CC BY
5
УДК 66.01
Тарасова Т.А., Кузнецова И.К., Кабанов О.В., Быков В.И.
ЗАКОНЫ ПЕРЕНОСА КАК ОСНОВА ПОЛУЧЕНИЯ ОСНОВНЫХ БАЛАНСОВЫХ УРАВНЕНИЙ МАССООБМЕННЫХ ПРОЦЕССОВ
В работе используются материалы заведующего кафедрой ПАХТ д.т.н. профессора Дмитриева Е.А. Тарасова Татьяна Александровна - кандидат технических наук, доцент кафедры процессов и аппаратов химической технологии; ФГБОУ ВО «Российский химико-технологический университет им. Д.И. Менделеева», Россия, Москва, 125047, Миусская площадь, дом 9. ; [email protected]
Кузнецова Ирина Константиновна - кандидат технических наук, доцент кафедры процессов и аппаратов химической технологии; ФГБОУ ВО «Российский химико-технологический университет им. Д.И. Менделеева», Россия, Москва, 125047, Миусская площадь, дом 9.
Кабанов Олег Викторович - доцент кафедры процессов и аппаратов химической технологии; ФГБОУ ВО «Российский химико-технологический университет им. Д.И. Менделеева», Россия, Москва, 125047, Миусская площадь, дом 9.
Быков Владислав Игоревич- аспирант 2-го года обучения кафедры процессов и аппаратов химической технологии; ФГБОУ ВО «Российский химико-технологический университет им. Д.И. Менделеева», Россия, Москва, 125047, Миусская площадь, дом 9.
В статье рассмотрен основной принцип в реализация системного подхода в процессе инженерного химико-технологического образования, а именно - необходимость рассмотрения законов переноса с целью получения основных балансовых уравнений сохранения массы и энергии при преподавании основных разделов курса «Процессы и аппараты химической технологии». Этот подход позволяет обеспечить целостность восприятия обучающимися связи между гидромеханическими, тепло- и массообменными процессами. Ключевые слова: инженерное образование, законы переноса, балансовые уравнения, законы сохранения, уравнение неразрывности, уравнение конвективной диффузии.
TRANSFER LAWS AS A BASIS FOR OBTAINING THE BASIC BALANCE EQUATIONS OF MASS TRANSFER PROCESSES
Tarasova T.A., Kuznetsova I.K. , Kabanov O.V., Bykov V.I.
D. Mendeleev University of Chemical Technology of Russia, Moscow, Russian Federation
The article considers the basic principle in the implementation of a systematic approach in the process of engineering chemical and technological education, namely, the need to consider the laws of transfer in order to obtain the main balance equations for the conservation of mass and energy when teaching the main sections of the course "Processes and apparatuses of chemical technology". This approach makes it possible to ensure the integrity of students' perception of the relationship between hydromechanical, heat and mass transfer processes.
Key words: engineering education, transport laws, balance equations, conservation laws, continuity equation, convective diffusion equation.
Одним из направлений повышения качества образования инженера, позволяющим сделать его образование фундаментальным, является
применение системного подхода. Важной спецификой такого преподавания инженерных основ химической технологии является
последовательность обучения от общего к частному. Для этого сначала следует изучить фундаментальные основы законов сохранения [1], [2], затем использовать полученные зависимости для вывода балансовых уравнений сохранения массы и энергии, определяющих интенсивность протекающих химико-технологических процессов и позволяющих рассчитать производительность соответствующих аппаратов [2], [3].
Прежде всего в учебных курсах следует показать, что балансовые уравнения сохранения массы и энергии получаются из единого фундаментального уравнения переноса [2],[3]. Например, уравнения сохранения энергии и массы в дифференциальной
форме математически выглядят одинаково, т.к. феноменологические законы Фурье и Фика имеют одну и ту же форму. Однако в настоящее время в учебных курсах эти уравнения получают раздельно. Также, например, выводят уравнение конвективной диффузии.
Таким образом, пока студент не поймет, что баланс массы можно составить для отдельных (независимых) компонентов и смеси, он будет воспринимать гидродинамическое уравнение сплошности и уравнение неразрывности в массообмене как разные, ничем не связанные соотношения.
Покажем, что уравнение конвективной диффузии является частным случаем уравнения неразрывности (сплошности) в отсутствие химической реакции. Как известно, основное дифференциальное уравнение переноса субстанции - массы или энергии имеет вид [1]:
(1),
где ф - потенциал переноса (скалярная величина) -удельная, отнесённая к единице объёма, масса или энергия, q-плотность потока субстанции, которая определяет удельный поток массы или энергии,
[кг ¿/(м2 ■ с)]; [Дж/(м -2 с)] , R- объемные (непрерывно распределенные по объему источники или стоки массы и энергии, которые могут существовать в рассматриваемой среде и характеризуются объемной удельной мощностью поступления или ухода массы и энергии [к г i / (м:3 ■ с) ]; [Дж/ (м ■3 с) ] Получим уравнения неразрывности (сплошности) для двухкомпонентной системы. Пусть имеется гомогенная смесь компонентов А и В с массовыми концентрациями рАирв. где протекает реакция В—> А. Примем, что для смеси компонентов выполняется следующее правило:
Р = Ра+Рв (2) Причём р = const
Тогда, для компонентов A и B в случае переноса массы будем иметь:
Общая плотность потока массы или энергии складывается из двух векторных величин:
где, ЯМт -плотность потока, обусловленная молекулярным переносом;
ЦКт - плотность потока, обусловленная конвективным переносом. Тогда имеем:
ЧА= -ОавЗГПФА + PA V (6)
(7)
Подставляя (6) в (3) и (7) в (4) получим:
Выражения (8) и (9) называются уравнениями неразрывности (сплошности) для компонентов смеси и описывают нестационарные поля концентраций компонентов А и В в движущейся среде: рА = f^t.x.y.z) и рв = ^(i.x.y.z) Примем следующие соотношения:
= К-ОАвЯГвйРл>] + i-D^sgradtj} - рА] = О
Поскольку grad р = 0 при р = const (для двухкомпонентной системы Dab = Dba) , то Ra-Rb=0 Последнее выражение фактически означает, что источником A является B, и, скажем, из 1 кг B может образоваться только 1 кг A.
Складываем ур. изложенного:
д(Рл + Рв)
dt
получим:
(8) и (9) с учетом выше =: -div [(рА + рв) v]
^ + div (pv)
■ (10)
Полученное соотношение (10) называется уравнением неразрывности (сплошности) потока. Уравнение конвективной диффузии является частным случаем уравнения (3) при постоянной плотности (общей концентрации) р, постоянном коэффициенте диффузии Б и отсутствии объёмных источников (стоков) массы Я = 0, которые возникают в результате химической реакции в рассматриваемом объеме, т.е.
Согласно ур. (6,7)
Ча= -£>авЗгаАрл + Ра$ Яб= ~0ВАдгаЛрБ + рви
Получим: ЭрА
— + div (~DABgradpA + pAv)
■ (11)
При D = const уравнение примет следующий вид:
где V2, Д —оператор Лапласа.
Дифференциальная операция div grad р сопоставляет скалярную функцию р и скалярную функцию
72,
ф еР-Ф ээс, „ . div grad<p=—+-^+— = 4£q> = Мр
Эх1 Эу1 Эгп
Дивергенцию от(рА у), как произведения векторной и скалярной величины, можно представить в виде:
:'( Г (13)
Тогда: эРа
+ pAdivv + v gradpA=DABy2pA (14)
Для случая р = const (несжимаемые среды) с учетом уравнения неразрывности:
соотношение (14) принимает следующую форму:
^f+v gradpA=DABV2pA (15)
Разделив каждый член уравнения на молярную массу
распределяемого компонента (Мл - постоянная
величина), с учётом — = СА - объёмная мольная мА
концентрация (км компонента/м3), будем иметь: ^f-+v gradpCA=DABV2CA (16)
Соотношение (16) называется уравнением конвективной диффузии и является частным случаем дифференциального баланса массы в движущейся среде, где имеет место диффузионный перенос. При этом накладываемые на него ограничения (p,D =const) позволяют использовать его, как правило, для сред с небольшой концентрацией компонентов.
Полная форма уравнения конвективной диффузии в скалярном виде будет:
дСА . дСА . дСА дСА J?CA д* СА & СА
dt
+ v —— + V дх у ду 2
dz
= DaВ(
(16а),
■4-
dx2 ду3 dz3
)
где члены последних уравнении учитывают: ЭСА
--изменение концентрации во времени в данной
дt
точке пространства;
:■ ^ ■:^ -учитывает изменение концентрации за счет конвекции;
- учитывает изменение концентрации за счет диффузии.
Уравнения (16 и (16а) по структуре аналогичны дифференциальному уравнению конвективного теплообмена (уравнение Фурье-Кирхгофа).
— +р агаЛТ= аЯ2Т э t а
Сопоставление уравнений конвективного масообмена и конвективного теплообмена показывает, что: коэффициент диффузии Б - аналог коэффициента температуропроводности а; концентрация С - аналог температуры Т. Отметим, что левую часть этого соотношения (16а) можно представить как субстанциональную производную, состоящую из локальной и конвективной компонент:
ОС л дСл дСл дСд ЭСл ,, „
Ш ¡И х дх у ду г я„ \ /
dt
дх
dz
Дифференциальное уравнение конвективной диффузии может быть представлено в различной форме (16а, 17) и описывает в общем виде
распределение концентраций в движущейся жидкости (с учетом принятых допущений). В заключение следует заметить, что данная работа показывает возможность применения
фундаментальных законов сохранения для вывода балансовых уравнений сохранения массы и энергии, в частности, дифференциального уравнения конвективной диффузии. Использование законов сохранения для вывода основных балансовых уравнений необходимо для создания единого подхода к теоретическому описанию процессов химической технологии. Понимание общности описания балансов всех процессов проходящих в химическом оборудовании является необходимой частью системного образования инженера химика-технолога [1]-[4].
Список литературы
1. Саркисов П.Д., Дмитриев Е.А. Энерго- и ресурсосбережение в химической технологии, нефтехимии и биотехнологии. - Материалы научно-практической конференции «Энергосбережение в химической технологии-2000», Казань, КГТУ им. А.Н.Туполева, 2000, С.10-14.
2. R.K. Sinnott "Coulson &Richardson's Chemical Eng., Chemical Engineering Design" - Elsevier Butterworth-Heinemann, Oxford, London, 2005, v.6, 4th edn.,1055 p.
3. Дытнерский Ю.И. Процессы и аппараты химической технологии. Часть 1,2. М.: Химия, 1992.
4. Р. Берд, В. Стьюарт, Е. Лайтфут. Явления переноса. - пер.англ. Н.Н. Кулова и В.С. Крылова под ред. Н.Н. Жаворонкова и В.А. Малюсова, -М., Химия, 1974, 688 с.
