CC BY
41
УДК 519
ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗАТРАТ МЕЖДУ ПРОЕКТАМИ, ПРЕДСТАВЛЕННЫМИ СЕТЕВЫМИ ГРАФИКАМИ
Д.И. Голенко-Гинзбург, Е.А. Сидоренко, Д.Э. Хицков
Рассматриваются основные подходы для расчета страховых тарифов на обязательное социальное страхование от несчастных случаев на производстве и профессиональных заболеваний на основе опорного тарифного плана
Ключевые слова: план, расчет, риск, тариф
При формировании сводного тематического плана на определенный плановый период Т (год, квартал и т. д.) возникает задача оптимального распределения выделенного на этот период суммарного ресурса Ст между отдельными разработками. В рассматриваемой ниже постановке задачи под суммарным ресурсом, подлежащим распределению, подразумевается суммарный объем всех ресурсов, выраженный в виде единого эквивалента - в стоимостных единицах. Учитывая то обстоятельство, что директивные сроки выполнения каждой из разработок могут (в общем случае) превосходить конец планового периода, необходимо заложить в критерий оптимизации степень реализуемости проектов в заданные сроки. При распределении затрат необходимо также выдерживать ряд ограничений на динамику потребления затрат не только в течение рассматриваемого планового периода Т, но также и после планового периода - до момента окончания всех разработок.
Из сказанного следует, что исходная информация для математической постановки задачи распределения затрат между проектами содержит два важнейших элемента: элемент прогнозирования хода разработок по некоторой обобщенной характеристике (например, относительную трудоемкость) при определении варианта распределения затрат между проектами; элемент формирования критерия как числовой функции, зависящей от показателей прогноза (например, вероятность выполнения пли невыполнения плана), а также ограничений задачи.
Элемент прогнозирования должен содержать максимально возможную информацию о ходе выполнения разработок после рассматриваемого периода Т. Выполняемые разработки в момент планирования могут находиться в различных состояниях: на стадии аванпроекта, эскизного проекта, опытного производства, испытаний, серийного производства. Поэтому уровень неопределенности при прогнозировании для каждой стадии различен
Голенко-Гинзбург Дмитрий Иванович - Университет Бе-ер-Шева, д-р техн. наук, профессор, e-mail:
dimitry @bgu.ac.il
Сидоренко Елена Александровна - ВГАСУ, аспирант, тел. (4732) 76-40-07
Хицков Дмитрий Эдуардович - ВГАСУ, аспирант, тел. (4732) 76-40-07
и, естественно, убывает при последовательном переходе на очередную стадию. Модели, отражающие отдельные объекты новой техники, могут быть представлены сетевыми графиками детерминированного и стохастического типов как по топологии, так и по оценкам выполнения каждой из работ.
Задача оптимального распределения затрат между проектами, представленными сетевыми графиками, в общем случае является экстремальной задачей большой размерности. Опыт решения подобных задач для сетевых моделей различного объема [1, 3] показал, что их реализация связана со значительными вычислительными трудностями, если речь идет о точном решении, или возможно лишь приближенное решение. Учитывая то обстоятельство, что сетевые модели, отражающие ход выполнения разработок, в процессе оперативного управления подвергаются изменениям как по топологии, так и по продолжительности оценок выполнения отдельных работ, а также принимая во внимание сложность решения многоразмерных экстремальных задач на сетях, можно считать рассмотренную постановку излишне громоздкой.
Для математического описания поставленной задачи предварительно введем следующие обозначения:
N - количество рассматриваемых разработок;
П = [л1,...,л1Я ] - заданные приоритеты разработок;
С = [С1,..., CN ] -полные стоимости разработок;
гф=[/1,...,г,] - время, истекшее с начала выполнения разработок;
^дир = [$1,..., ^ ] - директивные сроки окончания разработок;
Р = [р,...,Р,] - заданные вероятности выполнения разработок;
Б = [й1,..., й, ] - ограничения на максимальную скорость потребления ресурса;
2 = [^1,...,д,] - относительная трудоемкость выполненных работ по каждой разработке на начало планируемого периода; 0 < д < 1, г = 1, N ;
Т - величина периода планирования (год,
месяц);
СТ - размер ресурса, подлежащего распределению;
X = [,..., xN ] - искомый вектор, определяющий приращеиие относительной трудоемкости на плановый период Т по каждой разработке;
т = [1,...,тN] - времена окончания выполнения каждой разработки, которые определяются в результате решения задачи;
Предполагается, что
& ()= т (г)+sk (), (1)
где тк () — заданная детерминированная монотонно неубывающая функция; е1 () - некоррелированный случайный процесс с нулевой функцией математического ожидания; ик () - среднеквадратичное отклонение случайной величины е1 (г) в момент времени г.
Предполагается также, что функция ск (г) является неубывающей.
При оценке параметров рассмотренного случайного процесса (1) будем ограничиваться лишь первыми его двумя моментами.
Задавая по каждой ¡-й разработке величины xk и тк , можно вычислить вероятность ее
выполнения по формуле:
Fk(т) = Р{дк + Xk + &т -? -т)> 1}. (2)
Критерий оптимальности распределения затрат между проектами должен учитывать в прямой зависимости приоритетность пк каждой разработки, вероятность ее невыполнения к моменту окончания тк и величину смещения этого срока
относительно директивно заданного [4]. В данной постановке задачи предлагается формула для критерия
W ^т)= п [ - ^ (х, т)] - Sk)2, (3)
где Fk (xk ,тk) вычисляется по формуле (2).
Математическая постановка исходной
задачи
Пусть область В всех допустимых векторов x и т , характеризующих всевозможные варианты распределения затрат между проектами, определяется следующими неравенствами:
Fi(xkт)-Рк > 0; (4)
(5)
(6)
ф() = Р- р{ХГ Ск ( [ + Xk + & Х)] <} < 0 (7) К} [ZJk=1 С0 (г0 + т + г) ]
где о < г <тк -(г0 + т).
В формулах (4) - (7) предполагается, что k = 1, N. Неравенство (4) отражает то требование, чтобы вероятность выполнения каждой разработки превосходила заданный уровень Рк . Неравенство (5) требует, чтобы планируемые приросты,
У" х.С, - Ст < 0;
^к=1 к к Т >
хк < тіп(і- д ¿к);
относительных трудоемкостей по каждой разработке соответствовали суммарным затратам, не
превосходящим заданного значения СТ .
Кроме того, приросты относительных тру-доемкостеи по каждой разработке не должны превосходить заданной скорости dk или же оставшейся относительной трудоемкости [2]. Этот факт отражен в неравенстве (6). Ограничение по динамике
потребления ресурса в момент времени г > г0 + т отражено в неравенстве (7).
Требуется найти в области В наилучшую
пару векторов (х ,т )е В , которая обращает в минимум функцию вида (3). Другими словами, должно выполняться соотношение:
W (х*,т* )=т|п^ (х,т) (8)
Прежде чем переходить к описанию алгоритмов решения задачи (4) - (8), остановимся подробнее на свойствах функции F(х, т), вид которой представлен в (2). При конструировании алгоритмов нас будут интересовать условия, налагаемые на случайный процесс &) , при выполнении которых функция F (х, т) является для любого X неубывающей функцией т .
При любом т >0 выражение для F (х, т) имеет вид:
Г (х,т) =
і
а(т) 2п Используя
{ ехр
йг.
*М=О11
а(т)
( - М (г))2 2а2 (г)
преобразование
перепишем выражение для
аТ)
Г(х, т) в следующем виде:
^ (х,т)=75Л Х'хр I-Т,
Формула для вычисления производной интеграла, зависящего от параметра т , приводит к выражению для F'l (х, т),
Ф-
(і,т)
ГТ(х,г)=^“/= Фт (іТ)е
л/2п
Т ' ( ) - м - (і - М)
Так как фт (1,т) =---------^------
а
то усло-
вие, накладываемое на параметры случайного процесса в(г), которое приводит к монотонному неубыванию по г функции F (х, т), состоит в следующем:
М(г)ст(г)>[М (г)- 1]ст'(г). (9)
Очевидно, условию (9) удовлетворяют широко используемые на практике случайные процессы с линейными функциями М(г), <У (г).
При выполнении условия (9) каждое слагаемое функции W (х,т) в формуле (3) при заданном хдостигает минимального (нулевого) значе-
ния при Т,
= St -(t0 + T)). Если
же на т, накла-
дывается ограничение (4), то каждое слагаемое W (х, т) достигает минимального значения при
тк = т/х^ - г0 - Т, ь], (10)
где Ь удовлетворяет соотношению:
Ф
1 - M (t0 + T + b) ' a(t0 + T + b)
1 г 4
(11)
где ф(х) = .— [ е 2 йу - функция Лапласа.
Ы2ж 0
Уравнение для функции математического ожидания случайного процесса, отражающего ход
выполнения разработки при г > г0 + Т , имеет вид:
тк (г) = Аг + В . (12)
Коэффициенты А и В выбираются так, чтобы искомая прямая проходила через две точки, одна из которых имеет координаты
(г0 + Т, qk + xk), а другая - 2). Координата
Р*: подлежит определению, исходя из условия
1
а
i exp
( x - Qt)2
2а,2
dx = P.,
(13)
Неравенство (13) отражает требование выполнения разработки к директивно заданному сроку Бк с надежностью Рк. Исходя из сказанного, формула для расчета А имеет вид:
A =
Qt - (А + xt) т, - (t0 + T )
(14)
В случае, если на интенсивность (по трудоемкости) выполнения разработки накладывается ограничение (меньше а), то осуществляется проверка выполнения условия
а-а< 0.
Если условие не выполняется, то коэффициент А : = а'.
Таким образом, окончательная формула для расчета коэффициентов А и В имеет вид:
А = тш(А', а'); В = дк + хк.
Уравнение для функции дисперсии рассматриваемого случайного процесса, исходя из выше упомянутых предпосылок, имеет вид:
at2(t) =-
- (t0 + T )
(t -10 - T ),
(15)
где ак - значение дисперсии, полученное в результате обработки полученной статистики на базе использования регрессионной модели методом пассивного эксперимента.
, если А = А';
тк, если А = а';
Переходим теперь к описанию алгоритма, предварительно введя систему обозначений:
к- номер шага, распределения (номер проекта);
X =[x1,...,х,]
вектор, определяющий при-
ращение относительной трудоемкости на плановый период Т до k-го шага включительно;
yt = f(X )=bi>->yt] - вектор накопленных затрат, отражающий динамику распределения
X;
Каждая компонента вектора ук подсчитывается по формуле:
yt =iCjxj • (16)
j-1
W [y*,..., yк ] - величина целевой функции, соответствующая оптимальному распределению затрат X * (к).
Использование принципа оптимальности [2,3] приводит к следующему соотношению:
W [yiV.y* ] = min {w y*-i ]+ ] (k)},
{Xk ä+y-1=yk;} (17)
к = 2,..., N,
где область D определяется неравенствами (4) - (6).
Литература
1. Виленский П.Л. Как рассчитать эффектив-
ность инвестиционного проекта. Расчет с комментариями. / П.Л. Виленский, С.А.Смоляк; Под ред.
В.Н.Лившица. - М.: Информэлектро, 1996. - 462с.
2. Воронов К.И. Коммерческая оценка инвестиционных проектов Основные положения методики / К.И.Воронов. - СПб.: Питер, 2001.- 406 с.
3. Вяткин В.Н. Принятие финансовых решений в управлении бизнесом/ /В.Н. Вяткин, Д.Д. Хэмптон, А.Ю.Казак.— Екатеринбург: ЗАО «Издательский дом «ЯВА», 1998.-387с.
4. Баркалов С.А., Бурков В.Н., Гилязов Н.М. Методы агрегирования в управлении проектами. М.: ИПУ РАН, 1999. - 55 с.
Университет Беер-Шева (Израиль)
Воронежский государственный архитектурно-строительный университет
PROBLEM OF OPTIMUM DISTRIBUTION OF EXPENSES BETWEEN THE PROJECTS
PRESENTED BY NETWORK SCHEDULES
D.I. Golenko-Ginzburg, E.A. Sidorenko, D.E. Khitskov
The basic approaches for calculation of insurance tariffs for obligatory social insurance from accidents on manufacture and occupational diseases on the basis of the basic tariff plan are considered
2
СГ
t
Key words: the plan, calculation, risk, the tariff
