Замкнутые цепочки решений нелинейных уравнений Шредингера (НУШ) Текст научной статьи по специальности «Математика»

Моделирование фильтрационных течений в области

Об авторах

А. А. Зайцев — канд. физ.-мат. наук, доц., РГУ им. И. Канта.

А. Я. Шпилевой — канд. физ.-мат. наук, доц., РГУ им. И. Канта. И. К. Волянская — студ., РГУ им. И. Канта.

И. Д. Дорогая — студ., РГУ им. И. Канта.

УДК 530.1

П. В. Дидковский, А. А. Зайцев

17

ЗАМКНУТЫЕ ЦЕПОЧКИ РЕШЕНИИ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ШРЕДИНГЕРА (НУШ)

Показано, что система НУШ (1) обладает бесконечным семейством решений, которые представлены через рациональные функции от экспонент.

It is shown that the system NLS has infinite set of solutions which are represented through rational functions from exponentails.

Цель данной статьи — показать, что система нелинейных уравнений Шредингера (НУШ):

обладает семейством решений в виде рациональных функций от экспонент.

Система (1) рассматривалась во многих работах. В [1 — 3] было установлено и изучено с разных точек зрения следующее свойство: система (1) инвариантна относительно преобразований Шлезингера:

Другими словами, если пара (ип,рп) есть решение системы (1), то и пара (и„+1 Рп+г), определяемая формулами (2), также будет ее решением. Замена Цп=1п ип позволяет преобразовать соотношения (2) к решетке То-ды Цп,хх=еХр(Цп+1 - Цп) - ехр(^п - Цп - 1).

Тем самым получается соответствие между решениями системы (1) и решетки Тоды.

В [4] установлено, что все решения конечной системы Тоды выражаются через логарифмы от отношения рациональных функций, аргументами которых служат экспоненты. Из всего изложенного можно сделать предположение, что аналогичным свойством обладают некоторые семейства решений системы (1). Покажем, что это действительно так.

Для системы (1) можно указать простейший класс решений. Пусть р=0. Тогда второе уравнение системы вырождается в тривиальное тождество 0=0, а первое сводится к линейному уравнению

iut+2u2v+uxx=0, -ivt+2uv2+vxx=0

(1)

Un ^ Un+1=Un(UnVn+(ln Un)xx), Vn ^ Vn+1=Un~1.

(2)

iut+uxx=0;

(3)

18

это есть одномерное уравнение Шредингера в безразмерной форме для свободных частиц (т. е. для волн де-Бройля).

Рассмотрим решение уравнения (3) в виде суммы экспонент

т ____

Бт1= ^ Ек, Ек=ак єхрфьх+іЬкЧ), к=1,т, (4)

к=1

каждая из которых удовлетворяет (3). В теории симметрических многочленов Бт1 называют многочленом Виета степени 1 от т переменных. Определим многочлены высших степеней рекуррентными соотношениями

Бт,п+1 = Бт,п - 1-1(Бтп Бтп,хх - (Бтп,х)2), п= 1,т (5)

и дополнительным равенством Бт0=1. Можно доказать, что Бтп будет симметрическим многочленом степени п. От многочлена Виета он отличается тем, что единичные коэффициенты в многочленах Виета заменяются на квадраты определителей Вандемонда. Приведем примеры.

В случае п=2 получим 2 многочлена:

Б21=Е1+Е2, Б22=(Ъ1 - Ь2)2 Е1 Е2.

В случае п=3 будем иметь 3 многочлена:

5з1=Е1+Б2+Бз,

Бэ2=(Ь1 - Ьт)1 Е1 Е2+Ф1 - Ьэ)2 Е1 Еэ+(Ь2 - Ьэ)2 Е2 Е3,

Б33= (Ь1 - Ь2)2(Ь1 - Ь3)2 (Ь2 - Ь3)2 Е1 Е2 Е*

В случае п=4 имеем 4 многочлена:

541=Е1+Е2+Е3+Е4,

Б42=(Ь - Ь!)1 Е1 Е2+Ф1 - Ьг)2 Е1 Е3+(Ь2 - Ь3)2 Е2 Е3+(Ь - Ь4)2 Е1 Е4+

+(Ь2 - Ь4)2 Е2 Е4+(Ь3 - Ьл)1 Е3 Е4,

Б43= (Ь1 - Ь2)2(Ь1 - Ь3)2 (Ь2 - Ь3)2 Е1 Е2 Е3+(Ь1 - Ь3)2(Ь1 - Ь4)2 Ь - Ь4)2 Е1 Е3 Е4+

+(Ь1 - Ь2)2(Ь1 - Ь4)2(Ь2 - Ь4)2 Е1 Е2 Е4+(Ь2 - Ь3)2(Ь2 - Ь4)2 Ь - Ь4)2 Е2 Е3 Е4,

Б44= (Ь1 - Ь2)2(Ь1 - Ь3)2 (Ь1 - Ь4)2(Ь2 - Ь3)2(Ь2 - Ь4)2(Ь3 - Ь4)2Е1 Е2 Е3 Е4.

Отметим, что для каждого т функция Бтт будет простой экспонентой. Тогда формальное определение Бт,т+1 по формуле (5) при п=т дает тождественный ноль, Бтт+1=0.

Теперь можно доказать методом математической индукции, что формулы

итп= Бт,п+1 Бт,п 1 Vтп= Бт,п - 1 Бт,п 1, п= 1,m, (6)

в которых аргументами служат экспоненты Ек (см. (4)), дают решение системы (1). При п=1 эти формулы принимают вид

итп= Бт2 Бт1 1, Vmn= Бт1 1.

Их справедливость следует из того, что Пт0= Бт1 и Vm0=0 дают решения системы (1), а также из преобразований (2). Используем эти преобразования и рекуррентные соотношения (5) для перехода от п к п+1. Пусть представления (6) справедливы для некоторого п. Тогда

ит,п+1_итп(итпУтп+(1п итп)хх= Бт,п+12 Бт,п 2 Бт,п - 1 Бт,п 1 +

+ Бт,п+1 Бт,п 1((1п Бт,п+1) хх (1п Бтп)хх) Бт,п - 1^т,п+12^ тп-3+

+5т,п+1 Б т,п 1((Бт,п+1 Бт,п+1 ,хх - (Бт,п+1,х)2) Бт,п+1 2-(Б тп Бтп,хх - (Бтп,х

)2) Б т,п-2)=

Бт,п - 1Бт,п+12Б тп 3+ Бт,п+1 Бт,п 1(Бт,п Бт,п+2 Бт,п+1 2 Бт,п-1Бт,п+1Бт,п 2) =Бт,п+2 Бт,п+1 1, ’От,п+1=итп 1= Бт,п Бт,п+1 1.

Таким образом, вновь получилось представление (б) с заменой n на n+l. Согласно принципу математической индукции, формулы (б) верны для всех n натуральных чисел.

Пусть выбрано семейство m экспонент вида (4). Тогда формулы (б) дают цепочку m решений. На последнем шаге получаем Umm=0, поэтому итерационный процесс заканчивается. Следовательно, получаем замкнутое семейство решений в виде рациональных функций от экспонент.

Наибольший интерес представляет редукция v = u системы (1). Тогда оба уравнения сводятся к одному

iut+2\u\2 v+Uxx=0, (7)

которое описывает распространение нелинейных волновых пакетов. Однако уравнение (7) не инвариантно относительно преобразования Шлезингера, поэтому невозможно организовать итерационный процесс появления цепочки решений. Тем не менее среди решений (б) можно выделить такие (и их будет бесконечно много), для которых выполнено условие

vmn = umn . (S)

Рассмотрим в качестве примера случай m=2, n=l. Тогда из условия (S) и формулы (б) получаем

S21 = S22 S21 ^ al exp(bxx - ib\t) + a2 exp(b2x - ibf t) =

---- О -- 0 0 о о

= ala2(bl -b2) exp(bi + b2)x-i(bl + b2)t)(al exp(bxx-iblt) + a2 exp(b2x-ib2t)).

Это равенство будет тождеством для ненулевых al, a2 (если хотя бы один из этих коэффициентов равен 0, то получится тривиальное решение) тогда и только тогда, когда b2 = -b1, aj_a2 = (b1 + b1)- .

При выполнении этого условия решение системы (l) подчиняется редукционному ограничению v = u, т. е. удовлетворяет уравнению (7).

В работе показано, что система НУШ (1) обладает бесконечным семейством решений. Среди этих решений существуют такие, которые удовлетворяют НУШ, описывающего распространение нелинейных волновых пакетов. Естественно предположить, что решение с подобной структурой существуют для многих нелинейных уравнений математической физики.

Список литературы

1. Свинолупов С. И., Ямилов Р. И. // ТМФ. 1994. Т. 9S. № 2. С. 207.

2. Адлер В. А., Шабат А. Б. // ТМФ. 1997. Т. 11. № 3. С. 323.

3. Yurov A. V. // Dynamics of PDE. 2004. V. 1. № 2. P. 209-223.

4. Зайцев А. А. Лекции по теории динамических систем. Калининград: Изд-во КГУ, 2004.

Об авторах

А. А. Зайцев — канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр., Pry им. И. Канта. П. В. Дидковский — асп., Pry им. И. Канта, [email protected]

20

УДК 530.1

А. А. Зайцев, Д. А. Каргаполов

КОНСТРУИРОВАНИЕ БАРГМАНОВСКИХ ГАМИЛЬТОНИАНОВ МАТРИЧНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА

Предложен способ построения баргмановских гамильтонианов матричного уравнения Шредингера и решения этого уравнения, основанный на свойствах характеристической функции.

Его можно использовать для решения многих задач квантовой физики и теории солитонов.

In the paper method of construction of Bargman Hamiltonians of matrix Schrodinger equation and its solutions based on properties of characteristic function is stated. It can be used for solution of many problems of quantum physics and soliton theory.

Гамильтониан матричного уравнения Шредингера для m-уровневой квантовой системы во внешнем поле

ihy = Hy, H = JE + V, diagV = 0, (1)

J = diag(cl,..., cm ), cl > c 2 > ... > cm . (2)

называется баргмановским, если уравнение (1) имеет решение вида

y = P(E, t) exp( JEt /ih), (3)

где P(E,t) — многочлен от E с матричными коэффициентами, зависящими от t.

Если подставить (3) в (1), то получим следующее уравнение для многочлена P(E,t):

ihP = E[J, P] + VP. (4)

Можно показать, что для любого полиномиального решения этого уравнения старший коэффициент является постоянной матрицей.

Для конкретного баргмановского гамильтониана H существует бесконечно много решений, имеющих представление вида (3). Действительно, умножим решение (3) справа на произвольный матричный диагональный многочлен P0(E), не зависящий от t, тогда получим новое решение уравнения (1), так как экспонента в (3) — диагональная матрица, поэтому коммутирует с любой другой диагональной матрицей. После перестановки экспоненты вправо новое решение также будет иметь вид (3), но с заменой многочлена P(E,t) на P(E,t)P0(E).

Укяжєм важнейшее свойство уравнения (4).