CC BY
36
Закономерности процессов накопления повреждений и условия перехода к локализованному разрушению зернистых композитов при квазистатическом нагружении
А.В.Зайцев
Пермский государственный технический университет, Пермь, 614990, Россия
Описана смена механизмов и масштабных уровней преимущественного накопления структурных повреждений для различных режимов монотонного и немонотонного макродеформирования зернистых композитов. Сформулированы нелокальные условия перехода к локализованному разрушению при трехосном квазистатическом пропорциональном и непропорциональном нагружении.
Regularities of damage accumulation processes and conditions of transition to localized failure of grain composites under quasi-static loading
A.V. Zaitsev
Perm State Technical University, Perm, 614990, Russia Changing of the mechanisms and scale levels of predominant structural damage accumulation in granular composites for various monotone and non-monotone macrohomogeneous strain modes have been described. Non-local conditions of transition to localized failure under triaxial quasi-static proportional and non-proportional loading have been formulated.
1. Введение
Исследование процессов неупругого деформирования и разрушения композитов связано с необходимостью развития моделей механики для корректного описания закономерностей поведения повреждаемых структурно-неоднородных материалов в элементах конструкций. Кроме того, существует потребность в усовершенствовании методик прочностного анализа, учитывающих реальные условия нагружения, эволюцию, характер коллективного взаимодействия в системе дефектов, определяющих момент макроразрушения, как результат потери устойчивости процесса накопления повреждений. Без понимания закономерностей и механизмов, без оценки устойчивости процессов накопления повреждений, без определения условий начала локализации макроразрушение композитов останется скрытым и слабо предсказуемым явлением эволюции внутренней структуры материала.
2. Краевая задача
Рассмотрим неоднородное тело Й с изотропными склерономными компонентами, не изменяющими в процессе деформирования и накопления повреждений геометрию, взаимное расположение и тип упругой симмет-
рии, которое до приложения нагрузки находится в естественном недеформированном состоянии. Будем считать, что на границах контакта элементов структуры имеет место идеальное сопряжение, т.е. обеспечиваются условия непрерывности напряжений [Сту (г)п у (г)]- = = [СТу- (г)пу (г)]+ и перемещений [и (г)]-= [и (г)]+. Квазистатическое пошаговое нагружение тела Й описывается замкнутой системой дифференциальных уравнений в инкрементальной форме [1]:
, у(г) = °,
(г) = V2 № I, у(г) + (г)],
Vг ЕЙ, (1)
йЪу(г) = К,(г) &кк (г) Ьу + 2О,(г)^у (г) (2)
К '(г) = К (г){1 -£ к[уЕ(1)(г), /Р>(г)]>,
О'(г) = О(г){1 -£ g[j®(г), /<2)(г)]}.
Здесь dëу- = deг/• -1/3 dгik Ьу; du(r), do(r) и de(r) — приращения перемещений, напряжений и деформаций, которые являются случайными функциями пространственной координаты г; К (г) и О(г) — упругие модули объемного сжатия и сдвига; £ = 0 при разгрузке, а также нагружении до предела упругости, £ = 1 — при активном нагружении.
© Зайцев А.В., 2004
Входящие в определяющие соотношения (2) независимые материальные функции
і°, л;2)(г) < л; ц,
g=■
і (2)
1 Л(2)(г ) > л
[0, Л2) (г) < лі2Г ] V [лє(2) (г) > лі2Г Л лі1 (г) < 0],
її, лі2)(г) >лі2 Лле(1)(г) >о,
(2)
К = ■
(3)
аргументами которых являются независимые инварианты тензора структурных деформаций Л;(1)(г) = ;кк (г) и Л;(2)(г) = ^ іу (г)іл (г) , принимают свои предельные значения 0 или 1 при выполнении условий в форме неравенств, скачкообразно изменяют деформационные характеристики, позволяют учесть состояния полной или частичной потери несущей способности элементом структуры [1-3]. В зависимости от вида напряженно-деформированного состояния неравенства (3) позволяют учесть реализацию различных механизмов потери несущей способности от формоизменения при выполнении условия Лі2) (г) > ЛІ ст (г), где ліст (г) — прочностные постоянные. Полное разрушение элемента структуры имеет место при Лі1) (г) > 0, а сохранение способности сопротивляться только гидростатическому сжатию — в случае ЛІ1) (г) < 0.
Реальному повреждаемому неоднородному материалу поставим в соответствие макрооднородную сплошную среду с эффективными макросвойствами. Выделим в этой среде представительный объем й ЕГО, состояние которого будет характеризоваться тензорами макронапряжений я * и макродеформаций £*:
» 1 г
| СТу (г) ¿й,
тез йКЮ й
й Я
1
тез йКЮ й
} і у (г) ¿й.
(4)
Сопротивление элементарных макрообъемов внешнему воздействию определяет связь приращений макронапряжений * и макродеформаций 4е*:
da¡. = Х*к (г*, х(а)) dek^, (5)
где Щк1 — материальные функции, отражающие эффективные свойства неоднородного материала; х(а) — параметры, определяющие историю макродеформирования. Постулируя макроизотропность, отсутствие деформационной анизотропии в процессе накопления повреждений и предполагая неизменность структуры уравнений (2) на макроуровне, представим определяющие соотношения для представительного объема в инвариантной форме [1]:
/ = 3К*[1 - £ к* (, /(2) , х(а))] /,
/<2) = 2О *[1 -£g /е(2), X(а))] /(2). (6)
Здесь К * и О* — эффективные упругие модули; и — независимые инварианты тензоров макрона-
пряжений о * и макродеформаций г*. Вследствие постулируемой макроскопической однородности материала представительные объемы, выделенные вокруг любой пары точек, имеют одинаковые эффективные свойства.
Для описания реальных условий нагружения и учета факторов, определяющих макроразрушение, будем использовать граничные условия контактного типа, которые содержат информацию о свойствах нагружающей системы [4]. Для представительного объема структурнонеоднородной среды, находящегося в макрооднородном напряженно-деформированном состоянии, эти условия могут быть представлены следующим образом [2]:
[¿стл п у (г) + Я л (г) ¿и у (г)] ^ ^ ^ (г),
Эй
(7)
[¿Лл + Qіл (г) ук (г) пк (г)] | Эй = ¿и0(г)-Здесь dS0 (г) и ¿и0 (г) — усилия и перемещения, заданные вне зависимости от деформации или сопротивления в каждой точке г є Эй поверхности деформируемого тела с нормалью п(г), а R(r) и Q(r) — коэффициенты жесткости и податливости нагружающей системы.
Равновесное развитие процесса структурного разрушения возможно только в особых условиях, определяемых жесткостью нагружающей системы [5]:
8стЛ 8;Л- тез й
+
у у
+ £я(т)Цкг£п)Кг(п)ЭЙ« > 0, (8)
т =1
где За* и §£* — кинематически допустимые вариации макронапряжений и макродеформаций; Я (т) — однородно распределенные на поверхности ЭйЯго коэффициенты жесткости, индекс т относится к грани представительного объема ЙЯго зернистого композита (занимающего область в виде куба) с нормалью пт и площадью дйЯШЬ • Невыполнение интегрального условия устойчивости (8) свидетельствует о макроразрушении.
Авторы [2] впервые разработали способ учета граничных условий контактного типа (7) при численном решении краевых задач (1), (2) методом конечных элементов. Удовлетворение этих граничных условий связано с внесением коэффициентов жесткости или податливости в матрицу узлового ансамбля дискретизованного тела. Заменяя неравенство (8) дискретным аналогом, можно показать, что устойчивому накоплению повреждений соответствует положительно определенная матрица узлового ансамбля.
3. Использование технологии разреженных матриц при численном решении краевых задач методом конечных элементов
Один из самых важных этапов при реализации метода конечных элементов — решение системы линейных
;Л =
алгебраических уравнений большого порядка, матрица которой имеет высокую степень разреженности (рис. 1, а).
Результаты теоретических исследований и вычислительной практики позволили разработать эффективные алгоритмы и методы решения больших разреженных систем уравнений [6, 7]. Свойства симметрии и положительной определенности, которые гарантируются в случае исключения мод движения дискретизованного тела как абсолютно жесткого и выполнения интегральных условий устойчивости (8), предопределяют необходимость использования метода Холецкого при решении систем линейных алгебраических уравнений.
Общее время решения нелинейных краевых задач значительно сокращается даже при сравнительно небольшом повышении эффективности решения линеаризованной системы уравнений на отдельной итерации. В качестве показателей сравнения вычислительных затрат можно рассматривать требования к памяти (основной, содержащей числовые значения, и вспомогательной, необходимой для хранения информации, облегчающей доступ к соответствующим числовым значениям) и времени на этапах упорядочения исходной матрицы, разложения и решения треугольной системы. Распределение памяти существенным образом зависит от способа упорядочения и схемы хранения данных, а число мультипликативных операций (арифметических операций с плавающей точкой) предопределяется не только структурой данных, но и архитектурой процессора, типом компилятора и операционной системы.
В работах [6, 7] отмечено, что метод вложенных сечений и алгоритм минимальной степени оказываются эффективными и широко используются при решении линейных пространственных задач большой размерности. Эти методы имеют похожие принципы упорядочения исходной системы (рис. 1, б и в) и предусматривают символическое разложение на этапе факторизации, что позволяет значительно сократить затраты при необходимости решения большого числа систем уравнений, матрицы которых имеют одну и ту же структуру ненулевых элементов. Подобная ситуация характерна для эволюционных задач, когда исследуется механическое поведение материала в процессе пошагового нагружения или с течением времени.
Метод вложенных сечений и алгоритм минимальной степени позволяют обеспечить внесение наименьшего числа ненулевых элементов в множитель Холецкого на каждом шаге прямого хода и, как следствие, снизить количество мультипликативных операций на этапе решения. Проведем сравнение аппаратных и программных затрат реализации этих методов на примере решения тестовых пространственных задач на 1ВМ-совместимом персональном компьютере с процессором АШоп-2500 ХР для различных схем дискретизации кубической области.
Представленные в табл. 1 и 2 результаты расчетов для регулярных пространственных сеток тетраэдральных симплекс-элементов свидетельствуют, что даже для небольших систем (1 029 и 1 536 уравнений) метод вложенных сечений по сравнению с алгоритмом минималь-
Рис. 1. Структура ненулевых элементов исходной (а) и переупорядоченной матрицы: с использованием метода вложенных сечений (б) и алгоритма минимальной степени (в) для системы из 1029 уравнений
Таблица 1
Сравнение аппаратных и программных затрат метода вложенных сечений по отношению к алгоритму минимальной степени
Число уравнений Ширина ленты Относительные затраты основной (числитель) и вспомогательной (знаменатель) памяти на различных этапах Число операций*
Упорядочение** Разложение*** Решение
375 93 1.000/0.529 1.000/0.976 1.077/0.911 1.091
648 129 1.000/0.527 1.000/1.026 1.207/1.065 1.476
1029 171 1.000/0.528 1.000/0.982 0.965/0.956 0.893
1536 219 1.000/0.508 1.000/0.997 0.882/0.992 0.686
2187 273 1.000/0.524 1.000/1.003 0.948/1.007 0.868
3000 333 1.000/0.523 1.000/0.992 0.943/0.979 0.844
3993 399 1.000/0.514 1.000/0.996 0.839/0.988 0.661
Примечание: * — число мультипликативных операций с плавающей точкой; ** — без учета формирования верхнего связного списка; *** — с учетом формирования компактной схемы Шермана [6]
ной степени показывает преимущество как по требуемой памяти и, что особенно важно, времени факторизации, так и по количеству мультипликативных операций. Обращают на себя внимание значительные временные затраты на построение переупорядоченной системы. Однако в случае многократного решения задачи с неизменной структурой матрицы игнорирование затрат начального этапа определения упорядочения исходной матрицы и выбора схемы хранения оказывается оправданным, поскольку наиболее трудоемкими этапами являются разложение и решение треугольной системы. Для рассмотренных систем метод вложенных сечений приводит к меньшим затратам не только требуемой памяти, но и общего времени решения. Таким образом, основной недостаток алгоритма минимальной степени (невозможность определения объема необходимой памяти на этапе формирования множителя Холецкого) может быть устранен благодаря применению метода вло-
женных сечений при численном решении пространственных задач неупругого деформирования и разрушения композитов.
4. Выбор шага квазистатического нагружения
Пусть задана траектория деформирования в шестимерном пространстве деформаций. Представим эту траекторию в виде и-звенной ломаной. Если каждую узловую точку траектории отождествлять с началом координат вспомогательной системы, то соответствующие линейные участки на траектории относительно новой точки отсчета можно рассматривать для повреждаемого материала с упругохрупкими компонентами как этапы пропорционального нагружения с некоторыми дополнительными деформациями. Эти дополнительные деформации (определяются историей нагружения материала) будем называть отсчетными.
Таблица 2
Временные затраты на реализацию метода вложенных сечений по отношению к алгоритму минимальной степени
Число уравнений Относительные временные затраты на различных этапах Суммарные затраты
Упорядочение* Разложение** Решение
375 0.282 1.000 1.051 1.067
648 0.083 0.964 1.392 1.028
1029 0.154 1.000 0.879 0.731
1536 0.176 1.060 0.669 0.688
2187 0.158 0.824 0.814 0.739
3000 0.160 0.881 0.760 0.716
3993 0.149 0.841 0.624 0.590
Примечание: * — без учета формирования верхнего связного списка, ** — с учетом формирования компактной схемы Шермана [6]
Представим значения компонент тензора текущих деформаций £(г) элементов структуры следующим образом:
еij(r) = 4(r) + П [е'(г) -е 0 (г)], где £0(г) и £'(г) — отсчетны1е деформации, определяемые узлом траектории (при n = 0), и деформации, задаваемые конечной точкой линейного участка траектории (звена ломаной), а П — параметр, принимающий значения в интервале от 0 (если £(г) = £ (г)) до 1 (если £(г) = £'(г)). В случае пропорционального деформирования etj (г) = 0, а текущие значения е^ (г) определяются равенством е j (г) = n ej (г).
Рассмотрим итерационную процедуру автоматического выбора шага квазистатического нагружения композита с упругохрупкими элементами структуры, позволяющую привести к частичной потере или восстановлению несущей способности минимально возможное число элементов структуры. Пусть ц(/) > 0 — параметр процесса, задающий траекторию макродеформирования
Де*« =е0 * + ^(Z)(ei; -ej *),
определенный на l-м шаге. Осуществим пробный шаг из очередного равновесного состояния зернистого композита, увеличивая на малую, наперед заданную величину, компоненты тензора макродеформаций. Выделим внутри представительного объема QRVD зернистого композита область поврежденного материала Q.d с QRVD. Из решения краевой задачи для каждого k-го неповрежденного элемента структуры, принадлежащего множеству Qrvd \ Q.d, определим
е'(г) =[Де а(г) - 4(г)+h(k Ц (г)]/ n(f),
приращения Де^ и значение параметра pf из условия pf = min n(f), (9)
RVD \^D
которое содержит величины n(f), являющиеся наименьшими положительными корнями уравнений
j?!k (г) = ,/'е2) f (г) = {A[n(f)]2 + B n(f) + С}12, A = [е' (г)-е0 (г)][е^- (г)-е0 (г)],
B = 2е0- (г)[е;. (г) -е0 (г)],
С = е0 (г)е0 (г).
Здесь jCrf (г) — прочностная постоянная k-го неповрежденного элемента структуры; е°- = е°- -1/3 е^Sj и
ег>' = 4 - V3 е'кк Sij •
Эволюция структурных повреждений зернистого композита сопровождается интенсивными процессами перераспределения напряжений. Можно предположить, что в ходе пошагового нагружения часть элементов, разрушенных ранее от сдвига и принадлежащих множеству Qd , окажется способна восстановить утраченное ранее
сопротивление объемоизменению. Поэтому в случае выполнения одного из неравенств
.Є1 1 (r) < 0 л А1 (r) > 0 или
jV 1 (r) > 0 л А № 1 (r) < 0 для i-го элемента из множества Q.D, свидетельствующих о возможности смены типа напряженно-деформированного состояния поврежденного элемента структуры в результате продолжения активного нагружения, необходимо также определить параметр р2 из условия:
р2 = mjf (r) | АУі)к(r)| \
7'®(r) = е кк(r) = ekk(r) + ^[ekk(r) - 4(r)]-
Здесь f^) k(r) — достигнутое на l-м шаге активного нагружения значение первого инварианта тензора структурных деформаций, а А (r) — изменение со-
ответствующей величины на пробном шаге.
Параметр деформирования ц(7+1) в очередном (l + 1)-м приближении может быть определен из условия
ц(7+1) = min [pk, р2]. (10)
Таким образом, изменение компонент тензора текущих макродеформаций
Ає^+1) = є° * + ц(7+1)(єі; -є°*)
осуществляется на такую величину, что в процессе нагружения удается зарегистрировать каждый акт изменения деформационных свойств зерен в результате частичной потери или восстановления несущей способности в случае смены типа напряженно-деформированного состояния на структурном уровне. Далее значениям компонент тензора отчетных деформаций в (l + 1)-м приближении є. *<7+1) присваиваются значения є*7 на l-м шаге (ej ^7+1) = ) и, при необходимости, вновь
определяется параметр деформирования (10).
В частном случае пропорционального макродеформирования * = 0 второй инвариант тензора текущих деформаций уЄ2 k (r) является линейной функцией параметра п. Поэтому условие (9) для pk может быть значительно упрощено:
pk = min ]<£(г)/[АуЄ2) 1 (r)].
1є nud
Далее, воспользовавшись (10), можно вычислить А.+1) = ц(7+1.
Представленная итерационная процедура (10) при численном решении краевых задач механики неупругого деформирования и структурного разрушения композитов продемонстрировала устойчивость относительно малых возмущений граничных условий на каждом пробном шаге нагружения. Локальная потеря сходимости итерационного процесса отмечалась на этапах само-поддерживаемого разрушения [1], когда доля разрушенных элементов возрастает без увеличения внешней на-
Рис. 2. Расчетная диаграмма деформирования при чистом формоизменении и нормированные корреляционные функции поврежденной структуры зернистого композита на различных стадиях
грузки только за счет механической энергии, высвобождаемой в результате разгрузки неповрежденных зерен, примыкающих к области растущего дефекта.
Исследование основных закономерностей процессов накопления повреждений при монотонном и немонотонном пропорциональном и непропорциональном нагружении представительного объема структурно-неоднородной среды будем проводить на основе численного решения краевых задач (1), (2) методом конечных элементов, изменяя значения компонент тензоров макронапряжений о * или макродеформаций г *, входящих в граничные условия (7), и проверяя на каждом шаге нагружения, который определяется автоматически в соответствии с разработанной процедурой (10), условия прочности (3). В случае невыполнения последних будем корректировать деформационные постоянные элементов структуры.
5. Структурное разрушение — причина деформационного разупрочнения
Рассмотрим некоторые результаты моделирования процессов накопления повреждений в представительных объемах зернистых композитов, занимающих единичные кубические области и содержащих 6 000 однородных тетраэдральных упругохрупких элементов структуры со случайными прочностными константами (распределенных по закону Вейбулла с параметрами [2]) и детерминированными упругими модулями G(r) = = 4 • 104 МПа и К (г) = 6.7 • 104 МПа.
На рис. 2 представлен участок расчетной диаграммы деформирования зернистого композита в инвариантной форме при чистом формоизменении £*1 = £22 = = -0.5 £^3, £^з > 0, которая в режиме предельно «жесткого» нагружения не обрывается в наивысшей точке. Наличие ниспадающего участка на зависимости
/^ ) ~ Jl) свидетельствует о деформационном разупрочнении. Множественные скачки и нелинейный характер диаграмм вызваны процессом структурного разрушения, который начинается на восходящем участке и завершается на участке остаточной прочности.
6. Закономерности структурного разрушения при монотонном пропорциональном нагружении
Введем случайную единичную индикаторную функцию Х(г), которая определяется детерминированным радиус-вектором г и принимает значение 1, если г е ^в и 0, если г е ^\ ^в. Назовем математическое ожидание произведения пульсаций Х° (г) = Х(г) - \в (ув — объемная доля повреждений), определенных в отличных друг от друга точках г и г + Лг, К|2)(| Аг |) = = (х° (г )Х° (г + Лг )^, корреляционной функцией поврежденной структуры.
Авторы [5, 8] показали, что разработанная двухуровневая модель в сочетании с корреляционным описанием структурных изменений позволяет описать закономерности неупругого деформирования и разрушения зернистых композитов при квазистатическом нагружении.
Этими авторами проведено детальное исследование характера изменения нормированных, отнесенных к дисперсии Уа(1 - уй), корреляционных функций К-2) в процессе накопления повреждений для различных схем пропорционального макродеформирования.
На начальном этапе чистого формоизменения зернистого композита процесс накопления повреждений протекает равномерно по всему представительному объему (состояние 1, рис. 2). Нормированные корреляционные функции К-2), соответствующие этому этапу деформирования, локальны, близки к экспоненциальным, полностью затухают на расстоянии 2^3 гъ (гъ — средний размер гетерогенности). Последующее увеличение макродеформаций приводит к укрупнению дефектов (равновесные состояния 2 и 3, рис. 2). К моменту достижения предела прочности в композите происходит заметное развитие очагов локализованного разрушения — кластеров, в которые начинают объединяться повреждения. Усиление многочастичного коллективного взаимодействия в ансамбле дефектов (соответствующие состояниям 2 и 3 функции К-2) затухают на расстояниях 4^5 гъ и 5^7 гъ) приводит к появлению периодической составляющей в случайных полях X (г). Равномерное накопление кластеров (стадия вторичного дисперсного разрушения [5]) вместе с интенсивно протекающими процессами перераспределения напряжений, частичной или полной разгрузкой неповрежденных элементов структуры, окружающих дефекты, сопровождается снижением макронапряжений, которое свидетельствует о начале деформационного разупрочнения. Переход на стадию разупрочнения связан с началом слияния отдельных кластеров, приводит к еще большему усилению взаимодействия в ансамбле дефектов. На заключительном этапе деформирования все повреждения постепенно объединяются в единственный разветвленный макродефект (состояние 4, рис. 2), а нормированные корреляционные функции К2) затухают на расстояниях 7^8 г к.
Таким образом, нормированные корреляционные функции, построенные на различных этапах деформирования, позволяют определить характер коллективных взаимодействий в ансамбле дефектов, дают возможность естественным образом разделить стадии дисперсного и локализованного разрушения. Кроме того, корреляционный анализ поврежденной структуры позволил авторам [5] определить смену этапов равновесного и неравновесного накопления повреждений, впервые доказать (в рамках модельного описания) автомодельность эволюции дефектов на стадии деформационного разупрочнения.
7. Деформационное разупрочнение при немонотонном пропорциональном нагружении
Стадии неравновесного накопления повреждений, проявляющиеся в виде протяженных вертикальных срывов на диаграммах деформирования, могут быть иссле-
дованы при моделировании процесса немонотонного нагружения, осуществляемого с помощью испытательных устройств с сервоуправлением (быстродействующей обратной связью). Работа этого класса оборудования основывается на преобразовании определенного физико-механического параметра в электрический импульс, используемый в качестве сигнала обратной связи для корректировки величины внешней нагрузки [9]. Применение систем с сервоуправлением позволяет построить диаграммы деформирования с равновесными участками ниспадающей ветви, касательные в каждой точке которых имеют острый угол с осью абсцисс. Диаграммы подобного вида (в работах [9-11] представлен подробный обзор экспериментальных результатов) регистрируются при нагружении керамики, особо хрупких и газонасыщенных горных пород.
На рис. 3 схематично показана типичная полная диаграмма деформирования OABEF, регистрируемая на предельно «жесткой» испытательной машине. Если жесткость нагружения не достаточна для построения ниспадающей ветви, то разрушение образца происходит на участке АВ. Наличие протяженных неравновесных срывов ВЕ на диаграммах деформирования (характерных для материалов, склонных к самоподдерживае-мому разрушению [1] на стадии деформационного разупрочнения) позволяет предположить возможность существования дополнительных равновесных состояний поврежденной неоднородной среды, которые не могут быть реализованы в рамках программы монотонного макродеформирования. Для моделирования процессов накопления повреждений при немонотонном нагружении авторами [12] разработан расчетный метод превентивных разгрузок. Построение полной диаграммы деформирования OABDEF этим методом предполагает поддержание равновесия между силами сопротивления материала и внешними силами, которое достигается проведением ряда циклов разгрузка - активное нагру-
а
О 8
Рис. 3. Схема метода превентивных разгрузок [12]
азз, МПа
азз, МПа
к > 0
/Ж» С,
153 ■ /Щ 153
102 - / 'Л 102
51 - / ^ 51
/ _
0.0 7.5 15.4
£33, Ю
%з, ю
Рис. 4. Диаграммы одноосного деформирования зернистого композита, построенные с использованием метода превентивных разгрузок: предельно «жесткое» нагружение (а) и нагружение с жесткостью Я = 104 н/м3 (б). Поврежденность композита в характерных состояниях: = 0.08,
у^в^< = 0.41, ув\Сі = 0.18, Уд|А = 0.34 ‘
жение при появлении признаков неуправляемого разрушения.
Рассмотрим некоторые особенности реализации метода превентивных разгрузок в вычислительных экспериментах. По заданным программам нагружения или деформирования неоднородной среды из равновесного состояния В (рис. 3) переходим в новое состояние В\ Предположим, что в результате этого перехода произошла полная или частичная потеря несущей способности одним или несколькими элементами структуры, вызвавшая перераспределение напряжений. Последующее структурное разрушение может привести к появлению последовательности неравновесных состояний материала в направлениях ВВ(, ВВ2 или ВВ3 и макроразрушению в случаях предельно «жесткого», «мягкого» нагружения или нагружения с конечной жесткостью [13].
Макроразрушение зернистого композита возможно предотвратить экстренной разгрузкой материала до равновесного состояния С (рис. 3). Необходимость превентивной упругой разгрузки будем связывать с превышением допустимой объемной доли поврежденных элементов структуры ЛРИт в результате перераспределения напряжений после очередного акта разрушения. Циклы превентивной разгрузки и последующего активного нагружения сопровождаются структурным разрушением материала. Поэтому неоднородная среда не может достигнуть того напряженно-деформированного состояния (точка В), которое имело место в начале экстренной разгрузки. С увеличением числа циклов нагружения при снижении ЛРИт возрастает точность построения ниспадающей ветви.
На рис. 4 представлены диаграммы одноосного деформирования одной из реализаций представительного объема зернистого композита. На восходящих участках
_* *
зависимости а33 ~ е33, построенные методом превентивных разгрузок, практически не отличаются от соответствующих кривых, полученных в монотонном режиме [2]. На закритической стадии деформирования каждый цикл нагружения можно представить как автономное испытание материала с увеличивающейся объемной долей повреждений и новым пределом прочности. Поэтому ниспадающую ветвь диаграммы деформирования, вследствие непрерывности процессов накопления повреждений, можно определить как геометрическое место пределов прочности материала с различной объемной долей накопленных повреждений [12].
На рис. 4, б проиллюстрирована возможность построения ниспадающей ветви методом превентивных разгрузок при одноосном деформировании зернистого композита с жесткостью нагружающей системы R = 104 Н/м3. Обратим внимание на то, что объемные доли элементов структуры, утративших способность сопротивляться формоизменению, в характерных состояниях, обозначенных на рис. 2, б точками Аi, В1, С и Di, при одноосном деформировании в монотонном и немонотонном режимах совпадают. Пределам прочности соответствуют точки А i. Макроразрушение материала (точки В{) регистрируется в момент потери устойчивости процесса накопления повреждений, которая происходит при нарушении интегрального условия (8). Точка С2 является последней равновесной точкой, регистрируемой в режиме монотонного нагружения при R = 104 Н/м3 [2]. При моделировании испытания в ре-
жиме предельно «жесткого» монотонного нагружения на диаграммах деформирования а*33 ~ е33 имеет место неравновесный переход из состояния С в Di.
Реализация закритической стадии деформирования в вычислительных экспериментах при Я = 104 Н/м3 позволяет сделать вывод, что предельно «жесткий» режим нагружения может быть представлен в виде последовательности шагов «мягкого» активного нагружения и разгрузки. Этот вывод качественно подтверждается результатами экспериментальных исследований, проведенных на горных породах [9-11] и малоуглеродистых сталях [14].
Таким образом, в условиях немонотонного нагружения благодаря осуществлению последовательности этапов активного нагружения и разгрузки на закритической стадии возможно построение полных диаграмм деформирования даже при «мягком» нагружении. Метод превентивных разгрузок позволяет реализовать не-регистрируемые в режиме предельно «жесткого» монотонного нагружения равновесные состояния поврежденного зернистого композита, соответствующие ниспадающим участкам диаграмм с отрицательной кривизной.
8. Нелокальный критерий перехода к локализованному разрушению
Определение закономерностей перехода к локализованному разрушению может быть проведено при комплексном экспериментальном исследовании неупругого поведения неоднородных материалов с анализом эволюции ансамблей дефектов, которое требует специального оборудования и осуществляется в настоящее время только для наиболее простых схем нагружения (одноосное монотонное растяжение и сжатие). В связи с этим, для различных сложных напряженно-деформированных состояний и траекторий макродеформирования целесообразно проводить вспомогательные вычислительные эксперименты с представительным объемом модельного зернистого композита.
Если рассматривать момент макроразрушения как критическое состояние, в котором в результате механического воздействия реализуется структурный переход в виде потери связности поврежденным телом или достижения связности в ансамбле дефектов, то могут быть определены широко используемые в физике критических явлений параметры, характеризующие степень коллективного многочастичного взаимодействия и взаимное расположение разрушенных элементов структуры. Универсальной закономерностью поведения стохастических систем вблизи критической точки (в качестве которой может быть выбрано состояние начала локализации разрушения) является появление дальнего порядка во взаимодействии в ансамбле дефектов, проявляющееся в резком возрастании значений интегралов корреляции [15]
КаЛи
V А
- А
(
-
п//2
- А1 А2 АЗчЗ// 7] /
1 ( а4 ( а5 а6 А7 (
(2)
0.80 1.04 1.28 1.52 4,10“3
Рис. 5. Эволюция значений интегралов корреляции моментных функций поврежденной структуры зернистого композита для различных траекторий макродеформирования [16]: Рг1 (1); Рг2 (2); Р3 (3); Рг4 (4); Рг5 (5); Рг6 (6); е*1 = е22 = -е*3, е33 > 0 (7) (пропорциональное макродеформирование)
Ях = [ ^ (1 - ^ )]-11 ^2)(| Дг|) d | Дг| =
0
= } ^х2)(| Дг|) ¿1 Дг|. (11)
0
Для определения условий начала локализации разрушения проанализируем характер изменения обезразме-ренных значений интегралов корреляции Ях/гъ (рис. 5) при деформировании зернистого композита по шести траекториям в виде двузвенных ломаных (положение характерных точек которых представлено в табл. 3). Кривая 7 на рис. 5 соответствует режиму пропорционального макродеформирования е*1 = е22 = = - е3з, е33 > 0. При вычислении Ях несобственный интеграл (11) был заменен интегралом по представительному объему. По мере накопления повреждений наблюдается постепенное возрастание Ях/гь . На рис. 5 точками А к отмечены значения интегралов корреляции, соответствующие началу локализации разрушения. Вследствие разносопротивления зернистого композита
Таблица 3
Траектории деформирования зернистого композита в виде двузвенных ломаных
Траектория Положение второй точки1
е*1, 10-3 е 22, 10-3 е33, 10-3
«1 0.5 0.5 1.5
Рг 2 -1.5 1.5 0.5
рг 3 -1.5 0.5 1.0
Рг 4 -2.0 0.0 1.0
рг 5 0.5 -1.5 1.0
Рг 6 0.5 -2.0 1.0
1 Примечание: в исходном состоянии е*1 = е22 = е33 = 0; в конечном— е*1 = е22 = е*3 = - 2.0 -10-3.
[3] и зависимости процесса структурного разрушения от истории деформирования имеет место существенное отличие значений второго инварианта тензора макродеформаций /е2)> соответствующих этим точкам. Укрупнение и слияние отдельных повреждений и кластеров сопровождается усилением коллективного взаимодействия в ансамбле дефектов (макродеформации все более и более определяются разрушенными элементами структуры) и резким увеличением значений Ях/гй .
Обратим внимание на то, что максимальное отличие величин Ях, соответствующих началу локализации разрушения (рис. 5), для различных схем комбинированного трехосного пропорционального и непропорционального макродеформирования не превышает 7 %. Это подтверждает впервые высказанную авторами [5] гипотезу о существовании не зависящего от вида напряженно-деформированного состояния и истории квази-статического нагружения критического значения интеграла корреляции Ях сг. Предельное значение Ях сг является нелокальной константой материала, которая учитывает структурную неоднородность и характер многочастичного взаимодействия в ансамбле дефектов в процессе нагружения. Поэтому для повреждаемого зернистого композита с упругохрупкими компонентами неравенство Ях > Ях сг вне зависимости от условий квази-статического деформирования является нелокальным критерием перехода от этапа дисперсного накопления повреждений к локализованному разрушению. Авторами [5, 16] было показано, что для повреждаемого зернистого композита с упругохрупкими компонентами условие Ях > Ях сг (вне зависимости от типа напряженно-деформированного состояния и схемы квазистати-ческого пропорционального трехосного макродеформирования) является также нелокальным критерием перехода к стадии деформационного разупрочнения.
Определенные на различных этапах разрушения значения Ях позволяют исключить из рассмотрения дефекты конкретного типа и установить однозначную количественную связь между степенью связности в ансамбле поврежденных элементов структуры и характером механического поведения композита. Поэтому вне зависимости от условий квазистатического нагружения сформулированный нелокальный критерий позволяет определить, на каком этапе деформирования находится поврежденный материал в элементе конструкции, и предсказать степень близости к состоянию локализованного разрушения.
9. Заключение
Разработанная двухуровневая структурно-феноменологическая модель зернистых композитов в условиях комбинированного трехосного монотонного и немонотонного макродеформирования позволила описать характер коллективного многочастичного взаимодействия
в ансамбле дефектов, основные закономерности процессов разрушения, смену механизмов и масштабных уровней преимущественного накопления повреждений. В рамках модельного описания эволюции повреждений сформулированы не зависящие от типа напряженно-деформированного состояния и схем квазистатического пропорционального и непропорционального нагружения нелокальные условия перехода к локализованному разрушению.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант РФФИ-Урал № 04-01-96067).
Литература
1. ЗайцевА.В. Разносопротивление, локальная неустойчивость и са-моподдерживаемое разрушение зернистого композита на стадии деформационного разупрочнения // Изв. вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. Спецвыпуск: Нелинейные проблемы механики сплошных сред. - 2003. - Т. 32. - С. 196-206.
2. Вилъдеман В.Э., Зайцев А.В. О численном решении краевых задач
механики деформирования и разрушения структурно-неоднородных тел с граничными условиями третьего рода // Вычислительные технологии. - 1996. - Т.1. - № 2. - С. 65-73.
3. ВилъдеманВ.Э., ЗайцевА.В. Равновесные процессы разрушения зернистых композитов // Механика композитных материалов. -1996. - Т. 32. - № 6. - С. 808-817.
4. ВилъдеманВ.Э. О решении упругопластических задач с граничными условиями контактного типа для тел с зонами разупрочнения // ПММ. - 1998. - Т. 62. - Вып. 2. - С. 304-312.
5. Вилъдеман В.Э., ЗайцевА.В., ГорбуновА.Н. Закономерности и механизмы повреждения неоднородных тел на закритической стадии // Физ. мезомех. - 1999. - Т. 2. - № 4. - С. 41-53.
6. ДжорджА., ЛюДж. Численное решение больших разреженных
систем уравнений. - М.: Мир, 1984. - 334 с.
7. Писсанецки С. Технология разреженных матриц. - М.: Мир, 1988. -
410 с.
8. ВилъдеманВ.Э., СоколкинЮ.В., ЗайцевА.В. Эволюция структурных повреждений и макроразрушение неоднородной среды на за-критической стадии деформирования // Механика композитных материалов. - 1997. - Т. 33. - № 3. - С. 329-339.
9. БокХ., УоллесК. Испытания образцов ненарушенных скальных пород // Введение в механику скальных пород. - М.: Мир, 1983. -С.114-132.
10. ВиноградовВ.В. Геомеханика управления состоянием массива вблизи горных выработок. - Киев: Наукова думка, 1989. - 192 с.
11. ПетуховИ.М., ЛинъковА.М. Механика горных ударов и выбросов. - М.: Недра, 1983. - 280 с.
12. Зайцев А.В., Вилъдеман В.Э. Равновесные состояния поврежденной неоднородной среды в условиях немонотонного нагружения // Математическое моделирование систем и процессов. - 1997. -Вып. 5. - С. 35-42.
13. РаботновЮ.Н., СувороваЮ.В. Наследственные эффекты при деформировании металлов // Успехи механики деформируемых сред. - М: Наука, 1975. - С. 470^77.
14. Волков С.Д., Гусъков Ю.П., Кривоспицкая В.И. и др. Экспериментальные функции сопротивления легированной стали при растяжении и кручении // Проблемы прочности. - 1979. - № 1. -С. 3-6.
15. Стенли Г. Фазовые переходы и критические явления. - М.: Мир, 1973.- 424 с.
16. ЗайцевА.В. Нелокальный критерий перехода к локализованному разрушению неоднородных материалов при квазистатическом нагружении // Изв. вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. Спецвыпуск: Математическое моделирование. - 2001. -Т. 30. - С. 72-75.
