CC BY
18
УДК 519.853, 517.977.5
0. А. Косоруков1, А. Г. Белов2
ЗАДАЧА УПРАВЛЕНИЯ РЕСУРСАМИ НА СЕТЕВЫХ ГРАФИКАХ КАК ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
В статье описывается задача оптимального распределения ресурсов, выделенных на реализацию некоторого комплекса взаимосвязанных работ, по критерию минимизации времени выполнения всех работ. В отличие от традиционного ресурса сепарабельного типа, предполагающего фиксированное распределение между работами, авторы рассматривают ресурс реентерабельного типа, т. е. допускающий повторное использование. Приводится формализация данной задачи в прямой "статической" и "динамической" постановках. Последняя представляет классическую задачу оптимального управления о быстродействии. Обосновывается корректность данной формализации.
Ключевые слова: оптимизация, ресурсы, сетевой график, оптимальное управление, задача о быстродействии.
1. Постановка задачи с сепарабельным ресурсом. Приведем постановку классической задачи оптимального распределения ресурсов на сетевом графике в детерминированном случае [1]. Пусть задан сетевой график с событиями z = (z\,..., zn) и работами I = (h,... ,1т), где zi — начало всех работ, zn — их окончание. Предположим также, что время Tj выполнения работы lj есть непрерывная функция <Pj(u) от распределений ресурсов и = (щ,... ,Uk) из заданного компактного множества U
1 ВНИИ ГОЧС (ФЦ), проф., гл. науч. сотр., д.т.н., e-mail: kosorukovoaQmail.ru
2 Факультет ВМК МГУ, науч. сотр., к.ф.-м.н., e-mail: belovQcs.msu.su
15 ВМУ, вычислительная математика и кибернетика, № 2
евклидова пространства Б,к. Тогда минимальное время выполнения комплекса работ I для любого выбранного распределения ресурсов и € I/ будет определяться как решение задачи
тт(«п - «1),
$п2и) - *«1(з') ^ ¥>;?(«)> (1)
^а £ [/, ^ = 1, • • •, т,
где п\{]) — номер вершины, являющейся началом дуги П2Ц) — номер вершины, являющейся окончанием дуги я = («1,..., .$„) — время наступления событий г. Тогда для определения минимального
времени выполнения работ по всем распределениям ресурсов II надо решить задачу тттт(5п — «1)
иеи в
при ограничениях задачи (1), а именно
'тт(«п - «1), ^а £ [/, ] = 1,..., т.
Примером такой задачи является распределение одного вида ресурса, например денег, в количестве А по т работам. В этом случае задача (2) будет иметь вид
тт(«п - «1),
. - «тШ ^ и = (щ,...,ит), ^
т
из ^ А и3 ^ 3 = ■ ■ ■ ; т-
Ь=1
Задача (3), в которой ресурс не предполагает повторного использования, является сепарабельной задачей, вообще говоря, нелинейного программирования.
В данной статье рассматривается вид ресурсов, допускающих повторное использование на различных работах в различные моменты времени, например людей или техники. Такой вид ресурса будем называть реентерабельным.
2. Постановка задачи с реентерабельным ресурсом. Задача, аналогичная задаче (3), но для единственного реентерабельного ресурса в количестве А, имеет вид
тт(«п - «1),
и,в
Ш - ^ ^МО),
/ г -чч (4)
г,(%(-)) = т£(^{М} и |т : / <Ь = ^|^
щ(г) + ... + игп(г) < А, ¿6 [О ,М], 3 = 1 ,...,т,
где м — любое число, заведомо большее, чем время выполнения комплекса работ I; — объем ;/'-й работы — количество ресурса, выделенного на выполнение работы в момент време-
ни — функционал, определяющий время выполнения ;/'-й работы, если известна функция
выделения ресурса на ее выполнение Uj(t)•, — интенсивность выполнения работы ^ в мо-
мент Ь. В качестве класса функций и^ (I) в (4) целесообразно рассмотреть неотрицательные кусочно-непрерывные на £ € [О, М] функции, если допустить возможность моментального перераспределения ресурса. Функционал в (4) принимает заведомо большое значение М в том случае, если ди-
намика выделения ресурса на работу после момента времени не позволяет ее выполнить
в полном объеме. В этом случае множество возможных г пусто. В противном случае функционал равен продолжительности выполнения данной работы при данной динамике выделения ресурса. Функции интенсивности т.е. объема выполняемых работ в единицу времени, в задаче (4) зависят только от моментального объема выделенных ресурсов и не зависят от стадии выполнения работ 3 = ... ,/т. Данное упрощение приемлемо лишь в случае однородных работ. Случай неоднородных работ будет рассмотрен ниже.
Постановка (4) является оптимизационной задачей сложной конструкции, поскольку часть переменных оптимизации образует вектор в конечномерном пространстве s G R"\ а часть вектор-функцию из бесконечномерного пространства и = (ui(t),... ,um(t)) G U. Такого рода задачи не вписываются в какие-либо классы оптимизационных задач, подкрепленных аналитическими или численными методами. В связи с этим возникает идея переформулировать (4) в задачу оптимального управления, в частности в классическую задачу о быстродействии [2].
3. Задача о быстродействии. Рассмотрим следующую равносильную (4) автономную задачу оптимального управления с закрепленным начальным моментом:
'Т —> min,
и
Vjit) = WAU) - Wj(U) ■ *rnU)(f^ f' G [°>T]> 3 = i,---,rn, < г.(о) = 0, (5)
v(T) G S(T) = {(vi,..., vrn) : Vj ^ Vh j !.....m},
■и, G U = {(?ii,.... um) : + ... + um < А, 0 < uj, j = 1,..., m},
при этом функции Si(t) определяются условиями
Ä1(i) = 0,
si(t) = max öj(t), i = 2,..., n — 1, ((j)
0j(t) = mi({t}U{r: Vj(t)>Vj}),
где Vj{t) объем выполненной работы l.j к моменту времени t; öj(t) максимальный момент времени, в который работа lj еще не была завершена; ,Sj(t) максимальный момент времени, в который i-c событие еще не наступило; C(i) множество индексов дуг, входящих в вершину i. Как и в задаче (4), работы I предполагаем однородными. Функции Oj(t) и ,Sj(t) являются непрерывными неубывающими функциями аргумента t, общий вид которых представлен на рис. 1.
Рис. 1. Общий вид функций И Яг(£)
На первый взгляд постановка (5), (6) имеет некорректность, связанную с цикличностью в вычислении входящих в нее функций. Действительно, вычисление вектор-функции у{Ь) в (5) требует знания вектор-функции которая, согласно (6), требует знания вектор-функции вычисление которой в свою очередь в (6) требует знания функции г>(£), цикл замкнулся. Однако данное противоречие отвергает лишь возможность вычисления данных классов функций задачи (5), (6) в указанной выше последовательности. Приведем описание допустимой последовательности вычисления функций данных классов, что обоснует корректность постановки (5), (6).
4. Алгоритм вычислений. Произведем разбиение множества вершин сетевого графика на конечное число подмножеств Д0, -йь • • •, Яр, введя понятие ранга вершины, следующим образом: вершина ранга 0, До = {г^}; вершины ранга к, т.е. те вершины, для которых максимальный
по количеству дуг направленный путь из вершины ранга 0 в данную вершину имеет длину к. Заметим, что о максимальном по количеству дуг пути корректно говорить в силу того, что сетевой график по определению не содержит направленных циклов. Можно обосновать, что каждая вершина имеет
одно и только одно значение ранга, что и идентифицирует данное семейство подмножеств, как разбиение. Используя разбиение вершин по рангам и метод математической индукции, обоснуем корректный порядок вычисления всех функций постановки (5), (6).
Для вершины ранга 0 (До = {^1}) функции Si(т) известны (^(т) = 0). Пусть известны значения до момента £ всех функций управления и,:1(т) и функций я^т) для всех вершин ранга, не превышающего к. Тогда рассмотрим вершины ранга (к + 1). Очевидно, что источниками всех дуг, входящих в вершины ранга (к + 1), являются вершины ранга не более к, а значит, учитывая (5), можно рассчитать значения функций Vj(т) до момента 1 Затем в (6) вычислить значения функций вj(т), а следовательно, всех функций Si(т) для вершин ранга (к + 1). Что и доказывает, согласно методу математической индукции, вычислимость всех функций задачи (5), (6) до произвольного момента зная значения функций управления до момента
Оптимальные решения задач (4) и (5), (6) по функционалу Т* и оптимальным управлениям и*(т) совпадают. Принципиальное отличие "статической" постановки (4) от "динамической" (5), (6) состоит в том, что в (4) значение функционала задачи вычисляется через значения скалярных переменных я и функции управления и только при их полном задании на всем множестве определения. При этом явная связь между скалярными переменными и функциями управления отсутствует.
В постановке (5), (6), которая соответствует форме задачи оптимального управления, переменными задачи являются только функции управления и. Определены функции Si(t), характеризующие состояние рассматриваемой системы (комплекса взаимосвязанных работ) в любой момент времени которые вычисляются через значения функций управления и на отрезке [О, Т] на основе соотношений (5), (6). Также определено множество допустимых управлений и терминальное множество для характеристик системы. Цель задачи заключается в нахождении таких допустимых управлений, которые приводят систему в терминальное множество за минимальное время (задача о быстродействии).
5. Постановка задачи для неоднородных работ. В вышеприведенных постановках (4) и (5), (6) предполагалась однородность рассматриваемых работ I. В этом случае, как отмечалось выше, функцию интенсивности корректно рассматривать лишь как функцию от используемых ре-
сурсов и, не зависящую от стадии выполнения ;/'-й работы. В более общем случае неоднородных работ необходимо рассматривать функции интенсивности вида Ш(11,^(^,11В этом случае система (5) может быть представлена в виде
6. Пример. Рассмотрим сетевой график (см. рис. 2) с двумя вершинами гп = 2, двумя независимыми работами и линейными однородными функциями интенсивности выполнения работ Ш = (агиг, 0,211,2)-, где 01,02 — положительные постоянные, характеризующие эффективность использования ресурсов. Тогда (5), (6) принимает вид
Г —> пни.
и
цг) = «(*)) - фП1 (*)))• ¿П1 (г), г е [о,т], < «(0) = о,
у(Т) € Б(Т) = {(«ь ...,ут): 'о^ Т^, з = 1,..., т},
и€Л = {(«1,.. .,ит) ■■ 11,1 + ... + и,т < А, 0 < щ, э = 1,... ,т}.
(7)
Г —г> пни.
и
¿(¿) = (01^1,02^2), ге[о,т], < щ(0) = (0,0), у(Т) = (Уъу2),
и<Е11 = {(111,112) ■■ 11,1+11,2 ^ А, 0 < 11,1, 0 < и2}.
(8)
Для решения данной задачи быстродействия применим принцип максимума Понтрягина [3, с. 26]. Функция Гамильтона есть Н(у,и,фа,ф) = фа + фг^щ + ф2й2112, где ф = (ф!,ф2)- Вводя функцию
Рис. 2. Сотовой график
H(v, и, ф) = T-L(v, и, фо,ф) — Фа, для вспомогательных переменных ф\, ф2 получаем систему уравнений
dt dvi ' dt dv-2 '
откуда = ci, ф-2^) = c-2, где ci, C2 положительные постоянные. Тогда для вектора оптимальных управлений (и^.и^) (по быстродействию) задачи (8) необходимо достижение следующего максимума:
(и^.и^) = arg max(ciai»,i + €20,2112) ■ и EU
Отсюда следует, что при оптимальных управлениях
„ _ ViagA „ _ V2aiA
U1 — . U о — Т7. Т7.
I + V-j«i V + V2a 1
минимальное время выполнения выражается как
т* = Via-2 + V2Q-1 0-10-2-4
7. Заключение. Таким образом, в статье представлены два способа формализации задачи оптимального распределения реентерабельного ресурса на сетевом графике, а именно "статической" постановки (4) и "динамических" (5) (7), представляющих собой классические задачи оптимального управления задачи о быстродействии. Представление в виде классической задачи оптимального управления позволяет использовать для решения данной задачи как аналитические результаты оптимального управления, например принцип максимума Понтрягина [3], так и методы численной оптимизации, разработанные для данного класса задач [4 6].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Давыдов Э.Г. Игры, графы, ресурсы. М.: Радио и связь. 1981.
2. Алексеев В.М.. Тихомиров В.М.. Фомин C.B. Оптимальное управление. М.: Наука. 1979.
3. Понтрягин JI.C.. Болтянский В.Г.. Гамкрелидзе Р.В.. Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука. 1983.
4. Моисеев H.H. Численные методы в теории оптимальных систем. М.: Наука. 1971.
5. Васильев Ф. П. Методы оптимизации. М.: Факториал. 2002.
6. Будак Б.М.. Васильев Ф. П. Некоторые вычислительные аспекты задач оптимального управления. М.: Изд-во МГУ. 1975.
Поступила в редакцию 04.12.13
THE TASK OF RESOURCE MANAGEMENT ON A NETWORK SCHEDULE AS AN OPTIMAL CONTROL PROBLEM
Kosorukov O. A., Belov A. G.
This paper describes the problem of optimal allocation of resources for the implementation of interrelated activities complex by the criteria of minimizing the work completion time. Unlike the traditional separable resource type, the authors consider reentrant type, which is reusable. The formalization of this problem is presented both in a direct "static" and a "dynamic" productions. The latter is the classical problem of the time optimal control. The correctness of this formalization is justified.
Keywords: optimization, resources, network schedule, the optimal control, the time optimal control.
