CC BY
33
МЕХАНИКА
Челябинский физико-математический журнал. 2017. Т. 2, вып. 4- С. 456-468. УДК 539.3
ЗАТУХАНИЕ ИМПУЛЬСОВ УДАРНОГО СЖАТИЯ В ПОЛИМЕТИЛМЕТАКРИЛАТЕ
Т. В. Попова1", А. Е. Майер1ь, К. В. Хищенко2с
1 Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия
2 Объединённый институт высоких температур РАН, Москва, Россия "[email protected], ь[email protected], с[email protected]
Проведено численное исследование в вязкоупругом и гидродинамическом приближениях динамики ударных волн, возникающих при плоском высокоскоростном соударении пластины ударника и пластины мишени, а также при воздействии на поверхности полиметилметакрилата (ПММА) импульсов давления микро-, нано- и пикосекундно-го диапазонов длительности. Для ПММА различие по амплитуде между расчётами в гидродинамическом и вязкоупругом приближениях достигает ^20%. Амплитуда импульса ударного сжатия в вязкоупругом приближении, в сравнении с гидродинамическим, больше для малых глубин за счёт дополнительной жёсткости и меньше для больших глубин вследствие большей скорости распространения волны разгрузки, догоняющей фронт ударной волны. Проведено исследование затухания импульсов ударного сжатия в модельных полимерах с варьируемыми параметрами модели вязкоупругости. Увеличение времени релаксации и предела текучести приводит к переходу к упругому поведению. В то же время даже при малых временах релаксации и пределах текучести кривые затухания на больших глубинах отличаются от гидродинамического приближения из-за большей скорости волны разгрузки.
Ключевые слова: импульс ударного сжатия, ударная волна, модель Максвелла вязко-упругой среды, полиметилметакрилат.
Введение
При соударении возникает импульс сжатия, который распространяется в образце. В настоящее время актуальной является информация о динамике затухания импульса ударного сжатия с глубиной при экспериментальном определении отколь-ной прочности материала. При отражении ударной волны от свободной поверхности она превращается в волну разгрузки, сжимающие напряжения превращаются в растягивающие. Это вызывает рост полостей в веществе, что приводит к отколу. Величина предельного отрицательного давления, достижимого в веществе до начала откола или разрушения, называется откольной прочностью материала.
Для определения откольной прочности [1-3] материала из эксперимента определяется глубина откольной выемки после импульсного лазерного воздействия на мишень, далее теоретически рассчитываются растягивающие напряжения на этой глубине [4]. Чаще всего расчёты проводятся в гидродинамическом приближении.
Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки РФ (проектная часть государственного задания № 3.1334.2014/К) и грантов Президента РФ (MД-286.2014.1, НШ-6614.2014.2), Российского фонда фундаментальных исследований (№ 14-08-00967).
Известно, что в металлах девиаторные компоненты напряжения обусловливают формирование упругих предвестников ударной волны, а также определяют ширину фронта пластической ударной волны и форму волны разгрузки. В работе [5] показано, что учёт в модели упругопластических свойств металлов влияет на скорость затухания импульсов ударного сжатия за счёт изменения динамики взаимодействия ударной волны и волны разгрузки. Известно, что полимерные материалы обладают вязкоупругими свойствами, поэтому девиаторная компонента напряжения, возникающая при деформации, релаксирует со временем за счёт изменения пространственной конфигурации молекул. Интересным и важным является определение влияния вязкоупругих свойств полимерных материалов (наличия ненулевых девиаторов) на динамику ударной волны в сравнении с гидродинамическими расчётами в одномерном плоском случае.
На основе модели Максвелла, модифицированной с учётом предела текучести, проводится численное исследование динамики ударной волны при соударении с ударниками различной толщины, а также при воздействии на поверхности поли-метилметакрилата (ПММА) импульсов давления микро-, нано- и пикосекундного диапазонов длительности.
1. Математическая модель одномерной деформации
В работах [6; 7] была разработана и протестирована модель динамической деформации ПММА на основе калорического уравнения состояния для шаровой части напряжений и вязкоупругой модели Максвелла для девиаторной части напряжений в одномерной геометрии. Основная система уравнений механики сплошных сред [8] в одномерном виде:
¿р ди
¿г ~Р~дг}
¿и=р-1 (2)
¿Е ди
Р~т = а—, (3)
дг' v у
где — вектор скорости вещества; р — плотность; агк = — Р + — полное напряжение; Р — давление; Бхх — девиатор напряжения; Е — внутренняя энергия. Система состоит из уравнения непрерывности (1), уравнения движения (2) и уравнения для внутренней энергии (3). Систему следует дополнить уравнением для девиатора напряжений (закон Гука) [9]
Бх.г - 20
3 и'хх
(4)
где — компонента тензора пластической деформации; О — модуль сдвига; ихх — компонента тензора макроскопической деформации, определяемая макроскопическим движением вещества
&и22 _ ди
¿1 = дг' (5)
В работах [6; 7] было предложено уравнение для расчёта компоненты тензора пластической деформации:
¿"р = ( 3ихх — 'хх — Ц) Т-1 Х в 1 — Уъ) ' (6)
2
где т = п/С — характерное время релаксации сдвиговых напряжений; уь характеризует статический предел текучести. Данное уравнение записано на основе модели Максвелла, модифицированной с учётом наличия у полимера предела текучести.
Для расчёта зависимости давления от удельного объёма и внутренней энергии Е используется калорическое уравнение состояния [10; 11]. Калорическая модель уравнения состояния [10] задаётся в простом аналитическом виде и выражает связь внутренней энергии, давления и объёма, позволяя эффективно описать термодинамические свойства различных материалов, как при сжатии, так и при расширении:
Р (V, Е) = Рс (V) + Г (V, Е)/V [Е - Ее (V)], (7)
где Ес (V) и Рс (V) = —(Ес/(V — упругие составляющие энергии и давления, а коэффициент Г (V, Е) задаёт вклад тепловых компонент в уравнение состояния.
Верификация модели [6; 7] происходила путём сравнения численных расчётов с экспериментальными данными по скорости тыльной поверхности [12] и по скорости распространения ударных волн [13-17]. Модели Максвелла ПММА соответствуют С = 1.5ГПа [18], т = 0.4мкс, уь = 38МПа.
2. Динамика импульса ударного сжатия
Стандартная схема испытаний заключается в плоском высокоскоростном соударении пластины мишени и пластины ударника [19]. На рис. 1 приведены характерные профили ударной волны в последовательные моменты времени. В задаче ударная волна распространяется по образцу толщиной 2.2 мм. Толщина ударника составляет 0.2 мм. Материалом ударника и мишени является ПММА. Ударник налетает на мишень со скоростью 645 м/с.
На рис. 1 б) полного напряжения видим (справа налево): фронт ударной волны, область постоянного напряжения за фронтом, волну разгрузки, которая следует за ударной волной. Постепенно волна разгрузки догоняет фронт ударной волны и расстояния между ударной волной и волной разгрузки становятся меньше. При этом форма импульса сжатия меняется от прямоугольной до треугольной.
Рис. 1. Пространственные распределения: а) девиатора напряжений, б) полных напряжений, в) компоненты тензора пластической деформации в последовательные моменты времени
Для сдвиговых напряжений, характеризуемых девиатором , также видим (рис. 1 а)) резкий рост на фронте ударной волны. За фронтом ударной волны сдвиговое напряжение релаксирует на характерных временах порядка т, что приводит к постепенному спаду при сохранении полных напряжений на постоянном уровне. Одновременно с релаксацией растёт величина пластической
деформации (рис. 1 в)). Затем приходит волна разгрузки. Сдвиговые и полные напряжения резко разгружаются, и дальнейший рост прекращается. Изменение знака сдвиговых напряжений связано с остаточной пластической деформацией, поэтому кривые для повторяют форму кривых для . Из рис. 1 в) видим, что амплитуда пластической деформации с глубиной уменьшается, это связано с тем, что импульсы сжатия становятся треугольными и меньше времени отводится пластической деформации. Видно, что пластическая деформация накапливается и остаётся ненулевой при уходе импульса из данной части мишени.
3. Затухание импульса сжатия от тонкого ударника
Схема испытаний, как в пункте 2. Для сравнения проводились расчёты и по вязкоупругой модели, изложенной выше, и в гидродинамическом приближении, в котором предполагается О = 0. На рис. 2 представлена эволюция профилей ударной волны и зависимости амплитуды ударной волны от глубины, которые отражают затухание ударной волны по мере продвижения вглубь мишени. В начальные моменты времени, на малых глубинах, во всех случаях амплитуда в вязкоупругом приближении оказывается больше амплитуды в гидродинамике, то есть начальные напряжения разные. Для объяснения этого факта был проведён дополнительный расчёт соударения одинаковых по толщине ударников таким образом, чтобы волна разгрузки не влияла на распределение величин, см. рис. 3. Результаты показывают наличие области повышенных напряжений на малых глубинах (порядка миллиметра) от точки соударения. В этой области напряжение сначала превышает тот уровень, который устанавливается за стационарной ударной волной (см. кривую для максимального напряжения). С течением времени напряжение понижается и достигает уровня стационарной ударной волны (см. кривую для текущего напряжения).
На графике рис. 2 видно, что в гидродинамическом приближении амплитуда ударной волны сначала остаётся постоянной, в то время как в вязкоупругом медленно уменьшается. В гидродинамическом и вязкоупругом приближении материал обладает разной жёсткостью за счёт наличия в последнем случае ненулевых де-виаторов напряжений, поэтому при соударении возникает разное напряжение при одной и той же скорости соударения. По мере распространения ударной волны скорость деформации падает, вклад девиаторов напряжения уменьшается в силу их вязкой релаксации, и амплитуда напряжений уменьшается до значения, соответствующего гидродинамическому случаю (рис. 3). При конечной толщине импульса сжатия (конечная толщина ударника) происходит дальнейшее уменьшение амплитуды вязкоупругой волны по сравнению с амплитудой гидродинамической за счёт того, что волна разгрузки догоняет фронт ударной волны быстрее, чем в гидродинамическом случае. Это связано с разной скоростью распространения в гидродинамическом и вязкоупругом случае.
4. Импульс давления, приложенный к поверхности
В данном разделе сравниваем расчёты по модели Максвелла с гидродинамическим приближением для задачи, имитирующей интенсивное лазерное облучение. На границе образца ПММА задаётся импульс давления величиной 1; 2; 5 и 15 ГПа конечного времени воздействия величиной микро- (1; 0.5; 0.2 мкс), нано- (1; 10; 50 нс) и пикосекундного (30; 70; 150 пс) диапазона. Ударная волна распространяется по образцу толщиной 25.4 мм для микросекундного диапазона, 1.3 мм — для
х (мм) х (мм)
Рис. 2. Эволюция профилей ударной волны и зависимости полного напряжения от координаты при соударении пластин ПММА со скоростью 1200 м/с. Толщина образца 300 мм, толщина ударника: а) 0.1мм; б) 0.5 мм; в) 1мм; г) 2 мм
наносекундного диапазона, 0.04мм — для пикосекундного диапазона. Материалом образца является ПММА. На рис. 4-6 представлены зависимости амплитуды ударной волны от глубины, которые отражают затухание импульса ударного сжатия по мере продвижения вглубь мишени.
На рис. 4 видно, что волна разгрузки догоняет ударную волну на глубине от 5 до 15 мм. Рассчитанные зависимости для гидродинамического и вязкоупругого случая практически совпадают. На рис. 5 видно, что волна разгрузки догоняет ударную волну на глубине от 0.1 до 0.8 мм. В вязкоупругом случае затухание происходит медленнее, чем в гидродинамическом приближении, но с ростом давления разница уменьшается. На рис. 6 видно, что волна разгрузки догоняет ударную волну на глубине от 0.1 до 5 мкм. В вязкоупругом случае затухание происходит медленнее,
з —
текущее
максимальное
гидродинамическое
2 —
(0
1 —
Рис. 3. Зависимость полного напряжения от координаты при соударении пластин ПММА со скоростью 1200 м/с. Толщина образца 5 мм, толщина ударника 5 мм
чем в гидродинамическом. Различие по амплитуде между расчётами в гидродинамическом и вязкоупругом приближении достигает 20%.
Если импульс давления лежит в диапазоне нано- и пикосекундной длительности, то реализуется режим, когда амплитуда вязкоупругой волны больше гидродинамической. То же наблюдается и на малых толщинах при соударении пластин, что соответствует пику на рис. 3. Причина в том, что для данной длительности импульса эволюция происходит на временах, существенно меньших характерного времени релаксации, которое составляет для ПММА 0.4 мкс. Поэтому релаксация сдвиговых напряжений в данных режимах не существенна и распространение волны происходит в упругом режиме. При микросекундном импульсе сжатия наблюдается обратная картина: волна разгрузки раньше догоняет ударную волну и за счёт этого амплитуда ударной волны становится меньше, чем в гидродинамическом случае.
5. Влияние параметров модели на затухание ударной волны
Поскольку модель Максвелла применима и для других полимерных материалов, то интересно исследовать влияние вариации параметров модели Максвелла — предела текучести (уь), времени релаксации (т), модуля сдвига (С) — на затухание импульса ударного сжатия. Результаты приведены на рис. 7, который показыва-
Рис. 4. Зависимость полного напряжения от координаты при воздействии на поверхность ПММА импульса давления микросекундного диапазона: а) 1ГПа; б) 2ГПа; в) 5ГПа; г) 15ГПа
ет кривые затухания импульсов ударного сжатия (сравните с рис. 2). Параметры модели для ПММА: С = 1.5ГПа , т = 0.4мкс, уь = 38МПа.
На рис. 7 а) приведены данные для дополнительных значений предела текучести: 400; 160; 1 МПа, при этом время релаксации и модуль сдвига оставались соответствующими ПММА. При уменьшении предела текучести отклонение от кривой для ПММА наблюдается только для больших глубин. При увеличении предела текучести влияние релаксации уменьшается, и поведение стремится к чисто упругому случаю. При этом большая жёсткость материала приводит к тому, что кривая затухания при больших значениях предела текучести лежит выше кривой для гидродинамического приближения во всём рассмотренном диапазоне глубин.
На рис. 7 б) приведены данные для дополнительных значений времени релаксации: 8; 0.004 и 0.1 мкс, при этом предел текучести и модуль сдвига оставались соответствующими ПММА. При увеличении времени релаксации для величины 8 мкс, много большей времени действия импульса сжатия, релаксация сдвиговых напряжений на участке от фронта ударной волны до волны разгрузки не успевает произойти, поведение системы стремится к упругому пределу. При времени релаксации 0.004 мкс, много меньшем времени действия импульса сжатия, релаксация оказывается настолько эффективной, что соответствующая кривая практически
я с
г(мм)
0.8 г(мм)
Рис. 5. Зависимость полного напряжения от координаты при воздействии на поверхность ПММА импульса давления наносекундного диапазона: а) 1ГПа; б) 2ГПа; в) 5ГПа; г) 15ГПа
совпадает с гидродинамическим приближением на начальном участке. На последующем участке, где уменьшение амплитуды определяется взаимодействием с волной разгрузки, наблюдается быстрое затухание. При столь малом времени релаксации скорость волны разгрузки оказывается больше, чем в гидродинамическом приближении. Более сложное поведение наблюдается для времени релаксации 0.1 мкс; в этом случае время разгрузки совпадает с длительностью импульса сжатия и наблюдается сложное воздействие релаксации на форму кривой затухания.
На рис. 7 в) приведены данные для дополнительных значений модуля сдвига: 0.1 ГПа и 2.3 ГПа, при этом предел текучести и время релаксации оставались соответствующими ПММА. При низком значении модуля сдвига (0.1 ГПа) форма кривой совпадает с гидродинамическим приближением. С увеличением модуля сдвига всё более ярко проявляется отклонение от гидродинамического поведения, в области как малых толщин, так и больших толщин.
Заключение
В вязкоупругом и гидродинамическом приближениях проведено численное исследование динамики ударных волн, возникающих при воздействии на поверхности
а)
ПММА;1 ГПа
_1_I_I_I_I_I_1_
0.01 0.02 О.ОЗ 0.04 0.05
г(мм)
0.02 0.03
г(мм)
0.02 0.03
г(мм)
0.04
Рис. 6. Зависимость полного напряжения от координаты при воздействии на поверхность ПММА импульса давления пикосекундного диапазона: а) 1 ГПа; б) 2 ГПа; в) 5 ГПа; г) 15 ГПа
Рис. 7. Влияние параметров модели: а) предела текучести (уь); б) времени релаксации (т); в) модуля сдвига (С) на затухание импульса ударного сжатия для ПММА. Соударение пластин со скоростью 1200 м/с. Толщина образца 300 мм, толщина ударника 0.5 мм.
ПММА импульсов давления микро-, нано- и пикосекундного диапазонов длительности, а также при плоском высокоскоростном соударении пластины ударника и пластины мишени. Отличие амплитуды гидродинамической и вязкоупругой удар-
ных волн существенно для толстых ударников (больших длительностей импульса) и мало для тонких ударников (малых длительностей импульса). Когда на поверхности задаётся импульс давления с длительностью нано- и пикосекундного диапазона, то амплитуда вязкоупругой волны больше гидродинамической. То же наблюдается для тонких ударников при соударении пластин. Это происходит за счёт большей жёсткости материала, обусловленной дополнительной к давлению упругой девиа-торной частью тензора напряжений. С течением времени эта дополнительная часть вязко релаксирует. В результате, при микросекундном импульсе нагружения или большой толщине ударника (>0.5 мм) наблюдается обратная картина. В вязкоупру-гом случае волна разгрузки движется быстрее, раньше догоняет ударную волну и сильнее уменьшает её амплитуду.
Таким образом, вязкоупругие свойства влияют на распределение амплитуды импульса ударного сжатия по глубине от поверхности соударения в полимерах. Для ПММА различие по амплитуде между расчётами в гидродинамическом и вяз-коупругом приближениях достигает 20%. Амплитуда импульса ударного сжатия в вязкоупругом приближении, в сравнении с гидродинамическим, больше для малых глубин вследствие дополнительной жёсткости, и меньше для больших глубин за счёт большей скорости распространения волны разгрузки, догоняющей фронт ударной волны. Проведено исследование затухания импульсов ударного сжатия в модельных полимерах с варьируемыми параметрами модели вязкоупругости. Как и следовало ожидать, увеличение времени релаксации и предела текучести приводит к переходу к упругому поведению. В то же время даже при малых временах релаксации и пределах текучести кривые затухания на больших глубинах отличаются от гидродинамического приближения по причине большей скорости волны разгрузки.
Список литературы
1. Исследование механических свойств алюминия, сплава АМгбМ и полиметилмета-крилата при высоких скоростях деформирования под действием лазерного излучения пикосекундной длительности / С. А. Абросимов, А. П. Бажулин, В. В. Воронов, И. К. Красюк, П. П. Пашинин, А. Ю. Семенов, И. А. Стучебрюхов, К. В. Хищенко // Докл. Акад. наук. - 2012. - Т. 442, № б. - C. 752-754.
2. Особенности поведения вещества в области отрицательных давлений, создаваемых действием лазерного импульса пикосекундной длительности / С. А. Абросимов, А. П. Бажулин, В. В. Воронов, А. А. Гераськин, И. К. Красюк, П. П. Пашинин, А. Ю. Семенов, И. А. Стучебрюхов, К. В. Хищенко, В. Е. Фортов // Квантовая электроника. - 2013. - Т. 43, № 3. - С. 246-251.
3. Zel'dovich, Ya. B. Physics of shock waves and high-temperature hydrodynamic phenomena / Ya. B. Zel'dovich, Yu. P. Raizer. - New York : Academic Press, 2002. -478 p.
4. McQueen, R. G. Ultimate Yield Strength of Copper / R. G. McQueen, S. P. Marsh // Journal of Applied Physics. - 1962. - Vol. 33, no. 2. - P. 654-665.
5. Modeling of plasticity and fracture of metals at shock loading / A. E. Mayer, K. V. Khishchenko, P. R. Levashov, P. N. Mayer // Journal of Applied Physics. -2013. - Vol. 113. - P. 193508.
6. Popova, T. V. Numerical investigations of shock wave propagation in polymethylmethacrylate / T. V. Popova, A. E. Mayer, K. V. Khishchenko // Journal of Physics: Conference Series. - 2015. - Vol. 653. - P. 012045.
7. Popova, T. V. Моделирование распространения ударных волн по полиметилмета-крилату / Т. В. Попова, А. Е. Майер, К. В. Хищенко // Изв. Кабардино-Балкар. гос. ун-та. - 2014. - Т. 4, № 3. - C. 109-114.
8. Ландау, Л. Д. Теоретическая физика : в 10 ч. Т. VI. Гидродинамика : учеб. пособие / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. — М. : Наука, 1988. — 736 с.
9. Ландау, Л. Д. Теоретическая физика : в 10 ч. Т. VII. Теория упругости : учеб. пособие / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. — М. : Наука, 1987. — 248 с.
10. Ломоносов, И. В. Модель широкодиапазонных уравнений состояния полимерных материалов при высоких плотностях энергии / И. В. Ломоносов, В. Е. Фортов, К. В. Хищенко // Хим. физика. — 1995. — Т. 14, № 1. — С. 47-52.
11. Khishchenko, K. V. Equations of state for organic compounds over wide range of densities and pressures. Shock Compression of Condensed Matter—1995 / K. V. Khishchenko, I. V. Lomonosov, V. E. Fortov. — Eds. Schmidt S. C., Tao W. C. N. Y. : AIP Press, 1996. — P. 125-128.
12. Barker, L. M. Shock-wave studies of PMMA, fused silica, and sapphire / L. M. Barker, R. E. Hollenbach // Journal of Applied Physics. — 1970. — Vol. 41, no. 10. — P. 42084226.
13. Баканова, А. А. Сжатие щелочных металлов сильными ударными волнами / А. А. Баканова, И. П. Дудоладов, Р. Ф. Трунин // Физика твёрдого тела. — 1965. — Т. 27. — C. 42-51.
14. Thiel, M. van. Compendium of Shock Wave Data. Compendium Index. Report UCRL-50108 / M. van Thiel, J. Shaner, E. Salinas. — Lawrence Livermore National Lab Ca, 1977. — P. 528-539.
15. Marsh, S. P. LASL Shock Hugoniot Data / S. P. Marsh. — Berkeley : University of California Press, 1980. — 658 p.
16. Трунин, Р. Ф. Ударная сжимаемость конденсированных веществ в мощных ударных волнах подземных ядерных взрывов / Р. Ф. Трунин // Успехи физ. наук. — 1994. — Т. 164, № 11. — P. 1215-1237.
17. Максанова, Л. А. Полимерные соединения и их применения : учеб. пособие / Л. А. Максанова, О. Ж. Аюрова. — Улан-Удэ : Изд-во ВСГТУ, 2005. — 356 c.
18. Farshad, M. Determination of shear modulus and Poisson's ratio of polymers and foams by the anticlastic plate-bending method / M. Farshad, M. W. Wildenberg, P. Fliieler // Materials and Structures. — 1997. — Vol. 30. — P. 377-382.
19. Ударно-волновые явления в конденсированных средах / Г. И. Канель, С. В. Разоренов, А. В. Уткин, В. Е. Фортов. — М. : Янус-К, 1996. — 408 c.
Поступила в 'редакцию 30.10.2010 После переработки 07.11.2017
Сведения об авторах
Попова Татьяна Васильевна, аспирант, Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия; e-mail: [email protected].
Майер Александр Евгеньевич, доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой общей и прикладной физики, Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия; e-mail: [email protected].
Хищенко Константин Владимирович, кандидат физико-математических наук, заведующий лабораторией широкодиапазонных уравнений состояния, Объединённый институт высоких температур РАН, Москва, Россия; e-mail: [email protected].
Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2017. Vol. 2, iss. 4- P. 4-56-4-68.
COMPRESSION PULSE ATTENUATION IN POLYMETHYLMETHACRYLATE
T.V. Popova1", A.E. Mayer1'6, K.V. Khishchenko2 c
1 Chelyabinsk State University, Chelyabinsk, Russia
2 Joint Institute for High Temperatures of the Russian Academy of Sciences, Moscow, Russia "[email protected], [email protected], [email protected]
Numerical investigation is carried out in viscoelastic and hydrodynamic approximations of the shock waves dynamics, which arising in the case of a plane high-velocity impact of plate, and also when pressure pulses of micro-, nano- and picosecond durations are applied to the polymethylmethacrylate (PMMA) surface. For PMMA, the difference in amplitude between calculations in the hydrodynamic and the viscoelastic approximations is about 20%. The amplitude of the shock compression pulse in the viscoelastic approximation, in comparison with the hydrodynamic one, is greater for shallow depths due to additional rigidity, and is smaller for large depths due to the higher propagation velocity of the unloading wave catching the front of the shock wave. An investigation was made for the compression pulse attenuation in model polymers with variable parameters of the viscoelasticity model. The increase in the relaxation time and the yield point leads to a transition to the elastic behavior. At the same time, even for small relaxation times and yield limits, the damping curves at large depths differ from the hydrodynamic approximation due to the higher velocity of the unloading wave.
Keywords: shock compression pulse, shock wave, Maxwell model of viscoelastic media, polymethylmethacrylate.
References
1. Abrosimov S.A., Bazhulin A.P., Voronov V.V., Krasyuk I.K., Pashinin P.P., Semenov A.Yu., Stuchebryukhov I.A., Khishchenko K.V. Study of mechanical properties of aluminum, AMg6M alloy, and polymethyl methacrylate at high strain rates under the action of picosecond laser radiation. Doklady Physics, 2012, vol. 57, pp. 64-66.
2. Abrosimov S.A., Bazhulin A.P., Voronov V.V., Geras'kin A.A., Krasyuk I.K., Pashinin P.P., Semenov A.Yu., Stuchebryukhov I.A., Khishchenko K.V., Fortov V.E. Specific fea-tures of the behaviour of targets under negative pressures created by a picosecond laser pulse. Quantum Electronics, 2013, vol. 43, no. 3, pp. 246251.
3. Zel'dovich Ya.B., Raizer Yu.P. Physics of Shock Waves and High-Temperature Hydrodynamic Phenomena. Mineola, New York, Dover Publication Inc., 2002.
4. McQueen R.G., March D. Ultimate yield strength of copper. Journal of Applied Physics, 1962, vol. 33, pp. 654-665.
5. Mayer A.E., Khishchenko K.V., Levashov P.R., Mayer P.N. Modeling of plasticity and fracture of metals at shock loading. Journal of Applied Physics, 2013, vol. 113, p. 193508.
6. Popova T.V., Mayer A.E., Khishchenko K.V. Numerical investigations of shock wave propagation in polymethylmethacrylate. Journal of Physics: Conference Series, 2015, vol. 653, p. 012045.
7. Popova T.V., Mayer A.E., Khishchenko K.V. Modelirovaniye rasprostraneniya udarnykh voln po polimetilmetakrilatu [Modeling the propagation of shock waves over polymethylmethacrylate]. Izvestiya Kabardino-Balkarskogo gosudarstvennogo universiteta [Proceedings of the Kabardino-Balkarian State University], 2014, vol. 4, no. 3, pp. 109-114. (In Russ.).
8. Landau L.D., Lifshitz E.M. Fluid Mechanics. Vol. 6 (Course of Theoretical Physics). 2rd ed. Butterworth — Heinemann, 1987, 552 p.
9. Landau L.D., Lifshitz E.M. Theory of Elasticity. Vol. 7 (Course of Theoretical Physics). 3rd ed. Butterworth — Heinemann, 1986, 172 p.
10. Lomonosov I.V., Fortov V.E., Khishchenko K.V. Chemical Physics Reports, 1995, vol. 14, no. 1-3, pp. 51-57.
11. Khishchenko K.V., Lomonosov I.V., Fortov V.E. Equations of state for organic compounds over wide range of densities and pressures. Shock Compression of Condensed Matter-1995. Eds. Schmidt S.C., Tao W.C. New York, AIP Press, 1996. Pp. 125-128.
12. Barker L.M., Hollenbach R.E. Shock-wave studies of PMMA, fused silica, and sapphire. Journal of Applied Physics, 1970, vol. 41, no. 10, pp. 4208-4226.
13. Bakanova A.A., Dudoladov I.P., Trunin R.F. Compression of alkali metals by strong shock waves. Physics of Solid State, 1965, vol. 7, pp. 1615-1623.
14. van Thiel M. Compendium of Shock Wave Data. Compendium Index. Report UCRL-50108. Lawrence Livermore National Lab Ca, 1977.
15. Marsh S.P. LASL Shock Hugoniot Data. Berkeley, University of California Press, 1980. 658 p.
16. Trunin R.F. Shock compressibility of condensed matters in strong shock waves caused by un-derground nuclear explosions. Physics-Uspekhi, 1994, vol. 37, pp. 1123-1145.
17. Maksanova L.A., Ayurova O.Zh. Polimernye soyedineniya i ikh primeneniye [Polymer compounds and their applications]. Ulan-Ude, ESSTU Publ., 2004. 356 p. (In Russ.).
18. Farshad M., Wildenberg M.W., Flueler P. Determination of shear modulus and Poisson's ratio of polymers and foams by the anticlastic plate-bending method. Materials and Structures, 1997, vol. 30, pp. 377-382.
19. Kanel G.I., Razorenov S.V., Utkin A.V., Fortov V.E. Udarno-volnovye yavleniya v kondensirovannykh sredakh [Shock-Wave Phenomena in Condensed Media]. Moscow, Janus-K Publ., 1996. 408 p. (In Russ.).
Accepted article received 30.10.2017 Corrections received 07.11.2017
