CC BY
114
УДК 629.78
ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЕМ ГИПЕРЗВУКОВОГО ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА НА ЭТАПЕ РАЗГОНА-НАБОРА ВЫСОТЫ В АТМОСФЕРЕ
© 2007 А. А. Бебяков
Самарский государственный аэрокосмический университет
Методом принципа максимума решается задача оптимального управления движением центра масс ги-перзвукового летательного аппарата (ГЛА) из условия минимума расхода топлива.
Постановка задачи оптимизаци
Постановка рассматривается в форме вариационной задачи Майера [1]. За критерий оптимизации принято количество израсходованного топлива mТ на активном участке полета, выражаемое функционалом
mT
■■m(tK) - m(tH),
(1)
где ш - масса ГЛА; tн, tк - моменты времени начала и окончания движения, соответственно.
Движение ГЛА моделируется как невозмущенное движение материальной точки в вертикальной плоскости с постоянным и максимальным расходом топлива.
Система дифференциальных уравнений, описывающих движение центра масс, имеет вид
V = 1 уД(h’M)Р cosa-(аМ)р{h)v s-gsine,
2m
в = -
v
I уд (h,M )р
sin a + C (a,M)
P (hV2 2m
S - gcosO
V cosd
+--------,
R + h h = V sin в, m = -b,
(2)
где V - скорость, в - угол наклона траектории, h - высота полета, a - угол атаки, b -расход топлива, M - число Маха, р - плотность атмосферы, S - характерная площадь,
g - ускорение свободного падения, Я - радиус Земли, 1уд - удельный импульс, Сха, Суа
- коэффициенты силы лобового сопротивления и аэродинамической подъемной силы, соответственно.
Граничные условия движения записываются в виде
t = tH : v = Mн. a(hH), в = вн, h = hH, m = mH;
t = tK : v = Mк. a(hK\ q qк, h = hK,
(3)
где Мн, Мк,6н, 6к,Ин, Ик, шн - заданные чис-
Н к н к н к н
ла, а - скорость звука.
В качестве функции управления принята зависимость угла атаки от времени с ограничениями вида
amin £ a (t )£ amax-
(4)
Физическая постановка: требуется определить управление углом атаки, обеспечивающее минимальные затраты топлива при движении ГЛА на этапе разгона-набора высоты.
Математическая постановка: требуется определить программу управления а () с ограничениями (4) для системы уравнений (2) с граничными условиями (3), доставляющую минимум функционалу (1).
Постановка краевой задачи
Для решения поставленной задачи применяется принцип максимума Понтрягина.
Функция Гамильтона Н для системы (2) имеет вид
m
+
m
-2
Н=у
+
+%
V
1удР „ РУ‘
-----сова - Сха----------£ - gslnв
т 2т
ІудР . „ pV\ в V2 сов
*іпа+С„а------£ - gcosв+
т
2т
Я+к
+
+УУ*1пв-УтР
Условие трансверсальности (6) в начальный момент времени выполняется автоматически, так как начальные значения фазовых координат и момент времени tn заданы. Для конечного момента времени tк из (6) с учетом (3) определяются: граничное условие для системы (7)
(8)
где yV,ув,Ук,ут - сопряженные переменные, соответствующие фазовым координатам а также значение функции Г амилкг°на в кон-системы (2). це траектории
Согласно принципу максимума, необхо-
димыми условиями минимума функционала (1) являются:
- условие максимума функции Н по заданному управлению на заданном промежутке времени
Н к = 0.
(9)
Область определения управления по каналу угла атаки
Н(х,у,а) = тахН, і є [ін, ік],
аєА
(5)
где х = \у,0,к,т} - вектор фазовых координат или вектор состояния ГЛА; у = УV,yв ,ук,ут } - вектор сопряженных переменных; А - область определения управления, задаваемая (4);
- условие трансверсальности в началь- вид ный и конечный моменты времени
дН
-20 < а < 100.
В этом случае (вследствие малых углов атаки) при расчетах используются приближения
*1п а » а, со* а »1 - а2 /2.
(10)
Необходимое условие экстремума функции Н по управлению а с учетом (9) имеет
\у8х - 8т - Н8і]Кн = 0.
(6)
Система дифференциальных уравнений для сопряженных переменных имеет вид
да
Ув_
V
-У
Р „ , дСа РГ-
а +
+
т да 2т
/удР , дСуа pV2 ■
£
+
- + -
т
да 2т
£
= 0.
(11)
У&v = У
д/ж А с
дМ та
дСГа V
дм
- + 2С„
2т
+уе (—-—Iа- -™а -
V дІМ 0Vma
~Ув
дСУа V + С 1Р£ + СО* в
дм
2т Я + к
-ук *іпв;
у&в = Yvgcosв+¥вI Я+к~V \*1пв-уУсо*в;
У&к = -УV
-^г» 11соа +
дк дМ дк а
(дСХа да V - др С
I дМ дк а дк ха
-Ув
дІуд дІуд да V 1 Р -(ЭС,а да V
Р
-дк-Р - '^С,а ї2т
У&т = Щ- \ /удР Со*а - Сха ^ £ 1+ \ 1 удР *1П« + Суа ^ £
1 2 І т V I 2
2т
V,£ V со* в
дк дМ дк а2 ) Vm | дк дк а2 дк уа 0 2т (Я + к)
рv2
(7)
Аналитические зависимости аэродинамических коэффициентов от угла атаки записываются в виде
Сха (аМ ) = Сха 0 (М ) + Сха1 (М )а + Сха 2 (М )а 2 >' Суа (а ,М ) = Суа 0 (М ) + Суа1 {М )а•
(12)
Тогда с учетом (12) из (11) имеем
[21„ Р та. + СуаР' 2 ? ]-УгС^рІ' 5£
(13)
+
а
а
Программа управления углом атаки (13) является оптимальной только в случае, когда соответствующее значение функции управления доставляет максимум функции Н. Достаточное условие максимума Н по управлению имеет вид
д2 H дa7
= -У
V (I„P + Cxa,PV2S)< 0.
(14)
Yv > 0.
(15)
Унн
VvнVн + V вн вн + VmJ* н hi
(1б)
Так как коэффициент Сха2 положителен, как старший коэффициент параболы, описывающей зависимость коэффициента
лобового сопротивления Сха от угла атаки, то выражение в скобках в (14) всегда положительно. Поэтому достаточное условие принимает вид
Система уравнений (2), описывающих движение, вместе с сопряженной системой
(7) образуют совокупную систему уравнений.
Пусть угол атаки в совокупной системе определяется согласно (13). Тогда система становится замкнутой относительно векторов х и V и вместе с граничными условиями (3),
(8) приводит к краевой задаче для системы нелинейных дифференциальных уравнений первой степени.
Таким образом, рассматриваемая задача оптимального управления сводится к следующей четырехпараметрической краевой задаче: требуется найти решение совокупной системы уравнений (2), (7), замкнутой соотношением (13), которое удовлетворяет граничным условиям (3), (8).
Параметрами краевой задачи являются значения сопряженных переменных в начальный момент времени: Щн Увн УhH >YmH.
Определение начальных приближений сопряженных переменных
Так как в любой точке временного отрезка, на котором функция H достигает максимума, существует первый интеграл совокупной системы H = const, то для начального момента времени, согласно (9), можно получить следующее выражение:
Предположим, что в начальный момент времени известно значение оптимального угла атаки. Тогда функция Н достигает своего максимального значения и выполняется необходимое условие экстремума. Используя (13), получим
[21 Ва +(С . + 2С 2а )рУ23]
ш 1 уд^ н ^ ха1_ха2 н,и н ^ ,.,,4
- Ун 21,В+СуЛрГ^ (17)
Таким образом, неизвестными остаются три параметра: ан ,ушн, щУн. Значения параметра ан выбираются из области определения управления.
Для определения отрезка числовой оси,
в котором находится значение ушн, примем
следующее допущение: масса топлива, затрачиваемого на рассматриваемом участке, при движении по произвольной траектории составляет 10 % от стартовой массы ГЛА.
Следовательно, для определения параметра ушн можно воспользоваться линейным
приближением решения соответствующего дифференциального уравнения сопряженной системы (7):
Vmn = VmK - Vm (tк - tн ) -
(18)
Применяя приближенную формулу для коэффициента лобового сопротивления
Cxa = Cxa0 + ACya, можно показать, что
(19)
Поэтому из последнего уравнения сопряженной системы с учетом (18), (19) и граничного условия в конечный момент времени: утк = 1 в качестве начального приближения Ут принимается
Упгн = 1 - Ы^н }Пт/Шн »
» 1 - 0.01 ■ n ■ sign{yн )■ шн/mH.
Поскольку в начальный момент време- С учетом уравнения сопряженной системы ни ГЛА должен разгоняться (Ун > 0), то от- для уУ (24) запишется в виде
сюда следует, что параметр краевой задачи ¥тн е [0.9,1].
¥v, =■
Для определения параметра уУн используется первый интеграл совокупной си- где стемы вида
V Fh - F, (1 + GnAtI) •
(25)
const, (20) G = - dI уд b -t—cos a - ( dCxa V + 2Cxa PVs' +
_ дм та v дм xa a 2m
где Ь = ■ т; (,) - скобки Пуассона.
да
Подстановка в (20) соотношения (17) после преобразований дает
V - дк V дм
У
дс^г + с
дм а уа
b
Vma
sin a -
pS + cos в
2m R + h
21 w ba + ^ pV2S
' 21ygb + PV2S
dfi (x ,a) + df2 (x ,a)21 w Pa + PV 2 S
dt
dt
21 уд b + Щао. pV 2S
V
yV = const, (21)
V + & 21 уд ba + % PV 2 S
21 уд b+^ pV 2s
f1(x ,a ) =
где /Дx
/2(x ,a ) = -
Iуд ba + дСха pV2 S
da 2
a 2
F =
Расчет по формуле (25) проводится следующим образом:
- при ^ = Хн задаются значения вектора состояния х из граничных условий движения ГЛА, начальное приближение угла атаки
ан из области ограничений на управление и начальное значение сопряженной координа-Пусть сопряженная переменная уУ в ты ут;
- из решения задачи Коши для системы, описывающей движение ГЛА, определяется значение вектора х в момент времени
^ = Хн + к, где к - шаг интегрирования;
- задается значение производной угла атаки в начальный момент времени ан ;
- определяется значение угла атаки а в момент времени 11 по формуле
момент времени определяется по методу Эйлера:
Vvj = УV, +y&V,Atj где Atj = tj -1,.
(22)
Введем обозначение
dfi (x,a) + d/2 (x, a)21 удba + ЦоТ pV 2s
dt
- + -
dt
21 „ b+4at pv 2s
V
уд
(23)
Тогда, согласно (21) и (22), параметр уУн определяется как
F.
Yv, =
F, - F,
Уv,Atj .
(24)
а1 = ан+ан ■к;
- методом секущих определяется значение сопряженной переменной ¥У в момент времени I = Хн:
1) величины хн, х1, ан, а1, ¥тн подставляются в формулу (25), причем ] = 1, = к;
+
+
+
2) по (16) и (17) определяются сопряженные переменные укн, у,, и на отрезке
времени ї є \}н ,ї1 ] решается задача Коши для совокупной системы;
3) из решения определяется оптимальный угол атаки в момент времени ї1 - а1, удовлетворяющий условию максимума фунт т Н —
кции Н, а1 = а1;
4) определяется значение производной угла атаки в начальный момент времени по
формуле: а, = а - ан)/к;
5) проверяется условие окончания итерационного процесса
ан - а,
£ е
(26)
где е - малая положительная константа;
6) если (26) не выполняется, то по формуле секущих определяется значение угла
атаки а’к+1, а1 = а'к+1, к=к+1, и процесс повторяется с пункта 1.
В результате параметрами краевой задачи являются значения угла атаки а , производной угла атаки по времени а и сопряженной переменной ут в начальный момент времени, лежащие в отрезках числовой оси:
а < а < а ,
тгп н тах ’
атт < ан < атах ’ 0.9 < ¥тн < 1.
Границы атп и атах определяются аэродинамическими характеристиками ГЛА.
Расчет оптимальных траекторий и программы управления
В качестве объекта управления рассматривается ГЛА со стартовой массой 300000 кг, выполненный по схеме «бесхвостка» с крылом двойной стреловидности [2] с ракетнотурбинным пароводородным двигателем (РТДп) и стартовой тяговооруженностью
т = 1 [3].
Рис. 1. Скриншот результатов работы программы ОПТРАНАВТ при выборе начальных приближений краевой задачи в интерактивном режиме
ы
Рис. 2. Скриншот результатов работы программы ОПТРАНАВТ при реализации метода Ньютона
Рис. 3. Скриншот результатов работы программы ОПТРАНАВТ при расчете оптимальных траекторий и программы управления ГЛА
В начальный момент времени принимается положение ГЛЛ на типовой траектории [2] со следующими граничными условиями (З) для t = tH: мн = 2, вн = 15 град, hH =
= 11000 м, mH = 290000 кг.
В конечный момент времени граничные условия движения задаются на границе ги-
перзвукового участка для t = tK: мк = 5, вк =
= 0, hK = З0000 м.
Для расчета оптимальных траекторий и программ управления углом атаки реализована программа «Оптимальный разгон-набор высоты» (ОПТРAНЛВТ) средствами среды программирования Borland C++ Builder 6.0. На рис. 1-З в качестве примера приведены начальные приближения краевой задачи, выбираемые в интерактивном режиме, решение краевой задачи методом Ньютона и результаты расчетов.
Список литературы
1. Летов А. М. Динамика полета и управление. - М.: Наука, 1969.
2. Нечаев Ю. Н. Силовые установки ги-перзвуковых и воздушно - космических летательных аппаратов. - М.: Издание Академии Космонавтики им. К. Э. Циолковского, 1996.
3. Нечаев Ю. Н., Полев А. С., Никулин А. В. Моделирование условий работы пароводородного РТД в составе силовой установки гиперзвукового летательного аппарата / Вестник академии космонавтики: направление фундаментальных и прикладных проблем космонавтики, - материалы научных докладов на заседаниях направления в 19961997 гг. - М.: Издание Академии Космонавтики им. К. Э. Циолковского, 1998. - С. 159191.
THE TASK OF HYPERSONIC AIRCRAFT MOTION OPTIMUM CONTROL AT THE ACCELERATION - CLIMB STAGE IN THE ATMOSPHERE
© 2007 A. A. Bebyakov
Samara State Aerospace University
The task of optimum control of the hypersonic aircraft centre of mass on the condition of minimum fuel consumption is dealt with using the maximal principle method.
