CC BY
53
УДК 621.316.1.05 05.00.00 Технические науки ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО
ПРОГРАММИРОВАНИЯ, ОПИСЫВАЮЩИЕ МИНИМИЗАЦИЮ ПОТЕРЬ МОЩНОСТИ ПРИ ПЕРЕДАЧЕ ЭЛЕКТРОЭНЕРГИИ ОТ ИСТОЧНИКОВ К ПОТРЕБИТЕЛЯМ
Лаптев Владимир Николаевич к.т.н., доцент
ФГБОУ «Кубанский государственный аграрный университет», 350044, Россия, г. Краснодар, ул. Калинина, 13, E-mail: mail@kubsau. ru
Степанов Владимир Васильевич д.т.н., профессор
Кубанский государственный технологический университет, Россия г. Краснодар, ул. Красная 135
Степанова Марина Валерьевна
старший преподаватель
Краснодарское высшее военное авиационное
училище летчиков им. А.К. Серова, г. Краснодар,
Россия
Атрощенко Валерий Александрович д.т.н., профессор
Кубанский государственный технологический университет, Россия г. Краснодар, ул. Красная 135
Кабанков Юрий Андреевич к.т.н, профессор
Краснодарское высшее военное авиационное училище летчиков им. А.К. Серова, г. Краснодар, Россия
Данная работа выполнена в научном и практическом направлениях по минимизации потерь мощности при передаче электроэнергии в межрегиональных распределительных сетях от источников к потребителю, путем использования задач, обеспечивающих поэтапное улучшение опорного плана не только с позиции эффективности снижения потерь транспортируемой мощности, но и за счет значительного уменьшения трудоемкости расчетов. Возникающий дефицит мощностей электроэнергии, связанный с ее передачей в электроэнергетических сетях, потребовал необходимость поиска возможных путей снижения величины потерь электроэнергии при транспортировке, как за счет совершенствования, так и за счет оптимизации схем распределительных сетей. Объединение в единый комплекс электрооборудования, называемый энергокластером, подключенный к источникам питания и энергопотребления, позволило эффективно использовать новые принципы
UDC 621.316.1.05 Technical science
LINEAR PROGRAMMING PROBLEM DESCRIBING THE MINIMIZATION OF POWER LOSSES IN TRANSMISSION OF ELECTRICITY FROM SOURCES TO CONSUMERS
Laptev Vladimir Nikolaevich
Cand. Tech. Sci., associate professor
Kuban State Agricultural university, 350044, Russia,
Krasnodar, Kalinin st., 13, E-mail: [email protected]
Stepanov VladimirVasiltvich Dr.Sci.Tech., professor
Kuban State Technological University, Russia , Krasnodar, st. Red, 135 ,
Stepanova Marina Valerievna senior teacher
Krasnodar Higher Military Aviation School A.K.Serov, Krasnodar, Russia
Atroschenko Valery Aleksandrovich Dr.Sci.Tech., Professor
Kuban State Technological University, Russia , Krasnodar, st. Red, 135
Kabankov Yuri Andreevich Cand. Tech. Sci., Professor
Krasnodar Higher Military Aviation School A.K.Serov, Krasnodar, Russia
The work is done in a scientific and practical ways to minimize power losses in the transmission of electricity in the interregional distribution networks from the sources to the consumer by the use of tasks, ensuring the gradual improvement in the support program, not only from the standpoint of the efficiency of reduction of transported power loss, but also due to a significant decrease the complexity of the calculations. The resulting shortage of electricity power associated with its transfer to the electricity networks, has demanded the need to find possible ways of reducing the value of electricity losses during transportation, both by improving and by optimizing distribution net-works schemes. Consolidation into a single set of electrical equipment, called the power cluster is connected to the sources of power and energy consumption, make better use of new principles of control technology and the transmission of electricity, on the basis of an automated monitoring system, ensuring the redistribution of energy flows and optimize them. The process of electric power transmission and reduction in electric power loss can
технологии управления и передачи электроэнергии, на основе автоматизированной системы мониторинга, обеспечивая перераспределение потоков энергии и их оптимизацию. Процесс передачи электроэнергии и снижения электрических потерь в электросетях можно рассматривать на основе задач линейного программирования и их модификации в виде транспортной задачи, и, как следствие, транспортной матрицы. На этой основе, манипулируя данными таблицы, можем находить допустимые решения, ну, а затем, уже из них определять оптимальные. В качестве примеров в данной работе проводятся исследования на основе трех методов - «северо-западного угла», метода минимальной удельной стоимости транспортировки электроэнергии, а также метода потенциалов. Применение этих трех методов позволило получить допустимые решения, выявить наиболее оптимальный по количеству шагов проведенных при решении, выявить, что выигрышным по затратам является метод потенциалов
Ключевые слова: МЕТОД ПОТЕНЦИАЛОВ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ, ИСТОЧНИКИ ЭНЕРГИИ, ИСТОЧНИКИ ПОТРЕБИТЕЛЕЙ, МОЩНОСТЬ, МЕТОД СЕВЕРО-ЗАПАДНОГО УГЛА, МИНИМАЛЬНАЯ СТОИМОСТЬ ТРАНСПОРТИРОВКИ, ОПОРНЫЙ ПЛАН, ТРАНСПОРТНАЯ ТАБЛИЦА
Рок 10.21515/1990-4665-124-027
Совершенствование системы эксплуатации и оптимизация схем электроэнергетических распределительных сетей и режимов, на основе прогнозирования их параметров одна из важных проблем в условиях внедрения энергосберегающих технологий в электроэнергетике. Основными методологическими элементами решения транспортной задачи являются кластеры, представляющие собой совокупность элементов электросетей, источников, электроприемников и элементов управления [4], которые эффективно используют новые принципы, а именно технологии управления и передачи электроэнергии - объединяя в единое целое потребителей и производителей на основе автоматизированной системы мониторинга, обеспечивая перераспределение потоков электроэнергии,
be considered on the basis of linear programming problems, and their modification in the form of a transportation problem, and as a result, the transport matrix. On this basis, manipulating the data table, we can find acceptable solutions, well and then determine the best of them. As examples, this work has carried out the study on the basis of the three methods -"northwest corner", the method of minimum unit cost of electricity transport, as well as the method of the potential. The use of these three methods yielded acceptable solutions, to identify the most appropriate for the number of steps carried out at the decision, to reveal that the winner is the potential cost method
Keywords: METHOD POTENTIAL, MATHEMATICAL MODELS, ENERGY SOURCES, SOURCES CONSUMERS, POWER, METHOD OF NORTHWEST ANGLE, MINIMUM COST OF TRANSPORT, REFERENCE PLANS, TRANSPORT TABLE
оптимизируя схемы за счет полученных в ходе мониторинга исходных данных.
Известно, что при перераспределение тока по параллельным ветвям, имеющих одинаковое сопротивление, суммарные потери энергии снижаются вдвое. Очевидно, что перераспределение потоков по линиям электропередач в современных условиях, когда сеть объединена в единый комплекс, включающий предприятия генерации и транспортировки электроэнергии целесообразно оптимизировать.
В основу процессов оптимизации задач электроэнергетики положена транспортная задача линейного программирования, благодаря своей специфике эти задачи могут быть решены с помощью более эффективных алгоритмов, чем симплекс-метод - один из первых методов решения такого типа задач [2].
Рассмотрим одну из простейших постановок транспортных задач. Пусть имеется т пунктов (поставщиков) энергии МИ1.... МИт , имеющие
соответственно МИ1.....МИт мощности, которые необходимо доставить в п
пунктов потребления ЫП1, МП2..., МПп.
Известно, что удельная стоимость транспортировки единицы мощности от источника к потребителю Составим план передачи электроэнергии от источников к потребителям, при котором будут удовлетворены потребители и при этом стоимость транспортировки будет минимальной. Поставленная таким образом задача называется закрытой. Очевидно, она будет иметь решение, если сумма мощностей источников будет равна сумме мощностей потребителей [2]. Несомненно, что транспортная задача может быть и в открытой форме, то есть когда сумма мощностей у источников больше, чем у потребителей или же наоборот.
В первом случае требуется минимизировать стоимость транспортировки электроэнергии, при условии, что все потребности потребителей должны быть выполнены.
Во втором случае минимизируется стоимость транспортировки мощности, при условии, что вся мощность поставщиков должна быть передана потребителям.
Известно, что МИ и Ыщ -узлы источников электроэнергии и узлы источников потребителей подаваемой мощности. Обозначив через 1у удельную стоимость транспортировки единицы мощности от поставщика к потребителю [4], можем говорить, что условие транспортной задачи (математическая модель) может быть представлена в виде следующей таблицы
Таблица 1. Транспортная таблица
Поставщики энергии Потребители мощности Мощность поставки
Мпг Мп2 Мпз Мп4 • • • Мпп
Миг Х11 1ц Х12 112 Х13 113 Х14 114 Х1п 11п тиг
Ми2 Х21 121 Х22 122 Х23 %23 Х24 124 Х2п 12п ти2
Миз Х31 131 Х32 %32 Х33 %33 Х34 134 Х3п 13п тиз
• • • • • •
Мип Х1п 1п1 Х2п 1п2 Х3п 1п3 Х4п 1п4 Хпп 7 ^пп тип
Потребители энергии т пг т п2 т пз т п4 • тпп
Рассмотрим закрытую транспортную задачу, так как задача в открытой форме решается путем сведения ее к закрытой форме. Тогда математическая модель транспортировки электроэнергии от источников потребителям выразится в виде целевой функции ограничений и граничных условий:
- - - Г, (1)
!А'п + Х21 + ^31 + —Ь Хт = тн1
+ Х2п + Х3п + ■■■ + Л';11!_ = тт1
(4)
(3)
Метод северо-западного угла - нахождение опорного плана (решения) транспортной задачи оптимизации. Рассмотрим этот процесс на примере. Пусть имеет место три источника и четыре потребителя, мощности которых соответственно МИ1=50, МИ2=200, МИ3=200 единиц мощности и МП1=100, М П2=150, МП3=150, МП4=50 единиц мощности (ед.м.)
Заполнение транспортной таблицы начинается с левого верхнего «северо-западного угла», то есть с удовлетворения потребностей потребителя МП1 за счет источников энергии МИ1 , МИ2, МИ3.
В результате, за счет МИ1 могут быть удовлетворены 50 единиц мощности, которые и помещаем в клетку на пересечении МП1 - МИ1. Очевидно, что возможности поставщика энергии МИ1 полностью исчерпаны, в остальные клетки первой строки таблицы ставим прочерки и устанавливаем тем самым баланс мощностей по первой строке. в первом столбце таблицы баланс не установлен, поэтому оставшуюся потребность МП1 в 50ед.м. устанавливаем за счет МИ2, записывая в клетку МП2 - МИ1 число 50ед.м, тем самым устанавливаем баланс мощности по первому столбцу таблицы, и ставим прочерки в последней клетке этого столбца, зная, что потребности МП1 полностью удовлетворены.
После этого переходим к потребителю МП2, потребность которого 150 ед. м. Данную потребность удовлетворяем за счет МИ2, записывая в клетку МП2 - МИ2 число 150 ед. м., а в остальных свободных клетках второй строки и второго столбца ставим прочерки.
Переходим к удовлетворению запросов по энергии МП3 в 150 ед. м., за счет МИ3, обладающего мощностью в 200 ед.м. Записываем в клетку
МП3 - МИ3 величину 150 ед.м., тем самым удовлетворяя потребности МП3 полностью, а оставшееся количество энергии в 50 ед.м. МИ3 идет на замещение потребностей МП4, а в оставшиеся незаполненные клетки ставим прочерки [5].
Полученный опорный план является вырожденным, так как таблица2 содержит пять занятых клеток, в то время как число базисных переменных равно четырем.
Таблица 2. Опорный план на основе северо-западного угла
Поставщики энергии Потребители мощности Мощность поставки
Мп1 Мп2 Мп3 Мп4
МИ1 50 10 8 7 9 50
МИ2 50 8 150 6 5 7 200
Ми3 5 4 150 7 50 6 200
Потребители энергии 100 150 150 50 1=3150
При этом стоимость транспортировки электроэнергии по сети составит:
Построение опорного плана методом минимальной стоимости.
Для этого рассмотрим таблицу 2 и среди клеток этой таблицы выбираем клетку с минимальной удельной стоимостью транспортировки электроэнергии. Такой клеткой является МП2 - МИ3 (2=4).
В новую таблицу 3 вносим 150 ед.м., величина которой равна потребностям МП2. Во все остальные клетки второго столбца ставим прочерки.
Повторяем процедуру для первого столбца, и ищем клетку с минимальной стоимостью, это будет МИ3-МП1 (2=5), Число, характеризующее мощности источника МИ3, определено на данный момент в виде остатка 50 ед.м., которое и заносим в клетку МИ3 - МП1.
Так как в источнике мощностей МИ3 запасы энергии полностью исчерпаны, то в остальные клетки третьей строки ставим прочерки.
Из оставшихся клеток таблицы находим клетку с минимальной удельной стоимостью транспортировки, которой является клетка МИ2-МП3 (2= 5). Выбираем меньшее из мощностей МИ2= 200 ед.м. и МП3= 150 ед.м. и проставляем в эту клетку МИ2-МП3 величину равную наименьшему из значений (150 ед.м.), остаток мощности при этом составит 50 ед.м..
Так как потребитель МП3 полностью удовлетворен, ставим прочерки во все оставшиеся клетки третьего столбца. Тем самым баланс мощности в этом столбце установлен.
Выбираем клетку МИ2 - МП4. В виду установленного баланса в четвертом столбце и второй строке в оставшиеся клетки второй строки также проставляем прочерки.
Найдем стоимость транспортировки электроэнергии по сети для метода минимальной стоимости (1):
2=50*10+50*5+150*4+150*5+50*7=2450
Таблица 3.Опорный план метода минимальной стоимости
Поставщики энергии Потребители мощности Мощность поставки
Мп1 Мп2 Мпз Мп4
МИ1 50 10 8 7 9 50
МИ2 8 6 150 5 50 7 200
Миз 50 5 150 4 7 6 200
Потребители энергии 100 150 150 50 г=2450
Как видно из расчетов и сводной таблицы 3, стоимость транспортировки энергии значительно ниже, чем при использовании метода «северо-западного угла».
Нахождение оптимального плана транспортировки электроэнергии
путем использования метода потенциалов.
Напомним, что если план невырожденный, то в некоторые клетки транспортной матрицы, оставшиеся свободными, можно записать нули и считать такие клетки заполненными, и получить необходимое для данного плана число занятых клеток. При этом особое внимание необходимо уделять при простановке нулей, чтобы не возникло циклов с вершинами в занятых клетках.
Поиск оптимального плана ориентирован на последовательный переход от одного опорного плана к следующему, лучшему плану. Сущность такого перехода в следующем. Известно, что для каждой свободной клетки в невырожденном опорном плане существует единственный, проходящий через нее цикл, все остальные вершины которого лежат в занятых клетках. Для примера рассмотрим полученный по методу северо-западного угла опорный план (таблица 4).
Таблица 4. Исходный опорный план
Поставщики энергии Потребители мощности Мощность поставки
МП1 Мп2 Мпз Мп4
МИ1 50 10 0 8 0 7 0 9 50
МИ2 50 8 150 0 —а 5 0 7 200
Миз 0 5 0 I О 4 150 | О 7 50 6 200
Потребители энергии 100 150 150 50 1=3150
В клетках МИ2 - МП3 поставим ноль и эта клетка считается занятой. Далее, возьмем свободную клетку МИ3 - МП2 и пунктиром отметим содержащий ее цикл МИ3 - МП2,МИ2-МП2МИ2 - МП3МИ3 - МП3.
В этом цикле проделаем следующее, переставим из клетки МИ2 - МП2 число 150 ед.м. в клетку МИ2 - МП3, чтобы по столбцам и строкам,
включающий этот цикл соблюдался баланс мощностей. Переставим из клетки МИ3 - МП3число 150 ед.м. в свободную клетку МИ3 - МП2. Таким образом, получим новый опорный план (таблица 5). Так как удельная стоимость транспортировки электроэнергии в клетке МИ3 - МП2 меньше (2=4), то и стоимость перевозок для этого
Таблица 5 Новый опорный план
Поставщики энергии Потребители мощности Мощность поставки
Мпг Мп2 Мпз Мп4
Миг 50 10 0 8 0 7 0 9 50
Ми2 50 8 0 - 150 + 5 0 7 200
Миз 0 5 150 + Ч 7 50 6 200
Потребители энергии 100 150 150 50 г=2450
опорного плана меньше. Пометим вершины цикла в свободной клетке «+» и «-», учитывая, что «+» - энергия поступает, а «-» -энергия передается.
Для характеристики полученного опорного плана подсчитаем сумму удельных стоимостей транспортировки электрической энергии, стоящих в вершинах цикла, с учетом знаков, в этих клетках. Получим 4-6+5-7=-4<0-эта сумма называется ценой цикла.
Очевидно, что если цена отрицательна, то циклический перенос уменьшает стоимость транспортировки, равную произведению цены на транспортируемую мощность электрической энергии, что в конечном итоге приводит к уменьшению плана. Если цена плана положительна, то цикличный перенос увеличивает стоимость транспортировки и, как следствие, новый опорный план хуже предыдущего.
На основе вышесказанного можно сделать промежуточное заключение - если среди свободных клеток в опорном плане найдутся
клетки, для которых цикл отрицательный, то опорный план будет оптимальным.
Определение для каждой свободной клетки содержащего ее цикла и подсчет цены построенного плана является весьма трудоемким процессом. Избежать этого можно, если воспользоваться методом потенциалов. Для этого необходимо каждому поставщику электроэнергии Mui (i=1,..., n) и потребителю ее Ыщ (j=1,..., п)поставить в соответствие некоторое число (потенциал Ui и Vj - соответственно для источников и потребителей), удовлетворяющее следующим условиям [1, 2]:
где - матрица удельных стоимостей транспортировки
электроэнергии от поставщика к потребителю.
Вернемся к первоначальному опорному плану (таблица 2). Как видно из транспортной таблицы план является вырожденным. С целью полного построения системы потенциалов одну из свободных клеток, а именно МИ2 - МП3 ставим ноль, то есть полагаем, что и2 =0. С помощью и2 =0 можно достаточно просто определить наибольшее число других потенциалов, используя соотношение (5). Например, и2+ У1=8, отсюда У1=8.
Аналогично определяем все остальные потенциалы [3]. Манипулируя таким образом можно подойти к следующему опорному плану (таблица 6).
U+Vr Zj
(5)
Таблица 6 Опорный план, полученный методом минимальной стоимости
Поставщики энергии Потребители мощности Мощность поставки
Mni Vi=1 Mn2 V2=0 Мпз Vs=1 МП4 V4 = 1
МИ1 Ui=8 0 10 50 8 0 7 0 9 50
Ми2 U2=6 0 8 50 6 150 5 0 7 200
Миз Us=4 100 5 50 4 0 7 50 6 200
Потребители энергии 100 150 150 50 Z=2450
При нахождении опорного плана в таблице 6 положим У2=0, тогда для всех свободных клеток цена цикла будет неотрицательна, а полученный план будет оптимальным. Стоимость транспортировки электроэнергии по сети составит:
Следует отметить, что опорный план полученный методом минимальной стоимости имеет ту же стоимость транспортировки и является оптимальным. В тоже время метод потенциалов менее трудоемкий по сравнению с методом минимальной стоимости, обеспечивает получение ожидаемого результата за меньшее число шагов.
Литература:
1. Лаптев В.Н, Степанов В.В., Атрощенко В. А., Кабанков Ю.А., Степанова М.В. К вопросу нахождения оптимальных потерь мощности в электроэнергетических сетях на основе решения транспортной задачи методом потенциалов. Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета. (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. - Краснодар: КубГАУ, 2016. - №09(120). С. 870-887. - IDA [article ID]: 1031409014. - Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2016/06/pdf/59.pdf, 0,90 у.п.л.
2. Костин В.Н. Оптимизационные задачи электроэнергетики. Учебное пособие СЗ ГЗТУ. Издательско-полиграфическая ассоциация вузов Санкт-Петербург, 2003.
3. Степанов В.В., Степанова М.В., Кабанков Ю.А. Применение транспортной задачи для оптимизации в межрегиональных сетевых компаниях передачи электроэнергии. В сборнике: VI Международная научно-практическая конференция молодых ученых, посвященная 55-й годовщине полета Ю.А. Гагарина в космос сборник научных статей. КВВАУЛ им. А.К. Серова. 2016. с. 217-221.
4. Степанов В.В., Степанова М.В., Степанов В.В. Оптимизация поставки электроэнергии на примере использования транспортной задачи В сборнике: V Международная научно-практическая конференция молодых ученых, посвященная 54-й годовщине полета Ю.А. Гагарина в космос сборник научных статей. КВВАУЛ им. А.К. Серова. 2015.
5. Курицкая Б.Я. Поиск оптимальных решений средствами Excel 7,0 - С-Пб; BHV, 1997г.
References
1. Laptev V.N, Stepanov V.V., Atroshhenko V.A., Kabankov Ju.A., Stepanova M.V. K voprosu nahozhdenija optimal'nyh poter' moshhnosti v jelektrojenergeticheskih setjah na osnove reshenija transportnoj zadachi metodom potencialov. Politematicheskij setevoj jelektronnyj nauchnyj zhurnal Kubanskogo gosudarstvennogo agrarnogo universiteta. (Nauchnyj zhurnal KubGAU) [Jelektronnyj resurs]. - Krasnodar: KubGAU, 2016. -№09(120). S. 870-887. - IDA [article ID]: 1031409014. - Rezhim dostupa: http://ej.kubagro.ru/2016/06/pdf/59.pdf, 0,90 u.p.l.
2. Kostin V.N. Optimizacionnye zadachi jelektrojenergetiki. Uchebnoe posobie SZ GZTU. Izdatel'sko-poligraficheskaja associacija vuzov Sankt-Peterburg, 2003.
3. Stepanov V.V., Stepanova M.V., Kabankov Ju.A. Primenenie transportnoj zadachi dlja optimizacii v mezhregional'nyh setevyh kompanijah peredachi jelektrojenergii. V sbornike: VI Mezhdunarodnaja nauchno-prakticheskaja konferencija molodyh uchenyh, posvjashhennaja 55-j godovshhine poleta Ju.A. Gagarina v kosmos sbornik nauchnyh statej. KVVAUL im. A.K. Serova. 2016. s. 217-221.
4. Stepanov V.V., Stepanova M.V., Stepanov V.V. Optimizacija postavki jelektrojenergii na primere ispol'zovanija transportnoj zadachi V sbornike: V Mezhdunarodnaja nauchno-prakticheskaja konferencija molodyh uchenyh, posvjashhennaja 54-j godovshhine poleta Ju.A. Gagarina v kosmos sbornik nauchnyh statej. KVVAUL im. A.K. Serova. 2015.
5. Kurickaja B.Ja. Poisk optimal'nyh reshenij sredstvami Excel 7,0 - S-Pb; BHV, 1997g.
