CC BY
21
УДК 621.383.8:621.396.96:621.396.6
ЗАВАДОСТІЙКИЙ АЛГОРИТМ З СФЕРИЧНООРІЄНТОВАНОЮ СЕЛЕКЦІЄЮ КОМПОНЕНТІВ КОЛЬОРОВОГО ЗОБРАЖЕННЯ
РУСИН Б.П., ІВАНЮК В.Г., ІВАНЮК Д.В.
Розглядається задача виділення фрагментів кольорових зображень і їх контурів у просторі кольору. Пропонується алгоритм її вирішення на основі опису точок фрагментів, імплантованого з сферичної системи координат простору кольору, з використанням апарату квадратичних форм. Доказується захищеність операції селекції алгоритму від завад приймача системи відновлення і обробки інформації. Складовою алгоритму є режим спрощеної селекції інформації зображення за ознакою колір.
1. Вступ
Система відновлення і обробки інформації, закодованої за допомогою кольору, працює з комплексом ознак, які характеризують інформативну структуру зображення і його складових фрагментів, котрі несуть інформацію про фізичні процеси (геологія, біологія, металографія, екологія) [1-6]]. Комплекс ознак системи відновлення і обробки інформації, орієнтований на декодування кольорових зображень в певному напрямку досліджень, крім специфічних ознак, традиційно містить ознаку кольору. Для успішного застосування всього комплексу ознак для декодування необхідна певна обробка зображення , оскільки воно є спотворене неінформативними фрагментами і завадами технічного походження, які виникають в системі відновлення і обробки інформації [7, 8]. Пропонована робота переважно орієнтована на розгляд аспектів обробки металографічних зображень. При дослідженні металографічних зразків неінформативні фрагменти виникають за рахунок компонентів металографічної структури, які не входять в коло фазових компонентів, що відбивають фізичну суть формування і експлуатації досліджуваного зразка. Неінформативні фрагменти заважають оцінити корисні для дослідника фазові компоненти. На етапі класифікації по зображенню окремого фазового компонента (інформативного фрагмента) решта фазових складників багатофазної системи є конкурентами і практично фігурує як структурна завада. Крім структурних завад, в системі відновлення і обробки слід звернути увагу на завади технічного отримання інформації зображення. Такі завади однією з основних складових містять завади приймача, які з’являються коштом через вплив параметрів джерела світла, сенсорів приймача тощо. Завади технічного отримання погіршують якість аналізу окремих зображень і для їх зменшення треба застосувати точнішу апаратуру (приймач зображення) і відповідне її юстування [7], а також провести багато експериментів для статистичної обробки. Для успішної класифікації параметрів структури
РИ, 2005, № 2
зображення завади обох типів потрібно знешкодити.
Для боротьби з завадами і для класифікації в сучасних системах відновлення і обробки інформації кольорових зображень в програмах обробки як кількісні ознаки переважно застосовуються критерії: функції відстані, відношення сигнал/ шум і т. ін. Взаємодія операцій обробки, які використовують зазначені критерії, з завадами приймача ще не визначена, бо вплив завад приймача на “якість” кольорового зображення достатньо прозоро для застосування в операціях селекції з’ясований останнім часом [9]. Таким чином, скориставшись даними джерела [9], необхідно визначити засоби, які зменшують вказаний тип завад у програмах обробки інформації. Бажано, щоб розроблений алгоритм додатково забезпечив доступ до інформації зображення за ознакою колір.
2. Мета роботи, постановка задачі і специфічність її виконання
Метою даного дослідження є розробка методів та алгоритмів якісного й кількісного аналізу мікроструктури матеріалів на основі кольорових зображень, отриманих з допомогою електронного мікроскопа.
Необхідно реалізувати розроблені алгоритми у програмі оцінювання та сегментації зображень на інформаційні фрагменти і їх контури за цифровим кольоровим зображенням зі зменшенням .впливу завад структурного і технічного походження за ознаками , імплантованими з сферичної системи координат простору кольору, включно з ознакою колір.
Нижче запропоновано метод оцінювання та сегментації зображень за ознаками, сформованими при трансформації сферичної системи координат простору кольору для опису інформаційного фрагмента на засадах апарата квадратичних форм.
3. Оцінка завад приймача зображення
За даними джерела [9] оцінимо вплив завад приймача системи відновлення і обробки зображень. У приймачі досліджуваний зразок освітлюється не-когерентним світлом, яке є електромагнітним промінням в діапазоні хвиль від 400 до 700 nm [1,2]. Відбите від досліджуваного зразка світло попадає на оптичні сенсори приймача, який перетворює світло на напругу в заданому робочому діапазоні хвиль X і є спектрально чутливий. Проаналізували випадок, коли спектральна густина проміння Б(Х) = const = e, а коефіцієнт відбиття і спектральну чутливість сенсора S(X) розглядали як функції довжини хвилі зі спектром, обмеженим максимальною частотою Fw . Цифровий відлік вихідного сигналу оптичного сенсора в комп’ютері
zw(x,y) = KwR(Xw,x,y), (1)
де x,y — координати пікселя у площині зображення; R(X w) = R(X w ,x,y) — відлік коефіцієнта відбиття;
Kw =PweS(Xw)/2Fw, (2)
101
туг "nw — коефіцієнт трансформації АЦП; S(X w) — відлік спектральної чутливості сенсора приймача зображення. Відліки S(Xw) і R(X w) зроблені на довжині хвилі Xw, де припадає максимум спектральної чутливості сенсора. Установлено, що завади приймача зображення зосереджені у просторі кольору і за критерієм відстані не знешкоджуються [9].
4. Формування операції класифікації на основі квадратичних форм
Скоригуємо вплив завад в системі відновлення і обробки інформації застосуванням спеціальної операції селекції, яку створимо на основі квадратичної форми. Окремий р -й інформативний фрагмент, який підлягає селекції, характеризується своїм представником. Параметри у функцій компонента (Р ), представником якого на зображенні є піксель з координатами zw(xp,yp), w є r,g,b , а хр ,ур -просторові координати, індексуватимемо р . Про-індексуємо k параметри у функцій, пов’язаних з довільним пікселем зображення. Це піксель з
координатами zw(xk,yk), w є r,g,b , які є відповідно червоний, зелений та синій кольори зображення і xk,yk — просторові координати пікселя. При селекції р -го інформативного фрагмента класифікуються всі пікселі зображення, тобто індексація (Р) с {k} . Додамо, що при такій селекції відкидаються пікселі неінформативних фрагментів і пікселі решти фазових складників багатофазної системи. Такі пікселі є структурною завадою.
Проведемо пошук квадратичної форми у випадку застосування для опису простору кольору сферичної системи координат. В сферичній системі координат місцезнаходження пікселя zw(xk,yk) в кольоровому кубі визначається
Psk _ psk(Rk,ФюTk) , (3)
де
-Vrk2+gk2+bk2; (4)
bk Фk = arctg k rk (5)
лядали зміни кількості інформації, які викликаються структурною завадою. Для такого випадку було проведено визначення кількості інформації інформативного фрагмента кольорового зображення і створений алгоритм визначення пікселів за ознакою кількості інформації. Подібним чином проведемо визначення інформаційного фрагмента за шуканою квадратичною формою в сферичній системі координат. Щоб створити таку квадратичну форму, знайдемо відхилення в сферичній системі координат між пікселем з координатами zw(xp,yp) і пікселем з координатами zw(xk,yk), який належить структурній заваді або інформаційному фрагменту. Піксель з координатами zw (xp, yр) має в сферичній системі координат координати (3) Psp = Psp (Rp > фр> фр), де Rр, фр,фр описуються формулами (4)—(6) відповідно , в яких замість індексації з k застосована індексація з р . Піксель з координатами zw (xk, yk) має в сферичній системі координат координати psk = psk (Rk, 9k, у k). Використовуючи ці дані, визначимо відхилення двома кроками.
Перший крок полягає у таких умовах і операціях. Нехай існує бієкція f площини, в якій координатами слугують вісі r і b , в поле комплексних чисел C. Нехай в полі комплексних чисел C введена полярна система координат, тоді внаслідок існування бієкції f визначимо
Pp = Рр (Рр, Фр) = Рр exP(j9p). (8)
При класифікації пікселя з координатами zw(xk,yk), подібно до [4], потрібно розглянути зміни значень полярних координат (8):
AP = Pp -Pk = ДРexP(^p) + ІРрАфexP(jфp) , (9)
де АР = Pp _ Pk — абсолютна похибка класифікації по радіусу;
A9 = 9p-9k (10)
— абсолютна похибка класифікації по куту. Користуючись (9), визначимо відносну похибку класифікації
— кут у просторі кольору в площині , якій належить вісь r і вісь b ;
Vk = arctg— (6)
gk
— кут у просторі кольору в площині, якій належить вісь g і радіус
Pk - Vrk2 + bk2 . (7)
Нехай інформаційний фрагмент і структурну заваду, яка є частиною зображення, зручно аналітично описати в сферичній системі координат простору кольору. В роботі [4] інформаційний фрагмент і структурну заваду аналітично описували в декар-товій системі координат простору кольору і розг-
5p = — = 5р+ jA9 Pp (11)
де s Ap
8P =—. Pp (12)
Наступний крок визначення відхилення складають такі умови і операції. Нехай існує бієкція f2 площини, в якій координатами слугують вісь g і радіус Рр (7), в поле комплексних чисел C. Нехай завдяки цій бієкції в полі комплексних чисел C введена полярна система координат
Р = P(Rp, ) = Rр exp(jyp) . (13)
102
РИ, 2005, № 2
При класифікації потрібно розглянути зміни значень полярних координат
ДР = ARexp(jyp) + jRpAyexp(jyp) , (14)
де AR = Rp - Rk — абсолютна похибка класифікації по радіусу;
Ду = ур-ук (15)
— абсолютна похибка класифікації по куту. З (13) і (14) відносна похибка класифікації
Зр =^Р = Sr + jAy, (16)
тут
Sr -
AR
R
P
(17)
Щоб провести класифікацію, доцільніше замість поля C скористатись полем дійсних чисел К. . Для цього, за (11), визначимо квадратичну форму [10] ;, таку, що
gRT: СхС
§РФ=8р2 +А2 ф. (18)
Аналогічно, користуючись (16), визначимо квадратичну форму gRv С х С ^ К., таку, що
2 ' (19)
2 2
gRy = Sr +Д f .
Додаванням квадратичних форм (18) і (19) отримаємо квадратичну форму
gP9Ry = gp9 + gRy = 8р2 + Sr2 + А2ф + А2ф . (20)
Видно, що створена квадратична форма визначена у векторному просторі V4 [10] з розмірністю 4, де координати вектора
(5 'і р
54 =
Дф
Sr
чДФх
Квадратичну форму gpq)Rv : V4 х V4 ^ К. (20) з допомогою матриць можна записати у такому вигляді:
де
gp9Ry Sl4 04 8 4 ,
Г1 0 0 0N
0 1 0 0
04 = 0 0 1 0
V 0 0 0 1X
-матриця квадратичної форми; 54 =(5р, Аф, 5R, Дф)
— транспонована матриця. Щоб привести квадратичну форму до векторного простору V3 з розмірністю 3, модифікуємо (20). Для цього розглянемо векторний простір V3 , в якому дві комплексні площини перетинаються по осі, що проходить через образ бієкцій f , 62 радіуса Рр (7). Позначимо
5з =
(8 )
р
Дф
Дф
(21)
координати вектора векторного простору V3 . Стосовно 8р можна показати, що вираз (12) приводить до
ДЯсоєфр _ Ар _g Rр cos фр Рр '
(22)
для Рр * 0 .
При цьому обмеженні на параметри векторів векторного простору V3 визначимо квадратичну форму gpw : V3 х V3 ^ ж, таку, що
gPW = 8^0383, (23)
де
(10 0 'і
03 =
0 1
V 0 0
0 1X
— матриця квадратичної форми; §3 =(Sp, Дф, Дф) — транспонована матриця. Як видно з (23), (21) модифіковану квадратичну форму можна записати
у такому вигляді: gp9^ = Sp2 + Д2ф +Д2ф .
Звідси, з врахуванням (22), отримуємо формулу
gP9^ _ Sr +А ф + Д ф — gRp^, (24)
яка забезпечує її працездатність для кожного вектора векторного простору V3 . При створенні операції селекції скористаємось квадратичною формою (24). Нехай у кольоровому кубі простору кольору визначений піксель з координатами psp = Psp (Rp, Фр, Фр), що представляє фазовий складник р . Кожний р -й елемент в операціях класифікації буде використаний як зразок інформативного фрагмента. Операціями селекції потрібно класифікувати всі пікселі зображення на визначення належності до інформаційного фрагмента за компонентом р . Нехай класифікується піксель з координатами psk = psk (Rk, фк, фк). Розглянемо алгоритм з умовою класифікації пікселя psk до інформаційного фрагмента за компонентом р з порогом є:
gR9v<s2 . (25)
Таким чином, запропоновано алгоритм селекції окремого інформаційного фрагмента від структурних завад.
5. Придушення завад приймача в операціях селекції
В квадратичній формі gRw (24), яка фігурує в операції селекції (25), визначимо залежність скла-
РИ, 2005, № 2
103
дових з SR , Дф, Дф від завад приймача. Для цього скористаємось (10), (15), (17) і представимо квадратичну форму gRw у такому вигляді:
gRpy - (1_ R-)2 + (фр _Фк)2 + (Фр _Фк)2 . (26)
Р
Звідси видно, що інформація про нормоване відхилення по радіусу зосереджена у першій складовій. Також вцдно, що інформація кольору формується другою і третьою складовими. При селекції автономний доступ до інформації кольору забезпечується
(фр-фк)2 + (фр-фк)2 <є2 . (27)
Отже, основна операція алгоритму (25) містить проекцію (27), яка забезпечує доступ до інформації зображення за ознакою колір. Зауважимо, що в алгоритмі [4] такого доступу до інформації кольорового зображення немає.
Формула (26), з врахуванням (4), (5) і (6), набуває форми, яка реалізована у програмі
g - (1 _ lrk + gk + bk )2 +
gRw~(І і r2 + g? + Ц* +
Ьр Ьк 2
+(arctg— - arctg—)2 +
rp rk
+(arctg
£+ь2
gp
P t Vrk2 + bk2 42
- arctg---------) .
gk
(28)
Далі, з врахуванням (1), трансформуємо квадратичну форму gRw (28) у такий вираз:
gRp^ (1
Z Kw2RWk
wer,g,b
I Kw2RWp
wer,g,b
)2 +
+(arctg
KbRbp
KrRrp
- arctg
KbR
bRbk \2
KrRrk
•r +
+(arctg
і
Kr2Rr2p + KbzR
2-л 2
bp
KgRgp
-arctg
де позначено
/k^R^ + Kb2R2
KgRgk
b Rbk )2
(29)
Rwq = R(Xw,Xq,yq)^ 9 ЄР> k w Є r, g, b .
Зіставляючи формули (29), (2), бачимо, що квадратична форма gRW = gRW (Kr,Kg,Kb) є функцією трьох аргументів Kw, w є r,g,b , які в свою чергу залежать від параметрів приймача. Нехай параметр
Kr постійний, тоді gRw (29) є функція двох
змінних Kg, Kb . Коли існують перші похідні, на множині визначення такої функції існує розвинення в ряд Тейлора в околі точки (Kr,Kr,Kr):
gRpy - gRpy (Kr > Kr > Kr ) +
+(K2 - Kr)-
5gR9V (Kr,Kg,Kb)
5K„
+(Kb - Kr)-
5gR®w (Kr,Kg,Kb)
5Kb
(30)
Звідси і з формули (29) вцдно, що перший член не залежить від Kr,Kg,Kb:
gRp^ (1
Rrk + R ck + R
gk
RrP + RgP + Rbp
bk)2 +
Rb
+(arctg—^ - arctgR^k)2 +
R
rp
R
+(arctg
і
r2p + Rbp
R
gp
rk
- arctg
і
Rfk + R
R
gk
2
bk )2
Це означає, що gRw не залежить від параметрів
приймача. Продиференціювавши (30), можна показати, що похідні в (30) практично не залежать від відхилень Kg - Kr і Kb - Kr, тобто другий і третій члени зменшуються, тоді коли зменшуються відхилення Kg -Kr і Kb - Kr. З формули (2) видно, що мінімізувати відхилення Kg - Kr в системі відновлення і обробки інформації можна регулюючи один з коефіцієнтів перетворення Pg, рг, а мінімізувати відхилення Kb - Кг можна регулюючи один з коефіцієнтів перетворення Рь , рг .
Скористаємось отриманим результатом для зменшення цих відхилень на практиці. Нехай вхідний сигнал системи відновлення і обробки інформації формується зразком з відомим коефіцієнтом відбиття. Найпридатніший для цього білий зразок, а ще краще, коли коефіцієнт відбиття зразка сталий в діапазоні хвиль X від 400 до 700 nm . В системі відновлення і обробки інформації необхідно відтворити на зображенні білий колір. Щоб зменшити відхилення кольору отриманого зображення від білого, в каналі оптичного сенсора зеленого кольору скоректуємо коефіцієнт перетворення Pg , а в каналі оптичного сенсора синього кольору — коефіцієнт перетворення pb . Найзручніше змінювати коефіцієнт перетворення програмно. Саме в такому розумінні іде мова про регуляцію коефіцієнтів перетворення. Сформована основна операція алгоритму (25) і її експериментальне функціонування. Застосування цієї операції в алгоритмі зменшить залежність результатів досліджень від параметрів приймача.
6. Селекція двох інформаційних фрагментів
Дослідимо властивості квадратичної форми (26) при класифікації пікселя psk до інформаційних фрагментів за компонентами Р є pi, Р2 . З формули (26) бачимо, що квадратична форма
gR<pV= gRTV (k Р) (31)
РИ, 2005, № 2
104
є функцією двох аргументів k, Р • Визначимо приріст
Ad = gR9V (k, Р2) - gRw (k, pi) (32)
і сформуємо
0 > Ad (33)
умову класифікації піксели psk до інформаційного фрагмента за компонентом Р2 .
кольори яких належать до інформаційного фрагмента за компонентом р з порогом є .
Нехай у кольоровому кубі простору кольору визначена множина таких кольорів м , які представляють фазові складники Р . Якщо піксель одночасно належить n інформаційним фрагментам, то за умовою класифікації (33) вибираємо той інформаційний фрагмент, до центра якого піксель ближчий.
7. Селекція контуру двох інформаційних фрагментів
Застосуємо приріст (32) для селекції контуру інформаційних фрагментів за компонентами pi, р2 . Проаналізуємо приріст (32) для випадку Аф = 0, Дф = 0 . З врахуванням таких умов і виразу (31) отримуємо квадратичну форму (26 ) у вигляді
(RB- Rk)2
gRq)^(k> P) = ~2 . (34)
RP
Приріст (32), з врахуванням (34), набуває форми
Ad = 2Rk
(RP2 ~ Rpi)(Rp2 ~ Rk)
R
3
p2
(35)
Звідси видно, що проведенню селекції контуру інформаційного фрагмента з використанням приросту Ad заважає вплив знаків приростів Rp2 _ Rpi і Rp2 _ Rk . Щоб уникнути впливу знаків зазначе-
них приростів , доцільно класифікацію пікселя psk до контуру інформаційних фрагментів за компонентами pi, р2 з порогом контура єк провести за
Ad2 <єк2 , (36)
де Єк «є.
Таким чином, запропоновано алгоритм селекції контура інформаційних фрагментів за компонентами pi, Р2 .
8. Застосування алгоритму
Розглянемо роботу створюваного алгоритму комплексно. В системі відновлення і обробки інформації на зображенні інтерактивно визначимо основного представника фазового складника Р . На зображенні це піксель з координатами zw (xp ,yp), we r,g,b у кольоровому кубі. Кольоровий куб є фізичною реалізацією простору кольору в системі відновлення і обробки інформації. Навколо точки з координатами zw(xp,yp) побудуємо інформаційний фрагмент з представниками фазового складника р . Для кожного пікселя зображення з координатами zw(xk,yk) визначимо по (28) квадратичну форму gRw і будемо вважати, що піксель належить до інформаційного фрагмента за компонентом р з порогом є за умови виконання (25). Визначимо (25) для всіх пікселів зображення. На зображенні залишаться ті пікселі,
Описаний алгоритм був реалізований у вигляді інтерактивної програми. Програма використовується для обробки зображень мікроструктури матеріалів, отриманих з допомогою електронного мікроскопа. Розглянемо роботу програми на прикладі.
Кольорове тестове зображення Tc , на якому відсутні завади технічного отримання, використовувалось для апробації алгоритму. Зображення Tc сформоване таким чином: b = 0,7*x ; r = b ; g = 0,7*y; де x,y — просторові координати. Напівтонова проекція кольорового зображення Tc (зображення T) представлена на рис. 1. Початок просторових координат розташований в лівому нижньому куті зображення.
На зображенні Tc інтерактивно визначені центри інформативних фрагментів — фазові складники Рє M . Для цього оператором на зображенні Tc виділені декілька пікселів (чотири). Програмно за просторовими координатами кожного пікселя визначені координати пікселя у кольоровому кубі. Після селекції на зображенні залишаються лише ті пікселі, кольори яких належать інформаційним фрагментам (25), (33), визначеним з порогом є . Поріг задається оператором. Решта пікселів вихідного зображення заміняються одним, наперед заданим кольором. Результати роботи програми (профільтровані кольорові зображення) представлені у вигляді напівтонових проекцій на рис. 2-4. На цих рисунках вісі x, у — прямі чорного кольору. В прикладі для заміни пікселів використаний білий колір. При збільшенні значення порога є “якість” селекції зменшується, і коли поріг фільтрації є = 0,5 , селекція виконується з конкуренцією кольорів інформаційних фрагментів (33).
Рис. 1. Зображення Т
РИ, 2005, № 2
105
Рис. 2. Селекція з порогом фільтрації 0,1
Рис. 3. Селекція з порогом фільтрації 0,2
Рис. 4. Селекція з порогом фільтрації 0,5
Програма селекції контуру інформаційних фрагментів за компонентами рn, pm, такими що Pn Ф pm, pn є M , pm є M, за (36) теж створена, і її працездатність перевірена на тестовому зображенні
T 1с •
9. Висновки
Отримані результати мають науково-прикладні здобутки. Науковою новизною проведеного аналізу є встановлення зв’язку між ефективним описом зображення з допомогою апарату квадратичних форм та практичними аспектами дослідження структури зображення, зокрема структури матеріалів. Нова квадратична форма, що базується на ознаках, сформованих при трансформації сферичної системи координат простору кольору, покладена в основу алгоритму селекції компонентів структури ма-
теріалів. Позитивною особливістю нової форми є її захищеність від впливу значної частини параметрів засобів технічного отримання інформації, що підвищує ефективність її застосування і спрощує процес юстування системи обробки інформації. Ще одним новим науковим результатом є диференціальне застосування нової форми для визначення контурів інформаційних сегментів. Значення одержаних результатів дослідження носить прикладний характер. Вони можуть бути використані при побудові програмних систем аналізу кольорових зображень і, зокрема, кольорових зображень мікроструктури матеріалів, де присутні локалізовані кольорові включення кулястого чи контурного розподілу.
Література: 1. Myshkin N.K., Kong H., Gngoriev A.Ya., Yoon E.-S. The use of color in wear debris analysis // Elsevior. Wear. 2001. 251. P. 1218-1226. 2. Прэтт У. Цифровая обработка изображений. М.: Мир, 1982. 790 с. 3. Szala J. Zastosovwanie metod kompputerowej analizy obrazu do ilosciowej oceny stryktury materialow // W. Politechnika Slaska, Zeszyty naukowe. 2000. № 1518.167c.
4. Тванюк В.Г., Капшій O.B., Косаревич Р.Я., Лау Г. Інформаційна оцінка і виділення фрагментів кольорових зображень // Радіоелектроніка і інформатика. 2004. № 3. С. 122-125. 5. RodenackerK., Gais1 P., jEutting U, Hense B.A. // (Semi-) Automatic recognition of microorganisms in water // ICIP. 2001. P. 30-33. 6. Satoh
5. y, Idehara Y.z, Mo H.y, Hamada T. Subject region segmentation in disparity maps for image retrieval // ICIP. 2001. P. 725-728. 7. Romain O., Ea T, Gastaud C, Garda P. A multi-spectral sensor dedicated to 3d spherical reconstruction // ICIP. 2001. P 1057-1060. 8. Lu W, Tan Yap-P. Layering based color filter array interpolation // ICIP. 2001. P. 860-863. 9. Иванюк B.E, Лобур MB, Лау Г. Распознавание компонентного состава по изображению // Материалы IV Междунар. научно-методической конф. “Дистанционное обучение — образовательная среда XXI века” (10-12 ноября 2004г.). Минск, БГУИР, 2004. С.444-447. 10. Базылев И Т, Дуничев К.И, Иваницкая В. П. Геометрия. М.: Просвещение, 1974. 351 с.
Надійшла до редколегії 06.04.2005
Рецензент:д-р техн. наук, проф. Зеленський О.О.
Русин Богдан Павлович, д-р техн. наук, проф., зав. відділом “Методи та системи обробки, аналізу та ідентифікації зображень” Фізико-механічного інституту ім. Г.В.Карпенка НАЛУ. Наукові інтереси: обробка та розпізнавання зображень. Адреса: Україна, 79601, Львів, вул. Наукова, 5а. e-mail: dep32@ipm.lviv.ua
Іванюк Віталій Григорович, інженер відділу “Методи та системи обробки, аналізу та ідентифікації зображень” Фізико-механічного інституту ім. Г.В.Карпенка НАНУ. Наукові інтереси: обробка та розпізнавання кольорових зображень, системи контролю високовольтних трансформаторів. Адреса: Україна, 79601, Львів, вул. Наукова, 5а, тел:65-45-30. e-mail: dep32@ipm.lviv.ua
Іванюк Дмитро Віталійович, студент четвертого курсу радіотехнічного ф-ту Державного університету “Львівська політехніка”. Наукові інтереси: обробка зображень мультімедіа. Адреса: Україна, 79601, Львів, вул. Наукова, 5а.
106
РИ, 2005, № 2
