Зависимость результатов расчета по методу функционала электронной плотности от способа представления волновой функции Текст научной статьи по специальности «Нанотехнологии»

УДК 539.194

Вестник СПбГУ. Прикладная математика... 2018. Т. 14. Вып. 1

А. А. Васильев, M. Е. Бедрина, Т. А. Андреева

ЗАВИСИМОСТЬ РЕЗУЛЬТАТОВ РАСЧЕТА ПО МЕТОДУ ФУНКЦИОНАЛА ЭЛЕКТРОННОЙ ПЛОТНОСТИ ОТ СПОСОБА ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВОЛНОВОЙ ФУНКЦИИ

Санкт-Петербургский государственный университет, Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7—9

Рассмотрено влияние способа представления волновой функции на результаты компьютерного моделирования процесса заполнения молекул фуллерена водородом. Расчеты проводились в рамках метода функционала плотности с использованием базисных функций вида 6-31G, 6-31G**, SDD и LanL2DZ в программном пакете Gaussian09. Поиском энергетического минимума системы с полной свободной оптимизацией геометрии в каждом отдельном случае показано, что количество молекул водорода, которые могут свободно разместиться в полости фуллерена, увеличивается при использовании базисов с псевдопотенциалом. Зависимость результатов расчета от вида обменно-корреляционного потенциала метода функционала электронной плотности оказывается более существенной, чем зависимость от способа представления волновой функции. Библиогр. 14 назв. Ил. 1. Табл. 2.

Ключевые слова: метод функционала плотности, базисные функции, фуллерен, водородная энергетика.

A. A. Vasiliev, M. E. Bedrina, T. A. Andreeva

THE DEPENDENCE OF CALCULATION RESULTS

ON THE DENSITY FUNCTIONAL THEORY

FROM THE MEANS OF PRESENTING THE WAVE FUNCTION

St. Petersburg State University, 7—9, Universitetskaya nab., St. Petersburg, 199034, Russian Federation

The influence of representation the wave function on the results of a computer simulation of filling fullerene molecules by hydrogen was considered. The calculations were carried out with the density functional method using the basis functions of the form 6-31G, 6-31G**, SDD and LanL.2DZ in the Gaussian09 software package. It is shown that the number of hydrogen molecules that can freely fit into the fullerene cavity increases when using bases with pseudopotential. The dependence of calculation results from the type of the exchange-correlation potential in density functional theory is more significant than the dependence on the means of representing the wave function. Refs 14. Fig. 1. Tables 2.

Keywords: density functional theory, basis functions, fullerene, hydrogen energy.

Введение. Использование фуллеренов и углеродных нанотрубок в качестве контейнеров для транспортировки и хранения водорода — одно из перспективных направлений водородной энергетики. Проблема заключается в предельном количестве

Васильев Александр Андреевич — аспирант; [email protected] Бедрина Марина Евгеньевна — доктор физико-математических наук, доцент; [email protected]

Андреева Татьяна Анатольевна — кандидат физико-математических наук, доцент; [email protected]

Vasiliev Alexander Andreevich — postgraduate student; [email protected]

Bedrina Marina Evgenievna — doctor of physical and mathematical sciences, associate professor; [email protected]

Andreeva Tatiana Anatolyevna — PhD of physical and mathematical sciences, associate professor; [email protected]

© Санкт-Петербургский государственный университет, 2018

водорода, которое можно разместить в полости фуллерена и нанотрубок, оно определяется процентным отношением массы водорода к массе углеродного контейнера. Компьютерное моделирование процесса заполнения фуллеренов и нанотрубок водородом приводит к противоречивым результатам. В работе [1] методом MP2 показано, что только одна молекула водорода может разместиться в полости фуллерена C60. С помощью методов Монте-Карло и молекулярной динамики увеличивается число молекул водорода в фуллерене и нанотрубках, однако при этом не совсем корректно учитываются анизотропные силы отталкивания [2]. Наиболее оправданным подходом является применение современной теории функционала электронной плотности (англ. density functional theory, DFT) [3] — метода расчета электронной структуры молекул, наноструктур и конденсированного вещества в квантовой физике и квантовой химии. Но моделирование физических процессов методом DFT может зависеть как от формы гибридных потенциалов метода [4], так и от способа представления базисных волновых функций, в частности влияния незаполненной электронами области псевдопотенциалов и учета поляризующих функций. Целями работы были изучение взаимодействия атомов водорода с фуллереном методом функционала электронной плотности и исследование зависимости результатов расчета от способа представления волновых функций.

Математическая модель. В отличие от традиционных (ab initio) методов квантовой химии, в которых в результате решения уравнения Шредингера для системы, состоящей из N электронов, находится волновая функция, зависящая от всех пространственных и спиновых координат электронов, методы DFT оперируют с функцией, зависящей только от трех пространственных переменных электронной плотности p(r). В этом случае функционал полной энергии можно записать следующим образом:

e[p(r)} ее J Vo(r)(0(r)dr + Ts[p(r)] + i J ^M^drdr' + Exc[p(r)]. (1)

В правой части равенства (1) первый член описывает притяжение электронов к ядрам, второй — кинетическую энергию, третий — кулоновские межэлектронные взаимодействия, а последний — все остальные вклады в межэлектронные взаимодействия. Применение вариационного принципа к функционалу полной энергии с пробной функцией p(r) приводит к системе одноэлектронных уравнений

("? +1/0w + / Y^r\dr'+ щ) ^ = (2)

с обменно-корреляционным потенциалом

S-^ = VXG(r), (3)

op(r)

который позволяет косвенно учесть эффект корреляции электронов. Электронная плотность записывается в виде

N

p(r)=£ b(r)|2.

i=1

В качестве дополнительных условий примем условие нормировки и стремление к нулю электронной плотности на бесконечности:

j n(r)dr = N, p(r) ^ 0 при

.

r

Решение уравнений (2) определяет одночастичные энергии е^ и волновые функции ^ для занятых и незанятых электронных состояний. Потенциал (3) зависит от плотности р(г), поэтому систему уравнений (2) решают методом самосогласованного поля. Точные выражения для Ехс неизвестны, обменно-корреляционный вклад в полную энергию учитывается приближенно. В последние годы были предложены различные виды функционала обменно-корреляционной энергии. Для корректного учета межмолекулярных взаимодействий [5] в компьютерном моделировании процесса заполнения фуллерена водородом лучше использовать гибридные методы DFT [6-8], в которые с тем или иным вкладом включен точный нелокальный хартри-фоковский обменный член, и обменно-корреляционный функционал записывается как линейная комбинация

т-лЬуЪпё _ рНР , „ 1?ОРТ

ЕХС = сИрЕх + СОРТ Ехс ;

где коэффициенты с нр и сорт являются параметрами функционала. В настоящей работе применялись трехпараметрический обменно-гибридный функционал B3LYP [9]

ЕХСЬ¥Р = ЕХОА + со(ЕНР - ЕХОА) + СДЕХ88 + + сс(Е- Е™к) (4) и функционал РВЕ0 [10]

ЕХсВ0 = ЕХ£А + 0.25(ЕХР - Е«СА). (5)

В (5) ЕХС?А — приближение энергии обменно-корреляционных взаимодействий по методу обобщенного градиента. Обменная часть функционала B3LYP в (4) включает 20% хартри-фоковского обмена, другие составляющие учитывают корреляционные и градиентные поправки. В целом, текущее состояние метода теории функционала плотности таково, что невозможно оценить погрешность расчета, не сравнивая его результаты с другими подходами или с данными экспериментов.

Базисные функции. В методе DFT основное состояние системы определяется набором одночастичных волновых функций, а волновая функция и внешний потенциал — распределением электронной плотности.

На практике для решения уравнения (2) необходимо представлять молекулярную орбиталь (волновую функцию исследуемой системы) в виде комбинации атомных ор-биталей — волновых функций атомов, входящих в систему, которые, в свою очередь, представимы как линейная комбинация конечного числа базисных состояний хр:

= Е хр. (6)

р

Выбор базисных атомных функций является важной задачей, так как именно он определяет, насколько точно разложение (6) аппроксимирует молекулярную орби-таль. Этот ряд должен достаточно быстро сходиться, т. е. малое число атомных ор-биталей должно аппроксимировать молекулярную орбиталь с требуемой точностью. На данный момент используются следующие наборы базисных функций, которые различаются показателями экспоненты:

• плоские волны егкг;

• слэтеровские орбитали е-вг;

• гауссовы орбитали е-вг ;

• численные орбитали, форма которых оптимизируется из атомных расчетов.

Базис плоских волн применяется в расчетах твердых тел и нами не рассматривался. Слэтеровские орбитали являются наиболее естественными, орбитали изолированных атомов описываются формулами

Хпис,г) = 1/7|%(2С)"г"-1ехр(-Сг)11т(0, ч>),

(2п)!

здесь

У1т(0,ф)

21 +1 (1 - |т|)!

/ сО!3тФ-(т > 0) Бтту...(т < 0)

рт\ (с°8 0)

2^т (1 + |т|)!

есть нормированные вещественные сферические гармоники, где

1 II

РГ^О) = Ш[1 - (еов^]-^-^^ * - 1)' (7)

— присоединенные полиномы Лежандра, 5т равно 2 при т = 0 и равно 1 в остальных случаях. Радиальные функции слэтеровского типа недостаточно точно описывают поведение атомных орбиталей на небольших расстояниях от ядра. Такой недостаток можно устранить аппроксимацией каждой из этих атомных орбиталей, по крайней мере, двумя слэтеровскими функциями с разными орбитальными экспонентами:

Хшт = N (гп'-1е-<1г + гп'-1 е-<2г )У1т(0,<р).

Функции (7) называются дубль-зета-функциями, а соответствующий базисный набор — дубль-зета-базисом (DZ), возможно существование и трипл-зета-базиса (TZ). Однако некоторые интегралы кулоновского типа не могут быть решены аналитически при использовании этого набора. Для удобства вычисления слэтеровская атомная орбиталь аппроксимируется несколькими гауссовыми функциями

1

Х%т(<*,г) = (^[2п-+1)\] Г"~1еХР

Следовательно, базис гауссовых функций всегда больше базиса слэтеровских атомных орбиталей. Наиболее простым типом базисных наборов является STO-nG, где каждая атомная орбиталь состоит из суммы п (обычно от двух до шести) функций гауссова типа, причем коэффициенты гауссовых функций подобраны таким образом, чтобы их линейные комбинации приближенно описывали поведение орбиталей слэте-ровского типа.

Представляя слэтеровскую орбиталь тремя гауссовыми функциями в базисе STO-3G, мы провели предварительные расчеты некоторых фуллереноводородных структур. Однако в силу малого размера базиса полные энергии систем, акцепторная способность углерода и стабильность сопряженных циклов вычислялись с погрешностью, хотя равновесная геометрия передавалась правильно. Чтобы устранить перечисленные недостатки, были выбраны более широкие валентно-расщепленные и биэкспоненциальные базисы. В этих базисах атомные орбитали составлены из двух частей — внутренней, более компактной, и внешней, более диффузной. В валентно-расщепленных базисных наборах на компактную и диффузную составляющие разделены только валентные орбитали. В биэкспоненциальных базисах расщеплены как валентные, так и внутренние орбитали остова. В работе были рассчитаны структуры

фуллерена Сбо, заполненные 16, 18, 20 и 22 атомами водорода. Атомы в произвольном порядке были сконцентрированы в центре полости, причем начальная геометрия сохранялась неизменной при расчетах в разных базисах. В процессе свободной оптимизации геометрии атомы отталкивались друг от друга, образовывали молекулы водорода и с учетом межмолекулярных сил распределялись на определенном расстоянии друг от друга и от стенок полости. Расчеты оптимальной структуры и полной энергии данных систем с различным представлением волновой функции производились в программном пакете Саи8в1ап09 [11].

Для этих расчетов выбраны четыре наиболее интересных базиса:

• 6-31 С — базис дважды расщепленной валентной орбитали [12], соответствует общепринятой схеме т-прС (6-31 С), где т — число гауссовых функций, заменяющих каждую внутреннюю атомную орбиталь, п и р — число гауссовых функций с разными значениями экспонент, аппроксимирующих каждую валентную атомную орбиталь;

• 6-31 С** — этот же базис с учетом поляризующих функций (р — для атомов водорода, ( — для атомов углерода);

• ЯББ — валентный базисный набор с псевдопотенциалом остова [13] (для атомов углерода и водорода соответствует базису ё95у);

• Lanl2DZ — биэкспоненциальный базис, моделирующий действие остовных электронов [14].

Результаты. Вычисленные в разных базисах значения полных энергий незначительно отличаются друг от друга. В произвольном порядке помещенные в полость фуллерена Сбо 18 атомов водорода в процессе оптимизации геометрии образуют 9 молекул, которые достаточно симметрично располагаются в центре полости (рисунок).

Рис. Оптимизированная геометрия фуллерена С60 с 18 атомами водорода в базисе 6-3Ю**

Оптимизация проводилась по методу Х. Бернарда Шлегеля (BERNY) с аналитическим вычислением градиентов энергии. Для поиска глобального минимума энергии системы итерационно вычисляется приближенная матрица силовых постоянных, которые уточняются на каждом шаге. Чтобы убедиться в истинности найденного значения минимума энергии, был выполнен расчет колебательных спектров всей системы. Отсутствие мнимых частот свидетельствует о достоверности определенной равновес-

ной геометрии. В табл. 1 приведены результаты моделирования заполнения фулле-рена водородом, выполненные методами B3LYP и РВЕ0 в базисах 6-3Ш и 6-3Ю**. При попытке поместить 10 молекул водорода в полость фуллерена в расчетах в базисах 6-3Ши и 6-3Ю** происходят разрыв одной из молекул водорода на атомы и присоединение атома водорода к внутренней поверхности фуллерена с образованием химической связи. Длина связи между атомом углерода внутренней поверхности фуллерена и атомом водорода составляет 1.12 А (B3LYP) и 1.15 А (РВЕ0). При разрыве связи в молекуле водорода и присоединении атомов к стенкам в базисах 6-3Ш и 6-3Ш** сходимость процесса оптимизации геометрии ухудшается, что можно объяснить наличием нескольких эквивалентных локальных минимумов. При расчетах в базисах БОБ и LanL2DZ разрыв одной из молекул происходит на уровне 11 молекул водорода, при этом один из атомов остается в полости, не связываясь с внутренней поверхностью. Расстояние в молекулах водорода в полости фуллерена уменьшается по сравнению со свободной молекулой. Следовательно, в зависимости от способа представления волновой функции меняется количество молекул водорода в полости фуллерена. Изменение происходит только на одну молекулу водорода в различных базисных представлениях. Содержание массы водорода относительно массы углерода составляет 2.5-2.8%. Дипольный момент системы характеризует нарушение симметрии в полиэдре. Вычисленные частоты нормальных колебаний молекул водорода в полости фуллерена различаются как для представленных базисов, так и для методов DFT.

Результаты компьютерного моделирования представлены в табл. 1, 2.

Таблица 1. Полные энергии (а- е.), дипольные моменты Б (Дб),

расстояния Дс(н)-н (А) и частоты ^н-н (см-1) колебаний атомов водорода

Сб0-Й18

B3LYP РВЕ0

Etot D Дн-н fH-H 6-31G 2295.50141 0.2928 0.72 (0.74)°) 4400ь) 4532 4582 4584 4640 4643 4701 4702 4715 6-31G** 2296.12228 0.2928 0.72 (0.74) 4479 4612 4642 4643 4699 4670 4745 4746 4755 6-31G 2293.02802 0.0893 0.74 (0.74) 4121 4262 4310 4414 4420 4457 4471 4485 4561 6-31G** 2293.65106 0.0896 0.73 (0.74) 4222 4368 4407 4476 4492 4508 4544 4552 4589

Сбо-Нго

B3LYP РВЕ0

Etot Дс-н 6-31G** 2297.12621 1.12 6-31G** 2294.67339 1.15

a) В скобках указаны значения Ди-И молекулы водорода в вакууме.

b) Значения частот приведены без учета масштабирующего множителя.

Таблица 2. Полные энергии Etotal (a. e.)

Модель Сб0Й18 СбО-^22

Базис -^total

ЭББ — 2296.246 —2296.617 — 2297.582

ЬапЬ2Бг — 2296.239 —2296.614 — 2297.591

Поиск энергетического минимума системы свободной оптимизацией геометрии является достаточно сложной и ресурсоемкой задачей. Задача для многих частиц, где одновременно варьируется положение всех атомов углерода и водорода, занимает порядка 10-15 дней процессорного времени. В параллельном режиме вычисления на 4 процессорах оно сокращается до 3-4 дней. Следует отметить, что сходимости итерационного процесса можно было достичь только при задании более высокой точности вычисления интегралов и более точной сетки для численного интегрирования.

Заключение. В работе показано, что метод функционала плотности с гибридным трехпараметрическим потенциалом B3LYP и метод PBE0 позволяют корректно описывать слабые ван-дер-ваальсовы взаимодействия за счет косвенного учета эффекта корреляции электронов. Проанализирована зависимость результатов компьютерного моделирования заполнения фуллерена С6о водородом от представления базисных функций. Влияние базисных функций приводит к различным значениям полной энергии системы и к равновесным структурам, отличающимся друг от друга на одну молекулу водорода. Однако при изменении базиса картина заполнения принципиально не меняется. Отсутствует возможность заполнения молекул фуллерена водородом более чем на 2.8%. Этот результат компьютерного моделирования соответствует экспериментальным данным.

Литература

1. Dolgonos G., Peslherbe G. Conventional and density-fitting local Moller—Plesset theory calculations of C-60 and its endohedral H-2@C-60 and 2H(2)@C-60 complexes // Chemical Physics Letters. 2011. Vol. 513, N 4-6. P. 236-240.

2. Williams K., Eklund C. Monte Carlo simulations of H-2 physisorption in finite-diameter carbon nanotube ropes // Chemical Physics Letters. 2000. Vol. 320, N 3-4. P. 352-358.

3. Koch W., Holthausen M. C. A chemist's guide to density functional theory. Second ed. Weinheim, Germany: Wiley-VCH Verlag GmbH, 2001. 306 p.

4. Андреева Т. А., Бедрина М. Е. Влияние гибридных потенциалов метода DFT на результаты исследования жидкокристаллической фазы вещества // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2015. Вып. 1. C. 16-25.

5. Каплан И. Г. Введение в теорию межмолекулярных взаимодействий. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1982. 312 с.

6. Semenov S., Sigolaev Y., Bedrina M. Computer simulation of the structure of large molecules: 2D Polybuckminsterfullerenes and their Boraza Analogs with Bisingle Nitrogen—Boron Bonds // Russian Journal of General Chemistry. 2009. Vol. 79, N 12. P. 2658-2662.

7. Райк А. В., Бедрина М. Е. Моделирование процесса адсорбции воды на поверхности кристаллов // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2011. Вып. 2. C. 67-75.

8. Andreeva T., Bedrina M., Egorov N. Dimerization of 4-cyano-4'-ra-pentylbiphenyl in vacuum and under constant electric field // Journal of Vacuum Science and Technology B. 2015. Vol. 33, N 3. P. 03D102-1-7.

9. Lee C., Yang W., Parr R. G. Development of the Colle—Salvetti correlation-energy formula into a functional of the electron density // Physical Review B. 1988. Vol. 37. P. 785-789.

10. Perdew J., Ernzerhof M., Burke K. Rationale for mixing exact exchange with density functional approximations // Journal of Chemical Physics. 1996. N 105. P. 9982-9985.

11. Frisch M. J., Trucks G. W., Schlegel H. B. et al. GAUSSIAN-09, Rev. C.01. Wallingford, CT: Gaussian Inc., 2010.

12. Francl M. M., Pietro W. J., Hehre W. J., Binkley J. S., Gordon M. S. Selfconsistent molecular orbital methods. XXIII. A polarizationtype basis set for secondrow elements // The Journal of Chemical Physics. 1982. Vol. 77. P. 3654-3665.

13. Leininger T., Nicklass A., Stoll H., Dolg M., Schwerdtfeger P. The accuracy of the pseudopotentials approximation. II. A comparison of various core sizes for indium pseudopotentials in calculations for spectroscopic constants of InH, InF, and InCl // The Journal of Chemical Physics. 1996. Vol. 105. P. 1052-1059.

14. Hay P. J., Wadt W. R. Ab initio effective core potentials for molecular calculations. Potentials for the transition metal atoms Sc to Hg // The Journal of Chemical Physics. 1985. Vol. 82. P. 270—283.

Для цитирования: Васильев А. А., Бедрина M. Е., Андреева Т. А. Зависимость результатов расчета по методу функционала электронной плотности от способа представления волновой функции // Вестник Санкт-Петербургского университета. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2018. Т. 14. Вып. 1. С. 51-58. https://doi.org/10.21638/11701/spbu10.2018.106

References

1. Dolgonos G., Peslherbe G. Conventional and density-fitting local Moller—Plesset theory calculations of C-60 and its endohedral H-2@C-60 and 2H(2)@C-60 complexes. Chemical Physics Letters, 2011, vol. 513, no. 4-6, pp. 236-240.

2. Williams K., Eklund C. Monte Carlo simulations of H-2 physisorption in finite-diameter carbon nanotube ropes. Chemical Physics Letters, 2000, vol. 320, no. 3-4, pp. 352-358.

3. Koch W., Holthausen M. C. A chemist's guide to density functional theory. Second ed. Weinheim, Germany, Wiley-VCH Verlag GmbH Press, 2001, 306 p.

4. Andreeva T. A., Bedrina M. E. Vliianie gibridnykh potentsialov metoda DFT na rezul'taty issledovaniia zhidkokristallicheskoi fazy veshchestva [The influence of hybrid potentials of the DFT method on the results of study of liquid crystal phase of a substance]. Vestnik of Saint Petersburg State University. Series 10. Applied Mathematics. Computer Science. Control Processes, 2015, iss. 1, pp. 16-25. (In Russian)

5. Kaplan I. G. Vvedenie v teoriiu mezhmolekuliarnykh vzaimodeistvii [Introduction to the theory of intermolecular interactions]. Moscow, Nauka Publ., 1982, 312 p. (In Russian)

6. Semenov S., Sigolaev Y., Bedrina M. Computer simulation of the structure of large molecules: 2D Polybuckminsterfullerenes and their Boraza Analogs with Bisingle Nitrogen—Boron Bonds. Russian Journal of General Chemistry, 2009, vol. 79, no. 12, pp. 2658-2662.

7. Raik A. V., Bedrina M. E. Modelirovanie protsessa adsorbtsii vody na poverkhnosti kristallov [Modeling of water adsorption process on crystal surfaces]. Vestnik of Saint Petersburg State University. Series 10. Applied Mathematics. Computer Science. Control Processes, 2011, iss. 2, pp. 67-75. (In Russian)

8. Andreeva T., Bedrina M., Egorov N. Dimerization of 4-cyano-4'-ra-pentylbiphenyl in vacuum and under constant electric field. Journal of Vacuum ¡Science and Technology B, 2015, vol. 33, no. 3, pp. 03D102-1-7.

9. Lee C., Yang W., Parr R. G. Development of the Colle—Salvetti correlation-energy formula into a functional of the electron density. Physical Review B, 1988, vol. 37, pp. 785-789.

10. Perdew J., Ernzerhof M., Burke K. Rationale for mixing exact exchange with density functional approximations. Journal of Chemical Physics, 1996, no. 105, pp. 9982-9985.

11. Frisch M. J., Trucks G. W., Schlegel H. B. et al. GA USSIAN-09, Rev. C.01. Wallingford, CT, Gaussian Inc., 2010.

12. Francl M. M., Pietro W. J., Hehre W. J., Binkley J. S., Gordon M. S. Selfconsistent molecular orbital methods. XXIII. A polarizationtype basis set for secondrow elements. The Journal of Chemical Physics, 1982, vol. 77, pp. 3654-3665.

13. Leininger T., Nicklass A., Stoll H., Dolg M., Schwerdtfeger P. The accuracy of the pseudopotential approximation. II. A comparison of various core sizes for indium pseudopotentials in calculations for spectroscopic constants of InH, InF, and InCl. The Journal of Chemical Physics, 1996, vol. 105, pp. 10521059.

14. Hay P. J., Wadt W. R. Ab initio effective core potentials for molecular calculations. Potentials for the transition metal atoms Sc to Hg. The Journal of Chemical Physics, 1985, vol. 82, pp. 270-283.

For citation: Vasiliev A. A., Bedrina M. E., Andreeva T. A. The dependence of calculation results on the density functional theory from the means of presenting the wave function. Vestnik of Saint Petersburg University. Applied Mathematics. Computer Science. Control Processes, 2018, vol. 14, iss. 1, pp. 51-58. https://doi.org/10.21638/11701/spbu10.2018.106

Статья рекомендована к печати проф. Н. В. Егоровым. Статья поступила в редакцию 15 октября 2017 г. Статья принята к печати 11 января 2018 г.