Задача управления многоканальной динамической системой по кусочно-гладкой траектории Текст научной статьи по специальности «Физика»

Артем Сергеевич Кремлев

Сергей Алексеевич Колюбин

Сергей Александрович Вражевский

Сведения об авторах

канд. техн. наук; Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; доцент; E-mail: [email protected]

Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; инженер исследователь студент; Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики

Рекомендована кафедрой систем управления и информатики

Поступила в редакцию 13.12.12 г.

УДК 62.50

Ю. А. Капитанюк, С. А. Чепинский

ЗАДАЧА УПРАВЛЕНИЯ МНОГОКАНАЛЬНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМОЙ ПО КУСОЧНО-ГЛАДКОЙ ТРАЕКТОРИИ*

Решается задача управления движением многоканальной динамической системы вдоль заданной кусочно-гладкой траектории, представленной совокупностью прямолинейных и круговых участков. Синтез закона управления осуществляется с помощью дифференциально-геометрического метода. Основные результаты представлены задачно-ориентированной моделью пространственного движения и соответствующими нелинейными алгоритмами управления.

Ключевые слова: многоканальный объект, движение по траектории, метод преобразования координат, синтез алгоритма управления.

Введение. В настоящей работе рассматривается задача перемещения мобильного робота в рабочем пространстве по предписанной траектории, заданной реперными точками. Особую актуальность данная задача приобрела в связи с бурным развитием беспилотных устройств, для которых движение вдоль заданной траектории является одним из основных режимов работы.

Существует два основных подхода к построению такого рода систем [1, 2]:

1) разработка следящей системы, управляемой некоторой эталонной моделью [3, 4]. Как правило, в такой системе траектория параметризуется некоторой функцией времени. Это приводит к отставанию или опережению движения объекта, вызванному параметрическими неопределенностями или внешним возмущениями, от заданной программы;

2) стабилизация инвариантных многообразий в пространстве состояний [2], т.е. для исходной системы выбирается преобразование, образующее в пространстве состояния некоторый аттрактор. Для траекторных задач в качестве аттрактора выбирается желаемая траектория, заданная в терминах выходных координат. Стабилизация данного решения — гораздо менее трудоемкая задача, чем построение следящей системы в рамках первого подхода [1].

Как объект управления автономный робот является многоканальной нелинейной динамической системой. Задача системы управления подвижного робота заключается в создании

* Статья написана при поддержке гранта Президента Российской Федерации МК-5488.2012.8.

управляющих воздействий, обеспечивающих заданное перемещение центра масс в рабочем пространстве.

В работе используется нелинейное преобразование модели робота к системе задачно-ориентированных координат. Такой подход позволяет свести сложную многоканальную задачу управления к ряду простых задач компенсации линейных и угловых отклонений, а затем с помощью стандартных приемов нелинейной стабилизации [5, 6] найти адекватные законы управления. Полученные в работе результаты развивают известные решения задач управления пространственным движением, предложенные в [5, 7—9].

С использованием дифференциально-геометрических методов нелинейной теории управления [1, 5, 10] синтезированы алгоритмы, обеспечивающие решение задачи стабилизации движения по типовым участкам траекторий, таких как прямая и окружность.

Модель движения подвижного робота и постановка задачи управления. Положение корпуса робота характеризуется вектором декартовых координат у = (уь У2) и углом поворота а связанной с центром масс C робота системы координат относительно системы координат 72071 [2].

С углом а связана ортогональная матрица (матрица вращения):

if (а) cos а sin а т2 (а) - sin а cos а

Кинематическая модель движения робота может быть представлена в виде: y = ff (а)и, и = Byuy, f (а) = шЕТ (а), ш = Ваиа, где и и ш — линейная и угловая скорости движения, иу и иа — управляющие воздействия,

0 1 -1 0.

Траектория робота представляет собой отрезок кривой S (рис. 1), неявное описание которого имеет вид

T (а) =

T(0) = I.

Ву и Ва — обратимые матрицы, E =

Ф( У) = 0,

а значение соответствующей локальной координаты s определяется выражением

s = v(y).

(1) (2)

72

Т2(а)

0

Т1(а*)

71

Рис. 1

Предполагается, что функции ф и у выбраны таким образом, что при у е £ матрица Якоби

M (у) =

ду / ду дф / ду

ортогональна.

Матрица M (у) определяет связанный с траекторией подвижный базис Френе, который для у е S удовлетворяет уравнению

T *(а*) = siJ(s)ET *(а*), (3)

где £(s) — кривизна траектории, а * — угол наклона касательной к кривой S. Матричное уравнение (3) может быть записано в простой форме: а * = s£(s).

Значение а определим как а = а * +Ла или, в матричном виде, T (а) = T (Да)Т (а*), где Да — желаемое угловое положение относительно траектории движения.

Задача управления траекторным движением автономного робота ставится как задача поддержания голономных соотношений между выходами системы у1 (1). Она дополняется

описанием желаемого режима продольного (вдоль траектории) движения.

Рассмотрим ошибки траекторного движения [8, 10]. Положение робота (1) характеризуется ортогональным отклонением e = ф(у), на множестве S е=0. Рассогласование текущего углового положения от заданного определяется угловой ошибкой 5 = а - а * +Ла или, в матричном виде, T (5) = T (а x )TT (Да)Тт (а*).

Таким образом, задача управления движения мобильного робота заключается в определении (в замкнутой форме) входных сигналов Пу и иа, которые обеспечивают:

— стабилизацию движения робота относительно кривой S при е=0;

— стабилизацию заданной угловой ориентации робота относительно кривой S при 5=0;

— поддержание требуемого режима продольного движения мобильного робота, зада-

* *

ваемого с помощью эталонной модели Vs = const, где Vs — скорость движения вдоль траектории.

Синтез алгоритмов управления движением. Приведем алгоритм синтеза управления траекторным движением при использовании предложенного метода.

1) Переход от декартовых координат к задачно-ориентированной модели, выраженной с помощью траекторных координат; введение в рассмотрение новых задачно-ориентированных входных переменных ( e, s, а ) и преобразование управления;

5 = T (аХ )TT (а)и, (4)

e

5 = - s£(s) + ш. (5)

2) Введение локальных законов управления

= TT (Да) и, (6)

"8=-^(+ ® , (7)

или в упрощенном виде:

£ = и3, е = ие, 88 = "8 •

3) Синтез локальных регуляторов:

"з = УБ , "е = -Kee, "8 = -К88,

коэффициенты Ке, К8 выбираются в соответствии с желаемой динамикой.

4) Окончательный синтез регулятора, решающего указанную траекторную задачу:

и

= T (Да)

uc

u„

Ш= Mg + £(s)S = Mg + 5)Mä .

Синтез алгоритмов управления для типовых траекторий. Рассмотрим конкретные реализации для типовых траекторий (рис. 2).

7

Рис. 2

Пусть траектория движения робота представлена отрезком прямой. Нормализованное описание прямой дается с помощь уравнений

ф(у) = - sin а*y + cos а*у2 = 0, s(y) = cos а*y + sin а*y2.

Ортогональная матрица Якоби принимает вид

cos а* sin а*

M (y) = T (а*) =

- sin а* cos а*

SO(2).

Очевидно, что в этом случае £=0. Результат моделирования движения робота вдоль прямой линии представлен на рис. 3, а.

а)

Y2

8 6 4 2 0 -2

S /У у/

/ / / / /

б)

Y2

8 6 4 2 0 -2

S

! ! 1 \

Л- t i . у

\ 1 ч к >

-2

Yi

-2

Yi

Рис. 3

Теперь рассмотрим случай, когда участок траектории представлен дугой окружности радиуса Я с центром в точке уо = (У01, У02 ) . Запишем уравнение окружности в виде

ф( У)=2R (R2 -Ду2 -ДУ22 ) = 0,

2 R

где Ду1 = yi - уо!, Дут = У2 - У02. Длина пути определяется как

0

2

4

6

8

0

2

4

6

8

5 (у) = Я аг^

Ортогональная матрица Якоби принимает вид

АУ2 ЛУ1

М (у) =

-ДУ2 Ау1

-Ау1 -Лу2 = -•

Я

50(2),

Результат моделирования движения робота вдоль окружности представлен на рис. 3, б.

Управление вдоль кусочно-гладкой траектории. Управление для движения вдоль сложной, составной траектории реализуется в виде гибридного регулятора, включающего в себя алгоритм движения вдоль прямой, алгоритм движения, вдоль окружности и алгоритм переключения между ними. Расширяя набор элементарных траекторий, можно более гибко параметризовать заданную траекторию, чтобы улучшить качество работы системы.

На рис. 4 представлен результат моделирования движения вдоль составной траектории. В качестве исходных данных для задания траектории использовались реперные точки, которые соединялись прямолинейными отрезками. Для плавного перехода между отдельными участками вводятся области перехода, которые задаются с помощью окружностей с заданным радиусом, с центром в точке, разделяющей соседние участки. Когда робот оказывается в данной области, регулятор реализует движение вдоль участка окружности. Параметры движения вдоль этой дуги (центр окружности и радиус) выбираются таким образом, чтобы при выходе из области перехода оказаться как можно ближе к следующему прямолинейному участку. Таким образом, комбинируя достаточно простые методы, можно реализовать полноценную систему управления движением мобильных роботов вдоль траектории.

4

Рис. 4

Заключение. Разработанные структура и алгоритмы системы управления подвижными объектами (автономными роботами) могут быть полезны для разработчиков систем управления мобильными аппаратами (колесными, подводными, летательными). Дальнейшим развитием полученных результатов является переход к более сложным и достоверным динамическим моделям роботов, расширение класса базовых кривых, используемых при параметризации сложных траекторий, а также расширение данного метода на случай трехмерного пространства.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Aguiar A. P., Hespanha J. P., Kokotovic P. V. Path-following for nonminimum phase systems removes performance limitations // IEEE Transactions on Automatic Control. 2005. Vol. 50. P. 234—239.

2. Nielsen C., Fulford C., Maggiore M. Path following using transverse feedback linearization: Application to a maglev positioning system // American Control Conf. ACC '09. 2009. P. 3045—3050.

3. Breivik M., Fossen T. I. Principles of Guidance-Based Path Following in 2D and 3D // Proc. of the IEEE Conf. on Decision and Control. 2005. P. 627—634.

4. Lee T., Leok M., McClamroch N. H. Geometric tracking control of a quadrotor UAV on SE(3) // Proc. of the IEEE Conf. on Decision and Control. 2010. P. 5420—5425.

5. Бурдаков С. Ф., Мирошник И. В., Стельмаков Р. Э. Системы управления движением колесных роботов. СПб: Наука, 2001. 232 с.

6. Мирошник И. В. Согласованное управление многоканальными системами. Л.: Энергоатомиздат, 1990. 128 с.

7. Мирошник И. В., Фрадков А. Л., Никифоров В. О. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. СПб: Наука, 2000. 549 с.

8. Мирошник И. В., Чепинский С. А. Управление многозвенными кинематическими механизмами // Науч.-техн. вестн. СПбГУ ИТМО. 2002. № 3. С. 144—149.

9. Мирошник И. В., Чепинский С. А. Траекторное управление кинематическими механизмами нетривиальной конструкции // Науч.-техн. вестн. СПбГУ ИТМО. 2004. № 14. C. 5—10.

10. Бушуев А. Б., Исаева Е. Г., Морозов С. Н., Чепинский С. А. Управление траекторным движением многоканальных динамических систем // Изв. вузов. Приборостроение, 2009. Т. 52, № 11. С. 50—56.

Сведения об авторах

Юрий Андреевич Капитанюк

аспирант; Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики;

E-mail: [email protected]

Сергей Алексеевич Чепинский

канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; старший научный сотрудник; E-mail: [email protected]

Рекомендована кафедрой систем управления и информатики

Поступила в редакцию 13.12.12 г.