CC BY
16
Инж.-мех. Г. В. Трапезников.
Законы остаточных деформаций.
*
1. Сжатие.
(К тексту А стр. •чертежей).
Производя работу с ударной пробой на сжатие, и обрабатывая результаты опытов, я, при выводе аналитической зависимости между отдельными элементами входящими в состав явления уча^эа, был принужден остановиться на одной из const., появившейся в' окончательной формуле связи. Самый характер этой шхтояЪиой указывал на,то, что она является характеристикой металла. Это побудило меня произвести небольшую серию опытов на пластическое сжатие, тех же металлов, при статической нагрузке, дабы выяснить значение указанной постоянной. Результаты получились на столько удовлетворительные, что сказалось возможным найти не только значение этой const., но, кроме того, дать аналитическую связь между усилиями с одной стор< ны и и деформациями, вызванными ими—с другой. Последнее вызвало необходимость расширение работы, чтобы па возможно большем числе отдельных металлов проверить полученные зависимости. Эта работа, произведенная мною в механической лаборатории Томского Технологического Института, летом 1922 г., и составляет прешет настоящей статьи, которая является только, весьма кра тким, отчетом о работе.
Полученные результаты опытов на пластическое сжатие заставили меня обратиться к литературе по атому вопросу, в надежде получить подтверждение в опытах которые могли быть произведены другими экспериментаторами. К сожалению, ни в отдельных трудах, ни в журнальной литературе не было найдено ничего, что бы могло осветить данный вопрос. В работах по сопротивлению материалов и в солидных курсах говорится, мимоходом, о зависимости между усилиями и деформациям;;, за пределом упругости. Большинство авторов говорят, что аналитическая зависимость при растяжении и сжатии, за пределом упругости, имеет вероятно, очень сложный характер, но кривую шастйчесьпЯ деформаций можно, довольно точно, выразить в виде:
X = А -{- Б РСР2 - г-1) I'3 4-......
где I—абсолютная деформация, и Р — усилие, ей соответствующее. Иначе говоря, многостепенной параболой, причем коэффициенты: А, В, О. П. etc, должны быть подобраны для каждого образца отдельно.
Некоторые авторы, для вычисления работы остаточных деформаций при растяжении какого-либо образца, предлагают замену кривой остаточных деформаций участком простой крадратичной параболы. Эта замена встречается у Tetmajer'a, Jonson'a, Мог1еу'я, Madamet, Тимошенко и др.
Согласно чертежа 1, мы видим, что предполагается равновелшшсть площадей: диатраммы полученной на испытательной машине, с одной-стороны и. с другой: суммы площадей—параболического сегмента, с высотой СН — НН1 и основанием — А Н1 = ОII -¡- прямоугольника О А Н1 Н. Таким образом, работа затрачиваемая на остаточную деформацию образца, при пренебрежении работой упругой деформации, будет пропорциональна площади:
S = О Н. О A f — О Н (С Н • I I Н').
3
Называя усилие при иределе упругости—РЛ, усилие разрывающее образец—PfJ
наибольшее абсолютное удлинение—л, будем иметь выражение для работы остаточных деформаций: <
Е = Р0 \ -f 4 (Ht - Р0) = (2 Р, Р0).
а о
Что же касается работы остаточных деформчций при сжатии, то, даже подобной замены, я нигде не встретил. Правда у Unwin'а и Мог1еу'я (Strength of Materials) имеется диаграмма пластического сжатия для некоторых метал- •. лов., Последняя приведена на чертеже 2 и представляет из себя точную выкопировку из труда Unwin'a. Здесь имеется указание на тенденцию кривых пластического сжатия приблизиться к, некоторым гиперболам. Но как видно из довольно точной копии такой диаграммы эта тенденция весьма и весьма проблематична. В указанном труде не дается никаких сведений или намеков на константы таких гиггербол.
При изучении остаточных деформации сжатия экслериментатор должен обратит свое внимание на три основных вопроса:
1) влияние изменения температуры;
2) влияние трения на торцевых плоскостях образцов;
3) влияние времави опыта (промежутка).
1. Влияние изменения температуры, при • тех малых колебаниях ее, которые имели место в летние месяцы в механической лаборатории (14°—16°), непосредственно не освещаемой солнцем в полуденное время, конечно ничтожно. Известно, что для всех, химически-чистых металлов, Модуль Юнга, предел упругости и временное сопротивление падают с повышением температуры и растут с понижением ее. (Meyer. Phil. Mag. 1896, у 41, v32 и Dewar. Proc. ol. the R. <!. of. 9.13 v i !> Но эти изменения, при указанных пределах колебания температуры во время опытов, конечно лежат внутри пределов ошибок наблюдений. Что же касается нагревания образца от всестороннего сжатия, которое и^еет место при долевом сжатии и от трения отдельных частиц металла друг о друга при расплющивании образца, то нужно заметить, что хотя здесь изменение температуры самого образца и будет заметным, но принимать его в расчет так же нельзя; небольшие сравнительно образцы, которье берутся для опытов на пластическое сжатие весьма быстро, почти мгновенно, выравнивают свою температуру, с одной стороны —ввиду большого отношения поверхности к объему, а с другой—ввиду чрезвычайно тесному соприкосновению с опорными, очень массивными,, плитками и солидным столом испытательной машины.
2. Влияние опорных поверхностей является самым значительным из указанных выше факторов, влияющих на ход пластических деформаций. Силы трения, возникающие на торцах образца, прижимающихся к стальным, хотя и весьма тщательно шлифованным плиткам, в значительной мере искажают ход пластических деформаций сжатия. При наличии поверхностных сил трения на торцах, деформация сжатия уменьшается тем более, чем менее будет отношение высоты , образца к его диаметру. Для учета этого обстоятельства необходимо было поставить опыты с образцами, имевшими различные отношения высот к диаметрам. Таким образом, если сила трения и не может быть определена, то возможно найти то отношение высоты образца к диаметру; при котором этой силой возможно принебречь или выявить, путем экстраполяции, ход деформации в его идеальном случае, т. е. при отсутствии сил трения г.а торцах образца.
3. Влияние времени на -возрастание остаточных деформаций является весьма сорезиым вопросом, который нельзя обойти без рассмотрения при экспериментировании за пределом упругости. Функциональный состав зави-симосуи роста остаточных деформаций от времени чрезвычайно «'.ложен и,
кроме того, нельзя скачать, что здесь установлена надежная аналитическая ;вязь. Профессор И. Bonasse, много лет поработавший над изучением пластических деформаций и желавший связать, в общей функции от времени, напряжение и деформацию, пришел к неутешительным результатам. Он говорит: «Когда начинают изучать некоторую группу явлений, велик соблазн лайти общую теорию, обшее объяснение. Лишь мало по малу замечаешь тщетность так'их усилий и решаешься, на более или менее долгое время, разбить явление на подгруппы и давать им частичное объяснение». Поэтому он лелиг все металлы на две категории, которые, отнако. являются лишь типами, допускающими промежуточных представителей, а именно: металлы g твердым трением (métaux àfrottem'-nt solide) и металлы вязкие (métaux visqueux). Безнадежность которая звучит в словах Вуасса, понятна: явление остаточной деформации слишком сложно для изучения во всей полноте одновременно. Необходимо поставить сначала опыты таким образом, чтобы влияние времени, в смысле сравнения остаточных деформаций для различных металлов, было, по возможности'ничтожно. Как известно, деформация отстает но времени от усилия, которое ее вызывает и закон такого отставания или запаздывания чрезвычайно трудно проследить, 'так как это запаздывание, ¡равно как и сама деформация—функции скорости наростания усилия во аремени. Некоторой аналогией изменения во времени остаточной деформации и ее. так сказать, «сдвига» во времени по отнешению к силе, может служить кривая возрастания и падения силы тока в зависимости от возрастания и падения потенциала. Указанная аналогия взята, равно как и кри? .вал, из статьи профессора Б. II. Вейнберга: «Успехи физики твердого тела».
На чертеже 3 кривая «\» изображает изменение потенциала во времени :;рква,?' изменение силы тока.
Постановка опытов.
Вайду того, что задача, в полном ее объеме, являлась слишком сложной л обширной при тех средствах и материалах, которые имелись в то время г распоряжении лаборатории, необходимо было исключить влияние времени да рост остаточных деформаций. Для этого была произведена отдельная серия опытов на сжатие. Было испытано девять различных металлов: мяг-хая, не закаливающаяся сталь, йягкое железо, бронза, латунь, красная медь, алюминий, цинк, олово и свинец. Образцы, приготовленные из этих металлов, имели все одинаковый размер и представляли из себя цилиндрики длинною ]в15.00 mm. и диаметром а = Ю.оо mm. Все материалы, до приготовления ис них образцов, подвергались нагреванию, буду чу замурованы в цементное тесто, чтобы, по возможности избежать наличие остаточных напряжений, которые появились в них при прокатке или отливке в холодные формы. Зев опыты, как, предворительные, так и основные, были проведены на двух машинах фирмы Arnsler- Laffon. Для более крепких металлов, требующих большой нагрузки, применялась машина на 50 tu, на колонках, работающая, ■уг коловратного масляпного насоса; для металлов более слабых —2-х т.. маятниковая машина. Образцы нагружались с одинаковой и. возможно равно -мерной для всех образцов скоростью, до требуемого усилия, а затем .нагрузка, снималась таким образом:
1) образцы серии А—разгружались немедленно по достижении, заранее назначенной нагрузки:
2) Образцы серии В—разгружались после того, как, нагрузка, достигнув назначенной величины, была выдержана постоянной в течении О'-ло;
■ 3) Образцы серии С—разгружались после выдержки нагрузки в течении О .:'.<,. И
« 4) Образцы серии О—разгружались после выдержки нагрузки в течении l'.oo,
На нагрузку затрачивалось около 0'.25; разгрузкапроизводилась почтя мгновенно. *
В кажаую серию входили образцы всех металлов, в двойном комплекте, для получения более надежных пифр
Следующим элементом, который было необходимо учесть при опытах, было отношение начальной длины образца к начальному (до опыта) диаметру:
• # ¿о
Если бы при опытах на сжатие мы не были связаны жесткой необходимостью делать образцы с сравнительно небольшим а0 (не более 3), из за невозможности, при более относительно-ллиннпы образце, получить сжатие без искривления образца, нам было ^ы возможно, проводя опыты с все большим и большим значением а0, почти совершенно погасить вредное влияние трения на торцах. Экспериментирование с образцами,'у которых а0 > 2 становится уже весьма затруднительным, если мы желаем получить значительную деформацию сжатия, и, зачастую, при*однтгя повторять не раз опыт, беря новый образец, ввиду того, что предндущи-й, хотя и тщательно установленный на машине, искривился. Что же касается образцов, у которых <*0>3, то такие образцы, без особых приспособлений, почти совершенно не могут быть сжаты, без перекоса.
Влияние треииЗГ на торцах образцов учитывалось при ведении основных опытов, для которых бы.!о изготовлено, в двойной комплекте, но шесть-образцов каждого, из указанных выше, металла.
Диаметр всех образцов: (10 г™ ю.оо тт.
Длина: № 1 — 10 = 5.оо тт. <*0 = О.гт
» № 2 —10 = 1().оо » о0 = 1 .оо
» № 3 — ]0 == 15.оо » ог0 —
» № 4 —10 = 20.оо > % = 5.оо
№ 5 —10 = 25 оо » cru — 2.
6 — ] г- ЗО.оо » о»
ь
г>о
о. о о
Максимальная- нагрузка, применявшаяся в опытах на сжатие не превосходила 40 in,, что составляет око \о 75°/0 от полной мощности (53 tu) указанного выше пресса Amsler—Lafion'a. Это именно двойной raison d'être: во-первых всякая испытательная машина, при нагрузках, достигающих предельной для вея, даст показания менее точные, а потому и менее надежные, чем при зредпих нагрузках, и, во-вторых, высоты (длины) образцов из наиболее кренких* металлов при деформировании нагрузкою в 40 to. настолько малы, что дальнейшее уменьшение их поведет к меньшей точности их. измерения.
Основной опыт, с каждым образном, протекал следующим образом.
Образец, опертый торцевыми плоскостями на стальные шлифованные закаленные плитки, ставился под пресс; вращая масляный насос вручную, производили нагрузку, поднимая ее до первого периода течения материала, определяя последний по остановке ртутного столбика в манометрической трубке; если же такового резко не наблюдалось,' как это имело место в мягких пластических металлах, то нагрузка просто поднималась до некоторого небольшого, заранее назначенного, предела. По разгрузке машины образец вынимался,, его измененная длина измерялась, с точность до О.01 mm. и он снова становился под нагрузку, которая повышалась с каждым отдельным последовательным наблюдением на назначенную величину; измерялась следовательно только остаточная деформ^пия образца. По цифровым данным наблюдений (средним из двух параллельных серий) строились две диаграммы—одна в декартовой системе координат, другая в логарифмической (логарифмическая
номограмма); за оси абсцисс принимались со^-ветственяо нагрузке—V и за ось ординат длина образца I и 1. Последние диаграмы, находящие теперь все большее и большее распространение, применялись как более удобные для графического анализа кривых и сравнения отдельных кривы! опыта между собою.
Влияние времени.
Нижеприведенные таблицы составлены следующим образом:
1 колонка — Л? наблюдения.
'2 колонка — нагрузка на образец в Ш.
3 колонка.— имеет I столбца, соответственно для образцов серий Л, В, С, I).
Рядом с буквами, обозначающими серийность образца, указано время т. в минутах, в теченнии которого данная нагрузка выдерживалась постоянной по величине.
Каждый столбец разбит на два подстолбца; в первом указана длина деформированного образца в шш , а во втором его относительная деформация ввиде:
где
Ж'
длина оорз.'да до деформации, и I — Влияние времени. Железо.
0
1
->
1 ;!
.) <»
7
¡ч II
» ■! 10
И || 12 || 13 : и ]5 1') ¡1 .-17 || 18 I! 10 ;;
20 I!
21 22
23
24
14!.
длин а дефо рм и р< > ва н п ого об р аа! [а 1-й комплект.
1 О',.». А .. I г.г: О'.,., И Г гг. 0'.:-5 С 1
» . ;! .........—
I 1 - ■ 1 М. - 1 ! ; 1 — \
3 .ио
Г).нО I .'I
9 <>,, 1 О но
1 2.оо М и*
1 »¡.Он
ГН.с.»' 20 оо 2"..<> 24 <-о 2'! оо 28.01.1 30,,,
34 (х.
->() во
.^.ои
■10 о:)
15 ио 1,1.74 ! 1.г-I I !'.>
1'<г, ! 2.,т ]".:■.'
у
■ > .."7 С) 7 : | > I
Г>, 81' ('мл
1-.И7 ! ,45 1.21 3.97 0.91
Й.Т<> •» _
3.:!0
50",
14Я
■ЛИ
395
У-Н
2-4! Иь> 254 247 235
1)
5 (ю 1 ооо 1 1 1 ООО 1 дао
-1 .Оч 0, ¡(7 У ¡1 1 4- 6« 0 97К 1 ! 1 е« 0
0 1! 1 ¡.по 1, т ■; ] ■! со 0
¡-и; ; 0. 0. •Л". У01-, ; 1 1 -2 ]:;.-,, 0 1) ; 1.10'* 1 7 4.4» 5 Ц.:л (> 0 11- г 1.1(13
2 но ! 0. «41 12,-2 о I ЫЧ 1 ! Ь.о 1 > Т-Ч
'> 7:, 1 0. 7! 7 .11.72 ■0 71 Г, ' 11.7:;. 1>
и 0 «Л • -14 н
; 0 012 1 0 «1! ! «.♦. И. 0 С!:!
N.45 0. * -я., о :,а.| 1 8 44 - 0 ле 1
'(..VI 0 ;,оо I - () 501 7 4'.1 0
0 (-17 ! 0 ш ; с;.« 0 4-11
>;. 0 •Г, 7 ! • ¡.п 0 +15 ' и 22 1! 415
{$ :;Ь7 ! Г>.71» 0 з»в ; 0 .75 0
.1 ,ч 0 :«ч ■'км 0 зг»; ' >)
1 »7 0 ' 0 ззо ! 1 91 0 327
1 «г. 0 310 1 ! 4 «о о 1 зо? ; !:„ п
4-1:; 0 29Г, 1 ! 4 40- 0 ил ! 1 0 ж;
I- г.| 0 27Я 4.1У 0 277 0 277
"■! 92 0 2« 1 З.эо 0 .3 0 Н ж) 0 1Й0
• > 77 0 25! 1 Га 0 .260 о 'МЭ
2.с>з 0 242 1 :}>ч 0 211 •> 0
Я г,о 0 233 | Я.4* 0 232 • 47 0 2»'
П.35 0 223 ■>.34: 0 .223 .') Я(> 0 220
3.2Н 0 2111 3.21 0 ^ .2! С '5 о-' 0 .11'»
Eau видно му таблиц испытаний железных образцов, время выдержки деформирующей нагрузки, в пределах 1 минуты не оказывает заметного увеличения деформации. Так, обстоит дело и с другими испытанными металлами, исключая свинец, олово и цинк, для которых, особенно при небольших нагрузках, разница в деформациях, при различных периодах выдержки нагрузки, является уже заметной. За отсутствием места, я ве могу превеети таблиц и диаграмм для этих металлов. Рассмотрение логарифмических диаграмм для всех металлов, указывает на то, что наиб'оллее близкими по наклону прямыми являются те. для которых время выдержки нагрузки будет равно или близко к нулю. Иначе говоря, если после достижения заданной нагрузки, мы будем сразу же разгружать образцы, то тем поставим их, в смысле сравнения хода деформааий, в одинаковые условия. Поэтому во всех дальнейших опытах, как основных, так, и подсобных время выдержки делалось равным О, поскольку это можно бцдо выполнить технически.
Основные опыты. Красная медь. 1-й комплект.
№
P. t.n
О.;,
1.0
il
U
0
1
Й
А <•>
ГУ
■8 S ]0 и 12!
13
14
15 ifi
17 :j
18 19, 20 21 22
23
24 :
С).оо 1 00 2.00 3.оо -1.00 5.оо;
6 03
7 оо й.оо;
10 on'
12.оо' 1.4 оо' 16 с«1 I В. то' 20м! 22. ш' 24.«) 90.no' 281»; 30 оо' 32 оо З4.оо|
жц
38 оэ; -10.
4 яи 4 и.'. 4 38
3 72
Яле
3.1
<> г,
2.74 V.51 2.28 2.15 2 04
1. аз 1 .ж,
1 77 .1.73 l.fifi 1.60 ].;й 1.;Л 1.4» 1.44 1 39
! .эт
1 .оио 0.970 О.язо 0.83G
0,744 0.С72 0..'22 О. :>s-î 0.
О . Г,02 0.456 0.«о 0.408 О. .т.1»
О •. 370
0.3S4 0.3«
О.ззй
(1.320 0.3. о
О. зоз O.iins O.Li-t; 0.278
О. 271
Ю.оо 9.73 O.ir, 8.i s
".on 620 о.м 5.« 1/1.7« ■t.aî
4.оо 3.67
3 46
3.20 3.0,5 2.91
2.зь 2.3i
2.2:, 2.18 2 г.
('».ООО 0.У7.»
O.sir, 0.813
0.703
О. «№ О.ьы
О. иг, 0.478
0.4JJ
0.400 0.367
0.3«
О 320 0.3.К
О. 2»1
О . 275 0.2«;; 0.254 О . 243 0.23К 0. аз1 0.225 0.218 О, 332
I 1 i
I.Voo; I 1.::. ].-'....
II.45
9 90
8.9! !
7.37
fi г,:» •>.83 Г) 41 3.10 1.50 4 зз 3 ос 3 7»
3 ;>!< Ззз 3.2s З.!6 3.00
2 9S 2 .?? 2.78
2 «ч
I .m ¡у
О. 070
O.WH
0.7УО
О .ООО
О. :,:м 0.537
0.491 О .1!« о.зда 0.30:
О 310 0.33! О , U (i О (
(I т
О i
(
0 i
1
О 4
(
.L..1.1 :!.!1.....
1
il
З.о
THTi-i
20 00 1У.З-: ] К о", 15.г,1 12 о, I!"«
10.34
9 22 S .и 7,1-,
(>.74
и ,„
5 35 5 23 ■1 *,.> î.,3 1.4Г,
•Lis' 3.07 3.M2
3.' ri 3.V 3 37
3 2Î 3.20
ООП
0 «
773 СЛ7 г,7,; .'lift -JG1 432 372 337 3' 13 277 232 213 231 223 2H'J
103 i:>; bvl 17-5
104
1 fiO
¿20 (M 24.20 22.:.ч; 1ÎM.12 15.73 i 3.70 12.22 1 ! o> 10.12^
7.82 7 (if,
<> 3»
5.!».» 5
3 is
4.02 4.70
4 .15 4.20 i o;,
3.47
3.77
3.04 ->
-'» 30
1 . ООО 0.9GS •:>! 0 . 701
О..-»; О.
0.4S!)
0.442 < I . -105 О . 3« 0.з;з 0.2SO С 253 0.233 0.31'.' О . 207 0. sois . 1Й.Ъ 0.17.4 0
О . 1«2 0.155
0.151
0.1 «ь
0.140
30 оо
36.50 22.ьо
18.55
15 01
13 оо 12 г.ч ! ¡.«i '.0;,з S 87 7.71 7.20 Ом
Н.27
5.8*
5 ю 4.92 4 74 4 г, о 4.2» 4.14 3 о а 3 ,Ч|
1 .ООО 0.9 5 0.88.4 О . 750 0.618 0.530 0.4S3 0.419
0.387 0.351 0.
О 207 0.242 0.223 0.203 0. '90 0.182 0.172. O.IGt 0.158 0.1 ЕО (! . 143
0.138 0.132 0.327
На чертеже 4 дана диаграмма деформации медных образцов в декартовой системе координат, а на черт. 5 в логарифмической. Ввиду мелкости чертежа приведены только две кривые: для «„ ----- 0.5 и а0 - - з.о Из диаграмм видно, что вместе с увеличением значепия:
1«
я».
кривы«: деформаций становятся более крутыми, т. е. более быстро подходят к линии абсцисс, которая является их общей ассимптотон. Так обстоит дело
с кривыми в декартовой системе координат, что же касается их логарифмических анаморфоз, то, как уже ранее было сказано, последние представляют из себя прямые линии; наклон этих прямых к ливии абсцисс тем больший чем большее будет значение а0.
Кривые остаточных деформаций для различных металлов и различных значений «0 для каждого отдельного металла имеют один и тот же характер, а именно: за пределом упругости начинается кривая, имеющая вогнутость по отношению к линии абгцисс, которая после некоторого, короткого участка кравой, обращается в выпуклость, по отношению к той же оси, т. е. кривая имеет некоторую точку перегиба. В логарифмической сетке анаморфированная кривая еще резче разделяется нэ два участка. За пределом упругости мы имеем первый, короткий участок ввиде кривой, обращенной к линии абсцисс вогнутостью, а вместого второго участка, обращенного к оси абсцисс выпуклостью, будет прямая линия. Участок кривой остаточных деформаций, которому с< ответствует эта прямая подавляюще велик по сравнению с первым, очень коротки?,« участком, непосредственно следующим за пределом упругости. Поэтому мы имеем ираво сьитать, что остаточные деформации, следуют закону/ который графически выражается вторым участком указанной кривой. Что же касается первого участка, то, при первом приближении, его можно отнести к, несовершенствам взятых металлов, на что, отчасти, указывает и то обстоятельство, что у некоторых металлов, как это видно из диаграмм, этот участок свидится по-тги к нулю.
Если мы рассмотрим уравнение прямой, в логарифмической сетке, при координатах Iff Р и ]gi, то будом иметь следующее:
lgl = — nlgP-j-lgA
1 или
!gPnl = lgA
или
Рп 1 = А = const.
Здесь и--абсолютная величина тангенса угла наклона прямой к линии абсцисс, и А = cc-nst — характеризуй щая металл.
Таким образ? м, в самом Ьбщем виде, зависимость между нагрузкой и длиной Д| формированного образца, носит политропический характер, причем показатель политропы является величиной переменной, зависящей, прежде всего от отношения длины обра: ца к ею диаметру, измеренных до деформации. Оставляя пока в стороне вопрос зависимости между п и а0, займемся рассмотрением общих свойств полученной диаграммы.
Прежде всего на кнжлой из логарифмических диаграмма резко бросается в глаза то обстоятельстю, что все прямые, при различных значениях а0, для одного и того же металла, пересекаются в одной точке, и что эта точка лежит на прямой, параллельной (»си абсцисс, и находящейся от нея на расстоянии — Jg 1о? иными словами г<>всря, если не обращать внимания на первый, короткий участок криной д< формации, дело обстоит так, как будто бы предел упругости нахош'пя именно в этой, общей для всех прямых, точке. Называя через — Ре то усилие, которое соответствует координате этой точки, мы найдем значение постоянной политропы, а именно: . _
Рп 1 = рс п i0 ■= а — const. •:
Назовем Рс — силой при теоретическом пределе упругости на сжатие; очевидно она будет больше той силы которая соответствует действительному или видимому пределу упругости данного металла. Если-б металл был совершенным, в механическом слысле, то остаточные деформации начались бы для образца, того же поперечного размера, только с нагрузкой, равной Рс.
Назовем через к— напряжение (среднее) в металле после деформации, которой соответств. длина = 1; через кс — предел упругости (теоретический)
на сжатие: через 1 — относительную деформацию, равную —-; через к и Г —
1о
соответственно площади поперечного сечения образца до и после деформации. Теда будем иметь: •
рп1 Рп II рп
1«
(1-1).
На основании многочисленных и обстоятельных опытов, произведенных 1у, мы имеем полное право допустить, для хорошо отлитых и прокатанных металлов, постоянство объема. Последнее может быть выражено так:
' ' Л-ГсД.
Представляя • в предидущее уравнение I' определенное из этого, имеем:
Ра |п
:{1 - 1) , к'Ч'1 --]')
Рс 11 I11
V1 V1
-; или ' *
Откуда
]<п(1 — ¡) к<:" (I --- :! ■» .
к • к с (1 — ¡) „ .
При определении работы остаточных деформаций мы пренебрегаем работой упругих 'деформаций, как величиною малой, по сравнению с первой. Вычислим работу статочных деформаций идеального металла. Необходимо заметить, кяк это видно и из диаграмм, что эта работа весьма немногим будет больше, в особенности при больших деформациях, работы несовершенного металла.
г 1 1 /Ч ,|] .• 11 .1 п — 1! 1
Тс 1= / Р(Л Р, '
<] к
и — 1
к
п -— 3
Рс к
о 1 1 -"¿~ п_ 1
к и
П 1
с 1о (! '
п 1 П — 1
11 ---к п
11 ■ 1 к и
*<и»бще говоря п < 1, поэтому, хотя I ](„ работа будет положительной. . Иначе, п ютому можно написать:
к,-
"""""".....ь. « •
(1 - I)
к
1 к 1
Тс
ц
п — 1
IV I Ч
1 с 1() ------------
1 и
П
1 — 11
Ч: ¡о
Ь - п
1 - п (1 — 0 "к
Или. если выразить работу через напряжение:
Тс = - " - Рс 1„
1—11 кс
Деля и умножая правую часть на и имея:
могучим:
Тс = —í—y0(fc—ке).
1 — П
Т. е. работ остаточных деформаций будет прямо пропорционально объему деформирующегося образца, что вполне совпадает с законом Barba и Kick'a.
Определение теоретического предела упругости для различных
металлов.
Логарифмическая диаграмма показывает, наглядно, правильное возрастание теоретического прешла упругости вместе с возрастанием значения Модуля Юнга.
Уже простое определение, из графика, значение Рс, а по нему и нахождение, кс, как
даешь линейную зависимость межда Модулем Юнга и теоретическим пределом упругости для испытуемых металлов. Для более точного и надежного результата, я воспользовался способом наименьших квадратов дла определения значений Рс, по которым были вычислены соответств ющие кс. Необходимым оставалось определение Модуля Юнга для тех же металлов. Последнее определение было сделано гораздо позже основных опытов. Ниже приводится таблица наблюдений по определению Модулей из растяжения. Образцы, взятые для этого имели все одинаковый размер:
Д = 10.оо тт.; 1=110 тт.
Упругая деформация измерялась зеркальным прибором Мартенса, с длиною щечек (расчетной): ]0 = 50.оо шт расстояние, во всех случаях, От зеркала до шкалы, было: Ь = оООО тт., диаганал/. призмы: % = 4 тт.
Нижеприведенная танлица представляет из себя общую сводку по определению Модулей Юнга для различных металлоа и вычисленных, способом наименьших квадратов значений соотвеютвующнх Рс и ко-
■Диаграмма (черт 6) показывает, что между- ко и К имеется прямая линейная зависимость, наибольшее расхождение с прямой дают точки, найденные для бронзы и латуни, но так как последи' е суть сплавы, а не чистые металлы, то, даже такое, выпадение точек из прямой, не является наруше нием общей закономерности связи Е и кс.
. ко
Л» ! Металл. Рс kg. líe kg ,mm.2 E kg. ram.-
1 4680 ¿9.7 22"'00 0.У0269
2 Железо........ 4260 51.3 20500 0,00265
3 Бронза ........ 2935 37.4 13300 0.00281. _
i 25 i 5 32.4 11700 . 0.00277
5 Красная медь .. 2025 25.8 9710 0.00266
6 Алюминий .... И50 18.5 6860- 0.00270
7 Цинк........ 17U0 22 8 8680 0.00263
8 Олово ......... 835 10.6 8i)70 0.00267
0' Свинец ........ 105 1.34 500 0.00268
Коэффициент прошрцианалышсти в зависимости:
• кс = |3с Е
является постоянным для всех пластических металлов и в среднем, еели исключить его значение для бронзы и латуви, будет равен:
8с 0.00207 ^ .
" 375
Таким образом, как и при деформации упругой, Модуль Юнга я здесь, при деформации остаточной будет равноправной характеристикой материала. Каков же физический смысл коэффициента [Зс? Так как он дает связь между модулем упругости 1-го рода и напряжением металла при теоретическом пределе упругости, то, ясно, что мы можем найти его смысл, если будем рассматривать деформацию перед теоретическим пределом упругости, в близи последнего. Закон Гука пишется так:
к ----- Е. i .
где з — относительная деформация. Здесь найдена зависимость:
кс —- Е. .
Значит £Íc — будет той упругой относительной деформапией при сжатии идеального металла, при которой качнуться уже остаточные деформации; иначе говоря пластический металл нельзя сжать по длине более чем на 0.267% бен того, чтобы не начались остаточные деформации. Все это относится, конечно, к металлу, который находится в своем «естественном» состоянии, т. е., не обладающему остаточными вапряжениями.
Показатель политропы и относительные размеры образца.
Pía к уже было видно из предыдущего, показатель политропы увеличивается вместе с увеличением отношения длины образца к его диаметру. Это увеличение у различных металлов идет не одинаково быстро. У большинства металлов до значения:
oto — 2.о
увеличение п идет очень быстро, а затем затухая, в пределах опыта, остается величиной близкой к
— з ' - ♦
Проведя свои основные опыты, я, при докладах указывал на значение пока-2
зателя = — как на то, к которому вероятно этот показатель стремится при 3
безконечно большом а0. Дальнейшие опыты по определению зависимости между а0 и п показали, что при еще большем увеличении а0, показатель, хотя очень медленно, но возрастает.
Для того, чтобы можно было сжать образцы, имеющие <*0 > 3, мною был сделан простой приборчик, указанный на (черт. 7). Он представляет из себя точеный чугунный цилиндр, с железным днищем, на которое, в паз, ставится закаленная плитка.
В продольное отверстие, сверху, входит стальной закаленный стержень. Нижний торец стержня и верхний торец плитки были мн< ю притерты д! уг к другу, на станке, с карборундумом № 00000. Таким образом, теперь при
плотно ходящем, в отверстии цилиндра, стержне и пришлифованных друг к другу поверхностях, можно было ручаться, что хорошо приготовленный образец, будучи поставлен на плитку и найсат сверху стержнем, не будет так легко перекашивайся, как. это имеет даесто при непосредственной установке его на стол испытательной машины. Опыт оправдал надежды, но, даже при приборе, тщательно выполненном образцы с а0 > 4.2 сжать без искривления не удавалось.
При обработке результатов опытов оказалось, что при крайнем высшем, значении я0 = 4.2 уже возможно уловить некоторую графо-аналитическую связь между п и а0.
Все испытуемые образцы имели начальный (до деформации) диаметр: я0 = 6.оо тт. Переход к меньшим образцам вызван необходимостью помещения образца в приборе, при максимальной ею деформации.
Длины образцов и, соответствующие им, а0 были:
л» I ]„ = 1 -м ПП11. = 0.2 Л» 8 1о = 9.во тт. <х0 = 1.8 № 15 1о 18.00 Ш1И. V, = О. II
> "I 2.40 > > = 0 4 Л» <) 7> = 10.80 > 5 = 1.8 Л» 16 » = 19.20 > > = 3.2
Л2 - > л 3 1!0 3 » Л» 10 > = 12.оо » = 2.0 № 17 > = 20.40 » >
Л» •1 •1.30 •> > = 0.Н Л« 11 » = 13.20 » > = 2.» № 18 > - 21,«о > ? = 3..;
Л» 5 > ~ 6.00 , > >• = 1.0 № 12 = 14.40 > » = 2.4 X» 19 г = 22.80 > > = З.ъ
№ п 1 .20 > = 1.2 Л? 13 » = 15.60 > > = 2.в Л® 20 > = 24.оо > = 2 о
.V' г* / 8 40 > » = 1.4 Л» 11 > = 16.80 г > = 28 Л» 01 г = 25 20 > > —- 2.з
Ниже приводятся графики только для железа, красной меди и алюминия.
Алюминий.
«0 п а0 п
| О.о О.ооо 2.2 О.вбб 1
0.2 0. зю 2.4 0.700.|
0.4 0.392 2.6 0.708 1
' О.о 0.451 2.8 0.715 '
0.8 0 .497 З.о 0.717 ;
10 0.539 8.2 0.730 1
I 1.2 0.570 3.4 0.734 5
1.4 0.596 з.б 0.748 ;
1.6 0.622 3.8 О.702
1.8 0.638 4.0 0.767
1 2.о 1 1 0.669 4.2 0 .775
Диаграммы показывают, что прямой зависимости между Е и п нет; так, привал для.алюминия, именщею Медуль Юнга меньший ¡¡ежели медь, лежит между кривой для железа и меди. Эю обстоятельство можно объяснить раз--
личными коэффициентами трения для этих металлов, от наличия которого в большей или меньшей степени и зависит нак.юя логарифмических прямых деформации, а значит и величина'показателя п, при различных а0. На величину показателя п влияет еще одно обстоятельство—это величина интервала нагрузки, чем интервал, через который мы увеличиваем нагрузку будет меньше, тем больше будет величина показателя п. Это весьма понятно; чем меньший будет интервал нагрузки тем менее буает сказываться, искажающее основную деформацию сжатия, влияние силы трения на торцах образца, а значит на ту же величину нагрузки, мы будом иметь большую деформацию. Не смотря на все эти обстоятельства, мешающие, или даже не дающие возможности, получить надежной и постоянной зависимости:
n = fía0)
где бы были вполне определенными все параметрические коэффициенты кривой, при рассмотрении ее, ясно видно, что кривая асеимптомическая.
Для проверки этого я применил графический метод, позволяющий приближенно найти ее ассичптому.
На диаграмме, через начало координат и каждую точку кривой проведены лучи до прямой:
11 — 1 . ООО
от точки пересеченияи-луча с этой прямой отложен вниз, по лучу отрезок прямой, равный, растению этой точки о г центра лучей. Таким образом получены все точки, отмеченные маленькими кружками.
Совокупность их дает, примерно, прямую, проходящую через точку, с координатами:
ti — ~ 1 .ооо; oto = 0.о
Это и будет параметрическая прямая нашей кривой. Здесь на диаграмме показан окончательный результат графического подбора ассимптомы, которая имеет уравнение:
11 = 1 .000.
При нахождении же ее в действительности приходилось брать несколько прямых, параллельных полученной ассимптоме; во всех тех случаях точки полученные для параметрической прямой, на прямую не укладываются, а дают некоторые, зачастую сложны открытые и замкнутые кривые.
Для всех металлов, не смотря на различный наклон параметрических прямых, найдена общая ассимптома:
11 = 1.000,
т. е. в пределе, когда образец будет иметь относительные геометрические размеры:
а0 = 7°- = оо. d0
Политропа сжатия за пределом упругости превращается в гиперболу, отнесенную к осям: Р и 1. как к ассиматомам. Конечно при а0=со мы можем считать, что трение на торцах никакого влияния на ход остаточной деформации оказывать не будет.
Вторая, приведенная здесь диаграмма построена при тех же нанесенных опытных точках уже по параметрическим прямым, наклон которых найден способом наименьших квачратов при применении формулы для этой кривой: (см. чертеж)
у (а х -j~ 1) у) а2 х
в осях Р; ];
в осях Р. (1—г i).
желти.готического их при-
здесь
у 1: а = 10; в осях |
х г= Р ; Ъ = параметр прямой j
у — (1 — i) ; а =: 1.000 ; в осях |
х — Р; Ъ — параметр прямой j
Полное согласование кривых: n — f (a0Y в смысле ближешя к общей прямой однако меня не удовлетворило. Желательным казаг дось сделать такой дополнительный опыт, который подтвердил бы стремление показателя политропы, при отсутствии трения на торцах образца, приблизиться к единице,
Было вначале сделано несколько опытов с образцами, у которых торцы были перед каждым приложением нагрузки смазывающим веществом.
Мною последовательно были перепробованы различной вязкости смазки: параффин, тавот, вазелин, касторовое мяс.ио, олеочифт .и керосин. При применении смазки, показатель политропы повышался, по сравнению с таковым же для несмазанных образцов, и повышался тем более, чем гуще была смазка, (для парафина — шах). Это было естественно: чем гуще и вязче смазка, тем менее выдавливается она из пол образна. Применив, наконец, свинец ввиде смазки торцов для образцов из твердых металлов, я получил еще большее увеличение показателя кривой, но все. таки ом вебы л равным единицы. Тогда я решил воспользоваться для смазки самим л?е~жтгь1туемьш металлом. Из алюминия, красной меди и железа были выполнены образцы, указанные, в натуральную велпчияу на чертеже 9.
Сам испытуемый образец представлял из себя цилиндрик с d =10.оо тш. от которого тли конические головчи,' с диаметром конуса при основании D — ЗО.оо тш. Из каждого металла'было изготовлено по 3 образца, с размером цилиндрической части:
30~-Ю.оошш.; ]Q —.20.ооппп. и 1;) — ЗО.ооппп. Сделаны такие конические придатки были в том расчете, что, постепенно, за переходом через предел упругости, материала цииигпрической части, будут переходить, за предел упругости, части к >ну,еов ближайшие к, цилиндрику и таким образом, радиональиой поперечной силы не будет или, если она и будет, то незначительна по величине. Конусы сделаны относительно тупыми. Это крайне необходимо, как показала моя .работа со смятием металлов, чтобы напряжения в конусе, в той части, где он соприкасается с цилиндриком, не сильно отличалась от напряжений в самом цилиндрике. Измерение длины производилось при помощи катетометра liOhme, с точностью до O.oi mm. Расчетной длиной считалось расстоянье между конусами.
Металл.
II
! Железо
Красная медь .
Адюдгнняк ....
II и
«0 1L среднее для ' среднее из
кажд* металла средних.
, 1, 0 .983
1 ,030 1 .002 с
) 3.« 0.904
| '■» 0.907
„ 0. 9Й9 1 . Ü(i2 1 .004
J И.и 1.021
) 0.995
1 2.о 1 .004 1.907
J З.о 1 .012
Как видно из последней таблицы, представляющей сводку всех, опытов с цилиндриками, имеющими конические придатки, показательно политропы, становится равным единицы, если обеспечено отсутствие силы трении на торцах. Итак, при отсутствии сил трения, зависимость между силой и остаточной деформацией сжатия, ей производимой, гиперболическая. Пишем:
Р] = Рс16 или Р<1 — Г) -- Рс .
Отсюда вытекает условие:
k—кс,
т. е. постоянство напряжения при любой величине остаточной деформации. Величина работы деформации будет:
Тс = Рс 10 lg = -- v„ кс lg ——.
1 1 — i
Объемная удельная работа будет:
Т ■ 1
Тс Т = (X ) = • кс lg--— .
У0 1—1
При деформации упругой объемная удельная работа зависит от напряжения, которое мы вызвали в материале:
Здесь же при постоянстве напряжения, работа зависит от относительной деформации; вместе с возрастанием величины i—увеличивается и затраченная работа.
Такие пластические металлы, как алюминий, свинец, олово, красная медь,, железо — дают возможность производить деформацию их в самых широ- .1 ких пределах. Даже возможно утверждать, что практически, разрушить их от сжатия нельзя. С другой стороны выражение для работы, по политропе или по гиперболе, все равно, дает дла значений i, близких к единице, величину бесконечно—большую. Очевидно металл, даже и весьма пластический возможно деформировать только до некоторого предела. Таким пределом будет очевидно тот момент, когда, хоть в одной, какой-либо малой части образца. будет находиться, на единицу объема, количество работы, которое дает переход для твердого тела в другую фазу, иными словами говоря эквивалентное полной теплоте плавания этого металла (опять таки из расчета на 1 единицу объема). Желая определить деформацию металла при которой получается работа, равная полной теплоте плавления его, я обратился к литературе по этому вопросу, «но, к сожалению нашел только у Persona' (Ann. Chim. et Phis), предложенную им для металлов формулу:
Где А ~ const, q — коэффициент упругости и s — плотность металла, р — скры- 1 тая теплота плавленая его.
Воспользовавшись капитальным трудом Joseph W. Richards «Metallurgische Btrethnung» 1913 г., & путем подстановки соответствующих тес-лот, коэффициентов упругости и плотностей,
попытался проверить ее, но пришел к неутешительным ре ■ультатам: формула не оправдывалась. На таксе же несовпадение данных опыта при подстановке их в другую формулу Person'a, предложенную им д.ля органических соединений, указывает О. Д. Хводьсон в своем курсе физики.
Ввиду обстоятельств такого рода я решил обработать те данные; которые приводятся у Richards'a. Я взял приведенные в его труде полные теп-юты плавления металлов, отнесенные к 1 kg. Теплоты плавления были вычи-«левы по таблицам, с итая полную теплоту плавления металла от абсолютного нуля. Конечно, ввиду невозможности иметь точного закона изменения теп-доемкостей при низких температурах, пришлось перечислять теплош по тем зависимостям которые даны для температур выше .дуля. Поэтому претендовать на точное вычисление теплот не приходится. С другой стороны теплота потребная для нагревания металлов, при сравнительно небольших теплоемко-стях последних, относительно высоких температурах плавления и больших величинах скрытых теплот плавления, невелика. Для модулей Юнга мною были взяты средние округленные цифры, взятые у Хвольсона (Курс физики), Нерлова (Курс деталей машин) и Мог1еу\я (Strength of Materials).
Ниже приводятся таблица и диаграмма, дающие связь между Модулем Юнга, плотностью металла и его полной теплотой плавления, вычисленной от абсолютного нуля.
Таблица имеет колопки: Е —Модуль Юнга в kg./mm.210i!: о —плотность металла в kg./dm.3;
г — полная удельная (весовая) теплота плавления в Oal./kg.: <1 — полная удельная (объемная) теплота плавления в Cal./mm.; В — коэффициент пропорциональности для полученной прямой в Cal./kgm, Диаграмма имеет осью абсцисс Е в kg /mm.2; И осью ординат q в C&I./dmA
Метала. j Ё Ю.з 1 0 * Ч В
Свинец .... 1.0 11 40 22.3 254 1.62
Олово ..... 4.0 6 97 40.2 280 0.70
Алюманий . 0 0 •j 60 315 SS8 1.36
Серебро.... 7.0 10 53 104 1094 1.56
Меця...... 10.0 8 92 ' 184 1836 1.64
Платина .. . хь.о 21 50 111 2890 1.59
Железо .... 20.0 7 86 881 2990 1.49
Никкель ... 22.0 8 92 -382 3300 1.53
•
Как, вксно из диаграммы, мы получаем линейную зависимость между ч и Е. Большое отступление от общей закономерности дает олово. Эта прямая будет выражаться так:
а = в к
с
Коэффициент -пропорциональности Б — вычислен для каждого металла и колебание его сравнительно не велики, если принять во внимание, что он получен не из непосредственного опыта, а вычислен по средним значениям теплот я Модуле! Юнга.
Так как улёдьнад объемная, теплота плавления металла .будет:
q = г о
то мм можем написать зависимость в другом виде:
__5„ — ß Ü
Механическая работа эквивалентная полной теплоте плавления будет:
т ... Ч
где А — термический эквивалент механической энергии, или:
BE
I ii::— — .
■ А
Коэффициент пропорциональности В имеет также размерность термического эквивалента механической энергия.
Если выключить значение В для олова, как резко отличающееся O'j s на-чений В для всех остальных приведенных металлов, то получается дря него среднее значение:
В — 1.55 х ю4. — П.000П5 Cal./kgm.
Взяв для А
№ А — —— =0.оо2з t Cal./kgr.
427
Имеем:
т а т-г е r^ е I q — O.Ofitiü Е —-------^Р-------------.
15.07 " ~ 15 т3
Таким образом, мы видим, поскольку это дают нам такие приближенные подсчеты, Модуль Юнга является мерилом полной тлиоти плавления, считая последнюю от абсолютного нуля. Модуль Юега сам изменяется с температурой и поэтому коэффициент В — есть также функция температуры, если мы будем считать Е = const при обычных условиях (температурных') его определения (15°— 20° С).
Таким образом, для получения жидкого металла необходимо чтобы он поглотил работу:
Е kgm.
•I
Т„ •• ■
3
15 ш:
Попробуем сравнить металл расплавляемый с металлом деформируемым пластически.
Для этого необходимо приравнять удельную объемную работу при деформации его — работе плавления (объемной удельной), за вычетом из последней работы эквивалентной теплоте, которой обладает металл при условиях опыта. Последняя работа, назовем ее Т0, составляет для всех металлов, приблизительно 25°/о от полной работы плавления, исчисленной от абсолютного нуля. Итак:
Тс = Т<! — То СО — Та .
4
Возьмем работу Тс для образна, имеющего:
а0 = со
Который требует при деформации минимальной удельной, работы,
1 3 т 3 Е Е
К статье Г. В. Трапезникова; „Законы остаточных деФормасий ([- < жатие ^
К статье Г В. Трапезникова; „Законы остаточных деформаций (1—сжатие.).*
У
К статье Г. В. Трапезникова. „Законы остаточных деформаций <1~ сжатие1
оооо
10000
20000
К статье Г. В. Трапезникова: „Законы остаточных деформаций ([-сжатие)."
А
Е
но кс -—, поэтому:
375
, 1 375
J¿r------------— _____ — ige7ñ
' 1—i 20
1
1 —i
или
5.025. 1018
Í=l —1.78.10 —19 т. е. практически, относительная деформация равна 1.
Резюме.
1. Связь между нагрузкой или напряжением, с одной стороны, и абсолютной или относительной деформацией с другой, при пластическом сжатии, выражается политропой:
1-п
_ •
п
Pn 1 = Рс1110 = const. и k (1—i) = kc.
2. Показатель политропы является функцией свойств металла и относительных размеров образца
на-
3. При отсутствии трения на торцах образца или при бесконечно большом ос0, политропа превращается в гиперболу.
4. Вводится новое понятие: теоретический предел упругости, общий образцам того же металла, но различных геометрических размеров.
о. Теоретический предел упругости линейно связан с Модулем Юнга металла:
кс = рс Е.
Для всех испытанных металлов коэффициент (Зс один и тот же:
fe = -1-.
375
(i. Модуль Юнга линейно связан с полной теплотой плавления металла,
q^BE
где В общий всем металлам коэффициент
В O.oooiñó Cal./kgm. Механическая работа плавления связана с Модулем Юнга:
Е •
Tq = -----kgm./m3. 15
