Задача оптимального управления перемещением схвата манипулятора-трипода Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

АГРОПРОМЫШЛЕННАЯ ИНЖЕНЕРИЯ

УДК 621.856.8+62-503.5

ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЕМ СХВАТА МАНИПУЛЯТОРА-ТРИПОДА

В.В. Дяшкин-Титов1, кандидат технических наук В.Е. Павловский2, доктор физико-математических наук

1 Волгоградский государственный аграрный университет 2Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, г. Москва

В статье представлено решение задачи синтеза программных движений исполнительных звеньев манипулятора-трипода из условия минимума ускорения его схвата.

Ключевые слова: манипулятор, пространственный механизм, динамика и кинематика манипуляторов, оптимальное управление.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований

(14-31-50677), (13-08-00387-а)

В современных технологических машинах получили распространение I-координатные механизмы, обладающие широким набором функциональных возможностей. Общим недостатком таких систем является сложность системы управления перемещением исполнительного оборудования. Значительный объём производственных операций можно выполнять с помощью манипуляторов, в которых движение схвата обеспечивается механизмом в виде трипода, имеющим более простое устройство и меньшую металлоёмкость (рис. 1). Грузоподъемность данного манипулятора в несколько раз превышает массу его собственной конструкции.

Рисунок 1 - Конструкция манипулятора-трипода

Манипулятор-трипод представляет собой три звена переменной длины 1, 2, 3, одни концы которых располагаются на основании 5, изготовленного в форме равнобедренного треугольника, а другие концы связаны между собой в точке 6 специальным пя-типодвижным шарнирным узлом. Таким образом, образуется подвижная структура, позволяющая выполнять разнообразные технологические операции с помощью рабочих органов, которые монтируются в узле 6. Для увеличения зоны обслуживания, опорное основание 5 расположено под углом к горизонту, который может менять своё значение за счет изменения длины звена 4. Звенья переменной длины 1^4 выполнены в виде электроцилиндров [4].

***** ИЗВЕСТИЯ *****

№ 4 (36) 2014

НИЖНЕВОЛЖСКОГО АГРОУНИВЕРСИТЕТСКОГО КОМПЛЕКСА

На рис. 2 представлена структурная схема манипулятора, в котором оси приводных звеньев линейного перемещения геометрически сходятся в одной точке посредством сферического пятиподвижного шарнирного узла, что исключает появление в них изгибающих моментов от внешних нагрузок. Так как звенья исполнительных цилиндров связаны кинематическими парами V класса, то в точках их крепления А, В, С установлены двухподвижные шарнирные узлы. Тогда число степеней подвижности манипулятора (без учета поворотного основания) равно 3. Так как число обобщенных координат манипулятора, равное четырём 1\(1), ¡2(1), ¡3(1), /4(0, превышает число обобщенных координат схвата, равное трём х(1), у(1), г(1), то есть манипулятор обладает ненулевой маневренностью, то заданному конечному положению объекта соответствует множество конфигураций системы [5].

В качестве обобщенных координат захвата принимаются декартовые координаты х^), у^), z(t) в абсолютной системе отсчета Oxyz (рис. 2). Обобщенными координаты манипулятора являются длины звеньев и угол ф^) наклона основания манипулятора.

Уравнения связей между обобщенными координатами, длинами звеньев ¡\(1), /2(0, /з(0, МО и координатами хв, ув их точек крепления имеют вид

где ОА, ОВ, ОК, ОК - геометрические параметры основания манипулятора и точек его крепления на поворотном основании (рис. 2).

Так как манипулятор представляет собой многомассовый пространственный механизм, то динамика его движений описывается сложной системой нелинейных дифференциальных уравнений, и применение аналитических методов построения программных движений затруднено. Для упрощения дифференциальных уравнений движения целесообразно реальный механизм заменить динамически эквивалентным, содержащим две сосредоточенные массы: т в месте крепления схвата (точка М) и тА в точке А (рис. 2).

(1)

/3 (?)=л/(хТОВу+уг+7,

Рисунок 2 - Кинематическая схема манипулятора-трипода

Систему дифференциальных уравнений, описывающих движение манипулятора с голономными связями (1), полученных с помощью уравнений Лагранжа с неопределенными множителями, можно записать в следующем виде

Х^ — Х^,

Х2 — + + ^ЫЗв.

ш12 т!3

Х^ Х ^,

хл = К -1-- + К —+ К

2 ш12 3 ш1ъ

Х5 — Х6 '

Х5 - 0-А ■ созх7 Х5 Х5

х, — Е —---- + Е —^ + Е-^ - ?,

6-7 2 7 3 7 о

т1, ти т1,

- 2 3

„ , . ^ X, • СОБХ, + Х, ^ШХ, ^ -81ПХ7 - V: • СОБХ,

ОхА • х8 = ^ —-7---- + —-1——-- + ^З1пх7

тА тл14

где введены обозначения Х1 — Х, Х3 — у, Х5 — 2 , Х7 — ф; Е, к — -,2,3,4 - усилия в звеньях манипулятора.

В предлагаемой работе ставится задача определения функций х28л(0, <$=1,2,3,4, переводящих схват манипулятора из начального положения в конечное за время Т и минимизирующих функционал [3]

1 т

У = Ф(х7 (г)) —\[х; + х; + х62 + О,А2 ■ х;(3)

2 О

где Ф(х7(Т)) - функция конечного состояния.

Искомые функции должны удовлетворять следующим граничным условиям:

Х2,5 -1 (0) — Х 2^ -1,0 и Х25 -1

(Т) —

Х25-1,т , кроме функции ху(Т), значение которой неизвестно,

3

а также х23 (0) — х23 (Т) — 0 . Необходимые условия оптимальности записываются в виде [2]

дИ

= 0

8Fk

(4)

где гамильтониан H в соответствии с (2) и (3) равен

1 9 1 9 1? 1?

Я.^ ® Z. • Z. • Z. /лф г, /ЛФ Г,

= — х2 — х, — х. — х6 + Л,х2 + +л2х2 + /Lx. + +Л.Х. + Л.х6 +

2 2 2 2 (5)

+Л6х6 + ЛуХ8 + +Л%х8. Множители Xn определяются равенствами

дН

" = ~aT'w=1'2--8- (6)

Условия (4) и часть условий (6) приводят гамильтониан (5) к виду

1,2 .. 1.2 .. 1.2 .. 1.2

Н = (—Х2 — ) ~~ ) ^ ~~ Х6Х6 ) ~~ )• (7)

2 2 2 2

Так как гамильтониан не зависит явно от времени, он постоянен и

dH _............

— JC 2 ~х4 х4 ~(5 ~S — ^ *

dt

Этому уравнению удовлетворяет решение

Xj = Сп;Х3 = С13 ; Х5 = С15 ; Х7 = С1? . (8)

Дляxk(t) , k= 1,3,5 с учётом граничных условий имеем

^ = -2Ьтр(0)^ + з[ (Г) - - (0)] 12+^(0). (9)

Согласно [3, 4], граничное условие для функции влияния

8Ф [(x7(T)] x2(T)

Л,(Г) = 1 7 J, Ф(x7(T)) = -. 7 — (T) ' 2T3

x7(T)

Из (6) --fyiT) - —3—, а из (1)\=х%=х7, тогда

*7СО - const -x7(t)~ —p— з и после интегрирования получаем

<p(t) = t3 -i ^(T)t2 +^(0). (10)

Ы 41

Тогда при t=T определяем неизвестное значение угла поворота основания в ко-

12

нечный момент времени ф(Г) = x7 (T) = — x7 (0), а из уравнений (1) находятся законы изменения длин звеньев (t) манипулятора.

Программные усилия, необходимые для реализации системой управления синтезированных законов движения звеньев манипулятора, находятся из решения уравнений (2).

Полученные (9) и (10) выражения использованы при расчёте параметров программного движения манипулятора-трипода в составе робототехнического комплекса РШ-7 [1], изображённого на рис. 3.

Рисунок 3 - Манипулятор-трипод в составе мобильного робота

на шагающем шасси

В манипуляторе в качестве звеньев изменяемой длины применены электрические цилиндры с электродвигателями постоянного тока - линейные актуаторы. Максимальный ход штока актуаторов составляет 610 мм. Геометрические характеристики основания манипулятора хв = -хс = 355 мм, ув =690 мм, О\А = 790 мм. Приведённые массы т и тА равны 130 кг, 80 кг, соответственно. Максимальная скорость перемещения без нагрузки 65 мм/с. На рис. 4 представлены результаты решения рассмотренной задачи для начальных значений длин звеньев манипулятора /ю=1260 мм, /20=1200 мм, /зо=1200 мм, /40=903 мм. Конечные значения координат схвата: х(Т) =0 мм, у(Т) =1600 мм, г{Т) =-700 мм. На рис. 5 приведены законы изменения управляющих усилий.

20001-

о

F1

F2 - 2000

F3

-4000

6000

- 8000'-

О 2 4 б 8 10

t

Рисунок 5 - Программные управляющие усилия в актуаторах модели манипулятора

Библиографический список

1. Аварийно-спасательная машина [Текст]: патент №2476372 РФ, МПК7 B66C23/36 (2006.01), B60P3/00 (2006.01)./ В.М. Герасун, В.В. Жога, И.А. Несмиянов, В.Н. Скакунов, А.В. Еременко, П.В. Федченков, В.В. Дяшкин-Титов. - Опубл. 2013.

2. Брайсон А., Хо Ю-ши. Прикладная теория оптимального управления [Текст] /Хо Ю-ши А. Брайсон. - М.: Мир, 1972. - 544 с.

3. Коловский, М.З. Основы динамики промышленных роботов [Текст]./ М.З. Коловский, А.В. Слоущ. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1998. - 240 с. (Науч. основы робототехники).

4. Манипуляторы для мобильных роботов. Концепции и принципы проектирования [Текст]/ В.М. Герасун, В.И. Пындак, И.А. Несмиянов, В.В. Дяшкин-Титов, В.Е. Павловский // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. -2012. - №44. - 24 с.

5. О программных движениях манипулятора-трипода [Текст]/ В.В. Жога, В.М. Герасун, И.А. Несмиянов, Н.С. Воробьева, В.В. Дяшкин-Титов // 6-я Всероссийская мультиконференция

Рисунок 4 - Законы изменения длин звеньев

по проблемам управления: материалы мультиконференции. - Изд-во ЮФУ, 2013. - Т.2. - С. 146-150.

E-mail: [email protected]