Задача типа Газемана для бианалитических функций в статической теории упругости Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЗАДАЧА ТИПА ГАЗЕМАНА ДЛЯ БИАНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В СТАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

Римская Лилия Павловна

канд. физ.-мат .наук, ФГБОУВПО «Смоленская ГСХА»,

214000, Россия, Смоленская область, г. Смоленск, ул. Большая Советская, дом 10/2 E-mail: lilirimska@yandex. ru

Скородулина Елена Юрьевна

канд. физ.-мат .наук, Смоленский филиал ФГБОУ ВО «Российский экономический университет им. Г.В. Плеханова», 214030, Россия, Смоленская область, г. Смоленск, ул. Нормандия-Неман, д. 21

E-mail: eskorodulina@yandex. ru

A TASK OF HASEMAN’S TYPE FOR BIANALYTICAL FUNCTIONS

IN STATIC ELASTICITY

Liliya Rimskaya

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, FSBEIHPE “Smolensk State Agricultural Academy ”, 214000, Russia, Smolensk region, Smolensk, Bolshaya Sovetskaya str., 10/2

Elena Skorodulina

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, FSBEI HPE “Smolensk branch “Plekhanov Russian University of Economics”, 214030, Russia, Smolensk region, Smolensk, Normandie-Niemen str., 21

АННОТАЦИЯ

В статье изучается задача типа Газемана для бианалитических функций. Данная задача относится к одной из четырёх основных задач со сдвигом. В работе используется классическая постановка задачи, в которой краевые условия построены на основе задач теории упругости для изотропных и анизотропных тел. Г лавным отличием краевой задачи типа Г аземана является

Римская Л.П., Скородулина Е.Ю. Задача типа Газемана для бианалитических функций в статической теории упругости // Universum: Технические науки : электрон. научн. журн. 2015. № 11 (22) . URL: http://7universum.com/ru/tech/archive/item/2764

наличие сдвига и комплексно сопряженной неизвестной функции. Это приводит к тому, что граничные значения двухсторонней бианалитической функции задаются в разных точках контура. Кроме этого, двусторонняя задача приобретает свойство односторонней.

Помимо указанных особенностей основной сложностью при решении задачи является наличие в краевых условиях неаналитических компонент.

Решение задачи типа Г аземана для бианалитических функций проводится с использованием общей теории нётеровых операторов и сингулярных интегральных уравнений с ядром Коши.

Основными результатами работы являются следующие. Задача типа Г аземана для бианалитических функций сведена к равносильной системе задач для аналитических функций, установлена нётеровость задачи, определены условия разрешимости. Рассмотрен частный случай, позволяющий получить точное число независимых решений однородной задачи и число условий разрешимости неоднородной.

ABSTRACT

In the article the task of Haseman’s type for bianalytical functions is under study. This task is related to one of the four major tasks with a shift. The classical formulation of the task is used in the article in which boundary conditions are based on tasks of the elasticity theory for isotropic and anisotropic bodies. The main difference between the boundary Haseman’s task is the presence of shift and the complex conjugate of unknown function. It leads to the fact that the boundary values of duplex bianalytical functions are specified at different points in the circuit. In addition, a two-sided task obtains one-sided property.

In addition to specified features, the main difficulty in solving the problem is the presence of a non-analytic component in the boundary conditions.

Task solution of Haseman’s type for bianalytic functions is carried out using the general theory of Noetherian operators and singular integral equations with Cauchy kernel.

Main results are as follows. The task of Haseman’s type for bianalytical functions is reduced to equivalent system problems for analytical functions; Noetherianess of the task is set; solvability conditions are defined. A special case that allows getting the exact number of independent solutions of the homogeneous task and the number of conditions for the solvability of inhomogeneous one is considered.

Ключевые слова: бианалитическая функция, краевая задача, интегральное уравнение.

Keywords: bianalytical function; boundary task; integral equation.

Краевая задача типа Газемана относится к одному из четырёх основных типов краевых задач со сдвигом для бианалитических функций, сформулированных в работах Ф.Д. Гахова (см. [2]). Эти задачи являются, с одной стороны, обобщением краевых задач теории аналитических функций (см. [3]), с другой стороны, строятся на основе теории упругости для изотропных и анизотропных тел.

Изучаемая в работе задача будет рассматриваться в пространстве функций, удовлетворяющих на контуре L условию Гельдера с показателем р (Hp(L)). Норма в этом пространстве определяется следующим образом

= max |p(t)| + sup

|р(т) -p(t)|

teL

T,teL

T ■

tl1

(0 < р < 1).

Решение задачи типа Газемана для бианалитических функций будем искать в виде

F± (z) = Ф±(z) + (z). (1)

Здесь ф± (z) и ф± (z) - кусочно-аналитические функции в конечной области

D+ (z=0 e D+) и бесконечной области D-.

Краевые условия задачи типа Газемана для бианалитических функций на гладком контуре L имеют вид

-F+[a(t)] d F - (t)

--------= Gi(t)—— + gi(t)

dx

dF+[a(t)]

dx

, 4dF (t) . , N

G2(t) ~------ + !g2(t),

(2)

dy dy

где Gk(t) e Н(3 - k)(L) (k = 1, 2), gk(t) e H(1)(L) - заданные на L функции, Gk(t) Ф 0; a(t) - обратный сдвиг, a(t) e H(3)(L), a'(t) Ф 0.

Положим для определенности

F±(z)/z=0 = 0, F±(z)/z=z = 0, j = 1, 2,..., p, (3)

где: Zj - некоторые фиксированные точки из D+.

Используя соотношения

д _ д д д

dx -z —z ’ ду

f

дд

dz dz

перепишем краевые условия (2) в следующем виде

Ф+ '[a(t)] + a(t^+ '[a(t)] + Ф+[a(t)] = Gi(t)[90 ,(t) +19-,(t) + Ф-(t)] + gl(t),

(4)

Ф+ '[a(t)] + a(t)ф+ '[a(t)] 0 Ф+ [a(t)] = 2 ("0[Ф0 '(t) + tФ0 '(t) 0 Ф0 (t)] + g2(t)-Решение задачи. Преобразуем первое краевое условие (4)

Ф+ '[a(t)] = Gl(t)ф0 ’(t) + Qo(t),

где:

Qo(t) = oa(t)Ф+ ’[a(t)] - Ф+[a(t)] + Gi (t)[tФ0 ’(t) + Ф0(t)] + gi(t). Решение задачи (5) дается формулой (4):

X+(z) rQo[PCO] dx X+(z) fQo(x)dx гЯЖхХx]

(5)

(6)

+ »/^\ _ X1 (z) fQ0[H(l)] dx X1 (z) Г Q0 ( x)dx j*

0 2ra l X + (x) x- z 2ra l X + (x) J

L x1 - z

dx +

|xi|-1

+ Z ciw+(z),

i=1

Ф0 ’(z)

X0 (z)r Q0(x)dx

F1 »

, X0(zb Q0(x)dx rR^dx + 2ra jlX + [a(x)](x-z) 2ra Jx + [a(x)]J X1 -z 1

(7)

|xi|-1

+ Z ciw-(z),

i

i=1

где: R1(x1, x) - резольвента интегрального уравнения Фредгольма:

(L p)(t) = P* (z) + Qo(t) ;

|x|—1 X + [a(t)]

(8)

|x*|—1

X: (z) - канонические функции задачи; 2 cw: (z) - решение однородной

i=1

задачи (5), x* = JndG^t) +1.

Используя формулы Сохоцкого, перейдем в уравнении (7) к предельным значениям:

Ф+ '[a(t)] = iQ(t) — X+[a(t)] f Q°(x) a'(T)dT +

0 2 ^°w 2ra JL X+[a(x)] a(x) — a(t)

X+ [a(t)] г Q°(x)dx г R1[x1, x]

(t)]

F1 »

f

2ra LX + [a(x)]L a(t) — a(xj)

a'(xi)dx, + 2 ciw+[a(t)]

Ф— '(t)

Q°(t) X— (t)f Q°(x) [iWdi

дуг

2Gi(t) 2ra fX+ [a(x)] x — t

— l ^ i^dT, + .

2ra L X + [a(x)] L x, — t i=i

С учетом того, что на контуре L выполняются условия

1 г(ф+ [a(x)]}(k) a'(x)dx

{Ф+[a(t)]}k) =— -1

raL

a(x) — a(t)

{ф—(t)}(k) = 1 |ф— (x)x'2(CT)dx, (k = 0,1),

ra L x — t

(9)

(10)

используя выражения (9), (6), преобразуем второе краевое условие (4) к следующему виду

Ф+[a(t)] — Gi (t)Ф—(t) + fA(t, х)ф+[a(x)]dx + f B(t, х)ф—(x)dx = Qi(t), (11)

i=1

L

L

где: A(t, x), B(t, x), Qi(t) - функции, не содержащие неизвестных компонент, причем ядра A(t, х) и B(t, х) являются фредгольмовыми.

Краевое условие (11) представляет собой задачу типа Газемана, содержащую интегральные члены. Решая ее путем сведения к равносильному интегральному уравнению Фредгольма 2-го рода, как это было сделано в [4], определим в случае разрешимости задачи (11) функцию ф: (z).

Подставим граничные значения ф( (z) и ее производных в первое краевое условие системы (4), получим обычную задачу типа Газемана для кусочноаналитической функции фЦ '(z).

Сформулируем полученный результат.

Теорема 1. Решение первой задачи типа Газемана для бианалитических функций сводится к последовательному решению задачи типа Газемана с интегральными членами относительно кусочно-аналитической функции фЦ (z) (11) и обычной задачи типа Г аземана для аналитической функции фЦ '(z) (5).

Задача типа Газемана для бианалитических функций разрешима в том и только в том случае, если последовательно разрешимы задачи (11) и (5). Следовательно, справедливо утверждение.

Теорема 2. Задача И12 является нетеровой. Индекс задачи рассчитывается по формуле

х = -(х* + О, (12)

где: х* = Jnd Gk(t) + 1 (k=1,2).

Рассмотрим один частный случай задачи

Теорема 3. Пусть для коэффициентов краевых условий (2) выполняются условия

Gi(t) = G2(t) = G(t). (13)

В этом случае задача типа Г аземана для бианалитических функций сводится к последовательному решению двух задач типа Газемана для аналитических функций.

Доказательство. Перепишем краевые условия (2) с учетом (13)

ф+ 'ta(t)] + a(tK '[a(t)] + ф+ [a(t)] = G(t)fa0 '(t) +1 ф- '(t) + ф-(t)] + g1(t),

____ ___________________________ _______ _____ (14)

ф+ '[a(t)] + a(t)ф+ '[a(t)] - ф+ [a(t)] = G(t)[ф0 '(t) +t ф- '(t) - ф-(t)] + g2(t).

Преобразуем систему (14) к следующему виду:

ф+ [a(t)] = С(1)фт(^> + g|(t) - g2(t),

2 (15)

ф+ '[a(t)] = С(1)ф- '(t) + Q0(t),

где Q„(t)

a(t)p+ '[a(t)] + t9j '(t) +

gi(t) + g2(t) 2

Заметим, что первое краевое условие системы (15) представляет собой независимую задачу типа Газемана относительно кусочно-аналитической функции фо '(z). Второе краевое условие системы (15) также является задачей

типа Г аземана относительно кусочно-аналитической функции ф^ '(z).

Теорема доказана.

В случае выполнения условий (13) достаточно легко провести точный подсчет условий разрешимости. Обозначим х* = Jnd G(t) + 1.

1) Пусть х* < 0. В этом случае задачи типа Газемана (15), безусловно, разрешимы, решение данных задач содержит

l = 2x* (16)

произвольных комплексных постоянных.

2) Пусть х* > 0. В этом случае однородные задачи (15) неразрешимы, а неоднородные задачи (15) имеют единственное решение при соблюдении следующих необходимых и достаточных условий разрешимости

/pi(t)tk-1dt = „ (i = 1,2) (k = 1,...Jx*|), (17)

L

где pi(t) - решение интегральных уравнений Фредгольма (см. § 3)

(L _p)(t) (L _p)(t)

gi(t) - g2(t) 2X+ [a(t)] ’

Qo(t)

X+ [a(t)]

Общее число условий разрешимости определяется по формуле

(l *4

Xl + x2).

(18)

(19)

Список литературы:

1. Володченков А.М., Юденков А.В. Моделирование основных задач плоской теории упругости однородных анизотропных тел краевыми задачами со сдвигом // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2006. -№ 3. - С. 482-484.

2. Г ахов Ф.Д. Краевые задачи. - М: Наука, 1977. - 640 с.

3. Литвинчук Г.С. Краевые задачи и сингулярные уравнения со сдвигом. -М.: Наука. 1977. - 448 с.

4. Юденков А.В. Краевые задачи со сдвигом для полианалитических функций и их приложения к вопросам статической теории упругости. -Смоленск: «Смядынь», 2002. - 268 с.

5. Юденков А.В., Римская Л.П. Многоэлементная краевая задача для полианалитических функций со сдвигом Карлемана // Universum: Технические науки : электрон. научн. журн. - 2015. - № 7 (19) / [Электронный ресурс]. -Режим доступа: URL: http://7universum.com/ru/tech/archive/item/2412 (дата обращения: 10.11.2015).

References:

1. Volodchenkov A.M., Iudenkov A.V. Modeling of main problems of the plane theory of elasticity of anisotropic bodies by inhomogeneous boundary tasks with a shift. Obozrenie prikladnoi i promyshlennoi matematiki. [Review of applied and industrial mathematics], 2006, no. 3, pp. 482-484 (In Russian).

2. Gakhov F.D. Boundary tasks. Moscow, Nauka Publ., 1977. 640 p. (In Russian).

3. Litvinchuk G.S. Boundary-value tasks and singular equations with a shift. Moscow, Nauka Publ., 1977. 448 p. (In Russian).

4. Iudenkov A.V. Boundary-value tasks with a shift for analytic functions and their application to issues of static elasticity theory. Smolensk, «Smiadyn'» Publ., 2002. 268 p. (In Russian).

5. Iudenkov A.V., Rimskaia L.P. A multi-element boundary value task for analytic

functions with Carleman’s shift. Universum: Tekhnicheskie nauki: elektron. nauchn. zhurn. 2015. № 7 (19). [Universum: Technical Sciences: the electronic scientific journal. 2015, no. 7 (19)]. Available at:

http://7universum.com/ru/tech/archive/item/2412 (accessed: 10 November 2015).