Задача сближения-уклонения для линейных интегродифференциальных систем Вольтерра с управляющими воздействиями под знаком интеграла Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.977

В. Л. Пасиков

ЗАДАЧА СБЛИЖЕНИЯ-УКЛОНЕНИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ ВОЛЬТЕРРА С УПРАВЛЯЮЩИМИ ВОЗДЕЙСТВИЯМИ ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА

Аннотация. Для конфликтно управляемой линейной интегродифференциа-льной системы Вольтерра изучены игровые ситуации наведения и сближения-уклонения. Для решения таких задач предложена некоторая модификация известной экстремальной конструкции академика Н. Н. Красовского.

Ключевые слова: интегродифференциальная система, управляющее воздействие, позиция игры, программный максимин, полунепрерывность.

Abstract. The article investigates game situations of aiming, approaching and deviating for a conflict-controlled linear integrodifferential Volterre’s system. In order to solve such problems the author suggests a kind of modification of the well-known extreme construction by prof. N. Krasovsky.

Key words: integrodifferential game, control action, game position, policy maximin, semicontinuity.

Введение

В работе изучаются задачи управления системами, эволюция которых описывается линейными векторными интегродифференциальными уравнениями Вольтерра, что усложняет применение методов решения подобных задач для дифференциальных систем, развитых в [1-8]. Предлагаемые модификации этих методов используют полную память по управляющим воздействиям [2, 7, 8]. Задачи трактуются как позиционные дифференциальные игры при подходящем выборе пространства позиций.

Рассматривается управляемая система на промежутке [0,0]:

. t t

z (t ) = f (t) + A (t) z (t) + J K (t, s) z (s )ds + J B (t, s )ro(s )ds, z (0 ) = zo, (1)

0 0

m(t)e Wt с Rr, (2)

где z = z(t)e Rn - n -мерный фазовый вектор в момент t£ [0,0]; A(t) - матрица n x n, непрерывная на [0,0]; f (t) - матрица n X1, интегрируемая по Лебегу на [0,0]; K(t,s) - матрица n xn, непрерывная при 0 < s < t <0 ; B (t, s) - непрерывная при 0 < s < t <0 матрица с интегрируемой по Лебегу производной по первому аргументу; ro(t) - управляющее воздействие игрока, стесненное условием (2), ее реализация ®[t], t е[0,0], - интегрируемая по Лебегу на [0,0] r -мерная вектор-функция; Wt - ограниченные замкнутые выпуклые множества в Rr .

Функция Ж = Ж (, г (г)), которая каждому вектору |7, г (г)} ставит в соответствие некоторое ограниченное замкнутое выпуклое множество Ж г-мерного евклидова пространства Яг, называется допустимой стратегией игрока, если W(,г(г))си множества Ж(,г(г)) полунепрерывны сверху

по включению на множестве возможных значений (г, г). Соответствующее управляющее воздействие ю(г)е Ж называется допустимым.

Таким образом игрок, управляющий системой (1), распоряжается выбором значений функции ю(г).

Пусть теперь в (1) до момента ^ управление является некоторой допустимой измеримой функцией ю[7], ге [0,], а после момента ^ управление

организуется по принципу обратной связи, тогда система (1) записывается в следующей форме:

. го г

г (г ) = / (г) + А (г) г (г)+1К (г, 5 )г [,?]<& +1К (г, 5 )г ( )ds +

0 го

го г

+1В (г, 5 )ю[5 ]ds + | В (г, 5 )ю( )ds . (3)

0 го

Правая часть (3) при любой допустимой реализации управляющего воздействия на [^,г] удовлетворяет условию Каратеодори [1, 3, 9] и, следовательно, имеет на [о,0] единственное абсолютно непрерывное решение, удовлетворяющее начальному условию г (о) = го. Символы ю[г ], г [г ] означают реализации ю(г) и г (г) на некотором промежутке.

По схеме из [9, с. 43] получим формулу состояния (1) в момент г с начальным условием г (о) = го .

• •

Обозначим к (г) = г (г)-А (г) г (г), отсюда г (г) = к (г) + А (г)г (г),

г (о ) = го, по формуле Коши [1, с. 37о] получаем:

г

г (г ) = 2 (г,о) го +12 (г,5 )к (5 )ds, (4)

о

где 2 (г, 5) - матрица Коши системы а = А (г )а.

Подставляем (4) и г (г) в (1) и меняем порядок интегрирования по формуле Дирихле [9, с. 38]:

г

к (г ) = / (г) +1К (г, 5 )2 (5,о )dsго +

о

к(5)ds +1В(ґ,5)ю(^)ds . (5)

Пусть Ф(ґ, 5 ) = | К (ґ, т)2 (т, 5 ) т, тогда Ф(ґ,0) = | К (ґ,т)2 (т,0)б/т,

5 0

ф(ґ) = / (ґ) + Ф(ґ ,0) ^о, подставляем в (5):

ґ Ґ

к (ґ ) = ф(ґ) +1 Ф(ґ, 5 )к (5 )ds +1В (ґ, 5 )ю(^ . (6)

0 0

Соотношение (6) является линейным интегральным уравнением Воль-

ґ

терра; аналогично [10, с. 133] обозначим Т(ґ, 5 ) = Е +1Я (ґ, т)d т, где Я (ґ, т) -

5

резольвента матрицы Ф(ґ,т), Е - единичная матрица; тогда решение (6) записывается согласно [11] следующим образом:

К (ґ ) =

(ґ ) = Т(ґ ,0)ф(0) + | Т(ґ ,5 )d ф(5 )-

(ґ, 5 )В (5,5 ) + | Т(ґ, т)^ВМ d т

Ю( 5 ІШ1

(7)

Далее обозначаем

х(г, 5 ) = т(, 5 )В (5,5) +1 , т)^^ т

5

и подставляем в (7):

г г

Уг (г) = ^(г,о)фг- (о) + !Т(г,5)dфг- (5) +1х(г,5Ц (5)ds;

о о

теперь к (г) подставляем в (4) и меняем порядок интегрирования:

г

г (г ) = 2 (г ,о)го +12 (г ,5 )Т(5,оЦф(о) +

(

ю( 5ІШ1

(8)

Теперь, предполагая, что до момента ^, о < ^ <0, реализовалось некоторое допустимое управление ю[г ], а после ^ будет ю[г ] = о, получа-

бо

0

ем состояние системы (1) в момент 0, которое обозначаем символом г(0го):

0

г(0,го ) = 2(0,о)го +12(0,5)¥(,у,о)б&ф(о) +

о

} 2 (в. т)Т(

т,5 )Ст

"0

d ф()+1

ю

тогда состояние системы (1) в момент г, го < г <0, определяется формулой

К0,ґ0 ) = г(0,ґ0 )+ }

ю()С.у .

(9)

Пара {ґ,г(0,ґ)}, ґ0 < ґ <0,

называется

позицией игры; {ґ0, г (0, ґ0)} -

начальная позиция.

Пусть 1о - «-мерный числовой вектор, у которого после т -й координаты приписаны нули, т < п, тогда согласно [1, с. 387] получаем

{/о г(0,г)} = а(г) - решение дифференциального уравнения а = -А'(г)а с краевым условием а(0) = /о , штрих означает транспонирование.

Покроем отрезок [^о, 0] системой полуинтервалов [тг-, тг+1),

(г = о,1,...,п -1; То = ^о,тп = 0), 8у - диаметр покрытия, отвечающийу-му разбиению.

В каждый момент тг- управляющее воздействие выбирается из условия ю(тг- )е ЖТ . Символом г (г )д обозначим решение системы

• г го

г (г ) = / (г) + А (г) г (г) +1К (г, 5) г (5 )ds +1В (г, 5 )ю[^ ]ds +

*1 '2 *

+1В (г, 5 )ю(то )ds +1В (г, 5 )ю(т1 )ds + ... + | В (г, 5 )ю(тп-1 )ds . (1о)

то Т1 Т«-1

Его состояние г (0, г ) в момент г согласно (9):

*1

К0, ґ )д= г (0, ґ0)+ |

ю(т0 )ds +

'2

1

ю(т1 )ск +... + |

1п-1

т

0

Определение 1. Движением системы (1), порожденным стратегией Ж (, 2 (г)), из позиции (, г (0, ^)) называется всякая абсолютно непрерывная функция г [г], для которой на отрезке [0,0] найдется подпоследовательность г [г]д последовательности (11), равномерно сходящаяся на [0,0] к г [г] при условии у ^+°° (■ ^ 0) .

При неограниченном измельчении разбиений получаем последовательность решений (11) пошагового уравнения (10). Согласно [12, с. 9] последовательность (11) на [0,0] равностепенно непрерывна, а сумма конечного

числа интегралов суммируемых функций равномерно ограничена. По теореме Арцела [12], множество движений, удовлетворяющих определению 1, не пусто.

1. Игровая задача сближения-уклонения для линейных интегродифференциальных систем Вольтерра

Рассматривается динамическая система, которая складывается из двух управляемых объектов, движения которых на [0,0] описываются уравнениями типа (1)

, г г

х (г ) = / (г) + А (г )х (г) +1К1 (г, 5 )х (5 )ds +1В1 (г, 5 )и (я )ds, х (0 ) = Х0; (12)

0 0

, г г

у (г) = /2 (г) + А (г)у (г) +1К2 (г, 5 )у (я )ds +1В2 (г, 5 у (я )ds, у (0) = У0; (13)

и

(г )е иг е В1, V (г )еУг е ВТ2. (14)

Игра рассматривается на заданном промежутке, плата изображается равенством

г(в)={ у (в)}„-{ X (0)}„

(15)

• - символ евклидовой нормы; символ {г}т обозначает вектор, составленный из первых т координат вектора г, остальные координаты равны нулю.

Первый игрок распоряжается выбором управления и (г)е и( и стремится минимизировать величину у(0) на траекториях х[г], 0 < г <0, в паре с любой допустимой интегрируемой реализацией V[г], 0 < г <0, управления второго игрока.

Цель второго игрока, который распоряжается выбором управления v(г) е V, противоположна и состоит в максимизации величины (4) на траекториях у [г], 0 < г <0, в паре с любой допустимой интегрируемой реализацией и [г], 0 < г <0, управления второго игрока.

Состояния систем (12), (13) записываются аналогично (9):

х (0, ґ) = X (0, ґ0) + І

У (0ґ) = У (0, ґо) + |

| X (0, т) Хі (т, 5) й х

.5

" 0

ІУ (0, т) Х2 (т, 5) й т

и (5)й5 ;

(

V (5 ) й5 .

Определение 2. Тройка р = {ґ, х (0, ґ), У (0, ґ)} называется позицией игры в момент ґ , ґ0 < ґ < 0, 0<ґо <0; Ро = {ґo,х(0,ґо),У(0,ґо)} - начальная позиция игры [1-3], а также [13].

Из определения 2 вытекает, что области достижимости [1, с. 399] систем (12) и (13) в момент 0 из начальной позиции ро ={ґо,х(0,ґо) ,у(0,ґо)} состоят из всех точек соответственно:

X (0) = X (0, ґо) + І

У (0) = У (0 ґо) + |

| X (0, т) Х1 (т, 5) й х

5 " 0

ІУ (0, т) Х2 (т, 5) й т

и [5]й5 ,

V[5]й5 .

(16)

и [г], V[г], г0 < г <0, - всевозможные допустимые реализации управляющих воздействий.

Из вида формул (16) вытекает, что все свойства областей достижимости, установленные в [1], имеют место и в рассматриваемом случае. Для вычисления позиции требуется полная память по управлениям.

Определение 3. Стратегией и(V) первого (второго) игрока будем называть многозначное отображение, которое каждой реализовавшейся позиции р ={г, х (0, г), у (0, г)}, г0 < г <0, ставит в соответствие некоторое непустое множество [1]:

и = и (г, х (0, г), у (0, г) ) ^ и (г, х (0, г), у (0, г) ) с иг, V = V (г, х (0, г), у (0, г) ) ^ V (г, х (0, г), у (0, г) ) с Vt.

Реализации допустимых управлений являются измеримыми селекторами многозначных стратегий и и V существующими согласно теореме об измеримом выборе [3, с. 55].

Уточним постановку задач для обоих игроков.

Задача 1. Среди допустимых стратегий и первого игрока найти стратегию ие, которая при любом допустимом способе управления второго игрока для любой начальной позиции Р0 ={г0, х (0, г0) , у (0, г0) } , 0 < г0 <0, гарантирует результат игры

(у(0) Ь,х(0,г0),у(0,г0),ие,у)<ео(г0,х(0,г0),у(0,г0)) .

Задача 2. Среди допустимых стратегий V второго игрока найти стратегию Vе, которая при любом допустимом способе управления первого игрока для любой начальной позиции Р0 = {0, х (0, ^) , У (0, (0) }, 0 < ^ <0, гарантирует результат игры

(у(0) ^,х(0,(0),У(0,(0),и^е)^е0(tо,х(0(0),У(0(0)) .

Здесь £0(0,х(0,^0),У(0,^0)) , 0<^0 <0, - программный максимин для начальной позиции Р0, который определяется согласно (16) формулой [1, с. 131]:

£0 (( х (0 (0) , У (0 (0) )

= тах 11/|1=1

I тах

I у(*)=у^.

| / 'у (0, х) Х2 (х, 5) а 1

>(*) а* -

I тах

^ и(*) =иеи*

I/Х(0, х) Х1 (х, 5) ах

и(*) а* +/'(у (0, ^) - х( 0, (,) )

, (17)

если £0 (, х (0, ^0) , У (0, ^0) ) > 0, иначе £0 (, х (0, ^) , У (0, ) = 0.

Аналогично [1, с. 131], говорят, что имеет место регулярный случай, если для всех позиций, которые могут встретиться в рассматриваемой игре, максимум в правой части (17) достигается на единственном векторе /0 . Иначе говорят, что случай не является регулярным. Здесь рассматривается только регулярный случай. Введем теперь в рассмотрение функцию:

0

+1 тах

( Ч*)

0

£(, х (0, (), У (0, () ) = |

(0

0 " | /0 у (0, х) Х2 (х, *) а х

0

| /0)у (0, х) х 2 (х *) а х

у[ *]а* +

>(*) а** -1

| /0 х (0, х) Х1 (х, *) а х

1[*] а* -

“I тах

и (*)=иеи*

| /0 у (0, х) Х1 (х, *) а х

и (*)а* + /0 (у (0, (0) - х(0, ^0)) , (18)

где /0 - решение задачи (17); при (= (0 получаем значение

£0 х (0, (0) , У (0, (0) ) .

Все свойства функций £((,х(0,(),У(0,( )) и /0 (, х (0, (), У (0, ()) , установленные в [1], имеют место и для нашего случая вследствие аналогичности формул.

Вычисляем производную:

d 0 0

~Т = JKГ (6, x)X2 (x, t)dт] v(t) - max J[/0Y(0,x)x2 (x, t)dx]v-

ІГ/0X(0,т)хі (т,t)dтJu(t) + max JL/0X(0,т)хі (т,t)dтіu . (19)

» 11C.TT *

usU t tt

m-

Здесь согласно [1, с. 387] m-мерные векторы-строки (X(0,т) и (0Y (0, т) - решения дифференциальных систем 01 = -A{(t )ai и

02 = -A2 (t )o2 с краевым условием IQ .

d £

Тогда производная — записывается в следующей форме [14, с. 234]:

dt

d£ 6 6

~Т= I 02 (т)Х2 (т,t)dxv(t)- max I o2 (x)x2 (x,t)dxv -

dt J veVt J

t t t

0 0

- Гo1 (x)xi (x,t)dxu(t) + max Гo1 (x)xi (x,t)dxu . (20)

J 11C.TJ J

0

ueU,

Обозначим для краткости

0

t 11

х6 (t) = Jal (т)хі (т,t)dт,

t

0

У6 (t ) = J a2 (т)Х2 (^t )d т,

получаем

— = ye (t)v(t) - maxye (t)v - xe (t)u (t) + max xe (t)u .

dt veVt ueUt

Определение 4. Пусть m-мерный вектор Iq в каждый момент t,

0 < t <0, доставляет максимум правой части (17), тогда если позиция p ={t,x(0,t),y(0,t)} такова, что £q(t,x(0,t),y(0,t))> 0, то с этой позицией

будем сопоставлять множество Ue (t,x(0,t),y(0,t))(e (t,x(0,t),y(0,t))

всех векторов Ue (t,x(0,t),y(0, t))eUto [ve (t,x(0,t),y (0,t) ) e Vt), которые удовлетворяют условию

х6 (t) u6 (t) = max х6 (t) u, У6 (t) v6 (t) = max У6 (t) v

usUt V vsVt

(21)

Стратегию ие (Vе) называют экстремальной стратегией первого (второго) игрока. Из определения 4 и результатов [1] следует, что экстремальные стратегии допустимы.

Используя приведенные выше фрагменты доказательств, покажем справедливость следующих утверждений.

Теорема 1. В регулярном случае при выборе первым игроком стратегии ие = ие ((, х (0, (), У (0, ()) , (0 < (<0, 0 < (0 <0, описываемой определением 4, ему будет гарантирован результат игры

{У(0)}т -{х(0)}Л <£0(,х(0,(0),У(0,(0) )

при любом допустимом способе управления второго игрока.

Доказательство. В равенстве (20) будем считать, что первый игрок в течение всей игры применяет свою экстремальную стратегию, а второй игрок - произвольную допустимую, тогда из (20) и (21)

— = Уе (()V(() - тахУе (()V,

отсюда а£ < 0 .

отсюда — < 0 .

аг

Таким образом, когда функция £(() положительна, то при почти всех (, < (<0, она имеет неположительную производную, следовательно, функция £((), (0 < (<0, не возрастает, а значит,

£(0, х (0,0), у (0 0) ) <£0 (( х (0, (0) , У (0, (0) ) ,

где £(0,х(0,0),у(0,0) ) = |у(0) }т -{х(0) }т

для случая, когда первый игрок

применяет свою экстремальную стратегию, а второй игрок - произвольную допустимую.

Теорема 2. В регулярном случае при выборе вторым игроком стратегии ие = ие ((, х (0, (), у (0, () ) , (0 < (<0, 0 < (0 <0, описываемой определением 4, ему будет гарантирован результат игры

{у(0)}т -{х(0)}т||>£0(х(0,(0) ,У(0,(0) )

при любом допустимом способе управления игрока.

Доказательство. Считаем теперь, что второй игрок в течение всей игры применяет свою экстремальную стратегию, тогда из (20), (21)

— = -хе (()и (() + тах хе (()и , а( У У ’ ии У ’

а £ > 0

отсюда — > 0 .

а(

Получаем, что когда функция е(') положительна, то при почти всех ', 'о < ' <0, она имеет неотрицательную производную, следовательно, функция е('), 'о < ' <0, не убывает, а значит,

е(0, х (0 0), у (0 0) ) >ео (( х (0, 'о) , У (0, 'о) ) ,

где е(0,х(0,0),У(0,0) ) = {У(0)}т -{х(0) }т для случая, когда первый игрок

применяет произвольную допустимую стратегией, а второй - свою экстремальную стратегию.

Непосредственным следствием теорем 1 и 2 является следующая теорема о седловой точке.

Теорема 3. В регулярном случае при выборе игроками своих экстремальных стратегий ие, Vе, описываемых определением 4, им будет гарантирован результат игры

{у(0)}т -{х(0)}т|| = е0(х(0,*о) ,У(0,'о)) .

Пример. Пусть движение управляемого объекта описывается скалярным уравнением

г (ї) =

здесь /(ї) = вг, К(ї,= 1, А(ї) = 0, В(ї,= 1.

Соответствующее дифференциальное уравнение имеет вид а(ї) = 0, тогда положим, что фундаментальная матрица 2 (ї) = 1, матрица Коши 2 (ї, 5) = 2 (ї) 2-1 (л) = 1.

Далее вычисляем

ї ї

Ф(ї, л) = IК (ї, т) 2 (т, л) d т = | d т = ї -5,

5 5

резольвента этой матрицы определяется формулой [15]

Я(ї, л) = бЬ(ї - л) = -

тогда

вї-* - в-(ї-л)

2

ф(ї,л) = 1 + -21(вї т-в (ї т)) dт = 1 + -2 -2(

( -вї -т ї - в-(ї-т) ї)

V л * )

= 1+-І-1 + в™ -1+в' 2

ї-л , -(ї-л)

(ї-л) \ = в + в к !

= еЬ(ї - л) ,

согласно (7) %(ї, л) = V(ї, л), ф(ї) = вг + ї, ф(0) = 1.

Вычисляем теперь слагаемые в (8):

ї ї л — л ї 1

12(ї,я)? (я,о) С,Уф(0) = | ---в—ds = |еЬsds л |0 = ї = —|

2

0 0 0 ї ї ї

=-( - в-ї

12 (ї, т)«¥(т, л) d т = I ¥(т, л) d т=| еЬ (т-л) d т = 8Ь (ї - л) = 2 (вї л - в (ї л));

ї

0

| 12(ї,т) ¥(т,л) dт

0

-21 (вї-" - в-^-^)( + л) Сл = 1 І (в - в *'~ + їв' -- лв 0 0

1 ї 1 ї 1 -ї 1 ї 1 11 -ї 1 1

= -їв --в + — в +— в - —ї-------в --ї+ - =

2 44 2222 22

= ї ("2 в1 -^+4 в1 - 4 в-ї = ї ^ -2 в1 -1^+4 (вї - в-ї) = ї (2 вї -1)+-2 бИї ;

получаем для начального условия г (0) = 1:

г(ї) = 1 + бИї + -2бИї + ї^2вї -1^ = 1 + "З^ї + їV1 в1 -1^ +18Ь (ї - л) и (л) Сл ; для начального условия г(0) = 2 :

г(ї) = 2 + 4$аї + їV2в1 -1^ +18Ь(ї - л) V() Сл.

Рассматриваем теперь задачу сближения двух однотипных объектов [1]:

, г г

х{ (г) = е1 +1х1 (5) Си +1и (5) сЬ, х( (о) = 1, 1 = 1,2;

о о

, г г

У{ (г) = ег + |У (и) <* +1V(и) <*, у( (о) = 2 , 1 = 1,2;

о о

для позиции игры получаем

3 (1 ^ 'о

Х1 (0,'о ) = 1 + — 8Ь0 + 01 — е0 - 11 + 18Ь('о - и) и [и]<& ,

У1 (0, 'о) = 2 + -^0 + 0 [ 1 е0 -11 + 1('о - и) V [и ]<& .

2 ^2 ' о

Будем теперь считать, что игрок, управляющий движением х (г), выбирает управляющее воздействие со значениями на отрезке [2,5], а игрок,

управляющий движением у (г), выбирает управляющее воздействие со значениями на отрезке [3,4]. Из элементарных соображений заключаем, что экстремальный вектор 1о имеет постоянное направление по прямой у = х в направлении возрастания х и у; экстремальное управление имеет вид

(, и2) = (5,5) , (, v2) = (4,4) . При таком использовании ресурсов управления первый объект догонит второй объект.

Список литературы

1. Красовский, Н. Н. Игровые задачи о встрече движений / Н. Н. Красовский. -М. : Наука, 197о. - 42о с.

2. Красовский, Н. Н. Позиционные дифференциальные игры / Н. Н. Красовский, А. И. Субботин. - М. : Наука, 1974. - 456 с.

3. Субботин, А. И. Оптимизация гарантии в задачах управления / А. И. Субботин, А. Г. Ченцов. - М. : Наука, 1981. - 288 с.

4. Красовский, Н. Н. Управление динамической системой / Н. Н. Красовский. -М. : Наука, 1985. - 518 с.

5. Осипов, Ю. С. Дифференциальные игры систем с последействием / Ю. С. Осипов // ДАН СССР. - 1971. - Т. 196, № 4. - С. 779-782.

6. Осипов, Ю. С. Альтернатива в дифференциально-разностной игре / Ю. С. Осипов // ДАН СССР. - 1971. - Т. 197, № 5. - С. Ю25-Ю25.

7. Субботин, А. И. Экстремальные стратегии в дифференциальных играх с полной памятью / А. И. Субботин // ДАН СССР. - 1972. - Т. 2об, № 3. - С. 552-555.

8. Субботин, А. И. Дифференциальные игры с полной памятью. Экстремальные стратегии в позиционных дифференциальных играх / А. И. Субботин. - Свердловск, 1974. - С. 211-233.

9. Ландо, Ю. К. Элементы математической теории управления движением / Ю. К. Ландо. - М. : Просвещение, 1984. - 88 с.

10. Цалюк, З. Б. Интегральные уравнения Вольтерра. Математический анализ. Итоги науки и техники / З. Б. Цалюк. - М., 1971. - Т. 15. - С. 131-198.

11. Винокуров, В. Р. Некоторые вопросы теории устойчивости интегральных уравнений Вольтерра / В. Р. Винокуров // Известия вузов. Математика. - 1969. -№ 6. - С. 24-34.

12. Филиппов, А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью / А. Ф. Филиппов. - М. : Наука, 1985. - 224 с.

13. Пассиков, В. Л. Экстремальное прицеливание в игре линейных систем Вольтерра / В. Л. Пасиков // Дифференциальные уравнения. - 1986. - Т. XXII, № 5. -С. 9о7-9о9.

14. Натансон, И. П. Теория функций вещественной переменной / И. П. Натансон. -М. : Наука, 1974. - 48о с.

15. Краснов, М. Л. Интегральные уравнения. Задачи и упражнения / М. Л. Краснов, А. И. Киселев, Т. И. Макаренко. - М. : Наука, 1976. - 215 с.

Пасиков Владимир Леонидович

кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математического анализа и информатики, Орловский гуманитарно-технологический институт (филиал Оренбургского государственного университетеа)

E-mail; [email protected]

УДК 517.977 Пасиков, В. Л.

Задача сближения-уклонения для линейных интегродифферен-циальных систем Вольтерра с управляющими воздействиями под знаком интеграла / В. Л. Пасиков // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2011. - № 2 (18). - С. 58-70.

Pasikov Vladimir Leonidovich Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of mathematical analysis and informatics, Orel Humanitarian and Technological Institute (affiliated branch of Orenburg State University)