CC BY
21
Математические структуры и моделирование 2002, вып. 9, с. 1-7
УДК 536.763/764
ЗАВИСИМОСТЬ КРИТИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ ОДНОРОДНЫХ СЖИМАЕМЫХ СИСТЕМ ОТ РАЗМЕРНОСТИ ПАРАМЕТРА ПОРЯДКА
С.В. Белим
The renormalization-group method is applied to analysis of phase transitions in systems where the order parametr is coupled to nonordering additional elastic variable. A variety of critical and tricritical behavior is found as function of the physical variables and possible macroccopic constraints imposed on the system. The tricritical exponents were calculated in two-loop order with using Pade-Borel summation technique.
В сжимаемых системах связь параметра порядка с упругими деформациями играет важную роль. Как впервые было показано в [1], для упруго-изотропного тела критическое поведение сжимаемых систем с квадратичной стрикцией неустойчиво относительно связи параметра порядка с акустическими модами и реализуется фазовый переход первого рода, близкий ко второму. Однако выводы работы [1] справедливы только в области низких давлений и, как показано в [2], в области высоких давлений, начиная с некоторого трикритического значения Pt, деформационные эффекты, индуцируемые внешним давлением, оказывают на систему более радикальное влияние, приводя к смене знака эффективной константы взаимодействия флуктуаций параметра порядка и, как следствие, рода фазового перехода. При этом в [2] для однородных сжимаемых систем предсказывается два типа трикритического поведения и существование критической точки четвертого порядка, в которой пересекаются две трикрити-ческие кривые. Расчеты, проведенные в рамках двухпетлевого приближения [3], подтвердили наличие двух типов трикритического поведения для изинговских систем и позволили получить значения трикритических индексов.
Согласно критерию, полученному в [1], етрикционные эффекты, рассматриваемые как дополнительные термодинамические параметры, приводят к смене режима критического поведения только в системах с сингулярным поведением теплоемкости в отсутствии деформаций. Индекс теплоемкости a (C ~ |T — Tc\-a) положителен лишь для изинговских магнетиков. Для XY-модели и модели Гейзенберга индекс теплоемкости жестких систем положителен, и, следовательно, упругие деформации не должны сказываться на критическом поведении. Отсюда вытекает, что критическое значение размерности параметра порядка nc < 2.
© 2002 С.В. Белим
E-mail: [email protected] Омский государственный университет
В настоящей работе осуществлено развитие модели фазовых превращений в однородных сжимаемых системах, характеризующихся различной размерностью флуктуирующего параметра порядка [4, 5], рассматриваемых методами ренорм-группы в двухпетлевом приближении непосредственно в трехмерном пространстве. Исследуются также условия реализации трикритического поведения за счет эффектов дальнодейетвующего взаимодействия флуктуаций параметра порядка, обусловленного длинноволновыми акустическими модами, В связи с тем, что в критической области основной вклад в етрикционные эффекты дает зависимость обменного интеграла от расстояния, рассматриваются лишь упруго-изотропные системы.
Гамильтониан однородной изингоподобной модели с учетом упругих деформаций может быть записан в виде:
Но
3
[ dDx[-(T1 + V2)S(x)2 + + ^(S(x)2)2] + f dDuaa(x))2 +
J ^ a=1
3 1 [ s 3
«2^ U2ae\ + 2«3 dDxS(x)2(^2 Uaa(x)), (l)
а,в= 1 ^ a= 1
где S(x) - n-мерный параметр порядка, u0 - положительная конетанта, т0 ~ |T — Tc|/Tc, Tc - температура фазового перехода, uaв - тензор деформаций, а1, а2 ~ упругие постоянные кристалла, а3 - параметр квадратичной стрикции. Переходя в (1) к фурье-образам переменных и интегрируя по слагаемым, зависящим от нефлуктуирующих переменных, не взаимодействующих с параметром
3
порядка S(x), и вводя для удобства новую переменную y(x) чим гамильтониан системы в следующем виде:
Z) Uaa(x), полу-
а=1
Но = 2 f dDq(To + q2)SqS-q + U° f dDqt(Sq 1 Sg2)(SgзS-gl-g2-gз) + (2)
(0)
«3
+ а3 d qУg1Sg2S-g1-g2 + Q Уо
dD qSq S-q + - а1
dD qyq У-q
1 «f\.2
2 Q
Уо ■
В (2) выделены слагаемые y0, описывающие однородные деформации. Как показано в работе [1], такое разделение необходимо, так как неоднородные деформации yq отвечают за обмен акустическими фононами и приводят к эффектам дальнодействия, которые отсутствуют при однородных деформациях.
Определим эффективный гамильтониан системы, зависящий только от сильно флуктуирующего параметра порядка S, следующим образом:
exp{—Н [S]} = В J exp{ — Hn[S,y]}Y[ dyq ■ (3)
Если эксперимент осуществляется при постоянном объеме, то y0 является константой, интегрирование в (3) проводится только по неоднородным деформациям и однородные деформации вклада в эффективный гамильтониан не вносят.
2
При постоянном давлении в гамильтониан добавляется слагаемое PП, объем представляется в терминах компонент тензора деформации в виде
П П0 [1 ^ ^ иаа ^ ^ иааивв + O(u )],
а=1 а=в
(4)
и интегрирование в (3) осуществляется также и по однородным деформациям, Как отмечено в [6], учет в (4) квадратичных слагаемых может оказаться важным в случае высоких давлений и кристаллов с большими етрикционными эффектами. Пренебрежение в [1] данными квадратичными слагаемыми ограничивает применение результатов работы Ларкина и Пикина только к случаю низких давлений, В результате:
H
2 J dD ЯЫ + q2)Sq S-q ----2^ J q1S -q1-q2-q3
2П (zo - Wo ) J dD {Qi}Sq1 S-qlSq2 S-q2), (5)
zo = al/(4аз), Wg = a10)2/(4a30)).
Возникающий в гамильтониане эффективный параметр взаимодействия v0 = u0 — 12z0 за счет влияния етрикционных эффектов, определяемых параметром z0, может принимать не только положительные, но и отрицательные значения, В результате данный гамильтониан описывает как фазовые переходы первого, так и второго рода. При v0 = 0 в системе реализуется трикритичеекое поведение, В свою очередь, эффективное взаимодействие в (5), определяемое разностью параметров z0 — w0, при z0 — w0 > 0 может вызывать в системе фазовый переход второго рода, а при z0 — w0 < 0 - фазовый переход первого рода. Из данного вида эффективного гамильтониана следует возможность осуществления критической точки более высокого порядка, в которой пересекаются трикритические кривые, при одновременном выполнении условий v0 = 0 z0 = w0 [2]. Следует отметить, что при трикритичееком условии z0 = w0 гамильтониан модели (5) изоморфен гамильтониану однородной жесткой системы,
В рамках теоретико-полевого подхода [7] асимптотическое критическое поведение и структура фазовых диаграмм во флуктуационной области определяется ренорм-групповым уравнением Каллана-Симанчика для вершинных частей неприводимых функций Грина, Для вычисления Д и 7-функций как функций, входящих в уравнение Каллана-Симанчика перенормированных вершин взаимодействия u,a1,a(0) или более удобных для определения критического и трикритичеекого поведения модели комплексных вершин z = a2/(4a3), w = a1°)2/(4a30)), v = u — 12z, был применен стандартный метод, основанный на диаграммной технике Фейнмана и процедуре перенормировки [8]. В результате в рамках двухпетлевого приближения были получены следующие выражения для
3
в-функций:
в
в*
Pw
. n + 8 41 n + 190 2
v 1-------— v +-----------v
z 1 —
n + 2
243 v — 2 nz +
23(n + 2)
243 1
. n + 2 23 (n + 2) 2
w 1--------v — 4nz + 2nw +-----------v
3 243
(6)
Известно, что ряды теории возмущений являются асимптотическими, а вершины взаимодействия флуктуаций параметров порядка во флуктуационной области достаточно велики, чтобы можно было непоередетвенно применять выражения (6), Поэтому е целью извлечения из полученных выражений нужной физической информации был применен обобщенный на трехпараметричеекий случай метод Паде-Бореля, При этом прямое и обратное преобразования Боре-ля имеют вид
/(v,z,w) F(v, z, w)
cil,i2,i3vi1zi2wi3 = f e *F(vt, zt,wt)dt,
11.12.13 0
V Ci1 ,i2 ,i3 vil zi2 wi3
11.12.13 (il + *2 + *3)!
(7)
Для аналитического продолжения борелевского образа функции вводится ряд по вспомогательной переменной в
ГО
F(v,z,w,e) = J2ekYz ЩГ^1zi2wi3Sii+i.2+i3.k , (8)
k=0 ii,i2,i3
к которому применяется аппроксимация Паде [L/M] в точке в = 1, Данная методика была предложена и апробирована в работах [9] для описания критического поведения ряда систем, характеризующихся несколькими вершинами взаимодействия флуктуаций параметра порядка. Выявленное в [9] свойство сохранения симметрии системы в процессе применения Паде-аппроксимант по переменной в становится существенным при описании многовершинных моделей,
В двухпетлевом приближении ДЛЯ вычисления в-функций был использован аппроксимант [2/1]. Природа критического поведения определяется существованием устойчивой фиксированной точки, удовлетворяющей системе уравнений
A(v*,z*,w*) = 0 (i =1,2,3). (9)
Требование устойчивости фиксированной точки сводится к условию, чтобы собственные значения bi матрицы
Bi,j
ФФК,ц2,Цз)
Buz
(ui, Uj = v, z, w)
(10)
4
Таблица 1. Значения фиксированных точек и собственных значений матрицы устойчивости
N v* z* w* bi b2 Ьз
и=1
10 0 0 0 -1 -1 -1
11 1,064472 0 0 0,6536 -0,1692 -0,1692
12 1,064472 0,089187 0 0,6536 0,1702 0,1710
13 1,064472 0,089187 0,089187 0,6536 0,1702 -0,1710
14 0 0,5 0 -1 1 -0,16923
15 0 0,5 0,5 -1 1 -1
п=2
ХО 0 0 0 -1 -1 -1
XI 0,934982 0 0 0,6673 -0,0017 0,1053
Х2 0,934982 0,000439 0 0,6673 0,0017 0,1087
хз 0,934982 0,000439 0,000439 0,6673 0,0017 -0,1053
Х4 0 0,25 0 -1 1 1
Х5 0 0,25 0,25 -1 1 -1
п=3
G0 0 0 0 -1 -1 -1
G1 0,829620 0 0 0,6813 0,1315 0,2173
G2 0,829620 0,022909 0 0,6813 -0,1311 -0,0518
G3 0,829620 0,022909 0,022909 0,6813 -0,1311 -0,2170
G4 0 1/6 0 -1 1 1
G5 0 1/6 1/6 -1 1 -1
лежали в правой комплексной полуплоскости. Фиксированная точка с v* = 0, соответствующая трикритическому поведению, является седловой точкой и должна быть устойчивой в направлениях, задаваемых переменными z,w, и неустойчивой в направлении, определяемом переменной v. Стабилизация трикрити-чеекой фиксированной точки в направлении, задаваемом переменной v, осуществляется в результате учета в эффективном гамильтониане модели членов шестого порядка по флуктуациям параметра порядка. Фиксированная точка е z* = w*, соответствующая трикритическому поведению второго типа, является также седловой точкой и должна быть устойчивой в направлениях, задаваемых переменными v, z, и неустойчивой в направлении, определяемом переменной w. Ее стабилизация может осуществляться за счет влияния ангармонических эффектов. Полученная система просуммированных ^-функций содержит широкое разнообразие фиксированных точек, В таблице 1 приведены наиболее интересные для описания критического и трикритичеекого поведения фиксированные точки для модели Изинга (n = 1), XY-модели (и = 2) и модели Гейзенберга(п = 3), лежащие в физической области значений вершин с v,z,w > 0, В таблице приведены также собственные значения матрицы устойчивости для соответствующих фиксированных точек. 5
5
Анализ значений фиксированных точек и их устойчивости позволяет сделать ряд выводов. Гауссовы фиксированные точки 10, Х0, G0 являются трикри-тическими и неустойчивы относительно влияния упругих деформаций. Критическое поведение несжимаемых систем относительно деформационных степеней свободы неустойчиво для модели Изинга (II) и устойчиво для модели Гейзенберга (G1), Для XY-модели (XI) собственное значение b2 < 0, но по порядку величины сравнимо е точностью вычислений, вследствие чего нельзя сделать однозначного вывода об устойчивости данной фиксированной точки. По-видимому, сложности в описании XY-модели связаны с близостью критической размерности параметра порядка nc к двум. Согласно критерию, полученному в работе [1], nc < 2, тогда так двухпетлевое приближение дает nc = 2, 011, Для изинговеких систем оказывается устойчивой фиксированная точка при постоянной деформации (12), для гейзенберговских систем соответствующая точка неустойчива (G2), для XY-модели нельзя дать однозначный ответ в силу все той же близости критической размерности к двум. Фиксированные точки 13, ХЗ, G3 описывают первый тип трикритического поведения сжимаемых систем, наблюдаемый при постоянном давлении. Фиксированные точки 14, XI. G4 являются трикрити-ческими для систем, исследуемых при постоянном объеме. Точки 15, Х5, G5 являются критическими точками четвертого порядка, в них пересекаются две трикритические линии.
Полученные в двухпетлевом приближении значения вершин в фиксированных точках, соответствующих критическому и трикритичеекому поведению сжимаемой модели Изинга, позволяют вычислить критические индексы для данных систем на основе просуммированных методом Паде-Бореля выражений для индексов v и п
Значения остальных критических индексов могут быть получены из екей-линговых соотношений, связывающих их с индексами v, щ
Критическое поведение сжимаемых изинговеких систем при постоянном давлении (12) характеризуется перенормированными индексами согласно теории Фишера о влиянии дополнительных термодинамических переменных [10]:
Для трикритического поведения первого типа (13, ХЗ, G3) гамильтониан (5) изоморфен гамильтониану однородной несжимаемой модели, поэтому и критические индексы совпадают с индексами несжимаемой модели:
(п)
v(І) = 0,632; п(,) = 0,028; а(І1 = 0,103; в(І) = 0,325; і (І) = 1,247.
v
0, 708; п(І) = 0, 028; а(/) = -0,125; / 1; V(XY) = 0; a(XY) = -1; в(Х¥) =0 1; n(G) = 0; a(G) = -1; в(G) = 0,5; і
= -0,125; в(І) = 0, 364; і(І) = 1, 397; 1; в(Х¥) =0, 5; і(XY) = 2;
= 0,5; і(G) = 2.
6
Трикритическое поведение второго типа (14, Х4, G4) соответствует критическому поведению сферической модели и определяется соответствующими индексами:
v(/) = 1; п(1) = 0; а(1) = -1; в(/) = 0, 5; д(/) = 2; v(XY) = 1; n(XY) = 0; a(XY) = -1; в(XY) = 0, 5; y(XY) = 2; v(G) = 1; n(G) = 0; a(G) = -1; в(G) = 0, 5; y(G) = 2.
Фиксированные точки четвертого порядка (14, Х4, G4) характеризуются среднеполевыми значениями критических индексов:
v(/) = 0, 5; n(1) = 0; а(1) = 0, 5; в(/) = 0, 25; y(/) = 1; v(XY) = 0, 5; n(XY) = 0; a(XY) = 0, 5; e(XY) = 0, 25; y(XY) = 1; v(G) = 0, 5; n(G) = 0; a(G) = 0, 5; в(G) = 0, 25; y(G) = 1.
Проведенные исследования показали существенность влияния упругих деформаций на критическое поведение сжимаемых систем, проявляющееся как в изменении значений критических индексов для изинговских систем, так и появлении мультикритичееких точек на фазовых диаграммах всех трех моделей. Мы надеемся, что выявленные эффекты и определенные значения индексов найдут подтверждение в экспериментальных исследованиях.
Литература
1. Ларкин А.И., Пикни С.А. // ЖЭТФ. 1969. Т.56. С.1664.
2. I шгу Y. // Phvs. Rev. Lett. 1974. \ .33. P.1304.
3. Белим С.В., Прудников В.В. // ФТТ. 2001. Т.45. С.1299.
4. Laptev Y.M.. Skrvabin Yu.N. // Phvs. Stat. Sol. 1979. B91, K143.
5. Skrvabin Y.N., Shchanov A.V. // Phvs. Lett. 1997. A234, 1. P.147.
6. Bergman D.J., Halperin B.I. // Phvs. Rev. 1976. ВІЗ, 4. P.2145.
7. Amit D. Field theory the renormalization group and critical phenomena. New York: McGraw-Hill, 1976.
8. Zinn-Justin J. Quantum, field theory and critical phenomena. Oxford: Clarendon Press, 1989.
9. Sokolov A.I., Varnashev K.B. // Phvs.Rev. 1999. B59, 13. P.8363.
10. Fisher M.E. // Phvs.Rev. 1976. 176, 1. P.257. 7
7
