Заметка о кривизне линии уровня относительно конформного отображения Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2013

Математика и механика

№ 3(23)

УДК 517.54

С.А. Копанев

ЗАМЕТКА О КРИВИЗНЕ ЛИНИИ УРОВНЯ ОТНОСИТЕЛЬНО КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ

Новым способом получена известная точная оценка снизу кривизны линии уровня в классе голоморфных однолистных отображений.

Ключевые слова: голоморфное однолистное отображение, линия уровня, кривизна.

Пусть £ - класс голоморфных однолистных в единичном круге Е={2еС: 2 <1} отображений /(2) = 2 + с2г2 +.... Образ окружности 2 = г , 0 <г < 1, относительно отображения / называется линией уровня. Кривизна Кг линии уровня в точке / (20), 20 е Е, |г01 = г , 0 < г < 1, как хорошо известно, равна

К=

V '(20 )|

Яе

1+

20/''(20 ) /' (г0 ) ,

Класс £ обладает свойством: отображение / е £ тогда и только тогда, когда отображение 8 е £, где

8 (г ) = -

(1 - г2)/' (г)

/

1 - 20 2 У

- / (г )

Это свойство автоморфизма класса £ позволяет задачу об оценке кривизны линии уровня свести к задаче об оценке функционала

К =

1 - г2

\Г (г)|Яе ( + г2 - 2гс2)

где / (2 ) = 2 + с2 22 +..., в классе £.

Приведем в частном случае (р = 1) следствие 3 из работы [1].

На классе £ справедлива точная оценка

/ (2 )

2

<

1/М

1 - г2

где 2 = г , 0 < г < 1.

Отметим, что равенство имеет место только для семейства отображений

2

-1 <х< 1.

I - 2X2 + 22

Приведенная оценка позволяет записать для кривизны линии уровня следующую оценку:

е

2

Заметка о кривизне линии уровня относительно конформного отображения

35

Минимальное значение сомножителя Яе (і + г2 - 2гс2) равное 1 - 4г + г2 дос-

этом же отображении достигается минимальное значение кривизны линии уровня

Задача о кривизне линии уровня в классе £ и в других классах однолистных отображений рассматривалась в работах [2-20]. Ранее точная нижняя оценка кривизны линии уровня в классе £ разными способами, отличными от предлагаемого, была получена Г.В. Корицким, Я.С. Мирошниченко, В.В. Черниковым, И.А. Александровым. Наилучшая на сегодняшний день верхняя оценка кривизны линии уровня в классе £ принадлежит В.В. Черникову [16].

1. Александров И.А., Копанев С.А. О взаимном росте модуля однолистной функции и модуля ее производной // Сиб. матем. журнал. 1966. Т. 7. № 1. С. 23-30.

2. Александров И.А. Об оценке кривизны линий уровня при конформных отображениях // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2013. № 3 (23). С. 5-7.

3. ЫеЪетЪасН Ь. №иеге ЕогесИи^еп т ОеЫе1;е (!ег копйгтеп АЪЪШи^. 01а8тк Ьгг. Рпго(1 Бгш1;уа, 1921. В(1 33.

4. Александров И.А., Черников В.В. Об экстремальных свойствах однолистных звездообразных отображений // Сиб. матем. журнал. 1963. Т. 4. № 6. С. 1201-1207.

5. Александров И.А., Прохорова А.Е. Оценки кривизны линий уровня на классе // ДАН СССР. 1972. Т. 203. № 2. С. 267-269.

6. Зморович В.А. О некоторых вариационных задачах теории однолистных функций // Укр. матем. журнал. 1952. Т. 4. № 3. С. 276-298.

7. Копанев С.А., Сыркашев А.Н. Качественный анализ дифференциально-функционального уравнения для одного функционала // Исследования по матем. анализу и алгебре: сб. Вып. 3. Томск, 2001. С. 125-134.

8. Корицкий Г.В. О кривизне линий уровня и их ортогональных траекторий при конформных отображениях // Матем. сб. 1955. 37 (79): 1. С. 103-116.

9. Корицкий Г.В. О кривизне линий уровня при однолистных конформных отображениях // ДАН. 1957. Т. 115. № 4. С. 653-654.

10. Корицкий Г.В. К вопросу о кривизне линий уровня при однолистных конформных отображениях // Успехи матем. наук. 1960, сентябрь-октябрь. Т. XV. Вып. 5 (95). С. 179-182.

11. Корицкий Г.В. К оценке кривизны линий уровня при однолистных конформных отображения // Труды Томского ун-та. Т. 210. Вопросы геометрической теории функций. 1969. Вып. 6. С. 34-36.

12. Мартынов Ю.А. О геометрических свойствах дуг линий уровня при однолистных конформных отображений // Труды Томского ун-та. Т. 210. Вопросы геометрической теории функций. 1969. Вып. 6. С. 53-61.

13. Мирошниченко Я.С. Об одной задаче теории однолистных функций // Учен. зап. Ста-линск. пед. ин-та. 1951. Вып. 1. С. 63-75.

ЛИТЕРАТУРА

36

С. А. Копанев

14. Мирошниченко Я.С. К вопросу о кривизне линий уровня // Труды Томского ун-та. Т. 210. Вопросы геометрической теории функций. 1969. Вып. 6. С. 62-65.

15. Черников В.В. Об оценке кривизны линий уровня в одном классе однолистных функций // Матем. заметки. 1976. Т. 19. № 3. С. 381-388.

16. Черников В.В. Оценка кривизны линий уровня в классах Е , Еp // Экстремальные задачи теории функций: сб. Томск, 1980. С. 126-129.

17. Черников В.В. Об оценке кривизны линий уровня в классе всех регулярных однолистных в круге функций // Сиб. матем. журнал. 1985. Т. 26. № 2. С.210-213.

18. Черников В.В., Арендарчук М.А. Об оценке кривизны линий уровня // Труды Томского ун-та. Т. 238. Вопросы геометрической теории функций. 1974. Вып. 7. С. 118-123.

19. Эзрохи Т.Г. О кривизне линий уровня и их ортогональных траекторий в классе функций с ограниченным вращением // Укр. матем. журнал. 1965. Т. 17. № 4. С. 91-99.

20. Югай С.М. Оценка кривизны образов окружностей при отображении их выпуклыми однолистными в круге функциями // Матем. заметки. Т. 53. Вып. 1. 1993. С. 133-137.

Статья поступила 26.02.2013 г.

Copanev S.A. A NOTE ON THE CURVATURE OF THE LEVEL LINE UNDER THE

CONFORMAL MAPPING. A lower bound is established by a new method on the class S for the

curvature of level lines under conformal mapping.

Keywords: holomorphic univalent mapping, level line, curvature.

COPANEV Sergey Anatol’evich (Tomck State University)

E-mail: [email protected]