Задача об s-состояниях пионного атома в релятивистской квантовой механике без учёта сильного взаимодействия Текст научной статьи по специальности «Математика»

Сер. 4. 2009. Вып. 2

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

УДК 539.182

А. В. Головин, В. М. Лагодинский

ЗАДАЧА ОБ $-СОСТОЯНИЯХ ПИОННОГО АТОМА В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ БЕЗ УЧЁТА СИЛЬНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

Введение. Как известно [1], пионный атом - это система, состоящая из атомного ядра и пиона (частицы с нулевым спином и отрицательным электрическим зарядом). Изучая пионные атомы, можно получить информацию как о составных частях такой системы, так и об их взаимодействиях. Однако для правильной интерпретации экспериментальных данных необходима корректная теория. В частности, влияние сильного взаимодействия оценивается сравнением экспериментальных результатов с теоретическими, получаемыми с помощью уравнения Клейна-Гордона (УКГ):

+ “ (71,2 “ '^2)ф^’г) = 0 (используем систему единиц, в которой постоянная Планка Н и скорость света с равны единице).

Но это уравнение приводит к ряду трудностей. Самой известной из них является неограниченность спектра снизу (наличие решений, соответствующих состояниям свободной частицы с отрицательными энергиями). Но есть и другие: при 2 > 68 значения спектра оказываются комплексными, а волновые функции - сингулярными (при г ^ 0 они стремятся к бесконечности) [2]. Поэтому формулу для спектра разлагают в ряд по степеням 2а и ограничиваются степенями не больше четвёртой [1]. Но такое разложение применяют и для урана [1], что вряд ли может быть оправдано. Происхождение этих трудностей закономерно.

Как известно, нерелятивистское уравнение Шрёдингера (НУШ)

д 1

^ V^ф(^,r) = 0

(V - оператор градиента) можно получить, если в нерелятивистском выражении энергии через импульс

Е=|1

2т

выполнить замену:

д

Но если эту замену произвести в соответствующем релятивистском выражении

е = у/т? + Р2, (2)

© А. В. Головин, В. М. Лагодинский, 2009

получается необычное уравнение [3, 4]:

^ ____________________

г —Ф(#, г) — л/т2 — У2Ф(^, г) = 0.

Это уравнение считают неудовлетворительным с релятивистской точки зрения, поскольку оно несимметрично относительно времени и координат. Полагают также, что оно нелокально [4], так как имеет, очевидно, бесконечный порядок по координатам. Это даёт основание отказаться от уравнения (3) и заменить его уравнением (1), которое получается, если на обе части уравнения (3) подействовать оператором

и далее ввести кулоновский потенциал. В результате и появляются упомянутые трудности.

Но уравнения типа (3) с кулоновым потенциалом используются для решения ряда задач, в частности, задач о спектре водородоподобного иона [5] и о спектре пары кварк-антикварк [6-8]. Причина этого в том, что (3) является релятивистским аналогом НУШ и не приводит к известным трудностям квантовой теории поля, например, бесконечной энергии вакуума. А для релятивистской инвариантности уравнения необходима лишь инвариантность множества его решений [9].

В упомянутых работах используются разные определения оператора, имеющего вид квадратного корня из дифференциального оператора. В работе [5] этот оператор определяется с помощью трёхмерного преобразования Фурье (импульсного представления), а в работах [6-8] используется преобразование Фурье-Бесселя. В математической работе [10] этот оператор рассматривается как псевдодифференциальный в оснащённом гильбертовом пространстве. Таким образом, в работах, претендующих на точное определение релятивистского гамильтониана, используются интегральные преобразования, то есть уравнение (3) оказывается не дифференциальным, а интег-ро-дифференциальным, а значит, нелокальным. Такой характер основного уравнения приводит не только к существенным различиям спектральных теорий граничных задач для уравнения (3) и НУШ, но и к большой громоздкости расчётов. Это связано с тем, что при обратных преобразованиях необходимо учитывать интегралы по разрезам.

Локальное определение голоморфной функции дифференциального оператора было предложено одним из соавторов настоящей работы, им же были исследованы некоторые свойства дифференциальных уравнений бесконечного порядка вида

в частности, построены элементы спектральной теории граничных задач для этого уравнения [11, 12]. В настоящей работе результаты этих работ используются для решения задачи об в-состояниях пионного атома с произвольным атомным номером 2. Пи-онный атом считается водородоподобным, так как радиус орбиты пиона гораздо меньше радиусов орбит электронов атома, и взаимодействием пиона с электронами можно пренебречь. Не учитывается и влияние сильного взаимодействия с ядром. Предполагается, что это влияние можно будет оценить сравнением полученных здесь результатов с экспериментальными данными, то есть так, как это делается с помощью УКГ.

(4)

Основы теории релятивистского уравнения Шрёдингера. Определение локального оператора мало известно (можно указать не вполне точное определение в книге [13]), хотя такие операторы используются наиболее широко. Это операторы дифференцирования любого конечного порядка, а также операторы умножения на функцию независимых переменных.

Определение 1. Пусть Р С Мп - некоторое связное множество, Г(Р) - множество функций и(х), область определения каждой из которых не пуста и является подмножеством P. Тогда линейный оператор Л : Г(Р) ^ Г(P), такой, что из u(x) = 0 Ух € Q, где Q С Р - открытое подмножество, следует (Ли)(х) = 0 Ух € Q, называется локальным оператором.

Нелокальны интегральные операторы и любые операторы, определяемые с помощью разложения по системам ортогональных функций, в частности, с помощью преобразования Фурье или рядов Фурье.

Существует убеждение [4], что дифференциальные операторы бесконечного порядка обязательно нелокальны. Это вызвано тем, что такие операторы обычно определяются с помощью интегральных преобразований, но иногда обосновывают это убеждение, указывая на «оператор сдвига»

Этот оператор действительно сопоставляет функции и(х) функцию и(х+а), но только если и(х) определена и бесконечно дифференцируема на М, и её ряд Тейлора с центром в нуле имеет бесконечный радиус сходимости. На самом деле это локальный оператор, а нелокальны те функции, которые он «сдвигает».

Выражение (5) сопоставляет функции ехр(г) локальный дифференциальный оператор бесконечного порядка. Можно говорить, что оператор в правой части является экспонентой оператора ай/йх. Для функции ехр(г) это сопоставление облегчается тем, что это целая функция, и её ряд Тейлора имеет бесконечный радиус сходимости. Но определение голоморфной функции дифференциального оператора можно получить и для нецелых голоморфных функций, все особые точки которых являются точками ветвления [11, 12].

Пусть f(z) = а/т2 — г, где г - комплексная переменная, причем выбирается такая голоморфная ветвь, что ](0) = т > 0, а разрез проходит по вещественной оси: 1т г = 0, И,е г ^ т2. Нетрудно видеть, что /(г) > 0 при всех г, не лежащих на разрезе. Из результатов работы [11] следует, что если функция ^(г), определённая в некоторой окрестности Qд С М3 точки го, такова, что на Qд определены также функции Д"^(г) при всех натуральных п и последовательность

при г Є Qд ограничена и не имеет предельных точек на разрезе функции /(г) (функции 'У'(г) с такими свойствами будем называть Нт (Д)-отображаемыми), то существует такое аі Є (0,1], что ряд

(5)

при всех г Є Q§ и всех а Є (0, аі] сходится абсолютно и может быть как аналитическая функция переменной а аналитически продолжен по вещественной оси до значения а = 1, то есть существует такой конечный набор {ап}^=1 С (0,1], что при всех г Є Q5 абсолютно сходится повторный ряд

°° (1 )і °° ( )3 °° к

Ф(1,г) = ]Г [ ^тУ ~а]т-1) ■... ■ ]Г ^/*+1+~+к(0) (Д4+*+-+*у) (г). (6)

і=0 *■ 3=0 3' к=0 ■

Такое продолжение названо в работе [11] а-продолжением.

Если функция у(г) обладает указанными свойствами на некотором связном множестве Р, то функция Ф(1, г) определена на Р, и, следовательно, выражение (6) определяет оператор, сопоставляющий любой такой функции ^(г) соответствующую функцию Ф(1, г). Обозначим этот оператор через Ит(А). Нетрудно получить, что

(Ят(Д)(Ят(Д)^))(г) = (нт(Д)^) (г) = (т2 - ДЖг) ^г Є Р

поэтому оператор Нт (Д) можно рассматривать как квадратный корень из оператора

т2 — А: ______

(Ят(Д)\|/)(г) = л/т2 - Д\|/(г).

Оператор Нт(Д) линеен. Действительно, если

^(г) = А^і(г)+В^2(г)

и функции ^1 (г) и у2 (г) Нт (Д)-отображаемы на Р С М3, то и функция у(г) Нт (Д)-отображаема и

(Нт(Д)у)(г) = А(Нт(Д)уі)(г) + Б(Нт (Д)^2 )(г).

Кроме того, это локальный оператор, так как если на открытом множестве Р (Д"у)(г) для всех п, то и (Нт(Д)у)(г) =0 на Р. При этом функция у(г) и её образ (Нт(Д)у)(г) могут быть определены на множестве Q Э Р ^ = Р) и (Нт(Д)у)(г) = 0 на Q/P, так как этот образ определяется поточечно. Таким образом, из бесконечности порядка уравнения не следует его нелокальность.

Как показано в работе [11], уравнение (3) инвариантно относительно преобразований Лоренца. Уравнение (2) столь же несимметрично относительно Є и компонент вектора р, как и уравнение (3) относительно і и г, но оно не противоречит теории относительности.

Итак, нет никаких причин исключить из рассмотрения уравнение (3), которое будем называть релятивистским уравнением Шрёдингера (РУШ), а (Нт(Д)у) - оператор свободной бесспиновой частицы. Покажем, что никаких трудностей с определением оператора скорости не возникает. Пусть ^(г) - функция, Нт (Д)-отображаемая на связном множестве Q С И3. Рассмотрим действие на эту функцию коммутатора і[Нт(аД)г — гНт(аД)]. Можно показать, что существует такое а1, что при всех а Є (0, а1] абсолютно сходится ряд

£ п(0)

і[Нт{аД)г - гЯт(аД)]\|/(г) = * V ——а" (Дпг - гДп)\|/(г)

1( п'

п=0

/п+1/

^ fn(0) ^ /п+1(0)

2гХ/ -—у-^осп??Дп—1\|/(г) = 2 -^ап+1Дп\|/(г)

п=0 П' п=0 П'

пп (0)

= -^У^апД>(г),

п'

п=0

где д{£) = —2/'(л) = \j\Jm2 — х. Из Ят(Д)-отображаемости функции \|/(г) следует возможность -продолжения этого ряда, что даёт определение оператора

С(Д) = 1

а//7?2 — Д

Таким образом,

г[Ят(оД)г - гЯт(оД)]у(г) = -*У(С(Д)¥)(г) = -ІУ , } д у(г) = (У(У)у)(г).

\/т2 — Л

Если у(г) = ехр(ірг) на некотором связном подмножестве Р С М3, то

(У(У)у)(г) = Р---------- Уг є Р.

у т2 + р2

Очевидно, V(V) - оператор скорости. Итак, здесь трудностей нет - полная аналогия с нерелятивистской квантовой механикой. Напомним, что с помощью УКГ оператор скорости не получить, поскольку нет гамильтониана, а с помощью уравнения Дирака получается такой «оператор скорости», что любая компонента скорости свободной частицы в любой момент времени по абсолютной величине оказывается равной скорости света [1].

Легко видеть, что в РУШ (3) время отделяется подстановкой:

*(*, г) = ¥е(г)е-« (7)

Стационарное свободное РУШ с энергией Є имеет вид:

(є - \/т2 - Д^ \|/Е(г) = 0. (8)

Если это уравнение задано на всём пространстве М3, к уравнению (8) надо добавить

ещё условие ограниченности. Решение этой задачи нетрудно найти. Действительно,

подействовав на обе части этого уравнения оператором

получим стационарное УКГ

— \/т2 — Д,

(є2 — т2 Д) (г) = 0.

Его решения хорошо известны. Они имеют вид:

уЕ (г) = Лв*г, (9)

где Л - любая комплексная постоянная, а р - любой вектор, компоненты которого удовлетворяет равенству

рХ + Р2у + Р2 = е2 - т2- (10)

147

Є

Из условия ограниченности следует, что все компоненты вектора р должны быть вещественными, следовательно, обязательно е2 ^ т2. Используя процедуру а-продол-жения, нетрудно найти результат действия оператора Ит(А) на функцию (9):

(Ят(Д)\|/Е)(г) = /(—р2)\|/Е(г) = \/т2 + р2\|/Е(г).

Функция ](г) определена так, что она не принимает отрицательных значений. Поэтому при отрицательных е уравнение (10) не имеет решений, и е связано с р формулой (2), где корень - арифметический. Спектр задачи, соответствующей свободной частице, ограничен снизу: е ^ т. Это ещё одно отличие РУШ от УКГ и уравнения Дирака - отсутствие решений, соответствующих состояниям свободной частицы с отрицательной энергией.

Используя (9), (7) и (2), получаем частное решение уравнения (3)

Фр(*, г) = Ае<р *-<л/т2+Р2‘

и его общее решение

Ф(*,г) = [ А{р)е'рг-'^т2+рЧ(1р.

к3

Легко показать, что преобразования Лоренца переводят эту функцию в общее решение преобразованного уравнения (3). Следовательно, уравнение (3) инвариантно относительно преобразований Лоренца.

Как известно, в нерелятивистской квантовой механике важную роль играет уравнение непрерывности вида

д

— р(#,г) + <1пч(#,г) =0. (И)

Из УКГ и уравнения Дирака тоже следуют уравнения непрерывности, но соответствующие функции р(£, г) и ,)(£, г) при этом имеют парадоксальный характер: из УКГ получается р(£, г), содержащая производные по времени, что делает эту функцию знаконеопределённой, и ,)(£, г) нерелятивистского вида, а из уравнения Дирака следует р(£, г) нерелятивистского вида и ,)(£, г), не содержащая градиента.

Из уравнения (3) следует уравнение непрерывности (11) с функциями

р(£, г) = \^(г, г)|2 + т2|(О(Д)Ф)(£, г)|2 + |(У(У)Ф)(£, г)|2 (12)

г) = Ф*(*, г)(У(У)Ф)(*, г) - Ф(£, г)(У*(У)Ф*)(£, г). (13)

Действительно, как нетрудно показать, для любых двух Ит (Д)-отображаемых при всех £ функций Ф(£, г) и Ф(£, г) справедливо тождество

Ф*И Ф - ФИ Ф* + т2[(ОФ*)(ОИ Ф) - (ОФ)(ОИ Ф*)] + (У*Ф*)(УИ Ф) - (УФ)(У *И Ф*) =

= - &у(Ф*УФ - ФУ*Ф*), (14)

где (для краткости) И = Ит(Д), О = О(Д), У = У(Д), аргументы у функций опущены. Это тождество аналогично известному тождеству Лагранжа [14]. Если в (14) Ф = Ф и удовлетворяет уравнению (3), то из (14), (12) и (13) следует (11), при этом функция (12) положительно определена, а в формуле для потока (13) фигурирует не оператор импульса (как в уравнении непрерывности, следующем из УКГ), а оператор скорости, как и должно быть.

Для решения стационарного РУШ (8) с е = ех и его решения ^2 с е = е2 справедливо уравнение

(Єї — Є2 )[у* V2 + m2(Gy* )(G^2) + (V*y* )(V^2)] = div(y*Vy2 — Y2V* у*). (15)

Это равенство показывает, что для уравнения (8), заданного в некоторой области Р, можно поставить задачу по типу задачи Штурма-Лиувилля, то есть задачу на собственные значения. Действительно, пусть п(г) - векторная функция, определённая на граничной поверхности Б области Р, тогда, если граничное условие поставлено так, что

я

то эта задача является самосопряжённой: она имеет только вещественные собственные числа, а собственные функции ортогональны в смысле скалярного произведения,

(V, Ф)р = I[y*(r)9(r) + m2^(Д)у*)(r)(G(^<p)(r) + (V* (V)y*)(r)(V(V)q>)(r)]dr. (16)

Очевидна связь математического понятия самосопряжённости с физическим понятием сохранения потока. Задание скалярного произведения и соответствующей нормы определяет гильбертово пространство. Это пространство отличается от пространства квадратично интегрируемых функций, используемого в нерелятивистской квантовой механике, поскольку здесь требуется квадратичная интегрируемость не только элементов этого пространства, но и функций О(Д)у и У(У)у. Поэтому элементы этого пространства являются кусочно непрерывными функциями, и интеграл в (16) можно понимать в смысле Римана, а не Лебега, что является некоторым упрощением по сравнению с нерелятивистской квантовой механикой.

Но волновые функции не принадлежат гильбертову пространству, если уравнение (8) задано на неограниченном подмножестве К3. Эту трудность преодолевают, вводя оснащённое гильбертово пространство [14], но нам оно не понадобится, поскольку операторы заданы локально.

Декартовы пространственные переменные в уравнении (8) разделяются, уравнение для зависимости от одной декартовой пространственной переменной (4). Одномерный стационарный вариант тождества (14) имеет вид:

P

(у, ф)£ = У [v*(x)9(x) + m2(Gy*)(x)(G9)(x) + (V*у*)(х)(Уф)(х)] dx. (18)

a

Для решений уравнений (4) с Є = Єї и Є = Є2 справедливо уравнение (Єї — Є2)(уї, V2)a = L[a, уь V2] — L[b, уь V2],

(19)

где

L[x,у, ф] = y*(x)(Vф)^) — ф(x)(V*y*)(x).

Эта функция в теории уравнения (4) играет ту же роль, что и определитель Вронского (вронскиан) в теории обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. В частности, самосопряжёнными являются такие граничные задачи, которые требуют обращения в нуль правой части уравнения (19). Например, задачи, задаваемые уравнением (4) и граничными условиями вида:

Спектр этих задач дискретный, вещественный, ограниченный снизу. Если в (20) а конечно, а Ь = то или а = —то, а Ь конечно, то в конечной точке ставится соответствующее из условий (20), а в бесконечной - условие ограниченности решения. Спектр такой задачи, вообще говоря, состоит из двух подмножеств: непрерывного Є ^ т и дискретного, которое либо состоит из одного вещественного значения, либо пусто. Волновая функция дискретного спектра (если он не пуст) ортогональна всем волновым функциям непрерывного спектра в смысле скалярного произведения (18). Если и а = —то, и Ь = то, то спектр только непрерывный вещественный Є ^ т. Скалярное произведение (18) двух волновых функций с Є = Єї и Є = Є2 есть обобщённая функция разности Єї — Є2 (при некотором выборе нормировки это дельта функция Дирака 5(Є1 — Є2)). Таким образом, здесь полная аналогия с теорией нерелятивистского уравнения Шрёдин-гера. Так же как и там, можно определить самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве со спектром данной граничной задачи и соответствующими собственными функциями. Но надо помнить, что этот оператор и оператор в левой части - два различных оператора с различными областями определениями, которые, впрочем, одинаково действуют на функции из пересечения их областей определения. Но самосопряжённый оператор не локален, а оператор в левой части уравнения (4) - локальный, но не самосопряжённый.

При решении граничной задачи используется именно локальный оператор, а самосопряжённый оператор не есть то, чем оперируют при решении, он - результат решения задачи. Конечно, используя этот оператор, можно найти приближённое решение задачи, достаточно близкой к исходной (теория возмущений).

Рассмотрим теперь уравнение (8) в сферической системе координат, то есть под Д в (8) будем понимать оператор

y(a) cos a + (Vy)(a) sin a = y(b) cosp + (Vy)(b) sinp = 0, a, P Є R, и периодическими граничными условиями:

y(a) — У(ь) = (V y)(a) — V (y)(b) = °.

(20)

Поскольку

где

сферические гармоники, то

Д"’Я,(г)УГ(9,ф) = у/"(9,ф) (£ + ;| + ‘-Ц11)'" Л.М,

и угловые переменные в уравнении (8), записанном в сферической системе координат, отделяются. Уравнение для функции Д;(г) имеет вид:

, „ д2 2 д 1(1 +1) \ _ , . . . , ,

ч* “ V”"-**-;* + -рг-) «'<’■> =»’ * > °- <21>

Здесь, впрочем, есть отличие от нерелятивистской теории: подстановка Щ(г) = = XI (г)/г в (21) целесообразна только при I = 0. В этом случае для функции %о получаем уравнение:

( I

I е - \!т2 - Хо(г) = 0, V?- > 0.

Построенный математический аппарат не учитывает спина (что и не требуется для пионного атома).

в-Состояния водородоподобного пионного атома. Введём в уравнение (21) потенциальную энергию и (г) = —2(?/г, где —е и 2е - за ряды пиона и ядра, соответственно. Массу ядра считаем бесконечной. Выпишем явно постоянную Планка Н и скорость света с:

е + 2е2/г — \1 т2с4 — Ь?с2 ( —г + ——----------------^—- ) I Дг('г) = 0; ^г > 0- (22)

аг2 г аг г2

Рассмотрим самый простой случай для этого уравнения - в-состояния (I = 0) пионного атома и проведём подстановку Е0(г) = %0(г)/г:

е + 2е2/г — \^т2сА — Н2с2^ Хо(г) = 0, Уг > 0. (23)

В уравнении для пионного атома удобно перейти к соответствующим единицам длины (П = Н2/(те2) « 1, 9 • 10-11 см) и энергии те4/Н « 7944 эВ. Проведя в (23) замены £ = те4Е/Н, г = Н2р/(те2), е2/(Нс) « 1/137, получим

уЕ + г/г-а 2у 1 - а~2^^ %о(р) = 0, Ур > 0. (24)

В этом уравнении (как в выражении для Е, так и в операторе корня) учтена масса покоя пиона, равная а-2 пион-атомных единиц энергии. Для перехода к уравнению Шрёдингера, в котором энергия состояния измеряется относительно энергии свободного пиона, введём ЕЭсЬ = Е — а-2. Уравнение (24) принимает вид:

Е3сЪ + г/г-а 2Л1 - а-2-^-+ а 21 %0(р) = 0, Ур > 0.

Состояниям пионного атома соответствуют решения уравнения (24), относящиеся к дискретному спектру: эти решения обращаются в нуль при р = 0 и стремятся к нулю при р ^то. Найдём результат действия оператора

Н = а 2 */1 - а~2-^у

у Ф2

на функции вида ип(р, к) = (—р)пе-кр. Заметим, что

операторы Н и Лп/Лкп коммутируют, а

Не кр = а 2і/і-а-2-^ е кр = а 2\Л - а2к2е кр.

V лр2

Отсюда

Нип(р, к) = а 2 4 /1 — а~2^гт м» (р,к) = а 2 ^7 (Vх! - а2к2е кр) =

ОО

= е-кр£ СП (—р)к /п_к, (25)

к=0

где

Яш /-----------

/т = а_2^л/1_а2к2-Ищем решение Хо(р) уравнения (24), удовлетворяющее условиям

Хо(0) = 0, Ііт Хо(р) = 0, р—

в виде

N

Хо(р)= е-кр^ aN(—р)п.

о

В соответствии с (25)

N N

Нхо(р) = е-кр£(—р)” Е aNСЩк-п, р > 0.

п=0 к=шах{1,п}

Подставив это в уравнение (24), получаем тождество:

N N N

Е^^2 ^ ( —р)” — ( — р)” ^Сп ^к~” = °.

п=1 п=1 к=шах{1,п}

Индекс N есть главное квантовое число. Используя линейную независимость различных степеней р, получаем систему:

N

р0 : ZaN + £ aN/к = 0; (26)

к=1

N \ л Г"1 п ^ _______________________________________________________ 0-

рп : ENа% — ZaN+^ — ^ а.[N Спк /к

к=1

р"-1 : ENа^І_1 — — а^І_і/о — aNN/1

рN : ENaN — aN/о = 0.

Считая aN, из двух последних уравнений получаем

EN = /о = а \ 1 — а2KN, Z = —^/1 =

у/1 - а2к2м'

Окончательно для KN и EN получаем выражения:

Z N

KN

д/Я2 + а2 г2'

E

N

а2^М2 + а2г2

(28)

Подставив полученное значение EN в уравнения системы (26)—(27), получаем систему N — 1 линейных уравнений относительно коэффициентов a1N (п = 0,..., N). Полагая aN = —1 (потом общий коэффициент можно определить из условия нормировки), определим эту систему в виде матричного уравнения Ах = Ь:

/2

N-2

N

0

Z

/з

3/2 N - 3

/N -

/N \

\

N

0

0

N — 1)/N _2 N/N _1

C2_l/N_3 C2N/N_2

С N _3

N _1 /2

4

/3

^ _3 С N /''rN _2 г С N *2

( a2N \

о*

lN _1 \ ^ )

(7п-1\

N 0

Если этим же способом рассмотреть уравнение Шрёдингера

С^ҐХ ,г>( гйсЬ ф2

+ 1 |Х = °,

то аналогичная матрица АЭсЬ будет иметь на главной диагонали только числовые коэффициенты С2°, С31,..., ^21, С^_2, а на диагонали левее и ниже главной числа ZN — n)/N. Остальные элементы матрицы равны нулю.

Для сравнения приведём матричные уравнения для РУШ (слева) и уравнения Шрёдингера (справа) при N = 4:

/2

Z

У

/3 /л ( ^ (Ч\ —1 г 0 0

3/2 /3 И) = 0 ’ ~2 —3 0

4 6/2 \аА) 00 0 Я ~4 —6

(Ш'

Т

0

0

где Ь|, Ь3, Ь| - коэффициенты разложения решения уравнения Шрёдингера.

1

0

2

Если, например, Z = 10, то /2 = -1,007998, /3 = -0, 0016146, /4 = -0,00000101267. Видно, что для РУШ элементы главной диагонали близки к -1, —3 и -6, а выше главной диагонали существенно меньше единицы. Это определяет близость решений РУШ и уравнения Шрёдингера.

Для первых четырёх волновых функций получаются следующие выражения (без учёта нормировки):

29

%/1 + о? г2

Уо = ехр —

а/4 + сх2^2/ V а/4 + а2^2

18Z р 54Z2р2 \ ( Z р

V? - 1--------, О„О.Г70Л ЄХР

А/9 + а2^2(9 + 2а2^2) (9 + а2^2)(9 + 2а2^2)) к V а/1 + а?г2

т = (і - *\Р + яР= - ГзР») «р ),

где

9Z (16 + 5а2 Z2) 96Z2

^1 — , отттт/-------:---77^--------77777? ^2 —

а/16 + а2^2(48 + 15а2 ^2 + а4^4) ’ ~ (16 + а2^2)(48 + 15а2^2 + а4^4) ’

_ 256^2

3 “ (16 + а2^2)5/2(48 + 15а2^2 + а4^4)'

При Z много меньших, чем 137, эти волновые функции переходят в соответствующие решения уравнения Шрёдингера, а выражение для энергии - в соответствующие выражения с учётом энергии покоя пиона:

2 Z2a2mк

ЕМ = ткс - ш, .

Если к задаче о пионном атоме применить УКГ, то для спектра получается формула [2]:

EN

Шп

ур+

а2 г2 (ДГ-5)2

где

Из этого следует, что

EN — E<jcs N а2Z2

EN 2^2 + а2Z 2):

т. е. при малых Z спектры достаточно близки, но при Z > 68 значения ENS становятся комплексными, причём все сразу. Спектр, полученный с помощью РУШ, остаётся вещественным при любых Z.

Заключение. Таким образом, использование РУШ для расчёта в-состояний пи-онного атома позволяет избежать тех трудностей, к которым приводит применение к этой задаче УКГ. РУШ с успехом применимо и к другим задачам, к которым УКГ

либо неприменимо, либо приводит к парадоксальным результатам. К первым относятся задачи об отражении частицы от идеального зеркала конечной массы и задача о дельта-потенциале, ко вторым - задача об отражении частицы от потенциального скачка. Несмотря на бесконечный порядок, РУШ по своим математическим свойствам вполне аналогично уравнению Шрёдингера и имеет правильный нерелятивистский предел. Оно не приводит к бесконечной энергии вакуума. Всё это позволяет считать возможным построение корректной релятивистской квантовой теории на основе РУШ.

Литература

1. Бакенштосс Г. Пионные атомы // Усп. физ. наук. 1972. Т. 102. Вып. 3. C. 405-438.

2. Ициксон К., Зюбер Ж.-Б. Квантовая теория поля: в 2 т. / пер. с англ. Т. 1. М., 1984. 397 с.

3. Дирак П. А. М. Принципы квантовой механики / пер. с англ. М., 1960. 408 с.

4. Бьёркен Дж. С. Дрелл С. Релятивистская квантовая теория: в 2 т. / пер. с англ. Т. 1. М., 1978. 205 с.

5. Tzara C. A study of the relativistic coulomb problrm in momentum space // Phys. Lett. (A). 1985. Vol. 111. P. 343-348.

6. Durand B., Durand L. Analytic solution of the relativistic coulomb problem for a spinless Salpeter equation // Phys. Rev. (D). 1987. Vol. 28. P. 396-406.

7. Lucha W., Rupprecht H., Schoverl F. F. Spinless Salpeter equation a simple matrix eigenvalue problem // Phys. Rev. (D). 1992. Vol. 45. P. 1233-1239.

8. Durand L., Gara A. Matrix method for the numerical solution of relativistic wave equation // J. Math. Phys. 1990. Vol. 31. P. 2237-2243.

9. Олвер П. Применение групп Ли в теории дифференциальных уравнений / пер. с англ. М., 1989. 635 p.

10. Дубинский Ю. А. Алгебра псевдодифференциальных операторов с аналитическими символами и её приложения к математической физике // Усп. мат. наук. 1982. T. 37. № 5. C. 97-137.

11. Лагодинский В. М., Цырлин Л. Э. Вопросы прикладной математики и математической физики // Сб. памяти акад. Г. А. Гринберга. 2001. C. 190-212.

12. Лагодинский В. М. Голоморфные функции дифференциальных операторов и дифференциальные уравнения бесконечного порядка: дис. ... канд. физ.-мат. наук. СПб., 2005. 118 с.

13. Трев Ф. Псевдодифференциальные операторы и интегральные операторы Фурье: в 2 т. / пер. с англ. Т. 1. М., 1983. 359 с.

14. Гельфанд И. М., Виленкин Н. Я. Некоторые применения гармонического анализа. Оснащённые гильбертовы пространства. // Обобщённые функции. Вып. 4. М., 1964. 472 с.

Принято к публикации 8 декабря 2008 г.