Задача уклонения от обнаружения системой разнородных наблюдателей: один сенсор - группа детекторов Текст научной статьи по специальности «Математика»

правление подвижными объектами и навигация

УДК 517.977

ЗАДАЧА УКЛОНЕНИЯ ОТ ОБНАРУЖЕНИЯ СИСТЕМОЙ РАЗНОРОДНЫХ НАБЛЮДАТЕЛЕЙ: ОДИН СЕНСОР - ГРУППА ДЕТЕКТОРОВ1

A.A. Галяев

Рассмотрена задача об уклонении на плоскости подвижного объекта от обнаружения системой разнородных наблюдателей, состоящей из одного сенсора и группы детекторов. Для случая степенной зависимости уровня излучаемого сигнала от скорости движения уклоняющегося объекта в явном виде найден оптимальный закон уклонения. Построены траектории обхода системы наблюдателей и прорыва через систему.

Ключевые слова: поиск, подвижный объект, система разнородных наблюдателей, оптимальный закон, уклонение от обнаружения.

ВВЕДЕНИЕ

Скрытное применение автономных и беспилотных аппаратов в целях проникновения на охраняемую территорию требует решения новых задач управления автономными подвижными объектами (ПО). В последнее время среди общего многообразия задач сформировался класс задач управления подвижными объектами в конфликтной среде, где цель управления объектом, при движении его в конфликтной среде, заключается в минимизации негативного воздействия конфликтующих объектов на управляемый ПО путем выбора его маршрута и параметров движения. Обнаружение объекта принято относить к негативным воздействия. Задачи об оптимизации уклонения подвижного объекта от обнаружения рассматривались в ряде работ. Постановки задач отличаются предположениями о характеристиках информационных полей, в которых происходит обнаружение, классами допустимых законов управления, видом критериев качества, числом обнаружителей, объемом и характером информации, доступной конфликтующим сторонам — см. статьи [1—9] и библиографию к ним.

Для описания механизмов обнаружения наиболее часто применяются два подхода. Первый из

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Программы № 14 ОЭММПУ РАН.

них состоит в оценке интегрального уровня сигнала, поступившего на вход относительно большой информационо-наблюдательной системы за все время наблюдения. В литературе такую систему принято называть сенсором. Оценка интегрально -го уровня сигнала на входе сенсора определяется с учетом решения задачи об оптимизации закона управления подвижным объектом, перемещающимся в течение заданного промежутка времени T из фиксированной начальной точки A(xA, yA) в фиксированную конечную точку B(xB, yB) маршрута, и уклоняющегося при этом от обнаружения наблюдателем (группой наблюдателей), расположенных в районе.

Например, было показано [7, 10], что для практически важного случая малых отношений сигнал/помеха на входе неподвижного сенсора задача о минимизации вероятности обнаружения сводится к минимизации функционала (риска),

T . 2 .2

R = J X^ dt ^ min, (!)

0 X + y (X'y)

где x(t), y(t) — текущие координаты уклоняющегося объекта в декартовой системе координат, начало которой совпадает с позицией наблюдателя; точками сверху обозначены производные по времени; граничные условия задаются соотношениями

x(0) = Xa, y(0) = Уа; x(T ) = xB, y(T) = .в.

Функционал (1) имеет следующую физическую интерпретацию. Риск — это величина, пропорци-

ональная интегральному уровню принятого наблюдателем сигнала, излученного подвижным объектом и прошедшего через среду распространения за время движения объекта по маршруту.

Второй подход к описанию механизма обнаружения состоит в том, что наблюдатель отождествляется с точечным объектом, снабженным круговой зоной обнаружения фиксированного радиуса, центр которой совпадает с текущей позицией наблюдателя. В литературе такого наблюдателя принято называть информационным детектором (или просто д етектором). Цели, попавшие внутрь круга, обнаруживаются достоверно; цели, не попавшие в круг, не обнаруживаются. Задача уклонения от системы наблюдателей, состоящей из сенсора и детектора, решена в работе [6]. Численное решение задачи уклонения от системы наблюдателей, состоящей из групп сенсоров и детекторов, приведено в статье [11].

В настоящей статье аналитически решается задача уклонения от системы разнородных наблюдателей при ограничениях на траекторию движения ПО. Систему разнородных наблюдателей образуют сенсор и группа детекторов — в том информацио-ном смысле, который был им придан выше. Так как попадание подвижного объекта в круговую зону обнаружения детектора с неизбежностью приводит к его мгновенному обнаружению, то задача об оптимизации закона уклонения от обнаружения системой разнородных наблюдателей сводится к задаче уклонения от обнаружения сенсором при наличии круговых запретных зон (кругового ограничения) — зон обнаружения детекторов.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Введем полярную систему координат (р, у), полюс которой совпадает с положением сенсора, а полярная ось проходит через начальную точку маршрута А(ха, уА).

Уравнение круговой зоны обнаружения 1-го детектора в полярной системе координат имеет вид:

Р2г/У) - 2р<(у)/ со8(У - е/) + = >?, (2)

где р,<(у) — полярный радиус точки окружности — границы круговой зоны обнаружения 1-го детектора, (I , е.) — полярные координаты 1-го детектора — центра зоны обнаружения; г{ — радиус зоны обнаружения, I = 1, ..., д — номер д етектора, д — число детекторов.

Решим уравнения (2) относительно полярного радиуса:

р ¡(у) = 1<со8(у - е ,) ± л/г2- /28ш2(у - е,., р1 1 р ш2(у).

Попадание уклоняющегося объекта с полярными координатами (р, у) в пределы круговой зоны обнаружения детектора возможно лишь при выполнении системы неравенств

р, > р(у) > р, <2(у>.

Запрещенные области задаются строгими неравенствами:

О1 = {р(у) : р2(у) -- 2р(у)/,.со8(у - е,,) + /,2 < г2}. (3)

Во введенной полярной системе координат задача об оптимизации закона уклонения от обнаружения системой разнородных наблюдателей сводится к минимизации функционала

т . 2 2 . 2 К = <Ц ^ тш,

(у, р)

(4)

о р

при граничных условиях

р(0) = ра, у(0) = 0, р(Т) = рв, у(Т) = ц,в (5) и ограничениях (р, у) г О; , = 1, ..., д; у е [у(0), у(Т)]. (6)

2. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ФУНКЦИОНАЛЕ

В основе подхода к решению задачи л ежит конформная замена переменных в функционале риска. Так как управляемый объект движется в пространстве К , то предлагается отождествить вещественную плоскость в этом пространстве с комплексной плоскостью С, ввести комплексную переменную ^ = х + ,у, где ^ = (х, у) — двумерный вектор координат объекта на вещественной плоскости, и оптимизировать функционал (4) в плоскости С.

После замены переменной функционал (4) приобретает вид:

т •- т .—

К(г, г, г, г) = [ Цл = [ г (г) <И. (7)

Подынтегральное выражение здесь является произведением некоторой функции и комплексно-сопряженной к ней функции. Дифференциальная замена = г ldz приводит функционал (7) к виду

_ т _

Я(м1, 1, 1, 1) = | 1 1 <И.

0

Вариационная задача об оптимизации исходного функционала (4)—(6) сводится к задаче минимизации

_ t _ R(w, w, w, w) = J w w dt ^ min. (8)

0 w, w

Геодезической линией для задачи (8) в отсутствие ограничений на скорость объекта служит прямая, проходящая через точки wA и wB — образы в пространстве комплексной переменной w граничных точек A и B в исходной задаче. При наличии координатных ограничений геодезической линией также является кривая наименьшей длины. В плоскости w при отсутствии ограничений движение между точкой wA и произвольными точками w1 и w2 происходит по отрезкам прямых.

3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ

При решении задачи (4)—(6) будем пользоваться результатами работы [6], где было показано, что при наличии ограничений в виде неравенств на функции координат ПО оптимальная траектория состоит из участков, часть из которых лежит на границе допустимой области, а остальные — внутри допустимой области. В точках сопряжения отдельные отрезки оптимальной траектории сшиваются гладко. Переход ПО с границы одного ограничения на границу другого ограничения в плоскости w происходит по отрезкам прямых, которые являются касательными к границам. Там же доказана

Лемма 1. Прямолинейные участки траектории, доставляющей минимум функционалу вида (8) при наличии координатного ограничения вида (3), касаются криволинейного ограничения. ♦

Для произвольных двух запрещенных областей Q1 и Q2 и отрезков прямых касательных к обеим областям существует только две возможности расположения этих областей относительно касательных, а именно, области Q1 и Q2 могут лежать либо по одну сторону от касательной, либо по разные стороны. В свою очередь существует только четыре различных касательных к обеим этим областям. Приведенные выше факты усанавливает

Лемма 2. Пусть выпуклые открытые области Q1

и Q2 заданы на плоскости и Q1 n Q2 = 0. Тогда на плоскости существуют четыре различные прямые L, j = 1, 2, 3, 4, такие что Q1 n L. = 0, Q2 n L. = 0,

dQ1 n Ц = 0, dQ2 n L. = 0.

Доказательство ле ммы 2. Так как множества Q1 и Q2 открытые с гладкими границами, то в каждой точке границ dQ1 и dQ2 существуют опорные функционалы (касательные прямые), поскольку в любой гранич-

ной точке тела, т. е. замкнутого выпуклого множества с внутренними точками, существует опорный функционал. По геометрической теореме Хана — Банаха множества Q1 и Q2 являются полностью отделимыми. Далее воспользуемся теоремой Люстерника, которая дает совокупность касательных направлений к множеству dQ = {(x, y):P(x, y) = 0} в точке (x0, y0) в виде подпространства K = {h:P'(x0, y0)h = 0} (линейный функционал). Это означает, что угол, задающий направления всевозможных касательных, пробегает значения от 0 до п при движении точки, например, против часовой стрелки по границе ößj. Поэтому существует ровно четыре касательных, проведенных одновременно к множествам Qj

и Q2. Прямые L, являются опорными функционалами

2 J

сразу для обоих множеств Qj и Q2. Две прямые отвечают ситуации, когда множества Qj и Q2 полностью расположены по одну сторону от прямых. Две прямые соответствуют случаю, когда множества Qj и Q2 полностью расположены по разные стороны от этих прямых. Лемма 2 доказана.

Лемма 3. Области вида (3), заданные в плоскости z при (0; 0) е Q,, i = 1, ..., q, в плоскости w являются открытыми и выпуклыми множествами.

Доказательство л е ммы 3. Будем рассматривать точки, лежащие на границе множества Qi. Действительно, если для отрезка, концами которого являются внутренние точки множества, нарушается определение выпуклости, то отрезок можно продолжить в обе стороны по прямой до пересечения с границей множества. Выберем две произвольные точки z1 и z2 на границе одного из множеств Q, т. е. |z1 — z0| = r, |z2 — z0| = r. Получим точки w1 и w2 в плоскости w. Составим отрезок w = aw1 + (1 — a)w2, a е [0; 1]. Без потери общности можно считать, что z0 = 1 (благодаря выбору системы координат). Для доказательства леммы нужно показать, что этот отрезок целиком находится в образе множества Qi плоскости w. Обратное преобразование точки w дает

a 1 - a ^ л

точку z в виде z = z1 z2 . Составим функцию

Дфр ф2, a, r) = |(1 + re 91) (1 + re 92) — 1| — r.

Если выполняется неравенство Дфр ф2, a, r) < 0, 91 е [0; 2п], ф2 е [0; 2п], a е [0; 1], r е (0, 1), (это ограничение отвечает условию леммы (0; 0) g Q), то |z — z0| < r. Исследование максимума функции Дфр ф2, a, r) при ограничениях ф1 е [0; 2п], ф2 е [0; 2п], a е [0; 1], r е (0, 1) посредством математического пакета Maple, дает max Дф,, ф2, a, r) = 0,

ф1 е[0;2п],ф2 е [0; 2п],a е [0; 1], rе [0;r0] 1 2

где r0 < 1. Максимум достигается на границе множества Q, при ф1 = ф2 = 0, a, r — любые, удовлетворяющие ограничениям. В случае, когда точки z1 и z2 являются внутренними точками множества Q, они лежат в круге с центром в точке z0, меньшего радиуса ч ем r, и точки спирали, соединяющей эти точки, не выходят на границу круга радиуса r. Значит, в плоскости w образы множеств

О( являются выпуклыми и открытыми множествами. Доказательство завершено. ♦

Лемма 3 может быть доказана и другим способом. Например, можно показать, что кривизна любой логарифмической спирали, соединяющей две внутренние точки и г2 множества О,, меньше кривизны окружности с центром в точке г0 радиуса г. Результаты лемм 2 и 3 объединяет

Теорема 1. Пусть О) ^ О,, ,, 7 = 1,

д,, * }■

Решение задачи (4)—(7) в плоскости 1 состоит из последовательно чередующихся отрезков прямых и криволинейных участков движения по границам множеств О. Причем в точках сопряжения участки оптимальной траектории сшиваются гладко, а сама траектория содержит не более чем один участок границы любого множества О.

Доказательство теорем ы 1. Доказательство опирается на леммы 2 и 3. Утверждение, что сама траектория включает не более чем один участок границы любого множества О, доказывается аналогично лемме 3.

Из теоремы 1 следует, что оптимальная траектория состоит не более чем из 2д + 1 участков, где д — число детекторов и соответственно запрещенных множеств.

Остается решить задачу сопряжения участков оптимальной траектории. Пусть участки оптимальной траектории (спирали, начинающейся из точки Б(к дуги окружности О! и заканчивающейся в точке Бы дуги окружности Ок) сопрягаются с дугами окружностей и Ок в точках Б(к и Бы. Так как участки траектории сшиваются гладко, то полярные углы точек касания подчиняются системе уравнений

т/, зт (у в,к - е,)

¡1

г2- /^т^уп - е,)

1п(с°в(уД,к- е,) ±Jг2- ^т2^^ - е,)

!п(1кс°в(у^ - ек)±,уг2 - ^Ш2^, - ек)

Т1кsin- ек)

(9)

г2- ^ш2^, - ек)

1п(1ксо3Вк1 - еk)±Jг1- /-sin2(Vлk¡ - ек)

1п ( /, соз (у - е i )±^ г2 - /^Ш^у^ - е,)

В системе (9) знаку плюс в л евой части каждого уравнения соответствует знак минус в правой части и наобо-

рот. Комбинируя знаки плюс и минус, получаем четыре системы (9), дающие четыре пары решений (, ),

и соответственно четыре пары точек (Пк, Бк). Как и должно быть по теореме 1. ♦

Формулой Я{ = ст./Т., где , — порядковый номер участка оптимальной траектории, а ст, = [(ук -

22

- ун) + 1п (рк/рн)]г- — некоторые константы, определяемые через координаты начальной и конечной точек -го участка траектории, задаются явные выражения для рисков, соответствующих различным участкам оптимальной траектории. Решение задачи (4)—(7) определяет Теорема 2. Пусть функция Я = Я(Тр ..., Тм) задается формулой

N

при ограничении

к = I ,

, = 1 Т

N

IТ = Т.

,= 1

Тогда функция Я достигает минимума на значениях

(10)

Т = У^г' Т

1 N

1УСТ

,=1

Минимальное значение

к =

N ) 2

1УСТ|

,=1

(11)

Доказательство теорем ы 2. Для нахождения решения задачи на условный экстремум воспользуемся методом неопределенных м ножителей Лагранжа. Соста-

N

вим функцию К + X I Т и найдем точки ее экстремума. , = 1

Необходимо выполнены равенства X - СТ = 0 для каждого , = 1, ..., N. Учитывая ограничение на сумму Т, по-

1 N

лучим, что Т = /Уст"; /л/Х и л/Х = — I ^ст I. Из этих двух

Т , = 1

равенств получаем формулу (10). Подставляя значения Т в формулу, определяющую значение полного риска к, находим экстремальное значение функции

К = Уст) /Т.

, = 1

Построение оптимальной траектории уклонения в системе «сенсор — два детектора»

Так как для любых наборов (Т1, ..., Тм) ф (0, .., 0)

N

д I Я + Т1

справедливы соотношения:

' = 1 / 2ст • - = .СТ > 0 и

д2Т Т2

д2|я + Я. N Т дТудТ~

функция Я достигает своего условного минимума (11). Доказательство завершено.

= 0, I фто в точке экстремума вида (10)

4. ПРИМЕР ПОСТРОЕНИЯ ОПТИМАЛЬНОЙ ТРАЕКТОРИИ

Далее рассмотрим задачу перехода ПО из начальной точки А(1; 0) в конечную точку В(0; 1). Сенсор расположен в точке 0(0; 0). Детекторы находятся в точках (ео8(л/6), в1п(я/6)), (ео8(л/3), в1п(я/3)) и обладают разными радиусами зон обнаружения, равными г1 = 0,2, г2 = 0,3 соответственно, как показано на рисунке.

На рисунке приведены две траектории — кандидаты на оптимальную траекторию, а именно, траектория, проходящая через точки А, Б1, —щ^, -О.щ), Н1, В и ее образ в плоскости w, проходящий через точки wA, , г , г , , wв, и траектория, проходящая через точки А, -2, -12(2), -21(2), Н2, В, и ее образ в плоскости w, проходящий через точки wA, , , , ^н ,

Пунктирной линией показана оптимальная траектория при отсутствии детекторов.

Сначала находим координаты точек - 1 и - 2. Получаем значения координат (р, у): — = (1,185; 0,454), —2 = = (0,815; 0,439). Аналогично получаем координаты точек

Н1 и Н2: Н1 = (1,246; 1,199), Н2 = (0,754; 1,245). Координаты точек -12(1) = (1,195; 0,493), -21(1) = (1,295; 1,001), -12(2) = (0,805; 0,473) и -21(2) = (0,707; 0,972) получаем из решения системы уравнений (9).

Затем вычисляем константы ст. для траектории, проходящей через точки А, -1, -12(1), -21(1), Н1, В. Получаем, что ст1 = ъао1 = 0,234, ст2 = ^о1о12( 1} = 0,003,

'3 —12(1) —

>Н1В

12(1) -21(1) = 0,187.

= 0,264, ^4 = а-21(1) н1 = 0,042, ст, =

Далее вычисляем относительные времена движения Т./ Т, значения функционала риска Я на отдельных участках траектории и полное значения функционала риска Я. По теореме 2 получаем, что Т1/Т = ТА—1 /Т = 0,286,

т2/т = т-1-12(1)/Т = 0,033, т3/т = т-12(1) -21( 1)/Т = 0,3°4,

Т4/Т = Т-21( 1)Н/Т = 0,121, Т5/Т = ТНу в/Т = 0,255,

я3 = стАБ2/ ТА-2 = 0,820/Т, я2 = ст-2-12(2) / Т-2-12(2) =

= 0,096/Т, Я3 = ст0 0 / Т— — = 0,870/Т,

' 3 -12(2) -21( 2/ -12( 2)-21(2) '

я4= СТ—21(2)Н2/ Т-21(2)Н2 = 0,347/Т, я5 = стН2В/ ТН2В =

= 0,731/Т и Я = Яа-2-12(2)-21(2) Н2в = 2,864/Т.

Теперь вычисляем константы ст.. для траектории проходящей ч ерез точки А, —2, —12(2), —21(2), Н2 и В. Получаем, что ст1 = ста-. = 0,235, ст2 = ст-. - = 0,001,

3 —1?(?)—

= стН2В

12(2^ 21(2) = 0,186.

= 0,266, ст = ст

= 0,085, ст =

4 —21(2)н2 5

Далее вычисляем относительные времена движения 7../ Т, значения функционала риска Я(. на отдельных участках траектории и полное значения функционала риска Я.

По теореме 2 получаем, что Т1/Т = TAD/Т = 0,275, Тг/Т = TD2Dl2(2)/Т = М21, тз/т = TDl2(2)D2l(2)/Т = 0,293 Т4/Т = Td21(2)h2/T = 0,166, Т5/Т = Th2B/Т = 0,245,

r1 = aAD1/ TAD2 = 0,852/Т, R = CTd2d12(2) / TD2D12(2) =

= 0,064/Т, R3 = CTd D / TD D = 0,907/T,

' 3 d12( 2) d21(2)' d12(2) d21(2) '

r4 = CTD21(2) H2/ TD21(2) H2 = 0,513/T, r5 = ® H2B/ TH2B =

= 0,758/T и R = Rad2d12(2) d21(2)h2b = 3,094/T.

Сравнивая значения риска R = Radd2(i)Di=

= 2,864/T на траектории, проходящей через точки A, D1, D12(2), D21(2), H1, B, со значением риска R =

= rad2d12( 2) d21(2) H2B = 3,094/T на траектoрии, проходящей через точки A, D2, D12(2), D21(2), H2, B, делаем вывод, что оптимальной является первая траектория, которая огибает сенсор и оба детектора. Такая траектория представляет собой траекторию уклонения от системы наблюдателей, состоящей из сенсора и двух детекторов. По второй траектории ПО осуществляет прорыв через систему наблюдателей, состоящей из сенсора и двух детекторов.

При движении ПО по оптимальной траектории с использованием оптимального закона изменения модуля скорости значение функционала обнаружения получается больше оптимального значения функционала при отсутствии детекторов примерно на 16 % и на 5 % лучше значения функционала на траектории, проходящей через точки A, D2, D12(2), D21(2), H2 и B.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе изложены результаты решения задачи об оптимизации закона уклонения подвижного (ПО) на плоскости от обнаружения системой разнородных наблюдателей, состоящей из одного сенсора и нескольких детекторов. В явном виде найдены оптимальные законы управления ПО в задаче развертывания. Доказана теорема о свойствах оптимальной траектории, дающая алгоритм построения оптимальной траектории движения ПО.

Оптимальная траектория движения ПО состоит из последовательно чередующихся участков движения ПО по свободным от ограничений областей плоскости и участкам, представляющим собой дуги окружностей зон обнаружения детекторов. В исходном пространстве участками пути свободными от ограничений являются спирали и дуги окружности, отвечающие движению по границам ограничений. В точках сопряжения участки траектории сшиваются гладко. Существует множество траекторий, доставляющих локальный минимум функционалу обнаружения, а именно, множество траекторий прорыва между сенсором и детекторами и единственная траектория уклонения от всех

наблюдателей системы. Оптимальная траектория выбирается путем сравнения значений функционала обнаружения на траекториях его локального минимума. Глобальный минимум функционала соответствует его м инимальному значению среди значений, принимаемых на множестве траекторий — кандидатах на экстремум.

Изложенные в работе методы построения траектории движения ПО могут быть обобщены на систему обнаружителей, состоящей из детекторов, обладающих более сложной областью обнаружения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Zabarankin M, Uryasev S., Pardalos P. Optimal Risk Path Algorithms // Cooperative Control and Opimizaton. Ch. 1 / Eds. R. Murphey, P. Pardalos. — Dordrecht: Kluwer Acad., 2002. — P. 271—303.

2. Zabarankin M, Uryasev S, Murphey R. Aircraft Routing under the Risk of Detection // Naval Research Logistics. — 2006. — Vol. 53, N 8. — P. 728—747.

3. Szechtman R., Kress M, Lin R., et al. Models of Sensor operations for border Surveillance // Naval Research Logistic. — 2008. — Vol. 55, N 3. — P. 27—41.

4. Yang G, Zhou W, Oiao D. Defending against Barrier Intrusions with Mobile Sensors // Proc. Int. Conf. on Wireless Algorithms, Systems and Applications. — Atlanta, 2007. — P. 113—120.

5. Воронин А.Н., Ясинский А.Г., Шворов С.А. Синтез компромиссно-оптимальных траекторий мобильных роботов в конфликтной среде // Проблемы управления и информатики. — 2002. — № 2. — С. 12—18.

6. Галяев А.А., Маслов Е.П. Уклонение в конфликтной среде от обнаружения системой разнородных наблюдателей // Известия РАН. Теория и системы управления. — 2014. — № 4. — С. 18—27.

7. Галяев А.А., Маслов Е.П. Оптимизация законов уклонения подвижного объекта от обнаружения // Известия РАН. Теория и системы управления. — 2010. — № 4. — С. 52—62.

8. Галяев А.А., Маслов Е.П. О патрулировании барьера сетью мобильных сенсоров // Известия РАН. Теория и системы управления. — 2013. — № 2. — С. 167—173.

9. Галяев А.А., Маслов Е.П. Оптимизация закона уклонения подвижного объекта от обнаружения при наличии ограничений // Автоматика и телемеханика. — 2012. — № 6. — С. 83—94.

10. Сысоев Л.П. Критерий вероятности обнаружения на траектории в задаче управления движением объекта в конфликтной среде // Проблемы управления. — 2010. — № 6. — С. 65—72.

11. Уклонение подвижного объекта от обнаружения системой разнородных наблюдателей / Т.Г. Абрамянц, А.А. Галяев, Е.П. Маслов и др. // Проблемы управления. — 2015. — № 2. — С. 31—37.

Статья представлена к публикации членом редколлегии

Б.В. Павловым.

Галяев Андрей Алексеевич — д-р техн. наук,

вед. науч. сотрудник, Институт проблем управления

им. В.А. Трапезникова РАН, г. Москва,

В [email protected].