [15] потрiбно знайти коефiцieнти лшшно'1' емтрично'1' формули:
деу - «справжнш вмют» оксиду зал1за (у %), х1,х2,хъ,хА - покази чотирьох канал1в рент-генiвського емiсiйного датчика (в iмпульсах за секунду).
Таблиця 1 - Дат експерименту i результати розрахунюв щодо вмiсту оксиду залiза
Спро-ба x1 X2 Xз X4 У Уобч \У - ~обч.| Уобч |У - уобч.|
1 598,95 37,45 335,65 7185,3 0,53 0,479 0,051 0,487 0,044
2 1051,10 15,20 211,20 5739,8 0,38 0,378 0,002 0,423 0,043
3 115,50 8,68 105,50 8547,0 0,18 0,187 0,007 0,165 0,015
4 28,40 8,50 155,60 7598,5 0,23 0,244 0,014 0,274 0,044
5 910,60 183,70 738,45 5205,5 1,05 1,045 0,005 1,041 0,009
6 1102,50 205,58 999,90 4680,3 1,31 1,336 0,026 1,354 0,044
7 577,80 41,15 301,35 7317,8 0,45 0,446 0,004 0,443 0,007
8 611,50 149,85 644,85 5830,3 0,95 0,901 0,049 0,906 0,044
9 366,25 82,90 358,35 7729,5 0,52 0,524 0,004 0,488 0,032
10 605,40 96,75 472,35 6576,8 0,63 0.674 0,044 0,674 0,044
11 617,75 20,55 204,35 6965,3 0,32 0.,339 0,019 0,354 0,034
12 519,20 100,02 457,45 6750,5 0,68 0,656 0,024 0,649 0,031
13 589,90 112,00 496,70 6626,0 0,69 0,711 0,021 0,699 0,009
За допомогою алгоритму ДЕ знайдено оптимальш значення невiдомих коефiцieнтiв а1за2,а3,а4,а5 для випадкiв застосування квадратично'1' та чебишовсько'1' норм. У першому випадку отримано емтричну формулу
= 0,1813 + 0,00004914^+ 0,000922Ъс2 + 0,0009709х3 -0,00001288кл,
у другому - формулу
.у = 0,5248-0,00001356^ +0,00008615*:2 +0,001085х3 -0,00005534с4 ,
абсолютна похибка яко'1' не перевищуе 0,044. Як показують наведенi у табл. 1 результати розрахунюв, обидвi емтричш формули цiлком задовiльно описують даш хiмiчного аналiзу щодо процентного вмюту оксиду залiза.
Приклад 2. В експеримент! дослщжувалась залежшсть густини В (в умовних одини-цях) вщ температури / (в °С) 1 концентрацп С (в г/л) сол1 у розбавлених розчинах [16]. Отримаш експериментальнi данi наведенi в табл. 2.
Необхщно знайти такi значення параметрiв а х, а 2, а 3 i а 4 емшрично'1' формули
В2 =ахСа2 +(а3-а4СУ
(7)
щоб сума модул1в вщносних вщхилень експериментальних даних вщ значень, обчислених за формулою (7), була мш1мальною. Зазначимо, що (7) - внутр1шньо нелшшна вщносно невiдомих параметрiв формула.
При використанш норми (5) за алгоритмом ДЕ отримано емтричну формулу
В1 = 0,02694с1'731 + (0,0375- 0,00709С> .
(8)
Таблиця 2 - Даш експерименту i результата розрахумав щодо густини розчину
C t B Boбч. e, % C t B Boбч. s, %
35,97 20,8 2,957 2,961 0,1 23,97 20,4 1,98 1,970 0,5
24,9 2,800 2,807 0,2 24,5 1,80 1,827 1,5
29,0 2,643 2,643 0,0 28,0 1,70 1,696 0,2
33,7 2,429 2,442 0,5 32,0 1,51 1,531 1,4
38,0 2,243 2,2423 0,04 37,0 1,28 1,297 1,3
41,0 2,086 2,091 0,3 40,9 1,08 1,080 0,0
29,96 21,0 2,457 2,452 0,2 17,97 20,5 1,46 1,468 0,6
24,0 2,343 2,343 0,0 24,0 1,36 1,357 0,2
28,0 2,200 2,189 0,5 27,1 1,23 1,249 1,6
31,1 2,071 2,059 0,6 32,9 1,02 1,020 0,0
36,0 1,843 1,841 0,1 38,7 0,70 0,720 2,8
39,4 1,700 1,672 1,7 40,4 0,615 0,605 1,6
Як виднo з тaбл. 2, дaнi eкcпepимeнтy тa знaчeння густини, oбчиcлeнi зa фopмyлoю (8), збiгaютьcя цiлкoм зaдoвiльнo: вiднocнe вiдxилeння да пepeвищye 2,8%. Для пopiвняння зaзнaчимo, щo нaвeдeнa в [16] фopмyлa
В2 = 0,02644с1'736 +(0,0352-0,006999С>
нaближae eкcпepимeнтaльнi дaнi з пoxибкoю 7%.
Aлгopитм тaкoж ycпiшнo викopиcтoвyвaвcя для пoбyдoви нeлiнiйниx фopмyл бшь-шoгo чиота змiнниx, зoкpeмa, фopмyл для oбчиcлeння кyтa взaeмнoгo пoвopoтy двox блo-кiв зaлiзoбeтoннoгo eлeмeнтa, вiдoкpeмлeниx нopмaльнoю тpiщинoю. Цeй кут зaлeжнo вщ фopми пepepiзy eлeмeнтa (тaвp, двoтaвp тa iн.) e фyнкцieю вщ чoтиpьox дo ceми змiнниx [17]. Bизнaчeння кyтa пoвopoтy e oдним iз ocнoвниx мoмeнтiв y poзpaxyнкax кpyтильнoï жopcткocтi eлeмeнтiв y зaлiзoбeтoнниx плитнo-peбpиcтиx cиcтeмax (мocти, пepeкpиття то-Щo).
5. Висновки
У CTani пpeдcтaвлeнo aлгopитм дифepeнцiaльнoï eвoлюцiï, aдaптoвaний для знaxoджeння oптимaльниx знaчeнь пapaмeтpiв eмпipичниx фopмyл дeкiлькox змiнниx. ^го ocнoвними ne-peвaгaми e yнiвepcaльнicть (дoзвoляe знaxoдити oптимaльнi пapaмeтpи як латник, тaк i нeлiнiйниx eмпipичниx фopмyл з викopиcтaнням piзниx нopм нaближeння), пpocтoтa peaлi-зaцiï тa викopиcтaння. Рeзyльтaти oбчиcлювaльниx eкcпepимeнтiв дaють пiдcтaви ввaжaти, щo зaпpoпoнoвaний aлгopитм e eфeктивним зacoбoм нaближeння eкcпepимeнтaльниx дaниx.
СПИСОК ДЖЕРЕЛ
1. Baкaл Л.П., Кaлeнчyк-Пopxaнoвa A.O. Aнaлiтичнa oôpoôxa Aannx m ocнoвi чeбишoвcькoï a^ox-cимaцiï. Математичш машини i системи. 2006. № 2. С. 15-24.
2. Дeмидoвич Б.П., Mapon ИА., Шyвaлoвa Э.З. Чиcлeнныe мeтoды aнaлизa. M.: Hayxa, 1967. 368 c.
3. Baкaл Л.П. Пpoгpaмнi зacoби для нaближeння дocлiдниx дaниx eмпipичними фopмyлaми. Комп'ютеpнi засоби, меpежi та системи. 2009. № 8. С. 35-44.
4. Кaлeнчyк-Пopxaнoвa A.O., Baкaл Л.П. Зacтocyвaння нaйкpaщoï чeбишoвcькoï aпpoкcимaцiï для мoдeлювaння дeякиx фiзичниx пpoцeciв. Математичне та комп'ютеpне моделювання. Техтчн науки. Кaм'янeць-Пoдiльcький: Кaм'янeць-Пoдiльcький нaцioнaльний yнiвepcитeт, 2010. Bm. 4. С. 111-11S.
5. Baxan Л.П. Пocтpoeниe нaилyчшиx нeлинeйныx эмпиpичecкиx фopмyл. ^ащ мiжнap. симп. «Питання оптимiзaцiï обчислень (ПОО-XXXV)». К.: 1н-т ^epReraRH 1м. B.M. Глyшкoвa HAH y^arnM, 2009. Т. 1. С. 99-103.
6. Вакал Л.П. Генетичш алгоритми для чебишовсько! апроксимацп. Комп'ютерт засоби, мережi та системи. 2013. № 12. С. 20-26.
7. Vakal L.P. Solving uniform nonlinear approximation problem using continuous genetic algorithm. Journal of Automation and Information Sciences. New York, 2016. Vol. 48, N 6. P. 49-59.
8. Gorbiychuk M.I. Medvedchuk V.M., Lazoriv A.N. Analysis of parallel algorithm of empirical models synthesis on principles of genetic algorithms. Journal of Automation and Information Sciences. New York, 2016. Vol. 48, N 2. P. 54-73.
9. Вакал Л.П. Апроксимащя функцш багатьох змшних i3 застосуванням алгоритму диференщаль-но1 еволюцп. Математичш машини i системи. 2017. № 1. С. 90-96.
10. Вакал Л.П., Вакал С.С. Розв'язання перевизначено! системи трансцендентних piB^Hb з викори-станням диференщально! еволюцп. Математичне та комп'ютерне моделювання. Техтчт науки. Кам'янець-Подшьський: Кам'янець-Подшьський нащональний унiвеpситет, 2017. Вип. 15. С. 2430.
11. Storn R., Price K. Differential evolution - a simple and efficient heuristic for global optimization over continuous spaces. Journal of Global Optimization. Dordrecht, 1997. Vol. 11. P. 341-359.
12. Каленчук-Порханова А.О., Вакал Л.П. Побудова найкращих piвномipних наближень функцш багатьох змшних. Комп 'ютерм засоби, мережi i системи. 2007. № 6. С. 141-148.
13. Каленчук-Порханова А.А., Вакал Л.П. Аппарат аппроксимации в составе программного обеспечения суперкомпьютера с кластерной архитектурой. Искусственный интеллект. 2009. № 1. С.158-165.
14. Ремез Е.Я. Общие вычислительные методы чебышевского приближения. Киев: Изд-во АН УкрССР, 1957. 454 с.
15. Lee T.H., Adams G.E., Gaines W.M. Computer process control: modeling and optimization. New York: Wiley, 1968. 386 p.
16. Батунер Л.П., Позин М.Е. Математические методы в химической технике. Л.: Химия, 1968. 823 с.
17. Azizov T.N., Melnyk A.S., Vakal L.P., Kalenchuk-Porkhanova A.A., Orlova O.M. According to the calculation of reinforced concrete ceilings taking into account the change in torsional stiffness of prefabricated plates against the formation of normal cracks. Theoretical & Applied Science. Philadelphia, 2017. Vol. 49, N 5. P. 180-189.
Стаття надтшла до редакцп 23.05.2018
