Задача с косой производной для (2m+1)-параболических уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.946

ЗАДАЧА С КОСОЙ ПРОИЗВОДНОЙ ДЛЯ (2т+1)-ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ*)

А. М, Абдрахманов, А. И, Кожанов

Работа посвящена исследованию разрешимости краевых задач с косой производной для уравнений

(_1 и _ Мп=/(х,г), (1)

где = то ^ 0, — целое число, М — эллиптический оператор второго порядка, действующий по пространственным переменным (подобные уравнения называются иногда (2т + 1)-параболическими уравнениями, иногда — эллиптико-параболическими уравнениями). Различные краевые задачи для уравнений вида (1) изучались в работах [1-8], однако задача с косой производной ранее не рассматривалась.

Перейдем к содержательной части работы.

Пусть Л — ограниченная область пространства М" с гладкой (для простоты бесконечно дифференцируемой) границей Г, ф — цилиндр П х (0, Т), 0 < Т < + ж, S — боковая граница цилиндра ф, аг(х), аг(х), г, ] = 1,... ,п, ао(х), ао(х), — заданные при I е П, ( е [О, Г]

функции. Пусть М и I — дифференциальные операторы, действие которых определяется равенствами

д ■ ■

Ми = —— {аг° (х)их .) + ао (х)и, дхг '

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта №06-01—00439) и Сибирского отделения РАН, интеграционный проект № 48).

@ 2008 Абдрахманов А. М., Кожанов А.И.

¡и = ак (х)иХк + ао(х)и

(здесь и далее по повторяющимся индексам ведется суммирование в пределах от 1 до и).

Краевая задача I. Найти функцию и(х,Ь), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения (1) и такую, что для нее выполняются условия

Щз = 0, (2)

В£ и|4=0 = 0, к = 0,1,...,ш, (3)

В£ и|4=т = 0, к = 0,1,...,ш - 1. (4)

Краевая задача II. Найти функцию и(х,Ь), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения (1) н такую, что для нее выполняются условия (2), (3), а также условия

В£и11=т = 0, к = ш+\,... ,2ш. (5)

Приведем вспомогательные сведения, которые понадобятся ниже. Обозначим через В оператор, действие которого определяется равенством

Ви = М1и - 1Ми.

В

имеет вид

Ви = Ь13( х)их^ + Ьг( х)ихЪ0(х)щ

функции Ьг(х), Ьг(х), г,] = 1,... ,п, Ь$(х) здесь определяются функциями о,г3(х), ак(х), г,],к = 1,... ,гп, ао(х) и ао(х). Очевидно, что если коэффициенты этого оператора ограничены в Л, то для любой функции ^(х) из пространства выполняется неравенство

\\Ву\\12(П) < Ь0\\v\l (6)

если же ограниченными в П являются функции Ьгз (х), Ьгх(х), Ьг(х), г = !,... ,п, Ь$(х) и если дополнительно функция ¡V обращается в нуль

на Г, то для любой функции ^и(х) го пространства выполняется

неравенство

J < Ь1 \\Н\^1(П) +Ь2\М\12(п); (7)

п

постоянные Ьо, ^ и ^ здесь определяются лишь функциями аг3 (х), а^х), г,],к = 1,... ,п, ао(х) и ао(х).

Обозначим через х), к = 1,... ,п, компоненты вектора внутрен-

х

ак{х)^к(х) ^ 0 при х € Г.

(8)

Пусть — функция из класса ^(х) : V € ^^И), ¡V € и

пусть выполняется условие (8). Тогда если дополнительно выполняется условие

а0(х)еС(П), ак{х)еС1{ П), к=1,...,п,

ао(х) — —(Ук(х) ^ «о > 0 при х € О, 2 к

то имеет место оценка

\М\ь2(п) < Д>\\Н\ь2(п);

если выполняются условие (9), а также условие

а0(х) е С1(П),

«о(ж) - ^а^(х)

£ + аХг£г£г > а |£Г, «1 > 0, х € О, ^ К™,

то имеет место оценка

если выполняются условия (9), (11), а также условие

а0(х)еС2(Щ, ак(х)еС2(Щ, к = 1,. .. ,п,

" 1 "

(9) (10)

(П)

(12)

а0(х) - -а (х)

+ аХДх)6;£гз + аХ3 (х)Ы& > ,

г,о=1

«2 > 0, ж € О, еК, г, ] = 1,... , п, (13)

то имеет место оценка

1М1^|(П) < в), (14)

причем постоянные во > А н в этих неравенствах определяются лишь функциями ак(х), к = 1,... ,п, н ао(х).

Для доказательства этих неравенств достаточно последовательно проанализировать равенства

Ь2(П) = Ь2(П),

(Ь, V)=

(Ь, V)= (т^)^

в которых скобками обозначается скалярное произведение в пространствах £2(0), (П) и ^|(П) соответственно, т(х) есть функция ^(х); сам анализ основан на интегрировании по частям, использовании условий (8), (9), (11) и (13), а также применении неравенств Коши — Бу-няковского и Гёльдера.

Пусть — функция из пространства ^|(П), обращающаяся в нуль на Г, М — эллиптический в П оператор. Тогда прп выполнении условия

а>о(х) ^ —«о > 0 при ж € О (15)

для функций из пространства ^|(П), обращающихся в нуль на Г, имеет место оценка

т\\vWwm < М\12(П) (16)

т

М

Теорема 1. Пусть выполняются условия (8), (9), (11), (13), (14), а также условия

а'Цх) еС2(Щ, ¿:>(х) = а?'1(х), I,] = 1,... ,п, а0(х) £ С2(П); (17)

> ™о|е|2, то > О, X € П, е € М"; (18)

Ъ\ < т, Ъ2во < а0, Ъоръ < т. (19)

Тогда если функция/(х, г) такова, что /(х,г) е 1/(х,г) е

то краевая задача (1)-(4) имеет решение и(х,г) такое, что

и(х,г) е Ь2(о)), вки(х,г) е

Бк ¡и(х, г) е Ь2(Я), к = 0,1,... ,2т+1,

и это решение единственно.

Доказательство. Пусть д(х,г) — заданная функция из Рассмотрим вспомогательную краевую задачу: найти функцию и(х, г), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения

(_1 ув\т+11и _ М1и _ Би = д(х,г) (20)

и такую, что для нее выполняется условие

Вк 1и\г=о = 0, к = ОД,... ,т, Вк¡и\г=т = 0, к = 0,1,... ,т_ 1, (21)

а также условие (2).

Разрешимость этой краевой задачи установим с помощью метода продолжения по параметру. Именно, пусть А — число из отрезка [0,Т]. Рассмотрим семейство краевых задач: найти функцию и(х,г), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения

(_1 )тВ2т+11и _ М1и _ АБи = д(х,г) (20А)

и такую, что для нее выполняются условия (2) и (19). Обозначим через

А, (20л), (2), (21) разрешима в классе

{и(х,г) : и(х,г) е Ь2 (о,Т;ШЦП)), Вки(х,г) е Ь2(0),

Вк1и(х,г) е Ь2(ф, к = 0,1,... ,2т+ 1}

для любой функции д(х,г) из пространства Ь2^). Если мы покажем, что множество Л непусто, открыто и замкнуто, то оно, как известно,

,

,

требуемом классе.

Покажем, что множество Л непусто.

Краевая задача (20о), (2), (21) является аналогом первой краевой задачи для (2т + 1)-параболического уравнения

относительно функции л = ¡и; при выполнении условий (15), (17), (18) данная краевая задача имеет решение такое, что €

Ь2 (О )), В£ л(х,г) € Ь2(Я), к = 0,1,...2т+ 1 (см. цитиро-

ванные выше работы). Далее, уравнение ¡и = л, условия (8), (9), (11) и (13) дают возможность найти функцию и{х,£), причем для функции и(х, £) будут иметь место включения и(х,Ь) € В£и € к = ОД,... ,2т + 1 (см. [10]). Таким образом, при

выполнении условий теоремы краевая задача (20о), (2), (21) имеет решение и(х,€), принадлежащее требуемому классу. Это и означает, что число 0 принадлежит множеству Л.

Открытость и замкнутость множества Л вытекает из априорных оценок (см. [11]). Установим их наличие.

Рассмотрим равенство

Интегрируя в левой части этого равенства, оценивая правую часть с помощью неравенства Юнга, неравенств (7) и (10), нетрудно получить неравенство

(_1)тв^т+1 л - Мл = д(х,г)

! [(-1 )тв1т+1 ¡и _ М1и}1иё,хё,г = J(g + \Bu)¡udxdt

Я

я

п

в котором 6 — произвольное положительное число. Из этого неравенства и из условия (19) вытекает первая априорная оценка решений краевой задачи (20л), (2), (21)

¥и\\ыо,т-ЖЦа)) < К\\д\\ь2{Я), (22)

постоянная К в которой определяется лишь коэффициентами операторов М и ¡.

На следующем шаге рассмотрим равенство

J [(-1 )тв1т+1 ¡и _ МЫ} МЫ dxdt = J[g + \Bu\Mlu dxdt. Я Я

Вновь интегрируя в левой части, оценивая правую часть с помощью неравенства Юнга, неравенств (6) и (4), используя далее условие (19), нетрудно получить вторую априорную оценку решений краевой задачи л

¥и\\ыо,т-ж?2щ) < К\\д\\ь2{я), (23)

К

торов М и ¡, а также областью П.

Из оценок (22) и (23) очевидным образом вытекают оценки

\\и\\ь2(0,Т;Ж|(П)) < К\\д\\ь2{Я), (24)

2т+1

Е № и|| ь2(Я) + 11 вк¡и1ь2{Я)) ^ К\\д\\ь2(Я)', (25)

к=0

постоянная К здесь определяется лишь числами [32 и К2, постоянная К — лишь числами К, К2 и Т.

Оценок (22)-(25) согласно [11] вполне достаточно для доказательства открытости и замкнутости множества Л. Как говорилось выше,

открытость, замкнутость и установленная ранее непустота множества

,

вая задача (20), (2), (21) будет иметь решение и(х,^, принадлежащее требуемому классу.

Пусть теперь д(х,г) — функция ¡/(х,г). Уравнение (20) в этом случае можно записать в виде

/((_1)тВ\т+1 и _ Ми _ /) = 0.

Из этого уравнения и из условий (8) и (9) следует, что почти всюду в Q выполняется тождество

(_1 )тв\т+1 и _ Ми = /.

Далее, из тех же условий (8) и (9) следует, что для функции и(х,г) выполняются условия (3) и (4). Другими словами, функция и(х,г), являющаяся решением краевой задачи (20), (2), (21) с д = I/, будет требуемым решением краевой задачи (1)-(4).

Единственность решений очевидна.

Теорема полностью доказана.

Теорема 2. Пусть выполняются все условия теоремы 1. Тогда если функция /(х, г) такова, что /(х,г) е Ь2^), 1/(х,Ь) е то

краевая задача (1)-(3), (5) имеет решение и(х, г) такое, что

и(х,г) е Ь2(о,Т-,Ш2(П)), вки(х,г) е Ъ2{$),

вк ¡и(х, г) е Ь2(ф, к = ОД,... ,2т + 1, и это решение единственно.

Доказательство теоремы проводится полностью аналогично доказательству теоремы 1.

Замечание. В работе рассматривается случай модельного уравнения (1). Нетрудно показать, что аналогичные результаты о разрешимости задачи с косой производной можно получить и для более общих

М

• • д2 ■ д

аг°(х,г)-—---V аг(х, г)---V аа(х, г),

дх^дх^ дха

ЛИТЕРАТУРА

1. Дубинский Ю. А. Квазилинейные эллиитико-иараболические уравнения // Мат. сб. 1968. Т. 77, № 3. С. 470-496.

2. Дубинский Ю. А. Краевые задачи для эллиптико-параболических уравнений // Изв. АН Арм. ССР. Математика. 1969. Т. 4, № 3. С. 192-214.

3. Дубинский Ю. А. Краевые задачи для некоторых классов дифференциально-операторных уравнений высокого порядка // Докл. АН СССР. 1971. Т. 196, № 1. С. 32-34.

4. Дубинский Ю. А. О некоторых дифференциально-операторных уравнениях произвольного порядка // Мат. сб. 1973. Т. 90, № 1. С. 3-22.

5. Егоров И. Е. Краевая задача для одного уравнения высокого порядка с меняющимся направлением времени // Докл. АН СССР. 1988. Т. 303, № 6. С. 1301-1304.

6. Егоров И. Е. Краевая задача для одного уравнения высокого порядка с меняющимся направлением времени // Дифференц. уравнения и их приложения. Якутск, 1989. С. 30-39.

7. Егоров И. Е., Федоров В. Е. Неклассические уравнения математической физики высокого порядка. Новосибирск: Вычислит, центр СО РАН, 1995.

8. Абдралманов А. М., Кожанов А. И. Задача с нелокальным граничным условием для одного класса уравнений нечетного порядка // Изв. вузов. Математика. 2007. № 5. С. 3-12.

9. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973.

10. Олейник О. А., Радкевич Е. В. Уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой // Математический анализ. М.: ВИНИТИ, 1971. (Итоги науки и техники).

11. Треногин В. А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.

г. Уфа, г. Новосибирск

1 апреля 2008 г.